documento - revista de la facultad de ingenieria

22 (2008) 46-51
Ecuaciones de evolución como ecuaciones integrales
Gonzalo Astorga1 y Luciano Barbanti2
1. Departamento de Matemáticas, Universidad de Atacama. Copiapó, Chile
2. E-mail: [email protected]
3. Instituto de Matemáticas & Estadística, Universidad de Sao Paulo, Brasil
__________________________________________________________________________
Resumen
Este trabajo trata sobre las ecuaciones de evolución (E) introducidas por T. Kato y Y. Yosida en la
década del 50. Se muestra como una ecuación de evolución lineal (E) se escribe como una
ecuación del tipo Volterra-Stieltjes (K) definidas por C.S. Hönig en la década del 70.
Palabras claves: Ecuaciones
semigrupos de operadores
de
evolución,
Ecuaciones
integrales
de
Volterra-Stieltjes,
__________________________________________________________________________
Abstract
This work deals with the Evolutive Equations (E) by T. Kato and K. Yosida in the 1950’s. We show
as an Linear Evolutive Equations (E) is written as an equation Volterra-Stieltjes type (K), defines
by C. S. Hönig in the 1970’s.
Keywords: Evolution equation, Volterra-Stieltjes integral equation, Semigroup of linear operator.
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G. Astorga, L. Barbanti 22 (2008) 46-51
1. Conceptos Previos
Donde
1.1 La integral interior

SVd [ ]  sup 
xi 1 

Las demostraciones de los resultados que
se enuncian a continuación pueden ser
encontradas en las referencias [1], [2], [3] y
[4], donde son hechas de manera general.
Aquí
utilizaremos
casos
particulares
apropiados al trabajo
Sea
T  0.
X un espacio de Banach y T 
,
d
 [ (t )   (t
i 1
i
i 1
d  D[0,T ]
Definición 1.4: Sea
f :[0, T ]  X
se dice regulada si, t  [0, T )
existen los límites
(t  (0, T ])
f (t )  lim f (t   ) , f (t )  lim f (t   )
  0
  0
Se Denota por G ([0.T ], X ) al espacio de
las funciones reguladas f :[0, T ]  X con la
norma
T
 d (t )  f (t )  lim
on
 [ (t )   (t
i 1
i
i 1
)]  f (i )
c
i  (ti 1 , ti ) , si el límite existe.
Teorema
1.6:
(1.10
  SV ([0, T ], L( X , Y ))
de
[2])
Si
f  G ([0, T ], X )
y
entonces existe la integral
T
 d (t )  f (t )
0
y se tiene que
T
 d (t )  f (t )
f (0)  f (0 ) y se escribe
G ([0, T ], X )   f  G ([0, T ], X ) : f  f 

este es un subespacio vectorial cerrado de
G ([0.T ], X ) .

f (t )  f (t ) , t  (0, T ]
1.2
Representación
Lineales.
Aplicaciones
f  G ([0, T ], X )
y
  SV0 ([0, T ], L( X , Y )) , se define
T
F ( f )   d (t )  f (t )
se define por
SV [ ]  sup SVd [ ]
de
Ecuaciones Integrales.
Sean
Definición 1.3: La semivariación de una
función
 SV [ ] f 
0
Donde

d D[ 0,T ]
d
d D[ 0,T ]
0
f  G ([0.T ], X ) se

define f (t )  f (t ) si 0  t  T y
 :[0, T ]  L( X , Y )
y
interior (integral de Dushnik) por
Definición 1.2: Para

 :[0, T ]  L( X , Y )
f :[0, T ]  X entonces se define la integral
f  sup  f (t ) 
t[0,T ]
, una partición
[0, T ] , d ' se dice mas fina que d (d '  d )
de
t
si todo punto i de d es un punto de d ' .
Definición 1.5: Sean
Definición 1.1: Una función

)]xi ; xi  X 

0
Así, para cada
lineal
,
se obtiene una aplicación
F : G ([0, T ], X )  Y
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Teorema 1.7: (1.11 de [2]) La aplicación

H : SV0 ([0, T ], L( X , Y ))  L(G ([0, T ], X ), Y )
H ( )  F es una isometría,
definida por
F  SV [ ]
esto es,
Además,
Definición 1.10: Sea
y ( SV
Para
t
0
1.8:
f :[0, T ]  L( X , Y )
regulada
y
La
se
se
función
dice simplemente
denota
por
f  G ([0, T ], L( X , Y )) si para todo x  X ,
f  x  G ([0, T ], Y ) , donde
f  x(t )  f (t ) x , t  [0, T ]
Notación 1.9: Para K
denota por K
definidas por
t
y
f  G ([0, T ], X ) , se define
(kf )(t )   dsK (t , s)  f ( s ) , 0  t  T .
para x  X y 0  t  T .
Definición
) , se escribe
K  G0  SV u ([0, T ]2 , L( X , Y ))
.
 (t )  x  F [  (0,t )  x]
u
:[0, T ]2  L( X , Y ) , se
K s las aplicaciones
K t ( s )  K (t , s )  K s (t )
Definición 1.11: Un operador
P  L(G ([0, T ], X ), G ([0, T ], Y )) se dice Causal
f  G ([0, T ], X ) y c  [0, T ]
si
f
[0, c ]
 0  ( Pf ) [0,c ]  0
Teorema 1.12: (2.10 de [2] La aplicación
J : G0  SV u ([0, T ]2 , L( X , Y ))  L(G  ([0, T ], X ), G ([0, T ], Y )
definida por J ( K )  k es una isometría del
primer
espacio
de
Banach
sobre
el
subespacio de los operadores causales del
segundo espacio, esto es,
k  SV u [ K ]
Se dice que K satisface las condiciones
(G ) , si K es regulada como función de la
primera variable, esto es, s  [0, T ] , se
tiene que

K satisfaciendo (G0 )
K s  G ([0, T ], L( X , Y ))

(G ) , si K es simplemente regulada como
Además, si
x  X , 0  t  T , entonces
K (t , s ) x  k[  ( s ,t ) x](t )
t  [0, T ] , se tiene
y para
K (t , 0) x   k[  (0,t ) x](t )
función de la primera variable, esto es,
s  [0, T ] , se tiene que
K s  G ([0, T ], L( X , Y ))
u
( SV ) ,
K es uniformemente de
si
semivariación limitada como función de la
segunda variable, esto es
SV [ K ]  sup SV [ K ]  
u
t
0 t T
G0 , si satisface (G ) y K (t , s )  0 para
st .
Cuando Y  X se dice que K satisface

(GI ) , si satisface (G ) y K (t , s )  I X para
s  t.
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Teorema 1.13: (Teor. de Bray, II.1.1 de
[1])
  SV ([0, T ], L( X , Y )) y
Sea
K  G  SV u ([0, T ]2 , L(W , X )) ,
g  G ([0, T ],W ) ,
definiendo
T
( F K )( s )   d  K (t , s )
0
entonces
F K  SV ([0, T ], L(W , Y ))
a) 
b)
si
SV [ F K ]  SV [ ]  SV u [ K ]
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o sea,
y
 T

0 d s  0 d (t )  K (t , s)   g (s)
c)
Aˆ  L(G  ([0, T ], Z ), G ([0, T ], X ))
T
z0  Z tal que z0  1 y definiendo
g 1
g ( s )  z0 , s  [0, T ] entonces
y

g

G
([0,
T
],
Z
)
así, se obtiene
claramente
Sea ahora
T

  d (t )   d s (t )  K (t , s )  g ( s ) 
0
0

T
ˆ  Aˆ , z  1
Az0  Ag
0
2. Ecuaciones de Evolución Lineales y
EIVS
2.1 Representación de un
ecuaciones lineales como EIVS
tipo
de
Antes de representar las ecuaciones lineales
como ecuaciones integrales, en la siguiente
proposición se hace una pequeña adaptación
en un operador acotado, para poder usar los
resultados de la teoría de EIVS.
Proposición 2.1: Sean X y Z espacios de
Banach A  L( Z , X )
definiendo
y
f  G  ([0, T ], Z )
ˆ 
 Af
  (t )  Af (t ) , 0  t  T
Se tiene que
Aˆ  L(G  ([0, T ], Z ), G ([0, T ], X ))
y
  A
luego
A  Aˆ
por lo tanto
A  Aˆ
Considere ahora la ecuación diferencial no
homogénea
 du (t )
 A(t )  f (t ) , 0  t  T

 dt
, u0  Z
( E ) u (t0 )  u0
A(t )  L( Z , X ) ,
con
f  G ([0, T ], X )
u  G  ([0, T ], Z ) y
(E)
Teorema 2.2: La ecuación
equivalente a una ecuación integral
Volterra-Stieltjes del tipo
es
de
(K ) :
t
Demostración. Af  G ([0, T ], X ) , pues es la
composición entre una función regulada con
ˆ
una aplicación continua; claramente  es
lineal. Por otro lado,
ˆ
Aˆ  sup Ag
g 1
 sup sup
g 1 0 t T
ˆ  (t )
 Ag
 sup sup Ag (t )
g 1 0 t T
(K )
u (t )  u (0)   d s K (t , s)  u ( s)  g (t )
0
donde
 t
 A( )d , 0  s  t  T
K (t , s )   s
0
,0  t  s  T

t
g (t )   f ( )d
0
 sup A( x)  A
x 1
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Demostración.
h [0,t ]  0
0
entonces

Sea h  G ([0, T ], Z ) tal que
t0  [0, T ] .
con
Si
Integrando esta ecuación, se tiene
  [0, t0 ]
(4)
[ Aˆ (t )h]( )  A(t )h( )  0
0
[ Aˆ (t )h]
ˆ
, por lo tanto A(t ) es
[0,t0 ]
o sea,
un operador causal. Luego, por el teorema
1.1.2, existe
Mˆ  G0  SV u ([0, T ]2 , L( Z , Y ))
tal que
t
(1)
donde
[ Aˆ (t )u ]( )   d s Mˆ (t )( , s )  u ( s)
0

u  G ([0, T ], Z ) , además
T

u (t )  u0     d s M ( , s )  u ( s )  d  g (t )
0 0

t
t
donde
g (t )   f ( )d
0
Sea  (t )  tI , donde
entonces
I es la identidad en X ,
t
T

T

0  0 d s M ( , s)  u (s)  d  0 d ( )  0 d s M ( , s)  u (s) 
t
Mˆ (t )( , s) z  [ Aˆ (t )(  ( s , ] z ]( )
donde 0  s    T y z  Z
t
t

  d ( )   d s M ( , s )  u ( s ) 
0
0

Mˆ (t )( , 0) z  [ Aˆ (t )(  (0, ] z ]( )
donde 0    T y z  Z
y por el teorema (1.14) se tiene que
y
t
 t
 t

d

(

)
d
M
(

,
s
)
u
(
s
)
d







  d ( ) M ( , s )   u ( s )
s
s
0


0
 0  0

t
Mˆ (t )( , s) z  0, si 0    s  T
Así, se tiene que
 A(t ) , 0  s    T
Mˆ (t )( , s )  
,0   s  T
0
ˆ
Para   t , se define M (t , s ) : M (t )(t , s ) y de
2.1 se tiene que
t
(2)
A(t )u (t )   d s M (t , s )  u ( s )
0
Así, de la ecuación
( E ) y de 2.2, se obtiene
t
(3)
du (t )
  d s M (t , s)  u ( s)
dt
0
t
t

  d s   M ( , s )d   u ( s )
0
0

t
Haciendo
K (t , s) :  M ( , s)d
0
 t
 A(t )d
K ( , s )   s

0

, 0 s t T
,0  t  s  T
Así, la ecuación (2.4) queda como sigue
t
u (t )  u0
(5)
u (t )  u0   d s K (t , s )  u ( s )  g (t )
0
O sea, una EIVS del tipo
el resultado.
50
, se tiene
( K ) y así se prueba
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3. Referencias
[1] Hönig, C.S. Volterra-Stieltjes Integral
Equations, Mathematical Studies, 16, North
Holland Press, 1975.
[2] Hönig, C.S. Volterra-Stieltjes Integral
Equations, LNM 799, Springer-Verlag, pp.
173-216, 1979.
[3] Hönig, C.S. The Adjoint of a Linear
Volterra-Stieltjes
Equation,
LNM
957,
Springer-Verlag, pp 110-125, 1982.
[4]Hönig,
C.S.
Equations
Integrals
Generalizes anr T Applications. Seminairies
Mathematique D’Orsay, nº 5, 1982.
[5]Kato, T. Perturbation Theory for Linear
Operators, Springer-Verlag, New York, 1984.
[6]Yosida, K. On the Integration of the
Equation of Evolution, Journal of Faculty of
Science Univ of Tokyo, Vol IX, 5, pp 397-402,
1963.
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