Matemática 1° Medio

Matemática
1° Medio
UNIDAD 2. Lenguaje algebraico
GUÍA N° 1
Evaluación de Expresiones Algebraicas
Conceptos básicos
El lenguaje algebraico es una de las principales formas del lenguaje matemático y es mucho
más que letras y números. Muchos problemas de la vida real se pueden traducir a un lenguaje
algebraico y luego, usando este lenguaje, se intenta encontrar procedimientos de resolución
para dar respuestas al problema. Pero antes de poder hacer eso, es necesario familiarizarse
con este lenguaje.
El álgebra usa letras y números. Las letras representan números que pueden ser conocidos o
desconocidos. La expresión más simple se denomina término, y consta de un signo (+ ó -), una
parte numérica y una parte literal.
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A modo de ejemplo:
-5x
y
Signo
Notas:
Parte
Numérica
Parte
Literal
1. Si el signo es “+”, no es necesario escribirlo.
2. Si la parte numérica es 1, no es necesario escribirla.
3. Entre cada componente de un término hay una multiplicación. Es decir, -5x2y es lo
mismo que escribir: -5 · x2 · y
Sumando y/o restando diversos términos podemos construir expresiones más largas. A la suma
(o resta) de dos términos lo denominamos binomio, a la de tres términos trinomio, y para
sumas (o restas) más largas usamos el nombre polinomio.
Lo primero con lo que debe uno familiarizarse es con la evaluación de expresiones: Evaluar una
expresión algebraica consiste en sustituir las letras por valores numéricos.
(
)(
)
Por ejemplo, si queremos evaluar la expresión a x – a ⋅ a x + a , debemos saber (o tal vez
inventar) el valor numérico de a y el de x. Nosotros inventaremos: usaremos a = 2 y x = 3.
En este caso, el enunciado queda así: (23 – 2)(23 + 2) = (8 – 2)(8 + 2) = 6 · 10 = 60.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. 1. Evalúa las expresiones a – b
1.1 a = 13; b = 5
y
b–a
para los siguientes valores de a y b:
1.2 a = -6; b = 10
1.3 a = 5,6; b = -8,2
¿Qué conclusión puedes sacar de lo calculado? ¡Redacta una oración!
(Si con los tres ejemplos aún no puedes sacar ninguna conclusión, invéntate otros
valores para a y b y calcula).
2. Evalúa las expresiones
2.1 a = 9; b = 16
a+b
a+ b
y
para los siguientes valores de a y b:
2.2 a = 36; b = 64
¿Qué conclusión puedes sacar de lo calculado? ¡Redacta una oración!
3. Evalúa las expresiones x – (3x – 1)
3.1 x = 8
3.2 x = -4
y
1 – 2x
para los siguientes valores de x:
1.3 x = 0
¿Qué conclusión puedes sacar de lo calculado? ¡Redacta una oración!
Los tres ejemplos anteriores te muestran que dos expresiones algebraicas pueden ser iguales,
parecidas o completamente distintas. En las siguientes guías aprenderás a decidir eso, SIN
tener que evaluar. Pero en caso de duda, siempre puedes evaluar.
4. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son iguales entre sí? Intenta con diferentes
valores y luego decide.
4.1 (a – b)2
4.2 a2 – b2
4.3 (a + b) · (a – b)
4.4 a2 – 2ab + b2
5. Para saber el estado nutricional de una persona, se puede calcular el Índice de Masa
Corporal (IMC). Para eso se divide la masa m (en kilogramos) por el cuadrado de la
estatura h (en metros). Si el IMC está entre 18,5 y 25, se cataloga como normal;
entre 25 y 30 se considera sobrepeso y sobre 30 se considera obesidad. Bajo 18,5 se
considera infrapeso. Usando álgebra, el IMC se expresa como
m
.
h2
5.1 Calcula tu IMC, usando una calculadora.
5.2 Prueba con diferentes valores. Plantéate diferentes situaciones o preguntas y
discútelas con tu compañero.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 2
OPERATORIA BÁSICA DEL ÁLGEBRA
Como vimos anteriormente, a veces dos expresiones algebraicas son equivalentes. Eso se
puede comprobar evaluando las expresiones y verificando que los resultados coinciden. Ahora
veremos cómo simplificar una expresión, es decir, cómo obtener una nueva expresión que sea
equivalente a la expresión original, pero más simple.
► Suma y resta
Sólo se puede simplificar una suma (o resta) de términos si hay términos semejantes.
Términos semejantes son términos que poseen exactamente la misma parte literal.
¿Cómo se suman (o restan) términos semejantes? Se suman (o restan) las partes numéricas.
El factor literal se mantiene.
Ejemplo: 3x2y + 4x2y – 6xy = 7x2y – 6xy
Nota: Sólo los dos primeros términos son semejantes. El tercero no tiene exactamente la
misma parte literal, por lo tanto no se puede juntar con los otros dos. El resultado ya
no se puede simplificar más.
► Multiplicación
A diferencia de la suma, siempre se puede simplificar una multiplicación de términos. No
necesitan ser términos semejantes.
Para multiplicar términos, multiplicamos las partes numéricas entre sí y las partes literales
entre sí.
Ejemplo: 3x2y · 4x2y · 6xy = 72x5y3
Nota:
1. Multiplicamos las partes numéricas entre sí: 3 · 4 · 6 = 72.
2. Multiplicamos las partes literales entre sí. Para eso, multiplicamos las x entre sí, y
las y entre sí.
x2 · x2 · x = x2 + 2 + 1 = x5
y · y · y = y1 + 1 + 1 = y 3
► Prioridad de operaciones y uso de paréntesis
El orden de las operaciones es:
restas
Primero: Multiplicaciones y divisiones. Después: Sumas y
Si se desea alterar este orden, se debe usar paréntesis. Para eliminar paréntesis se utilizan
ciertas reglas.
♦ Si al paréntesis lo antecede un signo “+”, se puede eliminar sin problema.
♦ Si al paréntesis lo antecede un signo “–”, se elimina tanto el signo “–” como el paréntesis,
pero se cambian los signos de todos los términos dentro del paréntesis.
Otras reglas se analizarán en las actividades.
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ACTIVIDADES
1. 1.1 Calcula y compara:
a) 5p3q + 7p3q
1.2 ¿Es cierto que x + y = y + x?
b) 7p3q + 5p3q
2. 2.1 Calcula y compara:
a) 12m2 – 4m2
2.2 ¿Es cierto que x – y = y – x?
b) 4m2 – 12m2
3. 3.1 Calcula y compara:
a) (9ab + 3ab) + ab
3.2 ¿Es cierto que (x + y) + z = x + (y + z)?
b) 9ab + (3ab + ab)
4. 4.1 Calcula y compara:
a) 4a3bc2 · 6ab3c3
4.2 ¿Es cierto que x · y = y · x?
b) 6ab3c3 · 4a3bc2
5. 5.1 Calcula y compara:
a) (-2ab2 · 3ac3) · ac
5.2 ¿Es cierto que (x · y) · z = x · (y · z)?
b) -2ab2 · (3ac3 · ac)
6. 6.1 Calcula y compara:
a) 2a · (a + 5a)
6.2 Calcula y compara:
a) 4m2 · (3mn – 8m)
6.3 ¿Es cierto que x · (y + z) = x · y + x · z?
b) 2a · a + 2a · 5a
b) 4m2 · 3mn – 4m2 · 8m
7. Busca en Internet los siguientes conceptos:
“Propiedad Conmutativa de la suma”; “Conmutatividad de la multiplicación”; “Propiedad
Distributiva”; “Asociatividad de la suma”; “Propiedad asociativa de la multiplicación”.
Relaciona con los ejercicios anteriores. Confecciona un resumen en tu cuaderno.
8. Un terreno rectangular consta de un sector
donde hay una casa, y de otro sector que se
utiliza como jardín. Esto lo ves en el esquema
de la derecha.
a) ¿Cuál es el área del terreno completo?
b) Compara con tus compañeros: ¿Todos
hicieron el mismo cálculo que tú?
c) ¿Utilizaste alguna de las propiedades
anteriores? En caso de ser así, ¿cuál?
3b
a
Casa
4a
9a
9. Un terreno rectangular fue dividido en cuatro terrenos
rectangulares más pequeños, como ves en la figura de la derecha.
a) Aparte de calcular el área usando el rectángulo grande, es
posible descomponer el rectángulo en partes, como ves más
abajo.
¿Hay alguna otra descomposición posible, además de las que
te mostramos?
b) Calcula el área en cada caso.
+
+
3b
a
Jardín
+
d
c
a
b
+
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 3
PRODUCTOS NOTABLES
La propiedad distributiva establece que: a · (b + c) = a · b + a · c.
En su forma más general plantea que: (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.
Los llamados productos notables son casos especiales de la forma más general de la propiedad
distributiva. Si uno conoce los productos notables, puede acortar considerablemente los
cálculos.
Estos productos nacen de las siguientes preguntas: ¿Qué sucede si el segundo paréntesis es
exactamente igual al primero? ¿Qué sucede si el segundo paréntesis es exactamente igual al
primero, excepto por un signo?
Se obtienen las tres fórmulas siguientes:
► Cuadrado de binomio
Fórmulas: (a + b)2 = a2 + 2ab +b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a+b)
a
2
=
ab
b2
a2
ab
a + b
La primera se puede explicar mediante el siguiente esquema:
+b
► Suma por diferencia
Fórmula: (a + b) · (a – b) = a2 – b2
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. Usa la propiedad distributiva para demostrar las fórmulas de los productos notables.
2. Explica la segunda fórmula del cuadrado del binomio usando algún esquema. Trata
primero por tu cuenta. Si no se te ocurre, busca en Internet.
3. Calcula las siguientes expresiones. Verifica tu resultado evaluando.
a) (x + 2)2
b) (4a – 1)2
c) (x + 2y)(x – 2y)
d) (7m – 3n)(7m + 3n)
4. ¿Qué expresiones faltan en cada caso? Rellena los espacios que faltan para obtener dos
expresiones equivalentes.
a) (3x + █)2 = █ + █ + 49
b) (█ – 4)2 = █ – 48y + █
c) (█ + █)2 = 4x2 + 32x + █
5. 5.1 ¿Qué sucede si en vez de un binomio se tiene un trinomio dentro del paréntesis?
Deduce una fórmula para (a + b + c)2.
5.2 Prueba tu resultado calculando (3 + 4 + 2)2 con tu fórmula y sin tu fórmula.
5.3 Calcula y verifica evaluando:
a) (3m – 4n + 7q)2
b) (5p – 3q + 10r)2
Aunque normalmente asociamos las fórmulas de los productos notables con el álgebra (y por lo
tanto con letras), pueden ser muy útiles también para hacer cálculos numéricos.
Ejemplo. Calcular 28 · 32
Fíjate que 28 se puede escribir como 30 – 2 y que 32 se puede escribir como 30 + 2.
Es decir: 28 · 32 se puede escribir como (30 – 2)(30 + 2), ¡que es una suma por diferencia!
Aplicamos la fórmula y obtenemos que 28 · 32 = (30 – 2)(30 + 2) = 302 – 22 = 900 – 4
= 896.
Es más fácil calcular 302 y 22 y restar, que multiplicar 28 por 32, ¿cierto?
6. Usa los productos notables para calcular los siguientes ejercicios:
a) 41 · 39
b) 102 · 98
c) 252
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 4
FACTORIZACIÓN
Hasta el momento hemos utilizado la propiedad distributiva y los productos notables para
eliminar paréntesis que pudiera haber en una expresión y luego simplificar. Sin embargo hay
muchos ejercicios en que se requiere hacer justamente lo contrario, es decir poner paréntesis.
Este proceso se conoce como factorización.
Factorizar es transformar una suma o resta en una o varias multiplicaciones, o, dicho de otra
manera, factorizar es descomponer en dos o más factores.
En general factorizar es más complicado que eliminar paréntesis, pues uno debe reconocer qué
ejercicio había originalmente y eso requiere de ejercitación. Además hay expresiones que no se
pueden factorizar.
A continuación te presentamos una pauta que puedes seguir para tratar de factorizar un
ejercicio:
► Busca factor común: Esto consiste en “deshacer” la propiedad distributiva. Normalmente se
presenta en dos situaciones:
ac + ad = a (c+d)
(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)
¿Cómo reconocerlo? → Un factor (o varios factores) debe repetirse en cada término de
la suma.
(En el primer ejemplo era “a”. En el segundo era “(a + b)”).
Ese es el factor común.
► Busca si hay diferencia de cuadrados (suma por diferencia):
¿Cómo reconocerlo? →
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
1. Debe haber dos términos.
2. Ambos términos deben ser cuadrados perfectos.
3. Ambos términos deben estar restados. (Para ser más
precisos, deben tener distinto signo).
► Busca si hay un trinomio cuadrado perfecto (cuadrado de binomio): a2
¿Cómo reconocerlo? →
± 2ab + b2 = (a ± b)2
1. Debe haber tres términos.
2. Dos términos deben ser cuadrados perfectos.
3. El tercer término se debe verificar aparte.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
► Busca si hay un trinomio de la forma x2 + px + q
Este trinomio se factoriza: x2 + px + q = (x + a)·(x + b), con a + b = p y a · b = q
¿Cómo reconocerlo? → Debe haber un polinomio de segundo grado. El coeficiente de x2
debe ser 1.
¿Cómo factorizarlo? → Busca dos números, a y b, que sumados den p (el coeficiente de
x) y que multiplicados den q (el coeficiente libre)
► Si hay más de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos anteriores:
Ejemplo: ac
+
bc + ad
+
bd = c ( a + b ) + d ( a + b ) =
agrupamos
estos dos
( a + b )·( c + d )
agrupamos
estos dos
► Recuerda que si no logras factorizar un ejercicio, puede ser porque no se te ocurrió el
método correcto, o tal vez porque se debe usar algún método que desconoces (hay muchos
métodos más aparte de los que mencionamos) o simplemente porque no se puede factorizar.
En este caso, la respuesta es: “no puedo factorizar este ejercicio con los métodos que
disponemos”. Si hay más de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos
anteriores:
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ACTIVIDADES
Inicio
1. A la derecha ves un diagrama de flujo que explica cómo sacar
factor común.
¿Hay
sumas?
a) Analiza el diagrama de flujo con tu compañero.
b) Usa el diagrama para tratar de factorizar las siguientes
expresiones:
1.1
1.3
1.5
1.7
2
2
xy + y w
24a3b2 – 12a3b3
x(a + 7) + 5(a + 7)
8a – 8abc
1.2
1.4
1.6
1.8
no
sí
2
5xy – 15y
4xy + 8xy2 – 12xy3
2x(a – 1) – 3y(a – 1)
3x + 5y + z
¿Hay
algún factor que
se repita en cada
término?
2. a) Construye un diagrama de flujo para la diferencia de cuadrados.
sí
b) Construye un diagrama de flujo para el trinomio cuadrado
perfecto.
Saca
b) ¿Puedes hacer un diagrama de flujo que fusione los dos
factor común
diagramas anteriores
c) Puedes hacer un diagrama que fusione “factor común”,
“diferencia de cuadrados” y “trinomio cuadrado perfecto”?
no
No hay
factor común
3. Factoriza las siguientes expresiones. Ten presente que se quiere factorizar al máximo,
es decir puedes aplicar varios métodos uno tras otros. No te detengas hasta que hayas
comprobado que ningún método funciona más.
3.1 x2 – 100
3.4 16x2 + 8x +1
3.7 x2 + 8x + 15
3.10 xm – ym + xn – yn
3.2 25a2 – 144b2
3.3 9x2y4 – 121z8
2
3.5 4y – 24y + 36
3.6 25x2 + 30xy + 9y2
2
3.8 n + n – 20
3.9 m2 – 12m + 27
2 2
2
2 2
3.11 a x – 8bx + a y – 8by2
4. La expresión x2 + 6x + 9 puede analizarse como trinomio cuadrado perfecto y también
como trinomio de la forma x2 + px + q. ¿Cuál de las dos debe privilegiarse? ¿O da lo
mismo?
5. Calcula los siguientes ejercicios de la manera más eficiente posible:
5.1 3 · 15 – 3 · 12 – 3 · 3
5.3 772 – 232
5.2
5.4
0,2 · 3,5 + 0,2 · 1,5 – 0,2 · 4
142 - 16
9
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