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ANEXO I
ANEXO I
CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS
En este anexo se compilan algunos de los conceptos sísmicos básicos pero necesarios. Se
introducen los tipos de movimientos vibratorios, así como su descripción y notación matemática.
Posteriormente se explican las series de Fourier y la transformada de Fourier. Finalmente se
distinguen los conceptos espectro de Fourier y el espectro de respuesta, analizando las distintas
formas que presentan estos espectros en suelo y roca.
AI. 1 MOVIMIENTO VIBRATORIO: AMPLITUD Y FASE
- Tipos
Un terremoto se puede considerar como una carga cíclica rápida y de relativa larga duración que
induce en el terreno un movimiento vibratorio cuya amplitud fluctúa en una rango amplio de
frecuencias. En este apartado se describen los tipos de movimientos vibratorios y se introducen
las expresiones matemáticas que se utilizan para la caracterización del movimiento ondulatorio.
Los movimientos vibratorios se clasifican en movimientos periódicos y movimientos no
periódicos. Los movimientos periódicos son aquellos que se repiten en intervalos regulares de
tiempo. En caso contrario los movimientos vibratorios se consideran no periódicos. Ejemplos de
movimientos vibratorios no periódicos son los producidos por el tráfico o los terremotos (fig.AI.1).
Estos movimientos vibratorios y periódicos se pueden representar mediante series harmónicas.
0,08
Desplazamiento relativo (m
0,06
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
0
5
10
15
20
25
Tiempo (seg)
Figura AI 1. Movimiento ondulatorio típico del suelo tras un terremoto.
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ANEXO I
Por lo tanto, el movimiento producido por un terremoto se puede representar como suma de
series de movimientos harmónicos simples o sinuosoidales, suponiendo que la vibración se repite
asimismo después de una zona en la que no se produce ningún movimiento, conocida como
“quiet zone” (fig. A1.2).
Figura AI 2. Representación del movimiento tras un terremoto como una función periódica usando una
zona artificial en la que no se produce ningún movimiento. La función se repite
indefinidamente tras el período Tf [114] .
- Descripción matemática
A continuación se describirá el movimiento harmónico simple y se introducirá su notación
matemática en dos formas que son equivalentes: la notación trigonométrica y la notación
compleja. La notación trigonométrica describe el movimiento según la siguiente notación:
u (t ) = A sin (ωt + φ )
(ec. A.I. 1)
donde A representa la amplitud, ω la frecuencia circular y φ el ángulo de fase. La frecuencia
circular describe el ratio de oscilación en radianes por unidad de tiempo. El concepto de ángulo de
fase se puede explicar como la cantidad de tiempo que separa los picos y los puntos cero respecto
a una función seno pura. El movimiento es nulo cuando ωt+φ = 0, es decir par valores de
t= − ω/φ. Para valores de t = + ω/φ la función sinuosoidal se desplaza hacia la izquierda del eje de
ordenadas (fig. AI.3).
Figura AI 3. Amplitud y período de vibración en un movimiento harmónico simple. Influencia del ángulo
de fase en la posición de la sinusoide [114].
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ANEXO I
El concepto de frecuencia circular se explica considerando el movimiento de rotación circular de
un vector de amplitud A. El movimiento u (t) es la componente vertical de este vector:
u (t ) = A sin (ωt )
(ec. A.I. 2)
Figura AI 4. Representación del vector de rotación de un movimiento harmónico simple con ángulo de
fase nulo.
El tiempo que este vector de rotación realiza un giro completo se conoce como período de
vibración, T y se expresa como:
2π
ω
(ec. A.I. 3)
1 ω
=
T 2π
(ec. A.I. 4)
T=
La frecuencia de oscilación expresa el número de ciclos por unidad de tiempo y se expresa como:
f =
El movimiento harmónico simple también puede expresarse como suma de una función seno y
una función coseno (fig. AI.5):
u (t ) = a cos(ωt ) + b sin (ωt )
(ec. A.I. 5)
Figura AI 5. La suma de una función seno y coseno de igual frecuencia produce un sinusoide de igual
frecuencia cuya amplitud y fase dependen de las amplitudes de las funciones seno y coseno.
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ANEXO I
Figura AI 6. Representación del vector de rotación de un movimiento harmónico simple. La suma de las
componentes verticales de las componentes seno y coseno en (a) es igual a la componente
vertical de la resultante en (b)
En la figura AI.6.b (conocida como diagrama de Argand) se observa como el movimiento
resultante tiene una amplitud igual a a + b y forma un ángulo con el vector b φ = tan-1(a/b).
Por tanto el movimiento resultante sigue la ecuación:
2
2
u (t ) = A sin (ωt + φ )
(ec. A.I. 6)
En algunos casos los análisis matemáticos se simplifican mediante el uso de funciones complejas
del tipo eiα = cosα + isinα que consta de una parte real Re (eiα) = cosα y otra imaginaria Im (eiα) =
sinα. De esta forma se obtiene la notación compleja del movimiento:
u (t ) = a
e iωt + e −iωt
e iωt − e −iωt a − ib iωt a + ib −iωt
− bi
=
e +
e
2
2
2
2
(ec. A.I. 7)
De nuevo, si aplicamos el diagrama de Argand, se observa que el movimiento harmónico simple
se puede describir como suma de dos vectores unitarios eiωt y e-iωt que rotan a velocidades
angulares ω y –ω respectivamente (fig. AI.7).
Figura AI 7. Representación del vector de rotación de un movimiento harmónico simple. La suma de las
componentes verticales de las componentes seno y coseno en (a) es igual a la componente
vertical de la resultante en (b)
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ANEXO I
AI.2 ANÁLISIS ESPECTRAL
- Serie de Fourier
El movimimiento vibratorio puede ser muy complejo, por lo tanto se requieren métodos para
trabajar con movimientos sencillos equivalentes. Fourier, matemático francés, mostró que toda
función que cumpla ciertas condiciones puede ser expresada como suma de series de funciones
sinuosoidales de diferente amplitud, frecuencia y fase (fig. AI.8).
Figura AI 8. Proceso a partir del cual las series de Fourier pueden representar cargas complicadas a través
de soluciones harmónicas sencillas (a) Carga real (b) Sumatorio de series de cargas harmónicas
sencillas (c) Cálculo de la respuesta para cada carga harmónica (d) Representación de la
respuesta como sumatorio de series de respuestas harmónicas (e) Respuesta real
Las expresiones utilizadas son:
∞
x(t ) = a 0 + ∑ (a n cos ω n t + bn sin ω n t )
(ec. A.I. 8)
n =1
los coeficientes de Fourier son a0,an,bn:
1
a0 =
Tf
an =
2
Tf
2
bn =
Tf
Tf
∫ x(t )dt
0
Tf
∫ x(t )cos ω tdt
n
(ec. A.I. 9)
0
Tf
∫ x(t )sin ω tdt
n
0
Donde Tf es el período a partir del cual se repite la función indefinidamente.
- Transformada de Fourier
En aplicaciones y problemas ingenieriles los datos disponibles consisten en parámetros de carga o
de movimiento descritos por un conjunto de datos finitos y no funciones analíticas y por eso se
recurre a los sumatorios y no a la integración. La transformada de Fourier discreta es la expresión
matemática que permite obtener la función x(t) a partir de los datos disponibles:
N
X (ω n ) = ∆t ∑ x(t k )e
k =1
− iωt k
N
= ∆t ∑ (x(t k )cos ω n t k − ix(t k )sin ω n t k )
(ec. A.I. 10)
k =1
donde tk = k∆t, ωn = n∆ω = 2πn/Ν∆t
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ANEXO I
La transformada de Fourier se puede invertir, es decir, a partir de intervalos equiespaciados de
frecuencia, se puede expresar una función temporal. Se logra con la transformada de Fourier
discreta inversa, de expresión:
N
N
n =1
n =1
X (t k ) = ∆ω ∑ X (ω n )e iωtk = ∆ω ∑ (X (ω n )cos ω n t k + iX (ω n )sin ω n t k )
(ec. A.I. 11)
Estas expresiones son programables pero costosas computacionalmente. La transformada rápida
de Fourier es un algoritmo [113] que reduce este tiempo considerablemente.
- Espectro de Fourier
El espectro de Fourier es la representación de la amplitud o la fase respecto a la frecuencia. Por
ejemplo, el espectro de Fourier de amplitud muestra la distribución de la amplitud de un
movimiento sísmico fuerte respecto a la frecuencia (o el período) y expresa el contenido
frecuencial de un terremoto. El espectro de Fourier en suelos es más fuerte en períodos altos (o
bajas frecuencias) mientras que el de roca es más fuerte en períodos bajos (fig. AI.9)
Figura AI 9. Espectro de amplitud de Fourier para la componente E-W del movimiento ondulatorio en
registros fuertes sobre un afloramiento de roca tipo arenisca (Gilroy No. 1) y sobre un suelo
aluvial de 165 m (Gilroy No. 2). Gilroy, California, durante el terremoto de Loma Prieta, 1989
[114].
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ANEXO I
AI. 3 ESPECTRO DE RESPUESTA
El espectro de respuesta representa la máxima respuesta de un sistema de un solo grado de
libertad (SDOF, Single Degree Of Freedom ) a un movimiento de entrada como función de la
frecuencia y de la razón de amortiguación del sistema. La respuesta de un sistema SDOF frente al
movimiento del suelo se utiliza para modelar la respuesta de las estructuras. Un sistema SDOF
está caracterizado por una masa, m, por un amortiguamiento, cd y por una rigidez k (fig. AI.10).
Figura AI 10. Sistema de un solo grado de libertad (SDOF system) con la masa m, la rigidez k y el
amortiguamiento cd. La aceleración del suelo es ug(t).
La ecuación que rige el movimiento de este sistema depende de la aceleración del suelo ug (acción
sísmica) según:
••
•
••
m u + c d u + ku = −m u g
Donde
suelo.
••
(ec. A.I. 12)
•
u , u y u son la aceleración, la velocidad y el desplazamiento del sistema relativos al
Los espectros de respuesta de suelos muestran mayor contenido de largos períodos (bajas
frecuencias) que se traduce en mayores velocidades y desplazamientos espectrales (fig. AI.11).
Figura AI 11. Espectros de respuesta para la componente E-W del movimiento ondulatorio en registros
fuertes sobre un afloramiento de roca tipo arenisca (Gilroy No. 1) y sobre un suelo aluvial de
165 m (Gilroy No. 2). Gilroy, California, durante el terremoto de Loma Prieta, 1989 [114].
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