Lámina suelta 3

Dado el triángulo ABC dibujar un cuadrilátero ABDE inscrito en él, de tal manera que: dos de sus vértices
coincidan con él A y B del triángulo y los otros dos, D y E, estén en los lados BC y CA del triángulo
respectivamente, de tal manera que los lados BD, DE y EA sean iguales. Como ayuda, hay que utilizar la
semejanza.
C
Si construimos un cuadrilátero cualquiera,
inscrito en un triángulo semejante al dado,
cumpliendo las condiciones del enunciado, el
cuadrilátero buscado será semejante al buscado. De
todo esto tenemos la construcción siguiente:
E
D
E'
D'
D''
1.
2.
3.
4.
B
B'
A
Se llevan sobre el lado AC y él BC dos segmentos iguales AE' y BD' respectivamente.
Con centro en E' se dibuja un arco de radio los segmentos anteriores.
Por D' se dibuja una línea paralela a la base AC, que corta al arco del paso anterior en el punto D''.
Por D'' se dibuja una línea paralela al lado BC, cortándo a la base AC en el punto B'. Ya tenemos el
cuadrilátero semejante al buscado, pues el lado AE' está en él AC y él B'D'' es paralelo al BC, verificando
las condiciones del enunciado.
Se dibuja la línea AD'', hasta cortar al lado BC en el punto D, desde el que se dibuja una línea paralela a
D''E', cortando al lado AC en el punto E, con lo que se completa el cuadrilátero ABDE buscado.
5.
Los triángulos ADE es semejante al AD''E' pues tienen un ángulo común, él A, y los lados D''E' y DE son
paralelos. lo mismo se puede decir de los triángulos ABD y AB'D''.
β
Dado el rectángulo ABCD, dibujar otro rectángulo equivalente a él y cuya diagonal sea el lado mayor del
rectángulo dado. Como ayuda, es una generalización del teorema de Pitágoras.
Los pasos son:
1. Se dibuja una circunferencia de diámetro AB, que
corta al lado CD en el punto E.
2. Se traslada la cuerda AE a partir del vértice B, y
por debajo del lado AB, obteniendo el punto F. El
E
C
D
rectángulo AFBE es el buscado.
α
O
α
β
A
F
Veamos la justificación de la construcción:
El teorema de Pitágoras, no solo se puede aplicar a
los cuadrados, si no también a otras figuras, como
pueden ser, cualquier poligono regular, a
B circunferencias, y en general a poligonos irregulares,
pero que sean semejantes, incluidos los triángulos.
•
El ángulo DAE + DEA = α + β = 90º
•
El ángulo DAE + EAB = α + EAB = 90º luego
comparando las dos expresiones se concluye que
el ángulo EAB = .
De todo lo anterior se deduce que el ángulo EBA = α
Todo esto implica que los triángulos ADE y AEB
son semejantes.
Si seguimos razonamientos similares, tenemos que el triángulo ECB también es semejante, luego
podemos aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos ADE, ECB y AFB, es decir la suma de las áreas de los
dos primeros es igual a la del tercero.
Además el triángulo AEB, que es igual que él AFB, tiene por área la mitad de la del rectángulo ABCD,
luego se concluye sumando los triángulos AFB y AEB, su área vale lo mismo que la del rectángulo dado ABCD,
como se queria demostrar.
Lámina suelta 3
Dado el triángulo ABC dibujar un cuadrilátero ABDE inscrito en él, de tal manera que: dos de sus vértices
coincidan con él A y B del triángulo y los otros dos, D y E, estén en los lados BC y CA del triángulo
respectivamente, de tal manera que los lados BD, DE y EA sean iguales. Como ayuda, hay que utilizar la
semejanza.
C
Si construimos un cuadrilátero cualquiera,
inscrito en un triángulo semejante al dado,
cumpliendo las condiciones del enunciado, el
cuadrilátero buscado será semejante al buscado. De
todo esto tenemos la construcción siguiente:
E
D
E'
D'
D''
1.
2.
3.
4.
B
B'
A
Se llevan sobre el lado AC y él BC dos segmentos iguales AE' y BD' respectivamente.
Con centro en E' se dibuja un arco de radio los segmentos anteriores.
Por D' se dibuja una línea paralela a la base AC, que corta al arco del paso anterior en el punto D''.
Por D'' se dibuja una línea paralela al lado BC, cortándo a la base AC en el punto B'. Ya tenemos el
cuadrilátero semejante al buscado, pues el lado AE' está en él AC y él B'D'' es paralelo al BC, verificando
las condiciones del enunciado.
Se dibuja la línea AD'', hasta cortar al lado BC en el punto D, desde el que se dibuja una línea paralela a
D''E', cortando al lado AC en el punto E, con lo que se completa el cuadrilátero ABDE buscado.
5.
Los triángulos ADE es semejante al AD''E' pues tienen un ángulo común, él A, y los lados D''E' y DE son
paralelos. lo mismo se puede decir de los triángulos ABD y AB'D''.
β
Dado el rectángulo ABCD, dibujar otro rectángulo equivalente a él y cuya diagonal sea el lado mayor del
rectángulo dado. Como ayuda, es una generalización del teorema de Pitágoras.
Los pasos son:
1. Se dibuja una circunferencia de diámetro AB, que
corta al lado CD en el punto E.
2. Se traslada la cuerda AE a partir del vértice B, y
por debajo del lado AB, obteniendo el punto F. El
E
C
D
rectángulo AFBE es el buscado.
α
O
α
β
A
F
Veamos la justificación de la construcción:
El teorema de Pitágoras, no solo se puede aplicar a
los cuadrados, si no también a otras figuras, como
pueden ser, cualquier poligono regular, a
B circunferencias, y en general a poligonos irregulares,
pero que sean semejantes, incluidos los triángulos.
•
El ángulo DAE + DEA = α + β = 90º
•
El ángulo DAE + EAB = α + EAB = 90º luego
comparando las dos expresiones se concluye que
el ángulo EAB = .
De todo lo anterior se deduce que el ángulo EBA = α
Todo esto implica que los triángulos ADE y AEB
son semejantes.
Si seguimos razonamientos similares, tenemos que el triángulo ECB también es semejante, luego
podemos aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos ADE, ECB y AFB, es decir la suma de las áreas de los
dos primeros es igual a la del tercero.
Además el triángulo AEB, que es igual que él AFB, tiene por área la mitad de la del rectángulo ABCD,
luego se concluye sumando los triángulos AFB y AEB, su área vale lo mismo que la del rectángulo dado ABCD,
como se queria demostrar.
Lámina suelta 3