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Implementación de la estadística tv de Student en el laboratorio de Física
Harol Y. Valencia-Martínez1, Gabriel F. Acevedo-Amaya2
1,2
Universidad Santo Tomas, Departamento de Ciencias Básicas, Bogotá, Colombia.
Resumen
En este artículo se presenta una revisión de la aplicación de la estadística tv de Student para
el cálculo de incertidumbres en la medición de una magnitud que se mide de forma directa
n veces, aplicada en los laboratorios de física mecánica y física de materiales del
Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad Santo Tomas. Como ejemplo de
estudio se implementará un laboratorio básico en la enseñanza de la física mecánica: caída
libre. Se analizará como se modifica la incertidumbre y el resultado de la aceleración del
sistema dependiendo de la cantidad de datos medidos.
Palabras clave: Física experimental, incertidumbre, distribución normal, distribución tv de
Student, caída libre.
Introducción
En todos los procesos de medición se presentan una serie magnitudes de influencia que no
pueden ser controladas en su totalidad y errores aleatorios los cuales no se pueden eliminar
convirtiéndose así en fuentes de incertidumbres que aportan de forma colectiva una
fluctuación de las medidas alrededor de un valor medio o promedio ( ). Los errores
aleatorios se pueden disminuir aumentando el número de mediciones, asumiendo que las
magnitudes por medir (mensurando) presenten repetibilidad.
Si en un laboratorio se presentan magnitudes repetibles y el número de mediciones es
bastante grande (n
) o que simplemente la desviación estándar de la muestra es una
buena estimación de la desviación estándar de la población se puede definir un intervalo
1
2
1
[email protected]
[email protected]
alrededor de la media
que determine un nivel de confianza. En estos casos se puede
asumir una distribución normal con un factor de cobertura
Frecuentemente el tiempo y las características del mensurando no permiten efectuar un gran
número de medidas (n
) en estos casos la desviación estándar de la muestra que se
obtiene a partir de un pequeño número de datos suele ser bastante incierta, por lo tanto es
necesaria una extensión del intervalo de confianza, esto se logra asumiendo que la
distribución de los datos obedece una distribución de Student en la cual se define un nuevo
parámetro tv.
Metodología
En esta sección se muestran dos ejemplos de aplicación de la estadística de distribución tv o
de Student en un caso típico de los laboratorios de física mecánica y de física de materiales
de la Universidad Santo Tomas. Inicialmente se describe brevemente el proceso de
adquisición de datos del laboratorio en la práctica; caída libre, se muestra como se realiza el
cálculo de la incertidumbre estándar combinada del tiempo, empleando la corrección tv de
Student, dependiente del número de datos empleados. Finalmente se encuentra una
expresión matemática que relaciona la posición (altura y ) con el tiempo de desplazamiento,
empleando el método de mínimos cuadrados. Se obtiene las constantes típicas para el
problema teórico, y se comparan los resultados obtenidos con los valores que predice la
teoría bajo ciertas aproximaciones.
Tiempos promedios para una misma altura
Se mide el tiempo de caída de una esfera de acero de masa
= (13,9887 ± 0,0001) g y
diámetro D = (1,510 ± 0,005) cm, el cual se registra a través de un contador digital
PHYWE Digitalizer 4 Dek con un precisión de 0,0001 s. Se midió la altura desde la cual se
libera la esfera y se registra el tiempo de caída, dicho procedimiento se repite inicialmente
50 veces, 15 veces y 8 veces. El montaje de laboratorio implementado es mostrado en la
figura 1. Los datos obtenidos para la altura de (65,0 ± 0,1) cm, se muestran en la tabla 1.
2
Figura 1.Montaje experimental, dispositivo de caída libre.
Inicialmente se hizo el cálculo de la incertidumbre tomando 50 datos de tiempo y se aplicó
una distribución normal. Los datos obtenidos son mostrados en la tabla 1.
Tabla 1: 50 Tiempos de caída en segundos de una esfera desde una altura de 65 cm
0,3651 0,366 0,3661 0,3663 0,3668 0,3674 0,3676
0,3656 0,366 0,3661 0,3664 0,3672 0,3675 0,3676
0,3657 0,366 0,3661 0,3665 0,3673 0,3675 0,3677
0,3657 0,366 0,3662 0,3666 0,3673 0,3675 0,3678
0,3657 0,366 0,3662 0,3667 0,3674 0,3675 0,3678
0,3658 0,366 0,3663 0,3667 0,3674 0,3676
0,368
0,3658 0,366 0,3663 0,3668 0,3674 0,3676
0,368
Bajo las mismas condiciones experimentales se midió el tiempo de caída de la esfera desde
una altura de (65,0 ± 0,1) cm 15 veces, obteniendo los datos registrados en la tabla 2.
Tabla 2: 15 Tiempos de caída en segundos de una esfera desde una altura de 65 cm
0,3656 0,3657 0,3657 0,3660 0,3658
0,3658 0,3664 0,3670 0,3675 0,3661
0,3676 0,3665 0,3668 0,3667 0,3675
3
Para el caso en el cual el número de datos es menor a 15, se escogieron 8 datos al azar entre
las mediciones hechas registradas en la tabla 1. Los datos seleccionados aparecen en la
tabla 3.
Tabla 3: Ocho Tiempo de caída en segundos de una esfera desde una altura de 65 cm
0,3658
0,3658
0,3664
0,3667
0,3675
0,3661
0,3676
0,3658
Tiempos promedios para diferentes alturas
Se mide 15 veces el tiempo de caída de la esfera para 11 diferentes alturas, una vez
obtenido el valor de los tiempos de caída se procede a hacer su respectivo análisis
estadístico, se calcula el promedio de los registros de tiempo, sus respectivas
incertidumbres combinadas y expandidas con un nivel de confianza del 95%. Los
resultados de los tiempos promedio obtenidos para cada altura son mostrados en la tabla 4.
Tabla 4: Tiempos promedio de 15 mediciones para diferentes alturas
Altura
(cm)
Tiempo
(s)
65
62
57
52
49
44
40
34
30
25
21
0,3664
0,3555
0,3425
0,3292
0,3157
0,2986
0,2833
0,2658
0,2488
0,2266
0,2090
De forma similar que en caso anterior se mide 8 veces el tiempo para cada una de las once
alturas, obteniendo los resultados de la tabla 5.
Tabla 5: Tiempos promedio de 8 mediciones para diferentes alturas
Altura
(cm)
65
62
57
52
49
44
40
34
30
25
21
0,3665
0,3559
0,3426
0,3291
0,3163
0,2986
0,2834
0,2657
0,2487
0,2261
0,2091
Tiempo
(s)
4
Análisis de resultados
Para determinar la incertidumbre de la medida del tiempo de caída libre se aplica la
distribución normal para
y la corrección de Student para
tomando
inicialmente una altura constante. Los parámetros estadísticos que se consideran en cada
una de las distribuciones se resumen en la tabla 6.
Tabla 6: Promedio y desviaciones en cada distribución
Valor medio o promedio
(1)
Desviación estándar poblacional
(2)
Desviación estándar experimental
(3)
Incertidumbre estándar combinada
(4)
Incertidumbre expandida
(5)
Desviación estándar de la muestra
(6)
Normal
Student
(7)
Desviación estándar experimental de la
media
El valor medio o promedio , la incertidumbre estándar combinada
y la incertidumbre expandida
calcula de igual forma en la distribución norma y en la distribución de Student.
se
Intervalo de confianza con
A partir de los datos suministrados en la tabla 1, el valor promedio de los 50 datos del
tiempo de caída para una altura constante de (65,0 ± 0,1) cm a partir de la ecuación 1, es
,
5
con una desviación estándar poblacional
.
y una desviación estándar experimental de la media
.
La incertidumbre estándar combinada ( ) es la incertidumbre debida al instrumento de
medición y al tratamiento estadístico de los datos la cual se puede calcular a través de la
ecuación 4,
,
donde el valor
corresponde al valor de la incertidumbre del instrumento ligada a la
precisión, en este caso dicha incertidumbre es de 0,0001 s. La incertidumbre combinada es
entonces
.
Para un nivel de confianza del 95% en una distribución normal el factor de cobertura
es
1,96 y la incertidumbre expandida
2,91
.
Como la incertidumbre sólo puede tener una cifra significativa (ya que el experimento no es
de alta precisión), la incertidumbre expandida se redondea a 3
y el resultado de la
medición de tiempo se puede expresar como:
.
Esto implica que al tomar al azar un dato de la población el dato se encuentra en el
intervalo
Con un nivel de confianza del 95% basado en una distribución normal.
6
Intervalo de confianza con
Ahora se analiza como ejemplo de cálculo de la aplicación de la distribución tv o de
Student, para el caso cuando se tiene menos de 30 datos, en este caso los 15 datos de la
tabla 2, el promedio de las mediciones del tiempo de caída para una altura constante de
(65,0 ± 0,1) cm se obtiene a partir de la ecuación 1,
El valor de la desviación estándar de la muestra se obtiene empleando la ecuación 6,
.
La incertidumbre combinada del tiempo
experimental de la media
instrumento
se calcula a partir de la desviación estándar
y de la incertidumbre debida a la precisión del
con la ecuación 4, obteniendo
.
Para un nivel de confianza de 95%, el coeficiente tv o factor de corrección se determina a
partir del nivel de confianza es
obtiene que
y el riesgo
De esta forma se
, y número de grados de libertad v =n - 1=14, con esto valores
se determina factor de corrección tv ubicándolo en la tabla de la distribución, para
obteniendo
. La incertidumbre expandida es
4,4
s ,
el intervalo de confianza empleando la distribución de Student, para la altura de 65 cm, es
.
Al tomar al azar uno de los datos
7
éste se encontrará en el intervalo
,
con un nivel de confianza del 95% basado en la corrección
de Student con 14 grados de
libertad.
Tomando ocho datos al azar (ver tabla 3) de los 15 datos registrados de en la tabla 2, para
una misma altura (65,0 ± 0,1) cm, se determina el tiempo promedio para ésta distribución
de datos
y una desviación estándar experimental de la media
. La incertidumbre combinada es
,
como en el caso anterior para un nivel de confianza de 95%, el riesgo
, con siete grados de libertad (v=7) el coeficiente es
y
por
lo tanto la incertidumbre expandida
6,49
redondeando la incertidumbre y el tiempo promedio se obtiene
.
Al seleccionar al azar uno de los datos
del espacio muestral la probabilidad de que el dato
se encuentre en el intervalo
Es de 95% obedeciendo una distribución de Student con 7 grados de libertad.
En el figura 3 se muestra la comparación entre los intervalos de confianza cuando se usan
50, 15 y 8 datos respectivamente, como era de esperarse se encuentra que a mayor cantidad
de datos el intervalo de confianza es mas pequeño. Lo cual indica que en dicho intervalo es
más probable encontrar el valor “verdadero” de la medición, igual es importante notar que
el intervalo de confianza para el caso cuando se usan 8 datos contiene el intervalo de
confianza para el caso cuando se emplean los 15 y 50 datos.
8
Figura 3. Barras de incertidumbre para el tiempo de caída de una esfera desde una altura
(65,0 ± 0,1) cm, para (a) 50 datos (b) 15 datos y (c) 8 datos.
También se encontró que al aplicar la distribución normal la incertidumbre es menor que en
el caso en el que se aplica la distribución tv, sin embargo en las prácticas del laboratorio el
tiempo no es suficiente para la toma de más de 30 o más mediciones, por lo cual se
considera apropiado usar la distribución tv.
Tiempos promedios para diferentes alturas
A través de un procedimiento similar se determinan los tiempos promedios las
incertidumbres combinadas y las incertidumbres expandidas para once diferentes alturas,
donde para cada altura se mide 15 y 8 veces el tiempo de caída, el registro de los resultados
obtenidos son mostrados en la tabla 8.
Tabla 8: Altura, tiempos promedios ( ) de caída de la esfera y la incertidumbre expandida
( ) con un nivel de confianza de 95% para 15 y 8 datos respectivamente.
Altura
9
(s)
(s)
(cm)
(15 datos)
(8 datos)
(15 datos)
(8 datos)
65,0
0,3664
0,3665
4
6
62,0
0,3555
0,3559
8
16
57,0
0,3425
0,3426
4
7
52,0
0,3292
0,3291
6
9
49,0
0,3157
0,3163
8
9
44,0
0,2986
0,2986
3
4
40,0
0,2833
0,2834
4
6
34.0
0,2658
0,2657
4
5
30,0
0,2488
0,2487
4
7
25,0
0,2266
0,2261
9
15
21,0
0,2090
0,2091
9
19
Como es de esperarse en el caso de 8 datos la incertidumbre expandida es mayor que la
incertidumbre con 15 datos para todos los valores de altura. Finalmente se procede a
realizar el análisis y el ajuste de los datos a través de método de mínimos cuadrados. En
este caso se asume una función potencial de la forma
También se calcularan las incertidumbres
ajuste
y
de cada uno de laos parámetros de
y . Para los 15 datos de tiempo la grafica se muestra en la figura 4 y para, 8 datos
de tiempo la grafica se muestra en la figura 5. Con la ayuda del programa Origin 8,0 se
grafican los datos y la curva de ajuste.
Figura 4. Grafica de Altura en función
Figura 5. Grafica de Altura en función
del tiempo de caída para 15 datos.
del tiempo de caída para 8 datos.
10
Al realizar el ajuste por mínimos cuadrados de los datos 15 obtenidos se obtienen las
siguientes relaciones
,
con un coeficiente de correlación de 0,9987 indicando así una correlación fuerte y directa.
Para el caso de 8 datos los resultados obtenidos en el ajuste por mínimos cuadrados es
con un coeficiente de correlación de 0,9988 indicando nuevamente una correlación fuerte y
directa. El resultado muestra que la el tipo de movimiento corresponde a un movimiento
uniformemente acelerado, si se comparan dichas ecuaciones con la ecuación de caída libre
de un cuerpo que se libera del reposo
,
se observa que el exponente
es aproximadamente 2, luego la aceleración de la gravedad
puede ser determinada con la igualdad
, obteniendo entonces que las respectivas
medidas de la gravedad
,
,
Para calcular la incertidumbre, se hace uso de la propagación de incertidumbres de
magnitudes no correlacionadas, en este caso la gravedad
sólo del parámetro
es decir
es una función que depende
y la incertidumbre asociada a la gravedad es
=2
La incertidumbre de la gravedad como una medida indirecta para los 15 y 8 datos del
tiempo son
11
De esta forma los resultados obtenidos como medida indirecta de la aceleración de la
gravedad para 15 y 8 tiempos promedio es
,
,
Si se asume la gravedad local en Bogotá como
(suministrada por Wolfram-
Alpha3) como el valor de referencia, el error relativo de las aceleraciones encontradas
estaría en -0,84% para 15 datos, y -1,45% para 8 datos, el signo de los errores relativos
indica el valor medido en el laboratorio es menor que el valor de referencia, porcentajes de
error tan bajos implican que la medida es muy precisa y confiable.
Conclusiones
La incertidumbre debida a la aleatoriedad de una magnitud reproducible presenta una
menor dispersión al aumentar el número de mediciones bajo las mismas condiciones, en
este caso la menor incertidumbre fue obtenida al usar la desviación estándar de 50 datos,
asumiendo una distribución normal, sin embargo es poco adecuada para el calculo de la
incertidumbre cuando se tienen menos de 30 datos, que es el caso mas común en el interior
del laboratorio de física. En dichos casos se aplica la estadística usando la distribución tv de
Student, en el ejemplo desarrollado se puede ver que a mayor cantidad de datos se reduce el
intervalo de confianza, obteniéndose una menor incertidumbre estándar y una mejor
aproximación al valor “verdadero”, se concluye que la distribución tv es apropiada para
determinar el valor de la incertidumbre estadística.
La distribución de Student es fundamental en el tratamiento de datos experimentales cuando
se considera un espacio muestral (con
3
) y no espacio poblacional (con
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=d34e8683df527e3555153d979bcda9cf
12
), ya
que es incorrecto hacer un tratamiento estadístico en una distribución normal con pocos
datos debido a la diferencia entre los coeficientes
y tv.
Para el caso del cálculo de la incertidumbre cuando se emplean 15 datos de tiempo se
encuentra una incertidumbre promedio de
datos de tiempo una incertidumbre promedio de
, mientras que para el caso de 8
. Para todos los valores de
altura la incertidumbre del tiempo es menor para 15 datos que para 8. Se determinaron los
valores de la aceleración de la gravedad con los datos obtenidos aplicando el método de
mínimos cuadrados como resultado final
,
,
los cuales tiene un valor -0,84% y -1,45% para 15 y 8 datos respectivamente. El porcentaje
de error menor a 5% indica que el resultado de la medición es preciso. Es importante
recordar que en todo el tratamiento de datos se asumió que no existe fricción del aire que
afecte los datos, esta es una fuente probable de error en la medida. En un tiempo de 0,35 s
la velocidad que alcanza una esfera en caída libre es de
, la fuerza de viscosidad
de la ley de Stokes es pequeña comparada con la acción del peso. En el rango de caída de
60 cm el peso es 20 veces mayor que la fuerza de fricción del aire, con lo cual es posible
despreciarla.
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