genesis del numero entero - Revistas de la Universidad Nacional de

GENESIS DEL NUMERO ENTERO
COMITE EDITOR
Dr LUJ~ A Santalo
Dr Cn~t1an Sanche/
Dr '\Jorbt'rtt ' Fava
Dr ]t>rgt' Varga'>
Dr. Rob<'rto Miatelltl
Semin ario Coordi nado por la profes ora Dora Alicia Macias
Inform e final elabor ado por:
DIRECT OR
Dr. Rnbl'rto M1atl'llo
Andreo li de Passic ot, Daniel a
Caputo , U 1 iana
Esquiv el, Mónica
Filcma n de Levy, Clara
Ramire z Arball o de Lopez, M. Gloria
Rodríg uez de Harvey , Cecili a
Romero, Rodolf o
Silvia Genez, Patric ia
\'ICEDIR ECTORA
Ora Elida Ferrevra
':>ECRET ARIO EjECUT IVO
L!C Bl'rnardm o AudisiO
SECRET ARIA DE EDICIO
Lu1sa Gallardo
COLABO RAOORE S:
1.
Lllul'ersutnrl Nano11nl de Cordol>n·
Dr. Tomás Godoy
Lic. Gabriela Cendoya
Ll'andro Cagliero
Inés Pacharon i
Lic. Paulo Tirao
Canna Boyallián
Mónica Flores
Ullll'l.'rsuind Nncw~rnl de Tucumn11 :
Lic. María Isabel Viggiani Rocha
RESE~A
HISTORICA .
Difíci l es indica r el origen de la Aritm ética, pues
su nacim iento se pierde en medio de la noche de los siglos
y
su existe ncia es casi contem poráne a a la del hombre sobre la
tierra .
En el
instan te mismo en que el hombre tuvo que
contar el número de hijos que le rodeab an, el de cabeza s que
formab an su ganado , o cuando más tarde establ eció, por medio
del s"imple truequ e, el primer gérmen del comerc io con sus
semeja ntes, echó los cimien tos de la cienci a llamad
a
Aritm ética.
A pesar de su antigü edad la aritmé tica perman eció
Reg1st ro Nncw~rnl de In Prop1erlnd l~rte/ecf¡Ul/ N " 168024
1
largos siglos en las sombras , formando parte de la vida
social del hombre pero sin que los sabios dirigieran a ella
su mirada, hasta que Pitágoras, por medio de su estudio
nudos entre los peruanos , etc . , pero lo más común fue el uso
de simientes y piedrecillas.
sobre los números la introaujo en la corriente científica de
su tiempo, aunque unida primero a la Geometría.
Insuficiente el cálculo digital y demasiado grosero
el de las simientes, desde muy antiguo (700 a 300 a.C . ) se
inventaron aparatos de contar correspondientes a
la
era
En los primeros tiempos de la Aritmética la cantidad
simplemente un conjunto de objetos; uno de ellos
representaba
la
unidad
y
por
lo
tanto
era
quisieron medir las líneas, las superficies y los volúmenes.
las
investigaciones
de
Humbold,
Pott
y otros
resulta como un hecho general y constante la singularidad de
que
los sistemas de
numeración,
desde
los
tiempos
primitivos, han sido úni camente el QUINARIO, el DECIMAL y el
VIGESIMAL, no casualmente en concordancia con la cantidad de
dedos de una mano, dos manos y manos y pies.
Desde el
momento en que el hombre tuvo conciencia de la numeración,
se vió en la necesidad de hacer cálculos con los números.
Mientras
las
cantidades
con
que
había
que
operar
eran
pequeñas, la cuestión fue fácil de resolver; pero cuando las
cantidades eran grandes,
el Hombre debió recurrir a
instrumentos auxiliares, y como la escritura no estaba
generalizada en estos
fueron materiales.
lejanos
tiempos,
y ajustados al sistema
indivisible .
Pasaron muchos siglos antes de que se cambiaran estas ideas
y aparecieran las cantidades continuas, cuando los geómetras
De
numeración ·palpable y de posición,
decimal .
esos
instrumentos
Estos
aparatos
reciben
el nombre de ABACOS de
numeración.
La palabra ábaco deriva del latín "abacus" o
del r~ iego "abasccius" que significa tablero, tabla.
De entre ellos, ha llegado hasta nosotros el ábaco
de numeración, Achotu de los rusos, tomado del Suan Pan de
los chinos y similar al hindú.
Consta de un marco
rectangular con varillas dispuestas
vert lealmente en las
cuales pueden insertarse hasta 9 bolas o cuentas que pueden
correr por ellas.
El ábaco hindú es decimal. Una bola de cada varilla
equivale a diez bolas de la que se halla a su derecha .
Después de la numeración hablada, el hombre trató de
representar los números por signos; todos ellos son restos
de
antiguas escrituras
jeroglificas,
de
los
cuales
destacamos especialmente el árabe, deducido del indio, que
representa los nueve primeros números por signos especiales
Nada más expeditivo que contar por los dedos, cuando
se trata de pequeñas cantidades.
En cantidades mayores se
ha sabido del uso de clavos entre los aztecas,
2
Y los órdenes superiores por el lugar que éste ocupa en la
escritura.
cintas con
3
largos siglos en las sombras , formando parte de la vida
social del hombre pero sin que los sabios dirigieran a ella
su mirada, hasta que Pitágoras, por medio de su estudio
nudos entre los peruanos , etc . , pero lo más común fue el uso
de simientes y piedrecillas.
sobre los números la introaujo en la corriente científica de
su tiempo, aunque unida primero a la Geometría.
Insuficiente el cálculo digital y demasiado grosero
el de las simientes, desde muy antiguo (700 a 300 a.C . ) se
inventaron aparatos de contar correspondientes a
la
era
En los primeros tiempos de la Aritmética la cantidad
simplemente un conjunto de objetos; uno de ellos
representaba
la
unidad
y
por
lo
tanto
era
quisieron medir las líneas, las superficies y los volúmenes.
las
investigaciones
de
Humbold,
Pott
y otros
resulta como un hecho general y constante la singularidad de
que
los sistemas de
numeración,
desde
los
tiempos
primitivos, han sido úni camente el QUINARIO, el DECIMAL y el
VIGESIMAL, no casualmente en concordancia con la cantidad de
dedos de una mano, dos manos y manos y pies.
Desde el
momento en que el hombre tuvo conciencia de la numeración,
se vió en la necesidad de hacer cálculos con los números.
Mientras
las
cantidades
con
que
había
que
operar
eran
pequeñas, la cuestión fue fácil de resolver; pero cuando las
cantidades eran grandes,
el Hombre debió recurrir a
instrumentos auxiliares, y como la escritura no estaba
generalizada en estos
fueron materiales.
lejanos
tiempos,
y ajustados al sistema
indivisible .
Pasaron muchos siglos antes de que se cambiaran estas ideas
y aparecieran las cantidades continuas, cuando los geómetras
De
numeración ·palpable y de posición,
decimal .
esos
instrumentos
Estos
aparatos
reciben
el nombre de ABACOS de
numeración.
La palabra ábaco deriva del latín "abacus" o
del r~ iego "abasccius" que significa tablero, tabla.
De entre ellos, ha llegado hasta nosotros el ábaco
de numeración, Achotu de los rusos, tomado del Suan Pan de
los chinos y similar al hindú.
Consta de un marco
rectangular con varillas dispuestas
vert lealmente en las
cuales pueden insertarse hasta 9 bolas o cuentas que pueden
correr por ellas.
El ábaco hindú es decimal. Una bola de cada varilla
equivale a diez bolas de la que se halla a su derecha .
Después de la numeración hablada, el hombre trató de
representar los números por signos; todos ellos son restos
de
antiguas escrituras
jeroglificas,
de
los
cuales
destacamos especialmente el árabe, deducido del indio, que
representa los nueve primeros números por signos especiales
Nada más expeditivo que contar por los dedos, cuando
se trata de pequeñas cantidades.
En cantidades mayores se
ha sabido del uso de clavos entre los aztecas,
2
Y los órdenes superiores por el lugar que éste ocupa en la
escritura.
cintas con
3
Los
operac iones,
griegos
sabían
crearon
el
hacer
sistema
las
cuatro
sexagec imal,
primera s
tenían
una
regla para extrae r la raíz cuadrad a de un número ( de TEON de
Alejan dría) e hiciero n importa ntes estudio s sobre los
números pares e impares .
DIOPHANTO (325-40 9 ) en su Libro I
sostien e que la multip licació n de dos números "defici entes"
(negati vos) produce una cantida d "abunda nte" (positi vo) y
usa para las cantida des deficie ntes el mismo signo que para
la resta: -r .
Aconse ja no confun dir las cantida des
deficie ntes con las abunda ntes y no operar más que sobre las
semeja ntes entre sí.
Pero fueron los hindúes los primero s en recono cer la
existen cia de los números negativ os.
Los
hindúes
conocía n las tablas de multip licar,
tenían idea de la raíz cuadrad a y cúbica de los número s,
poseían la regla de la divisib ilidad por 7, entreve ían lo
que eran los número s inconm ensurab les y sabían sumar las
progres iones aritmé ticas y encont rar la suma de los
cuadrad os y cubos de los números enteros desde la unidad
hasta un número cualqu iera.
No tenían signos para expres ar
la suma y la resta, pero un cero puesto encima de un número
indicab a que se lo debía restar.
En
este
marco
referen cial,
las
ecuacio nes
"insolu bles" de ler. grado llevaro n a los algebr istas
hindúes (Siglos V a VII) a introdu cir los números negativ os,
aunque como una mera extensi ón del cálculo usual.
Brahma gupta en el Siglo VI de las reglas práctic as
4
para sumar números enteros , interpr etándo los como débiles y
crédito s y Bhaska ra conside ra los valores positiv o y
negativ o de la raiz cuadrad a de un número positiv o.
Los hindúes no intenta ron justifi car la identid ad
(-5). (-5) = + 25 a partir del modus operand i del ábaco . Las
reglas
que
ellos
manejab an
les
permití an
escrib ir
identid ades del siguien te tipo:
(10- 3). (7- 4)
=
10.7- 10.4- 3.7 + 3.4
porqL _ les resulta ba claro que (-3). (-4)
= 3.4 .
La explica ción razonad a del cálculo median te el
ábaco no da justifi cación alguna de este cambio de signo,
pero para los hindúes y para sus suceso res europeo s
anterio res al Siglo XVI esto justifi caba poder afirmar
(-x). (-x) = + x 2 y de allí sabían que todo número positiv o
posee dos raíces cuadrad as.
En
Europa
se introdu cen lentame nte los números
negativ os desde el Renacim iento, pero los matemá ticos (Luca
Pacioli - 1440 - 1515; Miguel Stiefel 1486-15 67) tratan en
lo posible de evitarl os en sus cálculo s y sobre todo de
utiliza rlos,
como
lo
indican
los
calific ativos
de
"absurd os" , "estima ciones falsas" ,
"fictic ios" que les
asignab an.
En el siglo XVI se realiza la paulati na sustitu ción
del cálculo con el ábaco por la aplicac ión. de las reglas
ordina rias del cálculo con las cifras arábiga s.
En
5
Los
operac iones,
griegos
sabían
crearon
el
hacer
sistema
las
cuatro
sexagec imal,
primera s
tenían
una
regla para extrae r la raíz cuadrad a de un número ( de TEON de
Alejan dría) e hiciero n importa ntes estudio s sobre los
números pares e impares .
DIOPHANTO (325-40 9 ) en su Libro I
sostien e que la multip licació n de dos números "defici entes"
(negati vos) produce una cantida d "abunda nte" (positi vo) y
usa para las cantida des deficie ntes el mismo signo que para
la resta: -r .
Aconse ja no confun dir las cantida des
deficie ntes con las abunda ntes y no operar más que sobre las
semeja ntes entre sí.
Pero fueron los hindúes los primero s en recono cer la
existen cia de los números negativ os.
Los
hindúes
conocía n las tablas de multip licar,
tenían idea de la raíz cuadrad a y cúbica de los número s,
poseían la regla de la divisib ilidad por 7, entreve ían lo
que eran los número s inconm ensurab les y sabían sumar las
progres iones aritmé ticas y encont rar la suma de los
cuadrad os y cubos de los números enteros desde la unidad
hasta un número cualqu iera.
No tenían signos para expres ar
la suma y la resta, pero un cero puesto encima de un número
indicab a que se lo debía restar.
En
este
marco
referen cial,
las
ecuacio nes
"insolu bles" de ler. grado llevaro n a los algebr istas
hindúes (Siglos V a VII) a introdu cir los números negativ os,
aunque como una mera extensi ón del cálculo usual.
Brahma gupta en el Siglo VI de las reglas práctic as
4
para sumar números enteros , interpr etándo los como débiles y
crédito s y Bhaska ra conside ra los valores positiv o y
negativ o de la raiz cuadrad a de un número positiv o.
Los hindúes no intenta ron justifi car la identid ad
(-5). (-5) = + 25 a partir del modus operand i del ábaco . Las
reglas
que
ellos
manejab an
les
permití an
escrib ir
identid ades del siguien te tipo:
(10- 3). (7- 4)
=
10.7- 10.4- 3.7 + 3.4
porqL _ les resulta ba claro que (-3). (-4)
= 3.4 .
La explica ción razonad a del cálculo median te el
ábaco no da justifi cación alguna de este cambio de signo,
pero para los hindúes y para sus suceso res europeo s
anterio res al Siglo XVI esto justifi caba poder afirmar
(-x). (-x) = + x 2 y de allí sabían que todo número positiv o
posee dos raíces cuadrad as.
En
Europa
se introdu cen lentame nte los números
negativ os desde el Renacim iento, pero los matemá ticos (Luca
Pacioli - 1440 - 1515; Miguel Stiefel 1486-15 67) tratan en
lo posible de evitarl os en sus cálculo s y sobre todo de
utiliza rlos,
como
lo
indican
los
calific ativos
de
"absurd os" , "estima ciones falsas" ,
"fictic ios" que les
asignab an.
En el siglo XVI se realiza la paulati na sustitu ción
del cálculo con el ábaco por la aplicac ión. de las reglas
ordina rias del cálculo con las cifras arábiga s.
En
5
realidad,
en el siglo VII , ya h.s árabes (que a su vez lo
aprendieron de los hindúes) habían introducido en Europa el
sistema decimal del cero en la numeración escrita, pero éste
no halló acogida en el mundo científico de la época y
permaneció varios siglos en el ol vido.
En
1614,
Juan
Neper
( 1550-1617)
inventó
los
logaritmos neperianos usando por primera vez la como para
separar las cifras decimales . Este estudio despertó un gran
entusiasmo, con lo cual se inicia un período fecundo de la
Aritmética que vuelve a ser objeto de estudio.
Pero en el siglo XVI , a partir de su adopción la
Aritmética comienza a sufrir una profunda transformación.
Una
difundida
figura
de
la
Enciclopedia
Margarita
philosophica
de
Gregor
Reisch,
de
comienzos
del
Siglo,
muestra a la "dama Aritmética " presidiendo una especie de
torneo entre un algorítmico, que opera de la nueva manera, y
un abacista; las expresiones de los rostros de ambos rivales
muestran claramente el triunfador.
Como importante innovación aritmética de este siglo
debenconsiderarse los números decimales.
Hasta ese momento
los matemáticos adoptaban para la parte entera de u n número
el sistema posicional decimal, pero par las partes menores
que
la
unidad
empleaban
fracciones
ordinarias
o
sexagecimales.
El primer tratamiento sistemático de las
fracciones decimales se debe al Belga Stevin (1548 - 1620)K
quien en su obra "La disme", titulo que alude al décimo,
define los números decimales, enuncia las reglas para operar
con ellos y escribe las potencias de diez menores que la
unidad encerrando el exponente en un pequeño círculo.
Cavalieri
llamaban "cordos ") y en los que usa los signos
6
+,
-.
= y
v.
deduciendo
algunos
teoremas
sobre los números inició este movimiento, pero es en manos
de Pedro Fermat (1601-1665) que adquiere su verdadero
desarrollo.
Fermat demuestra las grandes proposiciones de
los números enteros, algunas tan notables, que aún conservan
su nombre en la ciencia moderna.
Pero es necesario llegar a Newton (1641-1727) para
encontrar un concepto claro de magnitudes cuyas cantidades
tienen sentidos contrarios y pueden representarse mediante
números afectados con los signos más o menos . En su notable
Aritmética uní versal se evidencia esto y se encuentra el
cálculo de las fracciones decimales, el de las raíces, el de
los números negativos y las reglas fundamentales que
diferenciarán definitivamente la Aritmética del Algebra.
Surge
de
todo
lo
expuesto
que
los
algebristas
hindúes fueron
los primeros en trabajar con los números
negativos, aunque como una ~ extension del cálculo usual.
Estos
Girolano Cardano (1501 - 1576) escribió varías obras
de Aritmética en las que estudió con profundidad el cálculo
con los números enteros, fraccionarios e irracionales (los
(1598-1647)
nuevos
concretas que
números
adquirieron
condujeron,
de
pronto
una manera
interpretaciones
natural,
a
las
reglas del cálculo.
Por ello, los números negativos fueron
durante muchísimo tiempo objeto de desconfianza para los
matemáticos.
El punto de vista formal sólo aparecería en
7
realidad,
en el siglo VII , ya h.s árabes (que a su vez lo
aprendieron de los hindúes) habían introducido en Europa el
sistema decimal del cero en la numeración escrita, pero éste
no halló acogida en el mundo científico de la época y
permaneció varios siglos en el ol vido.
En
1614,
Juan
Neper
( 1550-1617)
inventó
los
logaritmos neperianos usando por primera vez la como para
separar las cifras decimales . Este estudio despertó un gran
entusiasmo, con lo cual se inicia un período fecundo de la
Aritmética que vuelve a ser objeto de estudio.
Pero en el siglo XVI , a partir de su adopción la
Aritmética comienza a sufrir una profunda transformación.
Una
difundida
figura
de
la
Enciclopedia
Margarita
philosophica
de
Gregor
Reisch,
de
comienzos
del
Siglo,
muestra a la "dama Aritmética " presidiendo una especie de
torneo entre un algorítmico, que opera de la nueva manera, y
un abacista; las expresiones de los rostros de ambos rivales
muestran claramente el triunfador.
Como importante innovación aritmética de este siglo
debenconsiderarse los números decimales.
Hasta ese momento
los matemáticos adoptaban para la parte entera de u n número
el sistema posicional decimal, pero par las partes menores
que
la
unidad
empleaban
fracciones
ordinarias
o
sexagecimales.
El primer tratamiento sistemático de las
fracciones decimales se debe al Belga Stevin (1548 - 1620)K
quien en su obra "La disme", titulo que alude al décimo,
define los números decimales, enuncia las reglas para operar
con ellos y escribe las potencias de diez menores que la
unidad encerrando el exponente en un pequeño círculo.
Cavalieri
llamaban "cordos ") y en los que usa los signos
6
+,
-.
= y
v.
deduciendo
algunos
teoremas
sobre los números inició este movimiento, pero es en manos
de Pedro Fermat (1601-1665) que adquiere su verdadero
desarrollo.
Fermat demuestra las grandes proposiciones de
los números enteros, algunas tan notables, que aún conservan
su nombre en la ciencia moderna.
Pero es necesario llegar a Newton (1641-1727) para
encontrar un concepto claro de magnitudes cuyas cantidades
tienen sentidos contrarios y pueden representarse mediante
números afectados con los signos más o menos . En su notable
Aritmética uní versal se evidencia esto y se encuentra el
cálculo de las fracciones decimales, el de las raíces, el de
los números negativos y las reglas fundamentales que
diferenciarán definitivamente la Aritmética del Algebra.
Surge
de
todo
lo
expuesto
que
los
algebristas
hindúes fueron
los primeros en trabajar con los números
negativos, aunque como una ~ extension del cálculo usual.
Estos
Girolano Cardano (1501 - 1576) escribió varías obras
de Aritmética en las que estudió con profundidad el cálculo
con los números enteros, fraccionarios e irracionales (los
(1598-1647)
nuevos
concretas que
números
adquirieron
condujeron,
de
pronto
una manera
interpretaciones
natural,
a
las
reglas del cálculo.
Por ello, los números negativos fueron
durante muchísimo tiempo objeto de desconfianza para los
matemáticos.
El punto de vista formal sólo aparecería en
7
una fase más evolucionada del álgebra como consecuencia de
la introducción de la notación de los números decimales como
potencias de diez, que entra en plena vigencia a partir de
1600.
Se
intenta a
continuación una recreación de
una unidad del número a representar.
Las varillas a la izquierda de la de las unidades
representarán en orden creciente, las sucesivas potencias de
diez . Esto significa que cada cuenta colocada en la k-ésima
ese
varilla a la izquierda de la de las unidades representa 10k
unidades .
Partiendo de 1 ábaco y de 1as operaciones que en é 1
pueden realizarse, se construye un modelo visible de los
números enteros, entendiendo por ésto el volver a definir el
Con las convenciones anteriormente establecidas,
resulta evidente que una cuenta colocada en una varilla
cualquiera equivaldrá a diez de ellas colocadas en la
var:. _la inmediatamente a la derecha de la misma.
A ésta
proceso.
significado del signo menos que precede a los negativos, de
modo tal que sea compatible con la noción natural de
sustracción, pero adaptable a un significado completamente
nuevo.
última nos referiremos como al "orden inmediato inferior".
RepresentaciÓn de NÚmeros
2. ARITMETICA BASADA EN EL ABACO.
Para representar el número
El ábaco es una disposición de varillas paralelas
montadas verticalmente sobre una base, y una serie de
cuentas a ser ensartadas en dichas varillas.
Como una determinada cantidad de cuentas o varillas
impondría un limite a los números representables o las
operaciones realizables, aclaramos que durante la exposición
de las reglas se supor.drá la idealización de tener a nuestra
disposición una cantidad ilimitada de cuentas y varillas.
Empezaremos
distinguiendo
arbitrariamente
una
varilla como "varilla de las unidades", la llamaremos V , lo
o
~•1al significa que cada cuenta colocada en ella equivaldrá a
8
n
a n ... a 2 a 1a O
( 10)
= L\ak
lOk
colocamos
k=O
ak
cuentas
en
la
k-ésima varilla a la izquierda de la de las unidades.
Estas reglas establecen una correspondencia entre las
representaciones en el ábaco y el conjunto de los números
naturales más el O, expresadas en base 10.
Para que la
correspondencia sea impondremos la siguiente:
o
REGLA !l 1:
cualquiera.
Sea "m" la cantidad de cuentas en una varilla
En toda varilla debe cumplirse que m !:: 9.
Si
así no fuera real izamos la siguiente · operación,
que
llamaremos
"reducción al
orden
inmediato
superior":
9
una fase más evolucionada del álgebra como consecuencia de
la introducción de la notación de los números decimales como
potencias de diez, que entra en plena vigencia a partir de
1600.
Se
intenta a
continuación una recreación de
una unidad del número a representar.
Las varillas a la izquierda de la de las unidades
representarán en orden creciente, las sucesivas potencias de
diez . Esto significa que cada cuenta colocada en la k-ésima
ese
varilla a la izquierda de la de las unidades representa 10k
unidades .
Partiendo de 1 ábaco y de 1as operaciones que en é 1
pueden realizarse, se construye un modelo visible de los
números enteros, entendiendo por ésto el volver a definir el
Con las convenciones anteriormente establecidas,
resulta evidente que una cuenta colocada en una varilla
cualquiera equivaldrá a diez de ellas colocadas en la
var:. _la inmediatamente a la derecha de la misma.
A ésta
proceso.
significado del signo menos que precede a los negativos, de
modo tal que sea compatible con la noción natural de
sustracción, pero adaptable a un significado completamente
nuevo.
última nos referiremos como al "orden inmediato inferior".
RepresentaciÓn de NÚmeros
2. ARITMETICA BASADA EN EL ABACO.
Para representar el número
El ábaco es una disposición de varillas paralelas
montadas verticalmente sobre una base, y una serie de
cuentas a ser ensartadas en dichas varillas.
Como una determinada cantidad de cuentas o varillas
impondría un limite a los números representables o las
operaciones realizables, aclaramos que durante la exposición
de las reglas se supor.drá la idealización de tener a nuestra
disposición una cantidad ilimitada de cuentas y varillas.
Empezaremos
distinguiendo
arbitrariamente
una
varilla como "varilla de las unidades", la llamaremos V , lo
o
~•1al significa que cada cuenta colocada en ella equivaldrá a
8
n
a n ... a 2 a 1a O
( 10)
= L\ak
lOk
colocamos
k=O
ak
cuentas
en
la
k-ésima varilla a la izquierda de la de las unidades.
Estas reglas establecen una correspondencia entre las
representaciones en el ábaco y el conjunto de los números
naturales más el O, expresadas en base 10.
Para que la
correspondencia sea impondremos la siguiente:
o
REGLA !l 1:
cualquiera.
Sea "m" la cantidad de cuentas en una varilla
En toda varilla debe cumplirse que m !:: 9.
Si
así no fuera real izamos la siguiente · operación,
que
llamaremos
"reducción al
orden
inmediato
superior":
9
busquemos "p" tal que p ~ 9 y m= p mod(lO). Hecho esto,
quitamos las cuentas de la varilla a excepción de "p" de
m-p
ellas y colocamos lO
en la varilla inmediatamente a la
izquierda, con la cual repetimos el mismo procedimiento y
así siguiendo hacia la izquierda hasta cumplir m
varilla.
~
9,
an ... a a a
2 1
0
( 10)
± b n . .. b2 b 1 bO
=
V
Podemos
realizar
las siguientes operaciones
obtener la suma y diferencia de dos números:
Llamaremos a la representación que resulta de estas
operaciones "representación canónica".
quedan representadas en
el ábaco por medio de ak+bk cuentas en la k-ésima varilla a
la izquierda de la de las unidades, siendo ak y bk la
Con las convenciones anteriores a la adopción de la
Regla N° 1, hay números naturales que admiten diversas
representaciones en el ábaco , determinándose clases de
cant1dad
equivalencia en el conjunto de representaciones.
Lo que
o
hace la regla N 1 es distinguir un elemento de cada clase
la:
equivalencia
representación
de
manera
~número,
tal
que
la
correspondencia:
sea unívoca.
La regla No 1 será de aplicación obligatoria luego
de obtenido el resultado final de una operación, a los
efectos de que el resultado pueda ser leído direc~amente en
base 10.
Sin embargo
inmediato inferior,
la
recíproca,
reducción
al
orden
puede ser conveniente en algunas
operaciones como se explicará más adelante.
Esta operación
consiste en sustituir cada cuenta de una varilla dada por 10
colocadas en la varilla inmediatamente a la derecha de ella.
Teniendo en cuenta que:
10
para
Suma: (a +b ) lOk unidades,
k
de
=
( 10)
de
k
cuentas
colocadas
representación de los sumandos.
o
Regla N
en
.aque 11 a
para
la
Por lo anterior, enunciamos
Para sumar dos números se representa el
primero y superpuesto a éste, se representa el segundo.
El
conjunto total de cuentas es una representación del
resultado; sólo resta reducirlo a la representación canónica
~:
por aplicación de la regla N° l.
de dos sumandos es inmediata.
La generalización para más
Resta: En la resta sólo consideraremos el caso de
minuendo mayor que el sustraendo.
el
En
mediante a -b
k
k
ábaco
representamos
(a -b ) 10k
k
k
unidades
cuentas en la k-ésima varilla a la izquierda
de la de las unidades.
Como ak y bk son la cantidad de
cuentas en aquella varilla para la r~presentación del
minuendo y sustraendo, respectivamente, podemos enunciar la
11
busquemos "p" tal que p ~ 9 y m= p mod(lO). Hecho esto,
quitamos las cuentas de la varilla a excepción de "p" de
m-p
ellas y colocamos lO
en la varilla inmediatamente a la
izquierda, con la cual repetimos el mismo procedimiento y
así siguiendo hacia la izquierda hasta cumplir m
varilla.
~
9,
an ... a a a
2 1
0
( 10)
± b n . .. b2 b 1 bO
=
V
Podemos
realizar
las siguientes operaciones
obtener la suma y diferencia de dos números:
Llamaremos a la representación que resulta de estas
operaciones "representación canónica".
quedan representadas en
el ábaco por medio de ak+bk cuentas en la k-ésima varilla a
la izquierda de la de las unidades, siendo ak y bk la
Con las convenciones anteriores a la adopción de la
Regla N° 1, hay números naturales que admiten diversas
representaciones en el ábaco , determinándose clases de
cant1dad
equivalencia en el conjunto de representaciones.
Lo que
o
hace la regla N 1 es distinguir un elemento de cada clase
la:
equivalencia
representación
de
manera
~número,
tal
que
la
correspondencia:
sea unívoca.
La regla No 1 será de aplicación obligatoria luego
de obtenido el resultado final de una operación, a los
efectos de que el resultado pueda ser leído direc~amente en
base 10.
Sin embargo
inmediato inferior,
la
recíproca,
reducción
al
orden
puede ser conveniente en algunas
operaciones como se explicará más adelante.
Esta operación
consiste en sustituir cada cuenta de una varilla dada por 10
colocadas en la varilla inmediatamente a la derecha de ella.
Teniendo en cuenta que:
10
para
Suma: (a +b ) lOk unidades,
k
de
=
( 10)
de
k
cuentas
colocadas
representación de los sumandos.
o
Regla N
en
.aque 11 a
para
la
Por lo anterior, enunciamos
Para sumar dos números se representa el
primero y superpuesto a éste, se representa el segundo.
El
conjunto total de cuentas es una representación del
resultado; sólo resta reducirlo a la representación canónica
~:
por aplicación de la regla N° l.
de dos sumandos es inmediata.
La generalización para más
Resta: En la resta sólo consideraremos el caso de
minuendo mayor que el sustraendo.
el
En
mediante a -b
k
k
ábaco
representamos
(a -b ) 10k
k
k
unidades
cuentas en la k-ésima varilla a la izquierda
de la de las unidades.
Como ak y bk son la cantidad de
cuentas en aquella varilla para la r~presentación del
minuendo y sustraendo, respectivamente, podemos enunciar la
11
será de a'
de cuentas en V
siguiente :
1-1
Regla ~o ~:
de
diferencia
la
calcular
Para
dos
Con a'
- a
1-1
+ 10 > 9 ~ b
1-1
1-1
> b 1-1 ahora es V1-1 la varilla más a
1-1
la
minuendo,
izquierda
extrayendo luego de cada varilla tantas cuentas como sería
condición.
necesario colocar en dicha varilla para la representación
procedimiento y por sucesivas iteraciones lograr que todos
del
De
sustraendo.
~
k
resulta
esto
representación
la
del
Obviamente, la aplicación de esta regla requiere
resultado.
que a
del
representación
la
realiza
se
números,
k
siempre es posible
no fuera,
Si asi
't/ k.
b ,
Por
las
tanto
podemos
de
la
de
unidades
lo
los
iguales que
sean mayores o
los a'
aplicar
b,
esta
con
cumple
que
el
nuevamente
como queríamos
Consideramos primero el producto por un
demostrar.Producto.
sólo dígito.
obtener una representación del minuendo que cumpla con esta
o
aplicación de la Regla N
V
canónica
representación
la
obtiene
continuación)
a
esto
de
(Demostración
finalmente
y
del
n
inferior,
resultado
=
k
[
(m.ak)lO
.
V (Varilla de las unidades)
0
Regla ~o
de
L
sólo
un
1
> b
1
(con b
representación canónica del
~
1
sustraendo).
Está claro que
~
bk, 't/ k
con lo cual sería:
lOP:
es
Sea
decir
colocando
lOP. (a ... a a a
2 1
n
que
ak
la
en contra de
sustraendo,
la hipótesis
inicial.
Entonces,
o e101
)
-
cuentas
en
lOP
r
L
aklOk
la
del
producto
(K+p)-ésima
las unidades.
= rL
a lOk+p
se
obtiene
k
varilla
a
cuenta de V
1
1
> b
1
~
a -1
1
y colocar 10 en v
1-1
12
b
1
la
Como ak es también la
cantidad de cuentas en la k-ésima varilla a la izquierda de
la de las unidades en la representación de a .. . a a a
2 1 O
n
podemos enunciar:
siendo a
la
k=O
k=O
representación
izquierda de la de
~
la
debe
finalmente
que
el
producto,
del
veces
constituye
Esto
primero.
del
"m"
Consideremos ahora el caso especial del producto por
9 por tratarse de una
esta varilla debe existir pues de lo contrario ak
minuendo
superpone
se
(m),
dígito
reducirse a la forma canónica por la regla N° 1.
la varilla más a la izquierda de la de las
unidades tal que a
10k =
Para multiplicar un número cualquiera por otro
representación
1
1
1
k
con m~ 9; esto permite establecer la
representación
Sea V
a
k=O
k=O
1-1
1
2 1 O
n
se
por
) = m\
L
( 10)
Sea el producto m . (a ... a a a
l.
V
1
inmediato
orden
al
reducción
por
condición
C10)
podemos reemplazar una
• con lo cual la cantidad
Regla ~o §.: Para obtener la representación del producto de
13
será de a'
de cuentas en V
siguiente :
1-1
Regla ~o ~:
de
diferencia
la
calcular
Para
dos
Con a'
- a
1-1
+ 10 > 9 ~ b
1-1
1-1
> b 1-1 ahora es V1-1 la varilla más a
1-1
la
minuendo,
izquierda
extrayendo luego de cada varilla tantas cuentas como sería
condición.
necesario colocar en dicha varilla para la representación
procedimiento y por sucesivas iteraciones lograr que todos
del
De
sustraendo.
~
k
resulta
esto
representación
la
del
Obviamente, la aplicación de esta regla requiere
resultado.
que a
del
representación
la
realiza
se
números,
k
siempre es posible
no fuera,
Si asi
't/ k.
b ,
Por
las
tanto
podemos
de
la
de
unidades
lo
los
iguales que
sean mayores o
los a'
aplicar
b,
esta
con
cumple
que
el
nuevamente
como queríamos
Consideramos primero el producto por un
demostrar.Producto.
sólo dígito.
obtener una representación del minuendo que cumpla con esta
o
aplicación de la Regla N
V
canónica
representación
la
obtiene
continuación)
a
esto
de
(Demostración
finalmente
y
del
n
inferior,
resultado
=
k
[
(m.ak)lO
.
V (Varilla de las unidades)
0
Regla ~o
de
L
sólo
un
1
> b
1
(con b
representación canónica del
~
1
sustraendo).
Está claro que
~
bk, 't/ k
con lo cual sería:
lOP:
es
Sea
decir
colocando
lOP. (a ... a a a
2 1
n
que
ak
la
en contra de
sustraendo,
la hipótesis
inicial.
Entonces,
o e101
)
-
cuentas
en
lOP
r
L
aklOk
la
del
producto
(K+p)-ésima
las unidades.
= rL
a lOk+p
se
obtiene
k
varilla
a
cuenta de V
1
1
> b
1
~
a -1
1
y colocar 10 en v
1-1
12
b
1
la
Como ak es también la
cantidad de cuentas en la k-ésima varilla a la izquierda de
la de las unidades en la representación de a .. . a a a
2 1 O
n
podemos enunciar:
siendo a
la
k=O
k=O
representación
izquierda de la de
~
la
debe
finalmente
que
el
producto,
del
veces
constituye
Esto
primero.
del
"m"
Consideremos ahora el caso especial del producto por
9 por tratarse de una
esta varilla debe existir pues de lo contrario ak
minuendo
superpone
se
(m),
dígito
reducirse a la forma canónica por la regla N° 1.
la varilla más a la izquierda de la de las
unidades tal que a
10k =
Para multiplicar un número cualquiera por otro
representación
1
1
1
k
con m~ 9; esto permite establecer la
representación
Sea V
a
k=O
k=O
1-1
1
2 1 O
n
se
por
) = m\
L
( 10)
Sea el producto m . (a ... a a a
l.
V
1
inmediato
orden
al
reducción
por
condición
C10)
podemos reemplazar una
• con lo cual la cantidad
Regla ~o §.: Para obtener la representación del producto de
13
un número cua 1qu 1era por 10 P, representamos el primero y
desplazamos rígidamente el conjunto de cuentas "p" varillas
hacia la izquierda. Esta es la representación del producto.
Con las reglas anteriormente establecidas,
tratar
ahora
A= a 0 . . . a 2 a 1a 0
caso
el
más
general
por 8 = b •... b2 b 1b0
(lO)
del
<10 >=
..
f
Basta entonces colocar a
L
le
k=O
cuentas en la k-ésima varilla a la derecha de V (1 ~k~ n)
o
para obtener la representación de A.
a=O, aa ... a
1 2
podemos
producto
de
k~O bk 10k
Es
=
n
importante
todas
que
observar
las reglas
anteriormente enunciadas siguen siendo válidas cuando los
números representados contienen cifras decimales.
Enunciamos entonces la siguiente:
bk 10k =
[
Entonces: A.B =A
Siendo bk
aplicación
~
E
k=O
k=O
9 A bk E N, V k el producto A.bk se obtiene por
de
la
regla
4,
el
(A.bk)lO
producto
k
por
aplicación de la regla 5, y la suma~ (A.Bk)lOk aplicando la
Regla No ~: Para calcular la (lOk)-ésima parte de un número
A, reor-esentamos este último y desplazamos rígidamente tal
representación k-varillas
representación de A
lO k
hacia
la
ésta
deFecha;
es
la
regla 2.
a la representación, en el ábaco, de un
número A, es evidente que la representación R' que resulta
de desplazar rígidamente "k" varillas hacia la derecha debe
tener el significado de ser la representación de la
Llamando R
(10k)-ésima parte de A; que llamaremos A', ya que aplicando
la regla 4 al producto lOk. A', corremos rígidamente R'
derecha de Vo.
A= 1
A'
-
1
y R' está
10k
constituido por la cuenta única colocada en la "k"-ésima
varilla a la derecha de V
Lo anterior permite ahora la
o
representación
puesto
de
que
decimales
números
en
particular
"*
~
lOP - 10. 10.
1
. . . . 10
p veces
1
10. 10.
p
"k ..
varillas hacia la izquierda con lo cual obtenemos nuevamente
Esto conduce a asignar significado a las varillas de la
R.
Si
Para representar en forma escrita las potencias de
10 y las fracciones decimales de la unidad introduzcamos los
siguientes símbolos :
o.
o
10
veces
abreviatura para la
cantidad de ceros a escribir a continuación de la unidad y
de indicar por medio de la flecha colocada sobre el
exponente el sentido en que debe desplazarse "p" varillas la
Estos
representación
símbolos
sirven
de
la
unidad
a
de
representación de
decimal.
la correspondiente
15
fin
de
obtener
la
potencia o fracción
un número cua 1qu 1era por 10 P, representamos el primero y
desplazamos rígidamente el conjunto de cuentas "p" varillas
hacia la izquierda. Esta es la representación del producto.
Con las reglas anteriormente establecidas,
tratar
ahora
A= a 0 . . . a 2 a 1a 0
caso
el
más
general
por 8 = b •... b2 b 1b0
(lO)
del
<10 >=
..
f
Basta entonces colocar a
L
le
k=O
cuentas en la k-ésima varilla a la derecha de V (1 ~k~ n)
o
para obtener la representación de A.
a=O, aa ... a
1 2
podemos
producto
de
k~O bk 10k
Es
=
n
importante
todas
que
observar
las reglas
anteriormente enunciadas siguen siendo válidas cuando los
números representados contienen cifras decimales.
Enunciamos entonces la siguiente:
bk 10k =
[
Entonces: A.B =A
Siendo bk
aplicación
~
E
k=O
k=O
9 A bk E N, V k el producto A.bk se obtiene por
de
la
regla
4,
el
(A.bk)lO
producto
k
por
aplicación de la regla 5, y la suma~ (A.Bk)lOk aplicando la
Regla No ~: Para calcular la (lOk)-ésima parte de un número
A, reor-esentamos este último y desplazamos rígidamente tal
representación k-varillas
representación de A
lO k
hacia
la
ésta
deFecha;
es
la
regla 2.
a la representación, en el ábaco, de un
número A, es evidente que la representación R' que resulta
de desplazar rígidamente "k" varillas hacia la derecha debe
tener el significado de ser la representación de la
Llamando R
(10k)-ésima parte de A; que llamaremos A', ya que aplicando
la regla 4 al producto lOk. A', corremos rígidamente R'
derecha de Vo.
A= 1
A'
-
1
y R' está
10k
constituido por la cuenta única colocada en la "k"-ésima
varilla a la derecha de V
Lo anterior permite ahora la
o
representación
puesto
de
que
decimales
números
en
particular
"*
~
lOP - 10. 10.
1
. . . . 10
p veces
1
10. 10.
p
"k ..
varillas hacia la izquierda con lo cual obtenemos nuevamente
Esto conduce a asignar significado a las varillas de la
R.
Si
Para representar en forma escrita las potencias de
10 y las fracciones decimales de la unidad introduzcamos los
siguientes símbolos :
o.
o
10
veces
abreviatura para la
cantidad de ceros a escribir a continuación de la unidad y
de indicar por medio de la flecha colocada sobre el
exponente el sentido en que debe desplazarse "p" varillas la
Estos
representación
símbolos
sirven
de
la
unidad
a
de
representación de
decimal.
la correspondiente
15
fin
de
obtener
la
potencia o fracción
Potencia cion.
sin sentido .
Para
calcula r
el
f+10P. 10n
producto
en
colocamo s una cuenta en V y la desplaza mos
0
01
el
P
01
ábaco,
varillas
Entonces las reglas para el producto de potencia s de
10 y fraccion es decimale s son:
f-
hacia
la izquierd a; éste número multipli cado por lOn
signific a que la represen tación obtenida anterior mente debe
desplaza rse "n" varillas hacia la izquierd a, de acuerdo co~
la Regla 5 .
Las operacio nes anterior es son equivale ntes a
Regla N° 7a: Si los factores tienen exponen tes con el mismo
sentido, el producto lleva por exponen te la suma de los de
los factores y el mismo sentido que el de ellos.
colocar una cuenta en V y desplaz arla (n+p) varillas hacia
o
la izquierd a.
Regla
f-
~
f-
~
~
~
= 10(p+nl
~
Anal icemos ahora el producto 10P. lOn. para obtener
su represen tación colocamo s una cuenta en V
Y la
0
desplaza mos
p
varillas hacia la izquierd a y luego OlnOI
01
01
hacia la derecha, lo cual es equivale nte a colocar la cuenta
en v y luego desplaz arla (p-n) hacia la izquierd a o (n-p)
0
hacia la derecha.
=
aceptand o la
calculis ta antiguo
Si
sentidos ,
los
factores
el
producto
tienen
lleva
exponen tes
por
exponen te
con
la
No hemos podido encontra r reglas generale s para la
potencia ción diferent es del producto reiterad o, a excepció n
del caso particul armente simple de las potencia s de diez.
Conjetur amos que esta misma situació n se presentó a los
antiguos abacista s, dado que no fue posible encontra r
evidenc ia históric a de que este tipo de operacio nes hubieran
sido realizad as con el ábaco.
Llegado a este punto nos resulta necesari o sustitu ir
el cálculo con el ábaco por la aplicaci ón de las reglas
Es decir:
aún
distinto s
7b:
dife ·encía entre ambos, tomando como minuendo al mayor de
ellos y con el sentido de éste.
f------,-
De esto se deduce que 10 p .1 on -- 10( p+n) .
Análogam ente se demuestr a que 10P. 10n
~o
10~
igualdad
sólo
ordinari as del cálculo con las cifras arábigas , tal como ya
se dijo ocurrió en el Siglo XVI.
pues
sabemos
que
para
En consecue ncia, convenim os en usar los signos:
el
una
de las expresio nes tenía
signific ado, pues suponien do que p > n: (n-p) era un número
16
01
+
01
en reemplaz o de
01
f-
01
y
. _.
17
en reemplaz o de
01
~ 01
Potencia cion.
sin sentido .
Para
calcula r
el
f+10P. 10n
producto
en
colocamo s una cuenta en V y la desplaza mos
0
01
el
P
01
ábaco,
varillas
Entonces las reglas para el producto de potencia s de
10 y fraccion es decimale s son:
f-
hacia
la izquierd a; éste número multipli cado por lOn
signific a que la represen tación obtenida anterior mente debe
desplaza rse "n" varillas hacia la izquierd a, de acuerdo co~
la Regla 5 .
Las operacio nes anterior es son equivale ntes a
Regla N° 7a: Si los factores tienen exponen tes con el mismo
sentido, el producto lleva por exponen te la suma de los de
los factores y el mismo sentido que el de ellos.
colocar una cuenta en V y desplaz arla (n+p) varillas hacia
o
la izquierd a.
Regla
f-
~
f-
~
~
~
= 10(p+nl
~
Anal icemos ahora el producto 10P. lOn. para obtener
su represen tación colocamo s una cuenta en V
Y la
0
desplaza mos
p
varillas hacia la izquierd a y luego OlnOI
01
01
hacia la derecha, lo cual es equivale nte a colocar la cuenta
en v y luego desplaz arla (p-n) hacia la izquierd a o (n-p)
0
hacia la derecha.
=
aceptand o la
calculis ta antiguo
Si
sentidos ,
los
factores
el
producto
tienen
lleva
exponen tes
por
exponen te
con
la
No hemos podido encontra r reglas generale s para la
potencia ción diferent es del producto reiterad o, a excepció n
del caso particul armente simple de las potencia s de diez.
Conjetur amos que esta misma situació n se presentó a los
antiguos abacista s, dado que no fue posible encontra r
evidenc ia históric a de que este tipo de operacio nes hubieran
sido realizad as con el ábaco.
Llegado a este punto nos resulta necesari o sustitu ir
el cálculo con el ábaco por la aplicaci ón de las reglas
Es decir:
aún
distinto s
7b:
dife ·encía entre ambos, tomando como minuendo al mayor de
ellos y con el sentido de éste.
f------,-
De esto se deduce que 10 p .1 on -- 10( p+n) .
Análogam ente se demuestr a que 10P. 10n
~o
10~
igualdad
sólo
ordinari as del cálculo con las cifras arábigas , tal como ya
se dijo ocurrió en el Siglo XVI.
pues
sabemos
que
para
En consecue ncia, convenim os en usar los signos:
el
una
de las expresio nes tenía
signific ado, pues suponien do que p > n: (n-p) era un número
16
01
+
01
en reemplaz o de
01
f-
01
y
. _.
17
en reemplaz o de
01
~ 01
y
Hacemos
asignación y no la contraria para
resultados ya conocidos de las potencias
esta
conservar los
+2
positivas, ya que, por ejemplo se sabía que la po t ene i a 10
guiados
particulares,
generales.
'
.
101
consecuencia 10 -2 deberla
ser
= 1/100 (A fines del siglo
. _. para indicar
XVI Stevin utiliza un círculo en lugar del
las potencias negativas).
la
intuición,
pudieron
a
haber
partir
inducido
de
observaciones
ciertas
reglas
Por ejemplo, pudieron haber observado que:
En
era 100 y esto fue denotado por nosotros como 10¿.
por
1
1
=
o en general 10-lt
10
10+ 1
10-1 =
Además como 10-lt
=
1
10
=
10+C1t+ll
lO+It
1
10•1t
10. 10-(lt+ 1 )
Con esta notación las reglas 7a) y 7b) se traducen
ex~iende
en:
se
Reg 1a t:! o 7-ª:
y el inmediato inferior, ahora en las varillas a la derecha
de V •
la relación existente en el ábaco entre un orden
0
1
lO+It
puede inferirse que elevar 10 a una
potencia
negativa equivale a dividir
correspondiente potencia positiva.
la
unidad
por
la
Se visual iza a partir de estas expresiones que los
exponentes son tan números como las bases y que al operar
con ellos se conservan las reglas del cálculo de suma y
resta
de
naturales;
aparecen
además,
resultados
operaciones que no estaban definidas; por ejemplo si a
b
=5
Consideremos
observaciones:
ahora
otros
ejemplos
de
posibles
de
=3
y
3
( 10. )+
2
=
reiterado).
se deduce que:
(efectuando la potencia por producto
A los
l. 000.000 = 10•6 = 10C+2 l.C+ 3 >.
l. 000.000
Pero
efectos de relacionar los exponentes de ( 10.3 )+ 2 con el de
+(3 - 5) = - (5 - 3)
-2
10+
6
con el de
general,
A pesar de no contar con una regla general
efectuar
potencias
en
bases
diferentes
de
10,
pudieron suponer que esta regla era
y que el valor del exponente de una potencia de
potencia estaba dado por el producto de los exponentes de la
podemos
misma.
Sólo restaba ver qué signe debía atribuirse al
producto de las distintas combinaciones de factores de
iguales o diferentes signos,
lo cual
puede hacerse
Calculando algunas potencias de potencias
18
6
para
conjeturar que sí realizaron algunas operaciones simples con
potencias de 10.
10+
19
y
Hacemos
asignación y no la contraria para
resultados ya conocidos de las potencias
esta
conservar los
+2
positivas, ya que, por ejemplo se sabía que la po t ene i a 10
guiados
particulares,
generales.
'
.
101
consecuencia 10 -2 deberla
ser
= 1/100 (A fines del siglo
. _. para indicar
XVI Stevin utiliza un círculo en lugar del
las potencias negativas).
la
intuición,
pudieron
a
haber
partir
inducido
de
observaciones
ciertas
reglas
Por ejemplo, pudieron haber observado que:
En
era 100 y esto fue denotado por nosotros como 10¿.
por
1
1
=
o en general 10-lt
10
10+ 1
10-1 =
Además como 10-lt
=
1
10
=
10+C1t+ll
lO+It
1
10•1t
10. 10-(lt+ 1 )
Con esta notación las reglas 7a) y 7b) se traducen
ex~iende
en:
se
Reg 1a t:! o 7-ª:
y el inmediato inferior, ahora en las varillas a la derecha
de V •
la relación existente en el ábaco entre un orden
0
1
lO+It
puede inferirse que elevar 10 a una
potencia
negativa equivale a dividir
correspondiente potencia positiva.
la
unidad
por
la
Se visual iza a partir de estas expresiones que los
exponentes son tan números como las bases y que al operar
con ellos se conservan las reglas del cálculo de suma y
resta
de
naturales;
aparecen
además,
resultados
operaciones que no estaban definidas; por ejemplo si a
b
=5
Consideremos
observaciones:
ahora
otros
ejemplos
de
posibles
de
=3
y
3
( 10. )+
2
=
reiterado).
se deduce que:
(efectuando la potencia por producto
A los
l. 000.000 = 10•6 = 10C+2 l.C+ 3 >.
l. 000.000
Pero
efectos de relacionar los exponentes de ( 10.3 )+ 2 con el de
+(3 - 5) = - (5 - 3)
-2
10+
6
con el de
general,
A pesar de no contar con una regla general
efectuar
potencias
en
bases
diferentes
de
10,
pudieron suponer que esta regla era
y que el valor del exponente de una potencia de
potencia estaba dado por el producto de los exponentes de la
podemos
misma.
Sólo restaba ver qué signe debía atribuirse al
producto de las distintas combinaciones de factores de
iguales o diferentes signos,
lo cual
puede hacerse
Calculando algunas potencias de potencias
18
6
para
conjeturar que sí realizaron algunas operaciones simples con
potencias de 10.
10+
19
Reagrupa ndo:
consider ando los siguient es ejemplos :
(10-1)+3
_ (-1]•3 (-1]•3 _1 (por producto reite=
10+ 1
=
10
...
1000
e-veces
rado).
e-veces
lO(+a).(+ c) .10(+b).( +c)
Pero
1
1000
=
Entonces ,
=
(a+b).c
= a.c
+ b.c (Propied ad distribu tiva)
Esta ~ropi edad puede demostra rse análogam ente para las restantes combina ciones de signos.
De la misma manera:
=
[(+a).(+c) + (+b).(+c))
Es decir que entre los exponen tes se cumple que:
(-1). (+3) debe ser (-3)
1
10
10-6
l. 000.000
y por consigu iente (+3). (-2)
Todo esto demuest ra que los exponen tes se comporta n
de manera similar a las naturale s en las operacio nes definidas para éstos y proporci onan resultad os en las operacio nes
no definida s, tales como:
= (-6).
Finalme nte, el caso más importan te que conduce a que
el producto de dos números negativo s es un número positivo :
~
=
LIOJ
de donde: ( -1). ( -2)
Además [ 10(a+bl ]e
=
+ (3 - 5)
Lo
b6o]
J
= 10(a+b). 10(a+bl . . . . . 10(a+bl
e-veces
= ( 10•a. 10+b). ( 10•a. lO+b) ... ( 10•a. 10+b) =
e-veces
20
2
y
(-1). (-2)
=
+2.
que
los hindúes habían intuído y tantos
matemát icos, incluído el gran Euler, habían intentad o en vano probar aparecía visible por primera vez a los ojos del
1
+2
=-
hombre. Ya no quedaba lugar para dudas: (-1). (-1) debía ser
1 y no podía ser -1 porque (10- 1 )- 1 es 1O1 que es 1O y no
-1
10
que es O, l.
Corno si a partir de la adopción de la notación decimal y extendie ndo las relacion es existent es entre las potencias .positiva s de 10 surgiera n naturalm ente nuevos números,
los negativo s, amalgam ándose de un modo tan obvio y único
21
Reagrupa ndo:
consider ando los siguient es ejemplos :
(10-1)+3
_ (-1]•3 (-1]•3 _1 (por producto reite=
10+ 1
=
10
...
1000
e-veces
rado).
e-veces
lO(+a).(+ c) .10(+b).( +c)
Pero
1
1000
=
Entonces ,
=
(a+b).c
= a.c
+ b.c (Propied ad distribu tiva)
Esta ~ropi edad puede demostra rse análogam ente para las restantes combina ciones de signos.
De la misma manera:
=
[(+a).(+c) + (+b).(+c))
Es decir que entre los exponen tes se cumple que:
(-1). (+3) debe ser (-3)
1
10
10-6
l. 000.000
y por consigu iente (+3). (-2)
Todo esto demuest ra que los exponen tes se comporta n
de manera similar a las naturale s en las operacio nes definidas para éstos y proporci onan resultad os en las operacio nes
no definida s, tales como:
= (-6).
Finalme nte, el caso más importan te que conduce a que
el producto de dos números negativo s es un número positivo :
~
=
LIOJ
de donde: ( -1). ( -2)
Además [ 10(a+bl ]e
=
+ (3 - 5)
Lo
b6o]
J
= 10(a+b). 10(a+bl . . . . . 10(a+bl
e-veces
= ( 10•a. 10+b). ( 10•a. lO+b) ... ( 10•a. 10+b) =
e-veces
20
2
y
(-1). (-2)
=
+2.
que
los hindúes habían intuído y tantos
matemát icos, incluído el gran Euler, habían intentad o en vano probar aparecía visible por primera vez a los ojos del
1
+2
=-
hombre. Ya no quedaba lugar para dudas: (-1). (-1) debía ser
1 y no podía ser -1 porque (10- 1 )- 1 es 1O1 que es 1O y no
-1
10
que es O, l.
Corno si a partir de la adopción de la notación decimal y extendie ndo las relacion es existent es entre las potencias .positiva s de 10 surgiera n naturalm ente nuevos números,
los negativo s, amalgam ándose de un modo tan obvio y único
21
con los naturales, como si se hubiera armado el antiguo rompecabezas, aquél del sustraendo que buscaba un minuendo sin
UN TEOREMA DE KRONECKER DE DENSIDAD EN
R.J. MIATELLO Y M.L. SALVAI
poderlo encontrar.
BIBLIOGRAFIA EMPLEADA EN LA RESEÑA HISTORICA:
•"D iccionario Enciclopédico Hispano-America no de Literatura, Ciencias y Artes- W.M. Jackson Editor- Londres.
•"El .Universo de los Números " - Lancelot Hogben - Ediciones Destino - Barcelona - 1986.
•Historia de la Matemática- Julio Rey Pastor y José Babini - GEDISA - Barcelona - 1986 .
•"Que
es
la
IR"
matemática"
-
Richard
Courant
y
Robbins Editorial ALOA - Buenos Aires - 1954.
En esta nota generalizaremos algunos resul tactos de
un articulo anterior (R. E. M. Vol. 7 . 1). La diferencia esencial es que trabajaremos en n dimensiones, obteniendo resultados de aproximación "simultánea" de números reales.
El
resultado
principal
es
el
teorema
(13)probado
el
matemático alemán Kronecker . Este teorema es sumamente importante, en particular para la construcción de ejemplos en
disti ntas ramas de la matemática.
Supondremos conocidos los conceptos más básicos del
álgebra lineal, comenzaremos definiendo las nociones de densidad en ~n de manera análoga al caso de IR.
Herbert
Definiciones.
Dada una sucesión {x } en ~". con x
fac. de Ciencias Exactas
Universidad Nacional del Nordeste
9 de Julio 1H9
3400 - Corr 1entes.
por
diremos que ~~ xk
do i = 1, ... , n.
=x =
1 k
(x
, ... ,x
")
si
~~
~
=
xk
(x"
=x
¡k' . .. ,
x")
k
,
para to-
Dado A subconjunto de ~". llamamos clausura de A al
conjunto cl(A) = {x E IR"I existe una sucesión {x} en A con
k
lim xk = x}
Diremos que A es cerrado si A
denso en B si el (A) = B.
= el (A);
Notemos que A e el (A) pues dado x
22
23
E
A,
y que A es
la sucesión