Boletin de Variables Aleatorias

Boletín de Variables Aleatorias
Introducción a la Estadística. Curso 2007/2008
Escola Superior de Enxeñería Informática.
Titulación de Enxeñería Técnica en Informática de Xestión. Universidade de Vigo
1. Dada la variable aleatoria X=“Número de motos vendidas por un vendedor durante una semana”.
xi
pi
1
0;3
2
0;25
3
0;15
4
0;3
Calcula:
a) La función de distribución. Represéntala grá…camente.
b) P (X = 1;5)
c) P (0;25 < X
2)
d) P (X > 2;1=X < 4)
8
0; x < 0
>
>
< x
x
2; 0
2. Dada la función de distribución F (x) =
1;
x
2
>
>
:
2
a) Haz su representación grá…ca.
b) Calcula su función de densidad y represéntala grá…camente.
c) Calcula P (X <
1), P (X > 1), P (X
3. Dada la función de densidad, f (x) = k(2
0;3), P (0;2
X < 1) y P (X < 1=X
x) si 0
2, calcula:
x
0;3).
a) El valor de k, la media, la moda y la función de distribución.
b) La probabilidad de que la variable tome valores entre 0;2 y 1.
c) Si sabemos que nuestra variable ha tomado un valor superior a 0;2, ¿cuál es la probabilidad de
que dicho valor sea inferior a 1?
4. Una compañía de refrescos anuncia premios en las chapas asegurando que en cada 1000 chapas hay
500 con “inténtalo otra vez”, 300 con premio de 0;3 euros, 150 con premio de 0;6 euros, 40 con
premio de 3 euros y 10 con premio de 6 euros. Un individuo, al que no le gusta el refresco, decide
comprar una botella cuyo coste es de 0;6 euros. Caracterizar su ganancia mediante una variable
aleatoria. ¿Es razonable su decisión? Calcula para responder a esta cuestión la probabilidad de que
pierda dinero.
5. Sea una v.a. X
8
0
>
>
>
>
1=4
>
>
<
2=4
F (x) =
3=4
>
>
>
>
1
>
>
:
con función de distribución dada por
si
si
si
si
si
x<0
0 x<1
1 x<2
2 x<3
x 3
Calcula la función de masa de probabilidad de X y las siguientes probabilidades: P (X = 1;7),
P (X = 2) y P (1;2 < X < 3).
6. Dada la función de probabilidad P (x) = P (X = x) = kx2 con x = 1; 2; 3; 4, determina el valor de
k, la media y la varianza.
7. Una gasolinera recibe carburante una vez por semana. Su volumen semanal de ventas en millares de
hectolitros se distribuye según: f (x) = k(1 x)9 si 0 < x < 1. Determina cuál debe ser la capacidad
del depósito para que la probabilidad de que el carburante se agote sea de 0.01.
8. Sea X una v.a. con función de densidad: f (x) = K1 (x 2) si 2 < x < 4 y f (x) = K2 (x 4) si
4 < x < 8, donde K1 y K2 son constantes tales que P (2 < X < 3) = 1=12. Calcula K1 , K2 , la
función de distribución de X y la probabilidad de que X se desvíe de su media teórica menos de dos
unidades.
9. Una urna contiene 3 bolas rojas, 4 bolas negras y 5 blancas. Se extraen sin reemplazamiento 3 bolas.
Calcula la distribución de probabilidad, función de distribución, media y desviación típica de la
variable aleatoria R=’número de bolas rojas extraídas’.
10. El tiempo de retraso, medido en minutos, del AVE Sevilla-Madrid sigue una variable aleatoria
continua con función de distribución
8
x
1
> 0;
>
>
>
>
2
>
< k(x + 1) + x 1 ;
1<x 0
2
F (x) =
2
>
>
k(x + 1) x 2+1 ; 0 < x 1
>
>
>
>
:
1;
x>1
a) Calcula el valor de k.
b) Calcula la probabilidad de que el tren llegue con menos de medio minuto de retraso.
c) Calcula la probabilidad de que el tren llegue antes de la hora prevista.
d) Calcula el tiempo esperado de retraso.
e) Calcula la probabilidad de que el tren llegue entre medio minuto de adelanto y un minuto de
retraso.
f) Sabiendo que el tren ha llegado con retraso, calcula la probabilidad de que lo haya hecho menos
de 15 segundos después de lo previsto.
11. Una variable aleatoria X tiene función de densidad f (x) = kx si 0 < x < 1, f (x) = x 1 si 1 < x < 2
y f (x) = 0 en otro caso. Halla la constante k, la función de distribución y V ar(2X + 1).
12. Sea X una v.a. con función de densidad f (x) =
8x
15 ,
si
1
2
x
2. Calcula:
a) La función de distribución de X.
b) La distribución de la variable Y = 21 (4
c) P (E(X)
2 (X)
X
X).
E(X) + 2 (X)).
d) La probabilidad anterior usando la desigualdad de Tchebychev. Compara los resultados.
13. El número medio de personas que acuden a cada sesión de cierta sala de cine es de 100 con una
desviación típica de 20.
a) ¿Qué porcentaje de sesiones acuden entre 50 y 150 personas?
b) ¿Cuántas butacas debe tener la sala para que nadie se quede sin entrada al menos en el 80 % de
las sesiones?
14. Sea X una v.a. discreta con función de masa de probabilidad:
xi
pi
1
2
3
4
1
10
4
10
4
10
1
10
a) Calcula su función de distribución, media, desviación típica, mediana y moda.
b) Calcula P (2
X
3).
c) Acota la probabilidad anterior utilizando la desigualdad de Tchebychev. ¿Qué tipo de información
nos facilita en este caso?
15. En cierto hospital se comprobó que el peso en kg. al nacer es una v.a. con función de densidad:
8
< kx; 2 < x < 4
0;
otro caso
f (x) =
:
Calcula:
a) Valor de k.
b) Función de distribución.
c) Peso medio en gramos al nacer.
d) Probabilidad de que un niño elegido al azar pese entre 2;5 y 4;5 kilos.
e) Probabilidad de que un niño que ha pesado más de 2;5 kilos pese menos de 3;5 kilos.
f) ¿En qué intervalo de longitud 0;5 estamos más seguros de que estará el peso del bebé?
16. (Junio 2006) El profesor Charles Maurer está dando múltiples charlas por España acerca de su
método “Hable inglés con 1100 palabras”. Se ha observado que el número de asistentes es una
variable aleatoria de media 100 personas y una desviación típica de 20.
a) Se dispone de 150 entradas para asistir a la charla ¿Cuál es la probabilidad de que alguien se
quede sin entrada?
b) ¿Cuál debería ser el número de entradas para que nadie se quede sin ella al menos en el 90 % de
las charlas?
17. (Septiembre 2007) Sea X una v.a. cuya función de densidad viene dada por:
8
0;4 si 0 < x < 1
>
>
<
0;2 si 1 < x < 2
f (x) =
0;4 si 3 < x < 4
>
>
:
0 en otro caso
a) Representa la función de densidad. Calcula la media y la mediana.
b) Obtén el cuarto decil y calcula la probabilidad de que la variable oscile entre 0;5 y 2;5.
c) Si sabemos que la variable X ha tomado un valor superior a 2, ¿cuál es la probabilidad de que
éste sea menor que 3;5?
18. La vida útil (en años) de un ordenador personal fabricado por la empresa RES es una variable
aleatoria con función de densidad dada por:
f (x) =
2
5
2
25 x
0
si x 2 (0; 5)
en otro caso
Dicha marca ofrece una garantía de un año y medio, de modo que si el ordenador falla en ese período
habrá que reemplazarlo por otro nuevo.
a) Calcular la probabilidad de que haya que reemplazar un ordenador en el período de garantía.
b) Si en un aula de informática se han recibido 10 de estos ordenadores, determinar la probabilidad
de que al menos uno de ellos se averíe en el proceso de garantía.
c) ¿Cuál debería ser el período de garantía, si la empresa desea reemplazar sólo el 5 % de los ordenadores?
d) Si de…nimos la …abilidad en el instante t como H(t) = P (X > t), calcular la función de …abilidad
de un ordenador, y la probabilidad de que un ordenador dure más de tres años y medio.
19. Sea X la v.a. con función de densidad
f (X) =
2 (1
0
x) si x 2 (0; 1)
;
en otro caso
a) Obtener la función de distribución y dibujarla.
b) Calcular dos medidas de localización central y la desviación típica.
c) Usando la función de densidad obtener P (0;25 < X < 0;5jX 4).Mediante el uso de la parte (a).
20. La función de densidad de la v.a. X de Epanechnikov absolutamente continua es:
f (X) =
x2
k 1
0
si x 2 (0; 1)
;
en otro caso
a) Determinar k para que sea función de densidad y obtener la función de distribución.
b) Calcular dos medidas de tendencia central distintas y la varianza.
c) Calcular la probabilidad de que la v. X tome valores en el intervalo (-0.75,0.5) condicionado a que
X toma valores negativos.
21. Una compañía de seguros ofrece a sus tenedores de póliza varias opciones diferentes para el pago de
primas. Para un tenedor seleccionado al azar, sea X= número de meses entre pagos sucesivos. La
función de distribución de X es:
8
si x < 1
>
> 0
>
>
0;3
si 1 x < 3
>
>
<
0;4 si 3 x < 4
F (x) =
0;45 si 4 x < 6
>
>
>
>
0;6 si 6 x < 12
>
>
:
1
si x 12
Calcular la masa de probabilidad de la variable aleatoria, y utilizando únicamente la función F, calcular
P(3=<X<6) y P(X>4)
22. Dada la Función de Distribución de la variable aleatoria
8
0
>
<
x2
5
1
F (x) =
2 3x
2
2
>
:
1
X
si x
1
si 1 < x < 3
si x 3
a) Calcular la función de densidad de la variable.
b) Calcular la media de la variable
c) Obtener P (0;25 < X < 1;5)
d) Obtener la función de densidad de la variable Y = 2X + 1 y¿Cuál es la media de la variable Y ?
23. La variable aleatoria X tiene la siguiente distribución:
xi
0
1
2
3
p (X = xi ) 0.15 0.4 0.3 0.15
a) Obtenga la función de distribución para la variable X
b) Represente grá…camente la función de probabilidad y la función de distribución de la variable X
c) Obtenga el valor esperado y la varianza de la variable X
d) Obtenga el valor esperado y la varianza para las variables U = X + 2 y W = 3 X