Document

UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES. AÑO 2007
TALLERES
12 HORAS DE DURACION TOTAL
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO,
D. ZILL,
SIMMONS,
Boyce DiPrima
CONTEXTUALIZACION GENERAL DE LA GUIA DE TRABAJO DE
CLASE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES.
OBJETIVOS
Ilustrar los estudiantes en los diferentes principios y métodos de
resolución de las ecuaciones.
Adquirir los conocimientos teóricos necesarios y las fórmulas requeridas
para identificar detalladamente cada uno de los principios y métodos de
las ecuaciones.
Renovar las series de ejercicios, agregando nuevas clases de problemas,
algunos requieren resolverlos usando sistemas algebraicos de cómputo.
CONCEPTUALIZACION
ECUACIONES DIFERENCIALES
Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable
independiente x , la función incógnita y = y (x) y sus derivadas y ′ , y ′′ , ...... y n ,
es decir una ecuación de la forma:
F x, y, y ′ , y ′′ ,......., y n ) = 0
En otras palabras se llama ecuación diferencial, una ecuación en la que figura
la derivada o diferencial de la función incógnita.
(
ORDEN DE UNA ECUACION
Se llama orden de una ecuación derivada al “orden” de la mayor derivada que
aparece en la ecuación.
Ejemplos:
y ′′ + 4 y ′ − y = 0
y7 − 4y5 − 2y2 = y + x
Segundo orden
Séptimo orden
GRADO DE UNA ECUACION
Se llama grado de una ecuación diferencial al mayor exponente al que esta
elevado el mayor orden de la ecuación siendo este exponente un número
natural (N). Si este número no es natural se dice que la ecuación diferencial no
tiene grado.
Ejemplos:
4 xy 2 + 3 xyy ′ + 5 xy ′′ = 0
5 y ′′′ 2 + 4 y ′′ − 4 y ′ = 0
Primer grado
Segundo grado
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial ordinaria de orden “n” es lineal si es de la forma:
a1 ( x ) y n + a 2 ( x ) y n − 1 + ........a n ( x ) y = 0
NOTA: en una ecuación lineal NO pueden aparecer productos de Y con
Y ′ , Y ′′ ,..... Y n , ni funciones trascendentes de Y.
Ejemplos:
3 xy + y ′′ + 5 y ′ = 0
Es lineal
4 x Sen 3 x − 5 y ′′ + y ′′′ = x + c
Es lineal
16 xy ′ − 4 Sen y + 5 y ′′ = 0
No es lineal, hay una función de Y.
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
La solución de una ecuación diferencial es una función de la forma y = y ( x ) y
que al reemplazarla en la ecuación diferencial nos resulta una Identidad.
y = Sen x es solución de y ′′ + y = 0
y ′ = Cos x
y ′′ = − Sen x
Reemplazando tenemos:
− Sen x + Sen x = 0
0= 0
Ejemplo:
SOLUCION GENERAL
Es el conjunto de todas las soluciones que verifican la identidad y = y ( x, c ) .
Ejemplo: Comprobar que la solución general de
y ′ − y = 0 Es
y = ce x
y ′ = ce x
Reemplazando tenemos:
ce x − ce x = 0
0= 0
C es la clave en la solución general y C sale de las integrales y es una
constante.
SOLUCION PARTICULAR
Una solución particular de la ecuación diferencial es una de las generales y se
halla aplicando las condiciones iniciales del problema.
Ejemplo: Hallar la curva donde la pendiente de la tangente es igual a la
ordenada aumentada en 4 y que pasa por el punto (1,2).
dy
= y + 4;
y (1) = 2
Solución:
dη
dy
= dx
Ln y + 4 = x + c
y+ 4
y + 4 = ce x
y = ce x − 4 Solución general
Reemplazando la condición inicial (1,2) ósea que cuando X=1 ; Y=2 entonces
tenemos:
6
2 = ce x − 4
c=
6e − 1 ≈ 2,1
e
Ahora reemplazo este valor en la solución general:
y = 2,1 e x − 4 Esta es la curva de la ordenada.
ECUACION DE RICCATI
Es una ecuación diferencial desarrollada en el siglo XVIII por el matemático
italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
dy
+ p( x ) y + q ( x ) y 2 = f ( x ) esta
Esta ecuación corresponde a la forma:
dx
ecuación se resuelve si previamente se conoce la solución particular, digamos
y1 ( x ).
Ejemplo: resolver la ecuación de Riccati con la solución particular anterior.
Conocida dicha solución hacemos el cambio y tenemos:
y ( x ) = z ( x ) + y1 ( x )
Reemplazando obtenemos:
dy
dz ( x ) dy1
= − p( x ) y − q ( x ) y 2 + f ( x ) =
+
dx
dx
dx
Es decir
− p ( x ) y − q( x ) y 2 + f ( x ) =
(
dz
2
− p( x ) y1 ( x ) − q( x ) y1 ( x ) + f ( x )
dx
dz
= p( x ) ( y1 − y ) + q ( x ) y12 − y 2
dx
Lo que equivale a:
dz
= − p ( x ) z − q ( x ) ( z 2 + 2zy1 )
dx
)
dz
= − ( p ( x ) + q ( x ) y1 ( x ) ) z − q ( x ) z 2
dx
Que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.
1
Obsérvese que si se hace el cambio y ( x ) = y1 ( x ) +
esto nos lleva
z( x)
directamente a una ecuación.
LEY DE CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO.
dx
= kx, x( t 0 ) = x 0 en donde k es una constante de
El problema de valor inicial
dt
proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que
intervienen crecimiento o decaimiento o desintegración. En biología se ha
observado que en cortos periodos la rapidez de crecimiento de algunas
poblaciones (como la de las bacterias o de animales pequeños) es proporcional
a la población presente en el tiempo t . Si conocemos una población en cierto
tiempo inicial arbitrario t 0 , la solución de 1 nos sirve para predecir la población
en el futuro; esto es, para t ≥ t 0 .
Ejemplo: Si inicialmente tengo una población de 1000 bacterias y después de
5 segundos tengo 10.000. Cuanto tiempo necesito para que la población sea
de 1.000.000 de bacterias.
kt
e
A = 1000 e
A = A0
kt
Como A( 5) = 10.000
Entonces
k5
10.000 = 1000 e
10 =
k5
e
ln 10 = k .5
ln 10
k=
= 0.46
5
por lo tan to
0.46 t
A = 1000 e
1.10 6 = 1.10 3
10 3 =
0.46 t
e
0.46 t
e
ln 10 3 = 0.46t
ln 1000
t=
= 15.01 seg .
0.46
CIRCUITOS ELECTRICOS SIMPLES
Un circuito eléctrico simple es aquel que está compuesto por un resistor, un
inductor o un condensador en serie con una fuente de fuerza electromotriz.
CIRCUITOS R-C
CIRCUITOS R-L
Representados por la ecuación
Diferencial lineal:
Por la ley de Kirchoff un
circuito R-L es:
R
dq q
+
= E
dt
c
L
dI
+ RI = E
dt
Ejemplo: Una inductancia de 4 Hercios y una resistencia de 5 Ohmios se
conectan en serie con una fem (fuerza electromotriz). Cuando el tiempo es
cero. ¿Cuál es la corriente después de 1 segundo?
Circuito R-L
R = 5Ω
L = 4H
E = 100vol
I ( 0) = 0
I (1) = ?
El + Er = E
dI
L + RI = E
dt
dI
4 + 5I = 100
dt
Nota: Siempre en los C.E, R,C, L y E son constantes.
dI 5
+ I = 25
dt 4
I = u.v
5
u ′ v + uv ′ + uv = 25
4
5 

u ′ v + u  v ′ + v  = 25
4 

dv 5
+ v= 0
dt 4
du
5
= − dt
v
4
5
ln v = − t
4
v = e−
du
.e −
dt
5
4
5
4
= 25
5t
du = 25e 4 dt
5t
u = 20e 4 + k
I = uv
5t



I =  20e 4 + k  e −


5t
4
5t
4
I ( t ) = 20 + ke
Hallamos la cons tan te de int egración k utilizando las condiciones iniciales.
0 = 20 + k .1
K = − 20
I ( t ) = 20 − 20e −
5t
4
5t


I ( t ) = 20 1 − e − 4 


5


I (1) = 20 1 − e − 4 1


I (1) = 14.26 Amperios.
Nota: Siempre en los C.E, R,C, L y E son constantes.
MEZCLAS
Al mezclar dos fluidos a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras supusimos que
la razón con que cambia la cantidad de sal, A′ ( t ) , en el tanque de mezcla tiene
una rapidez neta:
dA
=
dt
 rapidez con que 

 −
 entra la sal

 rapidez con que 

 = Ri − R0
 sale la sal

Ejemplo: Un tanque grande inicialmente tiene 300gl de solución de salmuera y
se le bombea salmuera a razón de 3gl por minuto, y se mezcla con la solución
original. Y sale del tanque a 3gl por minuto. La concentración es de 2lb/galón.
300 gl solución salmuera
3 gl
2lb
= V 1, C1 =
min
gl
R1 = V 1.C1
gl lb
lb
R1 =
. =
min gl min
6lb
R1 =
min
3 gl
A
R2 =
.
=
min 300 + 0
dA
A
= 6−
dt
100
dA
A
+
= 6
dt 100
A = uv
uv
= 6
100
v 

u ′v + u  v ′ +
 = 6
100 

dv
v
+
= 0
dt
100
dv
dt
= −
v
100
u ′v + uv ′ +
ln v = −
t
100
−t
v = e 100
u= ?
du − t 100
.e
= 6
dt
du = 6e
t
100
u = 600e
t
dt
100
+ c
Se sabe que inicialmente hay 50 lb de NaCl (sal). Entonces aplicando estas
condiciones iniciales hallamos C.
50= 600+C
C=-550
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Sea y = δ x′ ( x, a ) una familia monoparamétrica de curvas, para poder hallar sus
trayectorias ortogonales.
1. Componemos la ecuación diferencial de esta familia derivando.
y ′ = δ x′ ( x, a )
A continuación eliminamos el parámetro entre las dos anteriores ecuaciones:
(quitamos a).
Luego escribimos esta familia en forma implicita
f ( x, y , y ′ ) = 0
Para hallar la ortogonal sustituimos
1
y′ =
y′

1
f  x, y,−  = 0
y′ 

Y obtuvimos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales.
Y por último integramos la ecuación. Esto en coordenadas rectangulares.
En coordenadas polares la familia de curvas φ ( ρ , y, a ) = 0 obtenemos las
ρ2
trayectorias ortogonales sustituyendo ρ ′ por −
y obtenemos la familia
ρ′

p2 
 = 0.
ϕ  ρ , y ,−
p ′ 

Ejemplo: Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas.
y = kx 2 o y = ax 2
y ′ = 2ax
Eliminamos el parámetro a.
2 y = 2ax 2
.xy ′ = 2ax 2
y
y ′ = 2 E.D de la familia de las curvas.
x
1
Sustituimos y ′ = −
y
1 2y
−
=
y′
x
− x
y′ =
2y
− xdx
ydy =
2
2
y
x2
= −
+ c
2
4
y2 x2
+
= 1 Parábolas
2 4c
ECUACION DE LAGRANG
y + xϕ ( y) + ψ ( y′ ) = 0
Se reduce a una ecuación lineal con x como función y p como variable.
Además, para los λ tales que λ + ϕ ( λ ) = 0 se obtienen como soluciones las
rectas y = λ x − ψ ( λ ) .
Ejemplo: Observemos la siguiente ecuación:
y = xρ ( y ′ ) + ϕ ( y ′ )
y′ = ρ
dy = ρ dx
y = xρ ( ρ ) + ϕ ( ρ )
dy = ρ ( ρ ) dx + xy ′ ( ρ ) dρ + ϕ ′ ( ρ ) dρ
Solución paramétrica.
Ejemplo : y = 2 xy ′ + ln y ′
y = 2 xρ + ln ρ
dρ
dy = 2 xdρ + 2 ρ dx +
ρ

1
ρ dx =  2 x +  dρ + 2 ρ dx
ρ 


1
− ρ dx =  2 x +  dρ
ρ 

dx
1
− ρ
= 2x +
dρ
ρ
dx
2x 1
= −
− 2
dp
ρ
ρ
dx 2 x
1
+
= − 2
dp ρ
ρ
dx
Líneal
dρ
x = uv x ′ = u ′ v + uv ′
2uv − 1
u ′ v + uv ′ +
= 2
ρ
ρ

2v  − 1
u ′ v + u  v ′ +
 =
ρ  ρ 2

dv
2v
= −
dρ
ρ
du
2dρ
= −
dv
ρ
ln v = − 2 ln ρ
−1
v= 2
ρ
dv 1
−1
. 2 = 2
dρ ρ
ρ
du
= − dρ
u
u= −ρ + c
1
x = ( − ρ + c ). 2
ρ
1
c
x= − + 2
ρ ρ
−1 c 
y = 2
+ 2  ρ + ln ρ
ρ 
 ρ
ECUACION DE CLAIRAUT
y − x y′ + ψ ( y′ ) = 0
Es un caso particular de ecuación de Lagrange en el que solo aparecen rectas
(y su envolvente).
Observemos:
y = xy ′ + f ( y ′ )
(A)
Donde f ( x ) es una función derivable, tiene como solución general y = cx + f ( c )
y como solución singular
 x = − f ′ (t)

 y = − t f ′ (t) + f (t)
Demostración
Para resolver la ecuación (A) hacemos la sustitución u = y ′ para obtener
y = xu + f ( u )
Derivando ambos lados respecto a
y ′ = xu ′ + u + f ′ ( u ) u ′
(B)
De donde obtenemos que
u′ ( x + f ′ ( u ) ) = 0
Surgen dos casos:
Caso 1:
Si u ′ = 0 , entonces u = c y sustituyendo en la ecuación (B) obtenemos la
solución general y = cx + f ( c )
Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la
ecuación (A) y ′ por .
Caso 2:
Si x + f ′ ( u ) = 0 , entonces x = − f ′ ( u ) y sustituyendo en la ecuación (A)
y = − u f ′ ( u ) + f ( u ) , es decir
 x = − f ′ (u)

 y = − t f ′ (u) + f (u)
Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro.
Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por
lo que se trata de una solución singular.
Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial
y = xy ′ + 2 1 + t 2
Solución: La solución general es la familia de rectas y = cx ± 2 1 + t 2 y como
f ( t ) = 2 1 + t 2 la solución singular está dada por

 x =


 y =


− 2t
1+ t 2
2
1+ t 2
Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de un círculo de radio 2,
Se muestra la familia de rectas tangentes y = cx + 2 1 + c 2 y la envolvente
x2 + y2 = 4 .
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea f una función definida para t ≥ 0 . Entonces la integral
∞
− st
L [ f ( t ) ] = ∫ 0 e f ( t ) dt
Se llama transformada de laplace de f , siempre y cuando la integral converja.
Ejemplo: Evaluar L [ t ]
∞
− st
Solución: De acuerdo con la definición L { t} = ∫ 0 e t dt . Al integrar por partes
− st
 te = 0, s ≥ 0 como resultado llegamos a:
con lím
t→ ∞
L [t ] =
− te − st
s
∞
0
+
1
s∫
∞
0
e − st dt =
1
1  1
1
L {1} =   = 2
s
s  s s
UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TALLER 1. Definiciones Básicas
2 HORAS
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.
TALLER No. 1
1). Indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a). y ′′′ − 4 xy ′ + x 3 e y − 4 = 0
b). Ln x − 3 xy ′′ − 4 xy = Sen x
(
c). x − y ′ ) 1 / 3 − 4 xy = 8Sen x
d). 3 xy ′′ − 3 y ′ + 4 y − 4 = 0
2). Indicar cuales de las ecuaciones diferenciales del ejercicio anterior son
lineales.
3). Demostrar que cada una de las funciones dadas es solución de la
correspondiente ecuación diferencial para un cierto intervalo (a,b) del eje OX.
a). V ( t ) = Sen t + Cos t para la ecuación V ′Cos t + VSen t = 0
b). f ( x ) = e x ( 2 x + 1)
para la ecuación
y ′′ = 2 y ′ − y
4). Verificar si las familias de funciones indicadas satisfacen las ecuaciones
diferenciales correspondientes:
a).
(
)
y2
= Ln 1 + e x + c para la ecuación
2
b). y ( t ) = e − t para la ecuación
(1 + xy ) y ′ +
(1 + e ) y y ′ =
x
y2 = 0
ex
c). Y = c1 x +
c2
+ c3
x
para la ecuación
y ′′′ +
3 y′
= 0
x
5). Determinar el valor de m para que y = x m sea la solución de las
ecuaciones:
a). x 2 y ′′ − y = 0
b). x 2 y ′′ + 6 xy ′ + 4 y = 0
6). Verificar que la siguiente función definida a trozos es solución de la
2
ecuación diferencial ( y ′ ) = 9 xy
O
x≤ 0 
y( x ) =  3

x≥ 0 
x
7). Hallar la solución de la ecuación x 2 y ′ Cos y + 1 = 0 que cumple que
x→ ∞ .
y → 16π
3 cuando
(
)
8). Calcular la ecuación diferencial asociada a las siguientes familias:
a). Las hipérbolas x 2 − y 2 = Ax
b). Las curvas
y = e x ( Ax + B )
c). Las rectas 2 y + 3x − c = 0
9). Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyo centro
está situado en el eje OX y son tangentes al eje OY en el origen de
coordenadas.
10). La rapidez de propagación de un virus es proporcional al número de
personas que se han contagiado x( t ) y al número de ellas que no se han
expuesto a él. Siendo n el número de personas de la población, establecer el
modelo de propagación del virus en función del número de personas
contagiadas.
11). Se colocan x0 bacterias en una solución en un instante t 0 . Llamamos x( t )
al número de bacterias en cada instante. Si el alimento y el espacio son
limitados, lo cual implica que la población crece a un ritmo proporcional a la
población existente en cada momento, modelizar el crecimiento de la población
de bacterias en función del número de bacterias en cada instante.
UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TALLER 2.
1 HORAS
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.
TALLER No 2
Realizar los siguientes ejercicios de ecuaciones diferenciales:
(
(
)
a). Sen xy + xy Cos xy ) dx + x 2 Cos xy dy = 0
(
)
(
)
b). x 2 x 2 + y 2 + 4 x 2 + 2 y 2 y ′ = 0
(
)
(
)
c). 3 x 2 + 6 xy 2 dx + 6 x 2 y + 4 y 3 dy = 0

d). 


x
x2 + y2
+

1 1
+  dx + 

x y

y
x2 + y2
+
1
x
− 2
y y

 dx = 0

UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TALLER 3.
3 HORAS
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.
TALLER No 3
1). Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a).
dy
= Cos 8 x
dx
b).
dy
= ex
dx
c).
dy 1
=
dx x
d).
dy
1
= − 2 + e x Sen 3 x
dx
x
e).
dy
= Ln x
dx
f).
dy
1
= 2
+ Cos x
dx x + 9
g).
dy
= e2x − x
dx
2). Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a). 2 y dx + 3 x dy = 0
(
)
x
b). 5 + e y
c).
dy
= ex
dx
dy
= y2
dx
d). y
dy
− 2x = 0
dx
e). x ( x − 1) dy − y ( y − 1) dx = 0
)
dy

2
= 0
f).  1 + y + xy
dx

x
3). Dada la ecuación diferencial e
3
− y2
+
y dy
= 0 se pide:
x 2 dx
a). La solución general
b). La solución particular que pasa por P (1,1).
4). La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la
0
diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la del aire T0 = 20 C . Si el cuerpo
tarda en enfriarse 20 minutos desde 100 0 C a 60 0 C . ¿Cuánto tardará en
enfriarse hasta 30 0 C ?
5). Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(
)
a). 3e x tan y dx + 2 − e x Sec 2 y dy = 0
(
)
b). ( x − 2 ) y 2 dx − x y 2 − 1 dy = 0
(
)
c). x Sen y dx + x 2 + 1 Cos y dy = 0
6). Encontrar la solución general o particular según cada caso, de las
siguientes ecuaciones diferenciales:
dy 3 x 2 + 4 x + 2
=
a).
dx
2( y − 1)
b).
c).
dy y Cos x
=
dx 1 + 2 y 2
dx
1− x2
+
y ( 0) = 1
dy
1− y2
= 0
2
d). x 1 + y + y
7). Sea
dy
1+ x2 = 0
dx
dy
= x y sea y = g ( x ) la solución particular que verifica que g ( − 1) = 7 2
dx
se pide:
a).
∫ g ( x ) dx
2
−2
8). Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a).
dy
xy
= 2
dx x − 2 xy
(
)
b). x 2 − 3 y 2 dx + 2 xy dy = 0
c). ( 2 x − y + 3) dx + ( x + y − 1) dy = 0
d). ( x + y − 1) dx + ( 2 x + 2 y − 1) dy = 0
e). ( x + y − 2 ) dx + ( x − y + 4) dy = 0
f).
dy y x
= −
dx x y
9). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(
)
(
)
a). 3 x 2 + 4 xy dx + 2 x 2 + 2 y dy = 0
(
)
b). ( x + y + 1) e x dx + e x + e y dy = 0
(
)
2
2
c). 2 x ye x − 1 dx + e x dy = 0
10). Resolver las siguientes las siguientes ecuaciones diferenciales:
(
)
a). x 2 + y 2 dx − 2 xy dy = 0
(
)
b). 2 xy Ln y dx + x 2 + y 2 y 2 + 1 dy
11). Resolver la ecuación
12). Integrar:
a). y ′ + 2 xy = 4 x
x 4 Ln x − 2 xy 3 + 3 x 2 y 2 y ′ = 0
b). y ′ =
y x3 + x
+
x
x
13). Resolver:
a).
dy
+ y = Cos x
dx
b).
dy
+ y = y 2 ( Cos x − Sen x )
dx
14). Resolver las siguientes ecuaciones de Bernouilli:
a).
dy
+ y = xy 5
dx
dy
− y = xy 5
dx
dy y
+
= y Ln x
c).
dx 2 x
b).
15). Hallar las trayectorias ortogonales a:
xy = c
a). La familia de hipérbolas
b). La familia de curvas
c). La familia
y = xc
r 2 = a Cos 2α
∴ x≥ 0
∴
r (α
c≥ 0
)
16). a).Determinar el valor de a para que las familias de curvas
y 3 = c1 x y x 2 + ay 2 = c 2
sean ortogonales.
b). Determinar n
para que las siguientes familias de curvas sean
x
n
n
y=
ortogonales: x + y = k ;
1 + cx
17). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 2 o orden:
a).
d2y
= xe x
2
dx
b).
d2y
= Sen x
dx 2
d2y
1
= 3
c).
2
dx
y
d2y
d).
=
dx 2
(
e). 1 + x 2
f).
 dy 
1−  
 dx 
)d
2
dx
y
2
d2y
+ y= 0
dx 2
+ x
2
dy
= x
dx
UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TALLER 4.
1 HORA.
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.
TALLER No 4
1). Desarrollar los siguientes problemas usando la ecuación de Riccati;
considere la ecuación diferencial y ′ + 2(1 − x ) y − y 2 = x( x − 2 ) .
a). Encontrar la solución particular de la forma y = Ax + B
b). Encontrar la solución general.
c). Encontrar la solución particular que pasa por el punto (2,2) y el intervalo
máximo donde está definida.
2). Un objeto de un kilo de masa es lanzado verticalmente hacia arriba desde la
superficie de la luna con velocidad inicial v 0 = 5 kilomillas/hora. Se supone que
la única fuerza que domina es la fuerza gravitacional y que ésta es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la luna.
Considerando a = 1,08 kilomillas como radio de luna y g 0 = 13 kilomillas/ hora 2
como la gravedad sobre la superficie de la luna, encuentre:
a). Velocidad del objeto en función de su distancia al centro de la luna
b). Altura máxima que alcanza el objeto.
UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TALLER 5.
3 HORAS
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.
Taller No. 5
1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez
proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento ( t ) . Si
la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y
cuadruplicará?
2. Si inicialmente tengo una población de 1000 bacterias y después de 5
segundos tengo 10.000 . ¿Cuánto tiempo necesito para que la población sea de
1.000.000 bacterias?
3. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias
presentes en el momento ( t ) es proporcional a la cantidad en dicho instante.
Calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial.
4. Un cultivo tiene una cantidad inicial Po de bacterias. Cuando t = 1 h la
3
cantidad medida de bacterias es   Po . Si la rapidez de crecimiento es
2
proporcional a la cantidad de bacterias presentes P( t ) en el momento ( t ) ,
calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos.
5. Un reactor de producción convierte el uranio 238 en plutonio 239. Al cabo de
15 años se tiene que se ha desintegrado al 0.043% de la cantidad inicial
plutonial, es decir que de Ao . En donde Ao son condiciones iniciales de
plutonio.
6. Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte
de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil.
7. Cuando el interés se capitaliza continuamente, en cualquier momento la
cantidad de dinero aumenta a razón proporcional a la cantidad presente
ds
S : = rs , donde r es la tasa de interés anual.
st
a). Calcule la cantidad reunida al término de cinco años, cuando se depositan $
3
5000 en una cuenta de ahorro que rinde 5 de interés anual compuesto
4
continuamente.
b). ¿En cuantos años se habrá duplicado el capital inicial?
c). Con una calculadora compare la cantidad obtenida en el punto a con el
5( 4 )
1


valor de S =  1 + ( 0,0575) 
, este valor representa la cantidad reunida
4


cuando el interés se capitaliza cada trimestre.
8. En cualquier tiempo ( t ) la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón
proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se
observa que hay 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especimenes.
¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?
9. En un trozo de madera o de carbón se encontró que el 85,5% de C-14 se
había desintegrado. ¿Qué edad tenía aproximadamente la madera?
10. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es
1
70 0 F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10 0 F . Después de
2
0
minuto el termómetro indica 50 F . ¿Cuál es la temperatura cuando t = 1
minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15 0 F ?
11. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la
temperatura del aire es 5 0 F . Después de un minuto, el termómetro indica
55 0 F ; cinco minutos después marca 30 0 F . ¿Cuál era la temperatura del
interior?
12. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20 0 C , se
deja caer en un recipiente con agua hirviente. ¿Cuánto tiempo tardará en
alcanzar 90 0 C si se sabe que su temperatura aumentó 2 0 C en un segundo?
¿Cuánto tiempo tardará en llegar a 98 0 C ?
13. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300 0 F . Después de tres
minutos, de 200 0 F . ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura
ambiente de 70 0 F ?
14. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 gramos de
L
sal y le entran 4
de solución con 1 gramo de sal por litro; bien mezclado,
min
de él sale líquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad A( t ) de gramos de
sal que hay en el tanque en cualquier instante ( t ) .
15. Resolver el problema anterior suponiendo que entra agua pura.
16. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb
1
gal
de sal disuelta. Le entra salmuera con lb de sal por galón a razón de 6
.
2
min
gal
El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a razón de 4
de
min
solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30
minutos.
17. A un circuito en serie, en la cual la inductancia es de 0.1 henerios y la
resistencia es de 50 ohmios, se le aplica una fuerza electromotriz de 30 voltios.
Encuentre la corriente para valores grandes del tiempo.
18. Una inductancia de 4 henerios y una resistencia de 5 Ohmios. Se conecta
en serie con una f.e.m. de 100 voltios. Si la corriente es cero cuando el tiempo
es cero.
a). ¿Cuál es la corriente después de 1 segundo?
b). Después de 10 segundos.
19. Una ecuación diferencial describe la velocidad (v) de una masa (m) en
caída sujeta a la resistencia del aire; es proporcional a la velocidad instantánea
dv
= mg − kv . En que k ≥ 0 es una constante de proporcionalidad
esto es: m =
dt
positiva. La dirección positiva es hacia abajo.
a). Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v( 0 ) = v o .
b). Use la solución del punto a para determinar la velocidad limitante, o terminal
ds
= v.
de la masa
dt
20. La rapidez con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se
dx
= r − kx , donde r y k son constantes
describe con la ecuación diferencial
dt
positivas. La función x( t ) describe la concentración del fármaco en la sangre en
el momento ( t ) . ¿En qué momento la concentración es la mitad de su valor
limite?
21. Un tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10
1
libras de sal disuelta. Le entra salmuera con
libra de sal por galón a razón de
2
gal
6
. El contenido del tanque esta bien mezclado y de el sale a razón de
min
gal
4
de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a
min
los 30 minutos.
22. Aplicar la ecuación logística con los siguientes datos:
N 0 = 1000
N ( 0) = 1
dN
= N (1000 − N ) k
dt
De donde:
N = número de alumnos infectados y
1000-N = número de alumnos no infectados.
UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TALLER 6.
1 HORA
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.
Taller No 6
Resuelva el ejercicio suponiendo que la fuerza electromotriz sea:
E = 100 sen 60 t
a). Resuelva los siguientes circuitos R-L sabiendo que:
R= 50 Ω
L=2Henrios
E=100voltios
I(0)=0 Amperios
b). R= 8 Ω
L=1Henrios
E=6voltios
I(0)=0 Amperios
c). R=10 Ω
L=10Henrios
E= e t vol.
I(0)=0 Amperios
Después de 10 seg.
Resuelva los siguientes circuitos R-C sabiendo que:
a). R=1 Ω
C=1f
E=12vol.
q(0)=0
b). R=200 Ω
C=5x10 − 5 f
E=1000vol.
q(0)=0
c). R=100 Ω
C=10 µ f
E=100vol.
q(0)=0
Con un tiempo de 10segundos.
UNIVERSIDAD LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
NOMBRE DE LA
ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA
SUGERIDA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TALLER 7.
1 HORA
A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.
MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.
Taller No. 7
1. Hallar la transformada de:
t
a). e 2
b).
t3 t2 t
+ + +1
8 4 2
1
c). e − t − 2
d). e 2t ( t + cos h t )
2. Hallar la transformada inversa de:
a).
3
s + 4s + 9
b).
s + 12
s + 10s + 35
c).
7s − 8
s + 9 s + 25
2
2
2
3. Resolver:
a). y ′′ − 5 y ′ + 4 y = e 2t
⇒
y ( 0) = 1
y( 0) = 0
4. Suponga que el circuito eléctrico se conecta en t = 0 a una f.e.m. E = cos t
de manera que q ( 0 ) = 0 y i ( 0 ) = 0 . Suponer que: L = 1h , R = 6Ω y
1
C = faradios .
9
Hallar la intensidad i ( t ) y la carga q ( t ) .