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5
Ecuaciones Diferenciales de
Orden Superior
1.1
1.1. Introducción
En este capítulo resolveremos ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. Estudiaremos diferentes
métodos tanto para ecuaciones lineales como ecuaciones no lineales.
Además se estudiarán las ecuaciones diferenciales de orden superior cuando tenemos problemas de valor
inicial y de valores en la frontera.
1.2
Problemas de valor inicial y de valores en la frontera
Un problema de valor inicial de orden n es:
an HxL
Sujeta a :
yHx0 L = y0 , y' Hx0 L = y1 , ..., yHn-1L Hx0 L = yn
d xn
+ an-1 HxL
d n-1 y
Resolver :
Teorema 1
1.3
dn y
d xn-1
+ ... + a1 HxL
d xn
+ a0 HxL y = gHxL
Sean an HxL, an-1 HxL, ..., a1 HxL, a0 HxL y gHxL continuas en un intervalo I,
y sea an HxL ∫ 0 para todo x del intervalo. Si x = x0 es cualquier punto en el
intervalo, existe una solución en dicho intervalo y(x) del problema de valor
inicial representado por las ecuaciones (1) y (2), y es única.
Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma
dn y
dx
Existencia de una solución única
Ecuaciones Homogéneas
an HxL
dy
+ an-1 HxL
d n-1 y
d xn-1
+ ... + a1 HxL
dy
dx
+ a0 HxL y = 0
se llama homogénea, mientras que una ecuación
(1)
(2)
2
an HxL
dn y
d xn
+ an-1 HxL
d n-1 y
d xn-1
+ ... + a1 HxL
dy
dx
+ a0 HxL y = gHxL
donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea, por ejemplo:
2 y'' + 3 y ' - 5 y = 0
ö Ecuación diferencial homogénea
x3 y''' + 6 y' + 10 y = ex ö Ecuación diferencial no homogénea
Teorema 2
Si y = f1 HxL y y = f2 HxL son soluciones de y’’+by’+cy=0, entonces
y = C1 f1 HxL + C2 f2 HxL
es una solución para todos los números reales C1 y C2 .
D e fi n i c i ó n 1
La ecuación auxiliar de una ecuación diferencial
y '' + by' + cy = 0
es
m2 + bm + c = 0
ésta es la ecuación características de la ecuación diferencial.
La solución de la ecuación diferencial está directamente relacionada con la forma que tengan las raíces
de las ecuación características, para obtenerlas usamos la ecuación cuadrática:
m1,2 =
-b ≤
b2 - 4 * 1 * c
2*1
=
-b ≤
b2 - 4 c
2
Que dan lugar a tres casos expuestos en los siguientes teoremas:
Teorema 3
Soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
y '' + by' + cy = 0
pueden ser de tres clases, dependiendo de cómo sean las soluciones m1 , m2
de la ecuación característica
m2 + bm + c = 0
1.- Raíces reales distintas
Si m1 ∫ m2 , ambas reales, la solución general es:
y = C1 e m 1 x + C2 e m 2 x
2.- Raíces reales iguales
Si m1 = m2 , ambas reales, la solución general es:
y = C1 em1 x + C2 xem1 x
3.- Raíces Compejas
Si m1 = a + b i y m2 = a - b i, la solución general es:
y = C1 eax cosH bxL + C2 eax senH bxL
3
Ejemplo 3.1
Solución :
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y'' + 6 y' + 12 y = 0
1.- Para determinar la solución primero debemos hallar la ecuación auxiliar o característica:
y'' + 6 y ' + 12 y = 0
m2 + 6 m + 12 = 0
ö Ecuación característica
2.- Determinamos las raíces de la ecuación característica
m1,2 =
m1,2 =
b2 - 4 c
-b ≤
2
-6 ≤
-12
=
2
m1 = -3 +
3 i
m2 = -3 -
3 i
=
-6 ≤
36 - 4 * 12
2
-6 ≤
-1
12
2
=
=
-6 ≤
36 - 48
2
-6 ≤ 2
3 i
2
= -3 ≤
3 i
ö Raíces complejas
3.- Dado que las raíces son complejas la solución de la ecuación diferencial será:
y = C1 eax cosHbxL + C2 eax senHbxL
en este caso a = -3
y
b=
3
y = C1 e-3 x cosI 3 xM + C2 e-3 x senI 3 xM
Ejemplo 3.2
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y'' + 4 y' + 4 y = 0
con las condiciones iniciales y(0)=2 y y’(0)=1
Solución :
1.- Para determinar la solución primero debemos hallar la ecuación auxiliar o característica:
y'' + 4 y ' + 4 y = 0
m2 + 4 m + 4 = 0
ö Ecuación característica
2.- Determinamos las raíces de la ecuación característica
m1,2 =
-b ≤
m1,2 = - 2
b2 - 4 c
2
ö
=
-4 ≤
16 - 4 * 4
2
=
-4 ≤
2
0
= -2
Raíces reales iguales
3.- Dado que las raíces son reales e iguales la solución de la ecuación diferencial será:
y = C1 em1 x + C2 xem1 x
y = C1 e-2 x + C2 xe-2 x
4.- En este caso me proporcionan las condiciones iniciales por lo que debemos obtener la
solución única de la ecuación diferencial:
4
aL y = 2 para x = 0
2 = C1 H1L + C2 H0L H1L
2 = C1
bL y' = 1 para x = 0
y' = - 2 C1 e-2 x + C2 Ie-2 x - 2 xe-2 x M
1 = - 2 C1 + C2
ï
1 = - 4 + C2
C2 = 5
Por lo tanto la solución particular será :
y = 2 e-2 x + 5 xe-2 x
Ejemplo 3.3
Solución :
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y''' - y' = 0
1.- Para determinar la solución primero debemos hallar la ecuación auxiliar o característica:
y''' - y ' = 0
m3 - m = 0
ö Ecuación característica
2.- Determinamos las raíces de la ecuación característica
mIm2 - 1M = 0
mHm - 1L Hm + 1L = 0
m1 = 0,
m2 = 1 y m3 = -1
3.- Dado que las raíces son reales e iguales la solución de la ecuación diferencial será:
y = C1 e m 1 x + C2 e m 2 x + C3 e m 3 x
y = C1 + C2 ex + C3 e-x
1.4
Ecuaciones Diferenciales Lineales No homogéneas
Como mencionamos anteriormente las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas son aquellas
cuya forma:
an HxL
dn y
d n-1 y
+ a0 HxL y = gHxL
dx
dx
d xn-1
Si consideremos que son con coeficientes constantes, nos quedaría de la forma:
n
+ an-1 HxL
+ ... + a1 HxL
dy
y'' + by' + cy = FHxL
En este caso la solución se desglosa en una solución homogénea y una solución particular.
Teorema 4
Solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea
5
Sea
y’’+by’+cy=F(x)
una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Si
y p es una solución particular de este ecuación e yh es la solución general
de la correspondiente ecuación homogénea, entonces
y = yh + y p
es la solución general de la ecuación no homogénea.
1.4.1 Operadores diferenciales
En cálculo la diferenciación se puede representar de varias formas:
dy
dx
d
= y ' = Dy
dy
dx dx
=
d2 y
2
dn y
= y'' = DHDyL = D2 y en general
n
= Dn y = yHnL
dx
dx
1.4.2 Método de los coeficientes indeterminados
Ya sabemos cómo calcular la solución de la ecuación diferencial lineal homogénea. El resto de esta
sección se dedica al cálculo de la solución particular y p . Si en la ecuación
y'' + by' + cy = F HxL
la función F(x) consta de sumas o productos de xn , emx , cosbx o senbx, se puede hallar una solución
particular y p por el método de los coeficientes indeterminados. Por ejemplo:
Si F HxL = 2 x2 , tomar y p = Ax2 + Bx + C
1.
Si F HxL = 4 xex , tomar y p = A x ex + B ex
2.
Si FHxL = x + senH2 xL, tomar y p = HAx + BL + CsenH2 xL + DcosH2 xL
3.
Table 1.1. Soluciones Particulares Tentativas
F(x)
1
Forma de y p
A
5x+7
3 x2 + 1
x3 - x + 1
Ax + B
Ax2 + Bx + C
Ax3 + Bx2 + Cx + D
sen 4x
cos 2x
A cos4x + Bsen4x
A cos2x + Bsen2x
xe3 x cos4x
Ejemplo 4.4
HAx + BL e3 x cos4x + HCx + DL sen4x
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y'' - 2 y' - 3 y = 2 senx
6
Solución :
1.- Lo primero es determinar la solución homogénea de la ecuación diferencial yh , para
ello tomamos la ecuación y la igualamos a cero:
y'' - 2 y ' - 3 y = 0
m2 - 2 m - 3 = 0
m1,2 =
2≤
4 + 12
2
=
2≤4
2
=
m1 = 3
m2 = - 1
Por lo que la solución homogénea será:
yh = C1 e3 x + C2 e-x
2.- Ahora determinamos la solución particular:
FHxL = 2 SenHxL
ö
y p = A cosHxL + B senHxL
y p ' = - A senHxL + B cosHxL
aL Determinamos las derivadas :
y p '' = - A cosHxL - B senHxL
bL Sustituimos todas las derivadas en la ecuación diferencial :
y'' - 2 y' - 3 y = 2 senx
H- A cosHxL - B senHxLL 2 H- A senHxL + B cosHxLL - 3 HA cosHxL + B senHxLL = 2 senHxL
- A cosHxL - B senHxL + 2 A senHxL - 2 B cosHxL - 3 A cosHxL - 3 B senHxL = 2 senHxL
Sacamos factor común de Sen(x) y Cos(x):
H- A - 2 B - 3 AL cosHxL + H- B + 2 A - 3 BL senHxL = 2 senHxL
H-4 A - 2 BL cosHxL + H-4 B + 2 AL senHxL = 2 senHxL
Hacemos las igualaciones :
-4 A - 2 B = 0
ö
B = -2 A
-4 B + 2 A = 2
ö
-4 H- 2 AL + 2 A = 2
A=
ö
B=
1
5
-2
5
y p = A cosHxL + B senHxL
yp =
1
5
cosHxL -
2
5
senHxL
3.- Ahora la solución general es:
y = yh + y p
y = C1 e3 x + C2 e-x +
1
5
cosHxL -
2
5
senHxL
ö 8 A+2 A = 2
7
1.4.3 Método de variación de las constantes
D e fi n i c i ó n 2
Variación de las constantes
La solución general de la ecuación y '' + ay' + by = FHxL, se puede
hallar siguiendo estos pasos:
1. Hallar yh = C1 y1 + C2 y2 .
2. Reemplazar las constantes por funciones, tomando y p = u1 y1 + u2 y2 .
3. Resolver el siguiente sistema en u1 ' y u2 '
u 1 ' y1 + u 2 ' y2 = 0
u1 ' y1 ' + u2 ' y2 ' = FHxL
4. Integrar los resultados para obtener u1 y u2 . La solución general es
y = yh + y p
Ejemplo 4.5
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y'' - 2 y' + y =
Solución :
ex
2x
La ecuación característica m2 - 2 m + 1 = Hm - 1L2 = 0 tiene como solución m=1. Por
tanto, la solución general de la ecuación homogénea es
yh = C1 y1 + C2 y2 = C1 ex + C2 xex
Sustituyendo C1 y C2 por u1 y u2 se obtiene
y p = u1 y1 + u2 y2 = u1 ex + u2 xex
Aplicamos el método de la variación de constantes que establece :
u 1 ' y1 + u 2 ' y2 = 0
u1 ' y1 ' + u2 ' y2 ' = FHxL
u1 ' ex + u2 ' xex = 0
Sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas
Restamos las dos ecuaciones:
-u1 ' ex - u2 ' xex = 0
u1 ' ex + u2 ' Hx ex + ex L =
ex
2x
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
u2 ' e x =
ex
2x
u1 ' ex + u2 ' Hx ex + ex L =
ex
2x
8
1
2x
-1
2
u2 ' =
u1 ' =
1
u2 = ‡
2x
-1
u1 = ‡
2
dx =
dx =
Integramos ambos lados de la igualdad
1
2
LnHxL = Ln
-1
2
x
x
Por lo tanto la solución particular será :
yp =
-1
2
x ex + ILn
x M x ex
y la solución general será :
y = yh + y p
y = C1 ex + C2 xex -
Ejemplo 4.6
Solución :
1
2
x ex + ILn
x M x ex
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y'' + y = TanHxL
La ecuación característica m2 + 1 = 0 tiene como solución m=±i. Por tanto, la solución
general de la ecuación homogénea es
yh = C1 eax cosHbxL + C2 eax senHbxL = C1 cosHxL + C2 senHxL
Sustituyendo C1 y C2 por u1 y u2 se obtiene
y p = u1 y1 + u2 y2 = u1 cosHxL + u2 senHxL
Aplicamos el método de la variación de constantes que establece :
u 1 ' y1 + u 2 ' y2 = 0
u1 ' y1 ' + u2 ' y2 ' = FHxL
u1 ' cosHxL + u2 ' senHxL = 0
Sistema ecuaciones
u1 ' H-senHxLL + u2 ' cosHxL = TanHxL =
senHxL
cosHxL
Para resolver el sistema de ecuaciones multiplicamos la primera ecuación por sen(x) y la
segunda ecuación por cos(x).
9
u1 ' cosHxL senHxL + u2 ' senHxL senHxL = 0
-u1 ' senHxL cosHxL + u2 ' cosHxL cosHxL = cosHxL
senHxL
cosHxL
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
u2 ' Isen2 HxL + cos2 HxLM = senHxL
u2 ' =
senHxL
u1 ' =
-
sen2 HxL
cosHxL
Integramos ambos lados de la igualdad
u2 = ‡ senHxL dx = - cosHxL
‡-
sen HxL
2
cosHxL
u1 =
dx = ‡
cos2 HxL - 1
cosHxL
dx = ‡ cosHxL - secHxL dx = senHxL - ‡ secHxL dx
Resolvemos esta integral ‡ secHxL dx = ‡
secHxL HsecHxL + tan HxLL
dx
sec2 HxL + secHxL tanHxL
dx
HsecHxL + tanHxLL
= ‡
HsecHxL + tanHxLL
u=
= ‡
secHxL + TanHxL
du = Isec2 HxL + sec HxL tanHxLM dx
Y ahora hacemos el cambio de variable
du
u
= LnHuL = LnHsecHxL + TanHxLL
u1 = senHxL - LnHsecHxL + TanHxLL
Por lo tanto la solución particular será :
y p = @senHxL - LnHsecHxL + TanHxLLD cosHxL + H- cosHxLL senHxL
y la solución general será :
y = yh + y p
y = C1 cosHxL + C2 senHxL + @senHxL - LnHsecHxL + TanHxLLD cosHxL + H-cosHxLL senHxL
10
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
Dennis Zill y Michael Cullen “ECUACIONES DIFERENCIALES”, 5ta y 6ta edición.
[2]
Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2da edición
[3]
N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra edición
[4]
Roland Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta edición
[5]
James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE".
[6]
Murray Spiegel, “ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS”, 3era edición.