UNIDAD 4

UNIDAD 4
SOLUCIÓN GRÁFICA
DE PROBLEMAS DE P.
de dos dimensiones
especiales.
L.
Investigación de operaciones
Introducción
D
espués de construir modelos matemáticos de programación
lineal, necesitamos desarrollar métodos que nos permitan
encontrar la solución de estos modelos. En esta unidad se
resolverán modelos de P. L. de dos variables (2 dimensiones) por el
método gráfico.
Los pasos a seguir en este método son:
Aunque difícilmente se encuentran ejemplos reales de dos dimensiones,
nos sirven como antecedente para comprender mejor el método símplex
analítico o tabular, el cual se estudiará en la siguiente unidad. Este
método se utiliza para resolver problemas de P. L. de n dimensiones.
Además realizaremos un análisis de sensibilidad, el cual consiste en
estudiar el comportamiento de la solución óptima cuando se cambian
los coeficientes de la función objetivo o las cantidades limitantes de
las restricciones. Habrá modelos cuya solución no exista o bien no sea
única, también analizaremos algunos ejemplos de este tipo, los cuales se
presentan continuamente en la realidad.
4.1. Gráfica de rectas y regiones en el plano
Una línea recta es un objeto geométrico. Euclides definió la recta como
la distancia más corta entre dos puntos en el plano. Más tarde Descartes
asocia a toda línea recta una representación algebraica a través de una
ecuación lineal de dos variables. La definición en geometría analítica de
la línea recta es:
Decimos que una línea recta que pasa por el punto (x0, y0)
está formada por todos los puntos del plano cartesiano (x, y) tales que la
relación
125
Unidad 4
m
y y0
x x0
permanece constante. A este número se le da el nombre de pendiente de
una línea recta y se denota con la letra m.
Geométricamente la pendiente de una línea recta es la tangente del
ángulo que forma la recta con el eje positivo de las abscisas (ángulo
de inclinación) medido en el sentido contrario al movimiento de las
manecillas del reloj (véase la f igura 4.1.).
Figura 4.1. Gráf ica de una línea recta.
La ecuación general de una línea recta es de la forma Ax + By + C = 0,
donde A, B y C son números reales. Ésta es una ecuación de primer
orden con dos incógnitas que tiene un grado de libertad, esto quiere
decir que podemos dar un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas
y después despejar el valor de la otra variable. El conjunto solución de
esta ecuación es inf inito y representa todos los puntos que forman la
línea recta.
Ejemplo 1
Obtener la gráfica de la ecuación 3x – 2y = 8.
Sabemos que dados dos puntos, sólo existe una recta que pasa por ellos,
por lo tanto, basta conocer estos dos puntos que pertenecen a la línea
recta para poderla trazar.
126
Investigación de operaciones
1. Damos un valor arbitrario a la variable y que puede ser el valor cero
(y = 0), sustituimos en la ecuación: 3x – 2(0) = 8. Se resuelve la ecuación
8
, por lo que el primer
resultante 3x = 8. Despejamos x y obtenemos x
3
8
,0 .
punto de la recta es
3
2. En la ecuación 3x – 2y = 8, damos el valor arbitrario 2 a la variable x
(x = 2), sustituyendo en la ecuación se tiene 3(2) – 2y = 8. La ecuación
8 6
resultante es 6 – 2y = 8. Despejamos y para obtener y
donde y = – 1.
2
Se obtiene así el segundo punto de la recta: (2, – 1).
3. Localizamos estos puntos en un plano cartesiano y trazamos la recta
cuya ecuación es 3x 2 y 8 .
y
x
Ejercicio 1
1. La pendiente de una línea recta es ______________________ del ángulo
de inclinación.
2. Euclides def inió la línea recta como _____________________más corta
entre dos puntos en el plano.
127
Unidad 4
3. La intersección de la ecuación x – 3y = 10 con el eje de las ordenadas es:
a) (0, 10)
10
b) 0,
3
c) 0,
10
3
d) 0,
3
10
4. La gráf ica de la ecuación x + y = 0 es:
y
y
x
y
x
y
x
5. La gráfica de la ecuación 2x1 + 4x2 = 4 es:
a)
b)
c)
d)
6. Obtener la gráf ica de la ecuación 6x – 5y = 30
128
x
Investigación de operaciones
4.1.1. Gráfica de desigualdades
lineales de dos variables
Una desigualdad lineal de una variable, así como una desigualdad lineal
de dos variables, tienen por solución una región del plano cartesiano.
Por ejemplo, si tenemos la desigualdad x + y > 0, el punto (2, 3)
pertenece al conjunto solución de esta desigualdad ya que 2 + 3 = 5 > 0 y, en
general, el conjunto solución de esta desigualdad está dada por el plano
que se encuentra sobre la recta x + y = 0. Gráf icamente se representa
como la región sombreada (véase la f igura 4.2.):
y
x
Figura 4.2.
En este caso los puntos de la recta no pertenecen al conjunto solución, ya
que estos puntos hacen que se cumpla la igualdad y no la desigualdad.
En los modelos de I. O. generalmente se permiten ambos, es decir, la
igualdad y la desigualdad. Esto lo denotamos uti li zando los símbolos
< (menor o igual que) o > (mayor o igual que). En estos casos la línea
recta pertenece al conjunto solución y se marca como una línea continua.
Si queremos graf icar una desigualdad lineal, se procede como sigue:
1. Graficar la igualdad asociada a la restricción. Con esto obtenemos una
línea recta, la cual divide al plano cartesiano en dos regiones.
2. Para saber cuál de las dos regiones satisface la desigualdad, tomamos
un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la
desigualdad.
129
Unidad 4
3. Si la desigualdad se cumple, entonces la región donde tomamos el
punto es la región solución. Si no satisface la desigualdad entonces la
región solución es la opuesta a donde tomamos el punto.
Ejemplo 2
Obtener la gráfica de la desigualdad 5x1 + 3x2 < 10
1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada: 5x1 + 3x2 = 10
2. Se toma un punto, por ejemplo, (5, 10) que está por encima de la
recta.
3. Lo sustituimos en la desigualdad 5(5) + 3(10) < 10 y verif icamos que
ésta se cumpla:
5(5) + 3(10) < 10
25 + 30 < 10
55 < 10
Observamos que esta expresión es falsa, por lo tanto se toma la
región que no incluye al punto seleccionado. Esto quiere decir que la región
solución es la sombreada en la siguiente f igura:
130
Investigación de operaciones
Figura 4.3.
Ejemplo 3
Obtener la gráfica de la desigualdad 2x1 + 3x2 < 6
1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada 2x1 + 3x2 = 6
2. Se elige el punto (0, 0) que está por debajo de la recta.
3. Sustituimos en la desigualdad y verif icamos si se satisface:
2(0) 3(0) 6
0 0 6
0 6
131
Unidad 4
El origen cumple con la desigualdad, por lo tanto se toma la región
que incluye al origen, la gráf ica es la región sombreada en la siguiente
f igura:
Figura 4.4.
Ejemplo 4
Obtener la gráfica de la desigualdad 2x1 + 6x2 > 12
1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada.
132
Investigación de operaciones
2. Se elige el punto (2, 0) que está por debajo de la línea recta.
3. Sustituimos este punto en la desigualdad y verificamos si la satisface:
2(2) + 6(0) > 12
4 + 0 > 12
4 > 12
Esta última expresión es falsa, por lo tanto, se toma la región que no
contiene al punto (2, 0). La región es la parte sombreada en la siguiente
f igura:
Figura 4.5.
Ejercicio 2
1. La gráfica de la desigualdad 3x1 – 5x2 > 15 es:
3
–3
133
Unidad 4
2. Para graficar una desigualdad lineal primero se traza la _______________
asociada.
3. La gráfica de la desigualdad x1 > 0 es:
a)
x2
y1
b)
x2
x1
4. La gráf ica de la desigualdad x2
es:
5. Obtener la gráf ica de la desigualdad 3x1 + 6x2 < 30
6. Obtener la gráf ica de la desigualdad 2x1 + 10x2 > 20
134
Investigación de operaciones
4.2. Región de soluciones factibles
en maximización
En la sección anterior aprendimos a graficar desigualdades lineales con
dos incógnitas, esto nos va a ayudar a obtener la solución de problemas
de P. L., los cuales se resuelven primero por método gráf ico; para
posteriormente utilizar un método analítico.
Un modelo de maximización de P. L. de dos dimensiones tiene la forma
general:
Zmáx = f(x1, x2)
Sujeto a las restricciones (s. a.):
a11x1 + a12x2 < b1
a21x1 + a22x2 < b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 < bn
con las condiciones de no negatividad:
x1 > 0
x2 > 0
Donde:
Zmáx = f(x1, x2) es una función lineal de dos variables, la cual queremos
maximizar; un conjunto de desigualdades lineales de dos variables, las
cuales pueden ser de la forma menor o igual que y la condición de no
negatividad para las variables.
Lo primero que debemos hacer es buscar la región del plano que
contiene los puntos solución de todas las desigualdades, para hacerlo
primero debemos graficar cada una de las desigualdades y posteriormente
empalmar todas las gráficas, la intersección de todas las regiones solución,
es llamada
. O bien en un solo sistema
coordenado se grafica al conjunto de restricciones (rectas y regiones) y
la intersección será la región de soluciones factibles.
135
Unidad 4
Ejemplo 5
Obtener la región de soluciones factibles del siguiente conjunto de
desigualdades.
3x1 + 2x2 < 6
x1 + x2 > 0
Graficamos por separado cada una de las desigualdades y obtenemos:
3x1 + 2x2 < 6
x1 + x2 > 0
Si empalmamos estas dos gráficas, podremos observar que se intersectan
en una franja, que se forma entre las dos líneas rectas.
136
Investigación de operaciones
Esta zona contiene los puntos solución de ambas desigualdades, por
ejemplo, el punto (1, 1) está dentro de esta zona y al sustituirlo en las
desigualdades las satisface:
3(1) + 2(1) < 6
3+2<6
5<6
1+1>0
2>0
Sin embargo, el punto (4, 5) sólo está en la zona de la desigualdad x1 + x2 > 0,
esto quiere decir que solo satisface esta desigualdad. Para verificarlo se
sustituye en ambas desigualdades el punto mencionado.
3(4) + 2(5) < 6
12 + 10 < 6
22 < 6
Falso
4+5>0
9>0
Verdadero
Por lo tanto este punto no pertenece a la región de soluciones factibles.
Nota. La región de soluciones factibles de un conjunto de desigualdades
también se llama región factible.
Cuando tenemos varias desigualdades, la zona factible puede ser de dos
formas:
137
Unidad 4
Si la región factible es no acotada, quiere decir que se puede extender
indefinidamente hacia algún extremo del plano cartesiano. Si es acotada,
lo que tenemos es un polígono i rregular que contiene todos los
puntos solución del sistema. Es importante añadir que las líneas del
polígono también pertenecen a la zona factible; recordemos que estamos
trabajando con desigualdades donde la igualdad se incluye.
Ejemplo 6
Obtener la región factible del siguiente conjunto de desigualdades.
3x1 + 2x2 < 18
x2 < 6
x1 < 4
x1 > 0
x2 > 0
a) Graficamos la primera desigualdad que es 3x1 + 2x2 < 18
138
Investigación de operaciones
b) Graficamos la segunda desigualdad que es x2 < 6
6
3
–3
–6
c) Graf icamos la tercera desigualdad que es x1 < 4
d) Las desigualdades cuarta y quinta nos indican que nos limitamos a
valores positivos de x1 y x2 dentro del primer cuadrante.
139
Unidad 4
e) Finalmente, si colocamos todas las gráficas en un mismo plano
cartesiano y sombreamos sólo la parte donde se traslapan, obtenemos la
zona factible.
En este caso obtuvimos un polígono irregular de 5 lados.
Otro método
Podemos graf icar todas las desigualdades sobre un mismo sistema
coordenado marcando con una f lecha la región que corresponde a cada
una. La intersección es la región factible como se muestra en la f igura
4.6.
Figura 4.6.
140
Investigación de operaciones
Ejemplo 7
Obtener la región factible del siguiente problema de P. L.
s.a.: Zmáx = 3x1 + x2
3x1 + 2x2 < 12
x1 + x2 > 1
x2 < 3
x1 > 0
x2 > 0
Graficamos cada una de las desigualdades:
3x1 + 2x2 < 12
a) Graficamos primero la igualdad 3x1 + 2x2=12
x1
0
x2
0
3(0) 2x2 12
3x1 2(0) 12
12
6
2
(0, 6)
12
3
(4, 0)
x2
x1
4
141
Unidad 4
b) Ahora sustituimos el punto (6, 6) en la desigualdad.
3x1 2x2 12
3(6) 2(6) 12
18 12 12
30 12
Como la desigualdad es falsa, se considera la región que no contiene el
punto.
x1 + x2 > 1
a) Graficamos primero la igualdad asociada x1 + x2 = 1
x1
142
0
x2
0
0 x2 1
x1 0 1
x2 1
x1 1
(0, 1)
(1, 0)
Investigación de operaciones
b) Ahora sustituimos el punto (2, 2) en la desigualdad.
x1
x2 1
2 2 1
4 1
Como la última expresión es verdadera, entonces el punto es un punto
solución de la desigualdad y, por lo tanto, se considera la región que lo
contiene.
x2 < 3, x1 > 0, x2 > 0
a) Graf icamos las igualdades asociadas a cada desigualdad. La primera
es una línea paralela al eje x1 al igual que la tercera. La segunda es una
línea paralela al eje x2 que pasa por el origen.
Nota. En este tipo de rectas no es necesario obtener dos puntos para
graficarlas.
143
Unidad 4
b) Las desigualdades x1> 0, x2 >0 nos limitan al primer cuadrante del
plano cartesiano, mientras que la desigualdad x2 < 3 se satisface con los
puntos que están por debajo de la recta asociada, por lo tanto, la zona
solución de estas desigualdades es:
Ahora colocamos todas las gráficas en un plano cartesiano y obtenemos
la región factible del problema de P. L.
x2
4
3
2
1
–4
–2
–1
–2
–3
–4
2
4
x1
Obtenemos un polígono irregular de 5 lados. Cada uno de los segmentos
de línea que limitan la región factible, recibe el nombre de fronteras. La
intersección de dos fronteras forma un vértice. Decimos que dos vértices
son adyacentes si comparten una frontera.
Se asegura (como resultado de un teorema) que la solución óptima de
nuestro problema (al maximizar o minimizar la función objetivo) se
encuentra en uno de los vértices de la región factible.
144
Investigación de operaciones
Para saber cuál de los cinco vértices es el punto solución óptima, tenemos
que graf icar la función objetivo. Para hacerlo, tomamos un punto arbitrario
de la región factible y lo sustituimos en la función objetivo para obtener un
valor inicial. Por ejemplo, tomemos el punto (2, 2).
Zmáx=3x1 + x2
Z(2, 2)=3(2) + 2
Z(2, 2)=8
Ahora buscamos todos los puntos del plano para los cuales la función
objetivo tiene el valor 8. Estos puntos los encontramos graf icando la
ecuación 3x1 + x2=8
Sólo un segmento de esta recta cae dentro de la región factible, es
justamente este segmento el que contiene todos los puntos que son las
combinaciones que pueden tomar nuestras variables de decisión, sin
embargo, todas ellas dan a nuestra función objetivo el valor constante de
ocho. Sabemos que el lado derecho de una ecuación lineal determina la
posición de la recta dentro del sistema cartesiano, sin afectar la pendiente
de la misma. Se trata de que la función objetivo asuma el máximo
valor posible, entonces tomamos un valor mayor a ocho, digamos 10 y
graficamos dentro del sistema cartesiano, es decir, se grafica la ecuación
3x1 + x2=10
145
Unidad 4
Al darle un valor más grande a nuestra función objetivo, ésta se desplazó
hacia la derecha, entonces debemos desplazarla en esta dirección sin
salirnos de la región factible. Esto lo podemos hacer con ayuda de unas
escuadras y unas hojas milimétricas, para poder identif icar el último
punto que toca la función objetivo.
Así encontramos que la solución óptima del modelo de P. L. dado es x1 = 4
y x2 = 0 con el cual obtenemos un valor máximo de la función objetivo
en Z = 12, ya que no existe ningún punto dentro de la región factible que
haga que la función objetivo tome un valor mayor a 12.
146
Investigación de operaciones
Ejemplo 8
Recordemos que en la primera unidad se planteó el siguiente problema:
La empresa Patito produce dos tipos de detergentes, uno para ropa blanca
y otro para ropa de color. El detergente de ropa blanca deja una ganancia
de $ 2 por litro vendido, mientras que el de ropa de color deja una
ganancia de $ 3. La empresa sólo puede producir 10 litros del de color
y 15 del de ropa blanca al día. Los vendedores pueden vender como
máximo 15 litros de detergente al día sin importar de cual se trate. ¿Cuál
es la combinación que maximiza las ganancias de la empresa?
El modelo de programación lineal asociado es:
Zmáx = 2x + 3y
s.a.: x + y < 15
(1)
x < 15
(2)
y < 10
(3)
x>0
(4)
y>0
(5)
Si resolvemos este modelo utilizando el método gráfico, obtenemos:
147
Unidad 4
a) Graficamos cada una de las desigualdades sobre un mismo sistema
cartesiano para hallar la zona factible.
y
20
1
4
2
15
10
3
5
–5
5
10
15
20
2x
b) Tomamos un punto arbitrario dentro de l a zona facti bl e y
lo sustitui mos en l a f unción obj etivo, para hal l ar un val or y
poder graf i carl a. Por ejemplo el punto (5, 5); por l o tanto,
Z(5, 5) = 2(5) + 3(5) = 25, con lo que tenemos que graf icar la ecuación
2x + 3y=25
c) Damos un valor mayor (Z = 28) y graficamos, para ver hacia dónde se
mueve la función objetivo.
148
Investigación de operaciones
En general siempre que demos un valor mayor al lado derecho de una
ecuación lineal de dos variables, esta se va a desplazar a la derecha sobre
el eje horizontal. Si la línea es paralela a este eje, entonces se desplaza
hacia arriba.
d) Desplazamos la función objetivo en la dirección de maximización, sin
salirnos de la región factible. El último punto que toque es la solución
óptima.
Esto quiere decir que debemos producir 5 litros del detergente para ropa
blanca y 10 litros de detergente para ropa de color, con esta combinación
la empresa va a tener una ganancia de $ 40.
149
Unidad 4
Ejercicio 3
1. Un modelo de P. L. está formado por una función _________________
que se tiene que maximizar o minimizar.
2. El método gráf ico se utiliza para resolver problemas en __________
dimensiones.
3. El área donde coinciden todas las gráf icas de las desigualdades se
llama:
a) Solución.
b) Región factible.
c) Región no factible.
4. Si la región factible es acotada, lo que obtenemos es un:
a) Cuadrado.
b) Triángulo.
c) Polígono irregular.
5. Los candidatos a solución del problema son:
a) Los puntos interiores.
b) Los puntos exteriores.
c) Los vértices.
6. Obtener la región factible del siguiente modelo de programación
lineal, además de la solución óptima con el valor de Zmáx:
Zmáx = 4x1 + x2
s.a.: 6x1 + 2x2 < 12
x1 + 2x2 > 1
x2 < 3
x1 > 0
x2 > 0
150
Investigación de operaciones
4.3. Región de soluciones factibles
en minimización
En esta sección resolveremos problemas de P. L. por método gráfico,
donde la función objetivo se va a minimizar. Como los pasos a seguir son
esencialmente los mismos, vamos a desarrollar el método resolviendo el
siguiente problema.
3x1 2x2 12
Ejemplo 9
x x 1
Resolver el siguiente problema de P1. L. 2
x2 3
Zmín = 3x1 + x2x1 0
x2 0
s.a.:
Su región factible ya la calculamos, por lo tanto sólo la dibujamos:
Ahora debemos graf icar la función objetivo. La gráf ica queda entonces
de la siguiente forma:
151
Unidad 4
La diferencia es que ahora le damos un valor menor a la función objetivo
y observamos hacia donde se desplaza. Por ejemplo, con el valor Z = 4
graficamos la línea recta 3x1 + x2=4
La recta se desplaza hacia la izquierda, por lo tanto debemos desplazar
esta recta paralelamente hasta alcanzar el último punto de la región
factible.
152
Investigación de operaciones
De esta manera, la solución óptima se encuentra en el vértice (0, 1),
donde la función objetivo toma el valor Zmín=1.
La única diferencia para resolver un problema de maximizar o de
minimizar es la dirección en la que se debe desplazar la línea que
representa la función objetivo.
Ejercicio 4
Obtener la región factible de los siguientes modelos de programación
lineal, además de la solución óptima
1. Zmín=4x1 + x2
s.a.: 6x1 2x2 12
x1 2x2 1
x2 3
x1 0
x2
0
2. Zmín=x1 + 4x2
s.a.: 6x1 2x2 12
x1 2x2
2
x1 3
x1 0
x2
0
4.4. Solución gráfica con propiedades
especiales
Al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales, existen tres casos
posibles:
153
Unidad 4
En las secciones anteriores estudiamos ejemplos que tenían solución
única, sin embargo, existen aplicaciones en las cuales sucede alguno de
los otros dos casos posibles. Para poder resolver estos problemas se tienen
que hacer algunas modif icaciones al método, las cuales presentamos a
continuación.
Cuando la región factible del modelo es no acotada, en ocasiones al
desplazar la función objetivo, de tal manera que ésta se optimice, la recta
no alcanza un último punto, en este caso decimos que el problema tienen
una solución ilimitada.
Ejemplo 10
Resolver por método gráfico el siguiente problema de P. L.
Zmmáxá x
2x1
x2
s.a.: x1 2x2 10
x2 3
x1 0
x2
0
a) Graf icamos cada una de las desigualdades para hallar la región
factible.
3
154
Investigación de operaciones
En este caso la región factible es no acotada, por lo tanto puede suceder
que la solución del problema sea ilimitada.
b) Tomamos un punto arbitrario dentro de la región factible y lo
sustituimos en la f unción objetivo, para hallar un valor y graficar. Por
ejemplo el punto (20, 2). Z(20, 2) = 2(20) – 2 = 38. Graf icamos entonces la
ecuación 2x1 – x2 = 38
c) Si desplazamos esta recta hacia la derecha para que tome valores cada
vez mayores, tenemos el inconveniente de que la región factible es no
acotada. Esto quiere decir que el problema tiene soluciones ilimitadas y
que la función puede crecer tanto como queramos.
Cuando las gráficas solución de las desigualdades no tienen regiones en
común, no se obtiene región factible, esto es, no existe ningún punto
del plano que pueda satisfacer al mismo tiempo a cada una de las
desigualdades lineales del modelo de programación lineal. En este caso
el modelo de P. L. no tiene solución.
155
Unidad 4
Ejemplo 11
Hallar la solución del siguiente problema de P. L.
Zmáx
máx
x1
2x1 x2
2x2 10
x1 15
x1
0
x2
0
Graficamos cada una de las desigualdades para hallar la región factible.
–4
En color gris claro mostramos la región donde se traslapan la solución de
la desigualdad x1 + 2x2 < 10 y las desigualdades de no negatividad. En
color gris oscuro mostramos la región donde se traslapan las soluciones de
la desigualdad x1 > 15 con las desigualdades de no negatividad. En este
caso la región solución de las desigualdades no coinciden, por lo tanto no
existe región factible, lo que implica que el sistema no tiene solución.
Otra posibilidad es que la pendiente de la recta que representa la función
objetivo sea igual a la pendiente de alguna de las fronteras del vértice
solución, en este caso todo el segmento de dicha frontera es solución del
modelo por lo que se tiene una inf inidad de soluciones, las cuales nos
dan el mismo valor de Z.
156
Investigación de operaciones
Ejemplo 12
Resolver el siguiente modelo de programación lineal.
Z
Zmáx
má x
8x1 2x2
4x1 x2 10
x1 3
x1 0
x2
0
Aplicando el método gráf ico obtenemos:
Al desplazar la función objetivo a la derecha, esta se traslapa con la recta
4x1 + x2=15, por lo tanto todos los puntos entre los vértices (0, 15) y
(3, 3) son soluciones óptimas del modelo, lo que implica que se tiene una
infinidad de soluciones.
157
Unidad 4
Ejercicio 5
1. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.
Zmáx
máx
5x1 2x2
s.a.: 3x1 6x2 12
4x1 2x2 8
x1 1
x2
3
x1, x2
0
2. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.
Zmín
mí n
10x1 8x2
s.a.: 3x1 6x2 12
2x1 2x2 14
x2 5
2x1 2x2
x1, x2
8
0
3. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.
Zmmáx
áx
5x1 10x2
s.a.: 3x1 9x2 9
2x1 3x2 12
4x1 3x2 8
x1 , x2
0
4. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.
Zmáx
máx
5x1 10x2
s.a.: 4x1 2x2
8
x1 2x2
x2
5
x1, x2
158
0
4
Investigación de operaciones
5. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.
Zm á x
10x1 5x2
s.a.: 2x1 x2 10
4x1 6x2 24
x1
x2 8
x1, x2
0
4.5. Análisis gráfico de sensibilidad
Una vez que obtuvimos la solución del modelo de programación lineal,
debemos realizar un análisis de sensibilidad, debido a que los sistemas
con los que se trabaja en la realidad son dinámicos y no estáticos. Por
ejemplo, ¿cómo se afecta la solución si cambiamos los coef icientes de
la función objetivo? o ¿qué pasa si se varían las cantidades limitantes
en las desigualdades? Esto es importante, ya que si la empresa tiene
capital para comprar una mayor cantidad de alguna de las materias
primas, debemos decidir en cual nos conviene este aumento. El análisis
de sensibilidad presentado en esta sección se basa en ideas gráficas, un
análisis analítico lo vamos a llevar a cabo en la unidad 5.
Los coef icientes de la función objetivo representan la utilidad unitaria
de cada uno de los productos, o bien el costo unitario. En ambos casos
una variación en estos datos hacen que la función objetivo cambie.
Para llevar a cabo el análisis de sensibilidad en este caso, revisemos el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 13
Una empresa fabrica bocinas de 3” y 8” de diámetro. Las bocinas de
3” dejan una utilidad de $ 20, mientras que las de 8” de $ 30. La
empresa puede fabricar como máximo 300 bocinas al día, por políticas
del departamento de ventas se deben produci r al menos 100 bocinas de
3” y como máximo 150 bocinas de 8”. ¿Cuántas bocinas de cada tamaño
se deben producir para maximizar la utilidad?
159
Unidad 4
Las variables de decisión son:
x1= número de bocinas de tres pulgadas que se deben fabricar.
x2= número de bocinas de ocho pulgadas que se deben fabricar.
El modelo de P. L. asociado a este problema es:
Zmáx
máx
20x1 30x2
s.a.: x1
x2 300
x1 100
x2 150
x1 0
x2
0
Los coeficientes de la función objetivo se obtienen de las ganancias que
deja cada tipo de bocinas. Aplicando el método gráfico, obtenemos la
siguiente región factible.
En el punto (150, 150) Zmáx tiene un valor de $ 7 500. La pregunta ahora
es ¿qué pasa con la solución si la ganancia de la bocina de 3” aumenta
a $ 25? Este cambio hace que la función objetivo cambie de coeficientes,
sin embargo, no afecta ninguna de las desigualdades, por lo tanto la zona
factible se mantiene igual y lo único que cambia es la inclinación de la recta
que representa la función objetivo. Lo que nos interesa saber es si debemos
seguir produciendo 150 bocinas de cada tipo, o si este cambio realizado
afecta nuestra solución. Esto depende de qué tanto cambie la inclinación de
la recta. Realicemos un análisis gráfico para determinar el rango en que se
puede variar la inclinación de dicha recta sin cambiar el vértice solución.
160
Investigación de operaciones
L a ecuaci ón de l a recta asoci ada a Zmáx en el punto solución es:
20
2
.
20x1 + 30x2=7 500, con una pendi ente de m1
3
30
Zmáx con la modificación del coef iciente asociado a la bocina de 3” es:
25
5
25x1 + 30x2=7 500, con una pendiente m2
. Si graf icamos
6
30
ambas rectas obtenemos lo siguiente:
La pendiente disminuyó, lo que hizo que la recta se desplazara hacia
abajo, por lo que al desplazarla nuevamente hacia arriba llegamos al
mismo punto óptimo, pero el valor de Zmáx ahora es $ 8 250.
El vértice no varió, porque el cambio de la pendiente se mantuvo entre
las pendientes de las fronteras del vértice solución óptima, esto es, de las
rectas x1 + x2=300 con pendiente ma= – 1 y la recta x2=150 con pendiente
mb= 0. Por ejemplo, si la ganancia de las bocinas de 3” se incrementa a $ 35
entonces Zmáx toma la forma 35x1 + 30x2=9 750 (9 750 porque la evaluamos
35
7
que se sale del
en el punto (150, 150)), cuya pendiente es m3
30
6
intervalo [–1, 0]. Si graficamos esta recta obtenemos:
161
Unidad 4
En la gráf ica se ve claramente que esta recta giro más allá de la frontera
x1 + x2=300, y que, además, podemos seguir moviéndola hacia la derecha
sin salirnos de la región factible, y así llegar al vértice (300, 0) que es
nuestra nueva solución, con un valor de Z = $ 10 500.
El punto que escogimos hizo que la pendiente fuera negativa, si cambiamos
los coeficientes para que la pendiente sea mayor a cero, esto implicaría que
una de las bocinas causará pérdidas en lugar de utilidades. Realicemos el
análisis, porque en ocasiones esto sucede en la realidad, ya que el introducir
un nuevo producto puede reportar pérdidas en lugar de ganancias. Por
ejemplo, digamos que nuestras bocinas de 3” dejan una pérdida de $ 20.
Con esto la función objetivo toma la forma – 20x1 + 30x2=4 200 con una
20 2
. Si graficamos obtenemos:
pendiente m4
30 3
162
Investigación de operaciones
La recta giró más allá de la frontera x2=150. En este caso para maximizar
la función Zmáx debemos desplazar la recta hacia arriba, por lo que la
solución pasa a ser el punto (100, 150) con una ganancia de $ 2 500.
Podemos decir entonces que la solución no va a cambiar de vértice,
a menos que la pendiente se salga del intervalo [ma, mb] que son las
pendientes de las fronteras que se intersectan en dicho vértice.
Ahora supongamos que la empresa quiere producir 400 boci nas en
lugar de las 300 que originalmente consideramos. ¿Cómo afecta esto la
solución?
163
Unidad 4
Ésta es la otra posibilidad, cambiar las cantidades limitantes de las
desigualdades y mantener constantes los coef icientes de la función
objetivo. Vamos a analizar el caso donde sólo varió una de las
restricciones, posteriormente se pude generalizar este análisis.
El cambiar la cantidad límite de alguna de las desigualdades implica que
la región factible también se modif ique, sin embargo, la función objetivo
se mantiene sin cambios, lo importante ahora es determinar nuevamente
cómo se afecta el punto óptimo. El cambiar el valor numérico de una
ecuación de la forma x1 + x2=400 no afecta su pendiente, lo que hace
es desplazarla sobre los ejes, moviendo su ordenada al origen. Esto
ocasiona que la región factible se haga más grande o más pequeña. En el
ejemplo la región factible toma la forma:
En este caso la región factible aumenta de tamaño, el vértice solución
óptima se desplaza hacia la derecha, lo que hace que la f unción objetivo
pueda tomar un valor mayor.
Lo que debemos cuidar al variar el lado derecho de las desigualdades es
no variarlo de tal manera que resulte una región no factible.
Otra pregunta importante es: ¿En cual de las desigualdades me conviene
aumentar o disminuir su cantidad limitante?
Esta pregunta la vamos a contestar cuando realicemos el estudio
del problema dual, por el momento sólo debemos tener presente que
pequeños incrementos en las cantidades limitantes de las desigualdades
implican pequeños aumentos en la región factible, lo que se traduce en
pequeños aumentos de la función objetivo Zmáx.
Para ejemplificación del análisis de sensibilidad ver anexo al final del libro.
164
Investigación de operaciones
Ejercicio 6
1. Para tener una solución ilimitada, nuestra zona factible debe ser:
a) Acotada.
b) No acotada.
c) Cerrada.
d) Un polígono regular.
2. La pendiente de la f unción objetivo depende de:
a) Las restricciones.
b) El valor de Zmáx.
c) Las desigualdades.
d) Los coeficientes de Zmáx.
3. Considera la siguiente gráf ica:
Si la pendiente de la función objetivo varía de – 0.5 a – 1.5, ¿qué pasa
con la solución?
4. Si queremos aumentar el tamaño de la región factible, debemos
variar:
a) Los coef icientes de la f unción objetivo.
b) Cantidades limitantes de las restricciones.
c) Los coeficientes de las restricciones.
d) El valor de Zmáx.
5. El análisis de ____________________se realiza para determinar cómo
varía la solución ante cambios de los datos del problema.
165
Unidad 4
Ejercicios propuestos
1. Obtener la gráf ica de la ecuación 4x1 – 7x2 = 28
2. Obtener la gráfica de la ecuación 2x1 + 3x2 = 5
3. Obtener la región factible de las siguientes desigualdades.
x1
x2 10
2x1 x2
6
x1 0
x2 0
4. Hallar la solución óptima del modelo de P. L. siguiente:
Zmáx
má x
2 x1
s.a.: x1 2x2
x2
8
2x1 3x2
x1 0
x2
6
0
5. Indicar el intervalo en que puede variar la pendiente de la función
objetivo del problema 4, sin que se cambie de punto vértice. Si el
coeficiente de x1 se mantiene fijo, dar el intervalo en el que puede variar
el coeficiente de x2.
6. Dar la solución del ejercicio 4 si la cantidad limitante de la primera
restricción se incrementa hasta 16.
7. Una empresa fabrica dos tipos de radios, el económico que deja una
ganancia de $ 24 por unidad y el de lujo, que deja una ganancia de $ 45.
La empresa sólo puede fabricar 500 unidades en total. Por disposiciones
of iciales debe fabricar por lo menos 40 radios del tipo económico,
además, sólo puede vender 250 radios de lujo. ¿Cuál es la combinación
óptima?
166
Investigación de operaciones
8. Obtener el punto óptimo del siguiente modelo de P. L.
Zmáx
máx
2x1 6x2
s.a.: 6x1 4x2
24
x1 3
x2 3
x1, x2 0
167
Unidad 4
Autoevaluación
1. El método gráfico se utiliza para resolver modelos de P. L. en:
a) Tres dimensiones.
b) Dos dimensiones.
c) Cuatro dimensiones.
d) n dimensiones.
2. La región del plano que contiene todos los puntos que satisfacen las
restricciones del modelo de P. L. se llama:
a) Región factible.
b) Semiplano.
c) Región infactible.
d) Región cerrada.
3. Si la región factible es acotada, entonces la solución del modelo es:
a) Única.
b) Ilimitada.
c) Finita.
d) No acotada.
4. Si la solución óptima de un modelo de P. L. es f inita, entonces la
encontramos en:
a) Una frontera.
b) La zona interior del polígono de soluciones.
c) En uno de los vértices del polígono de soluciones factibles.
d) En el origen.
5. El primer paso del método gráf ico es:
a) Graficar la función objetivo.
b) Dar un valor a la función objetivo.
c) Evaluar la función objetivo en un punto de la región factible.
d) Localizar la región factible.
168
Investigación de operaciones
6. Si las desigualdades no coinciden en ningún punto:
a) El modelo tiene una inf inidad de soluciones.
b) El modelo no tiene solución.
c) El modelo tiene solución ilimitada.
d) El modelo tiene un número f inito de soluciones.
7. Si variamos las cantidades limitantes de las restricciones, entonces
variamos:
a) La pendiente de las fronteras.
b) La pendiente de la f unción objetivo.
c) La ordenada al origen de la función objetivo.
d) La ordenada al origen de las restricciones.
8. Si la pendiente de la función objetivo es igual al de una de las fronteras
del vértice solución óptima, entonces:
a) El modelo tiene una inf inidad de soluciones.
b) El modelo no tiene solución.
c) El modelo tiene solución ilimitada.
d) El modelo tiene un número f inito de soluciones.
9. Al variar los coef icientes de la f unción objetivo, el vértice solución
óptima:
a) Sigue siendo el mismo.
b) Cambia a alguno de los adyacentes.
c) No se sabe.
d) Sigue siendo el mismo o bien cambia a alguno de los adyacentes.
10. Para graficar la función objetivo debemos tomar un punto:
a) Arbitrario.
b) De la región factible.
c) Negativo.
d) Positivo.
169
Unidad 4
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. La tangente.
2. La distancia.
3. c)
4. b)
5. a)
6.
Ejercicio 2
1. b)
2. Igualdad.
3. b)
4. b)
5.
170
Investigación de operaciones
6.
Ejercicio 3
1. Objetivo.
2. Dos.
3. b)
4. c)
5. c)
6.
Zmáx=8 (2, 0)
Ejercicio 4
1.
Zmáx=0.5 (0, 0.5)
171
Unidad 4
2.
Zmáx=2 (2, 0)
Ejercicio 5
1. Solución (4, 0).
2. Solución (0, 5).
3. Infactible.
4. Ilimitado.
5. Soluciones alternativas (2, 6).
Ejercicio 6
1. b)
2. d)
3. Sigue siendo el mismo vértice.
4. b)
5. Sensibilidad.
172
Investigación de operaciones
Respuestas a los ejercicios propuestos
1.
2.
3.
173
Unidad 4
4.
Solución en el punto
36 10
82
,
con un valor para Z de
7 7
7
1
2
,
2
3
82
La ecuación de la función objetivo es 2x1 + x2= . La pendiente está
7
2
2
1
dada por m
. Lo que queremos es que
. Para esta
r
r
2
desigualdad r puede variar en el intervalo [0, 4) y del otro lado lo que
2
2
. Para esta desigualdad r puede variar en el
queremos es
3
r
intervalo ( – 3, 0]. Por lo tanto el coeficiente de x2 puede variar en el
intervalo ( – 3, 4).
5.
,
6. La solución se obtiene en el punto
146
objetivo Zmáx=
7
7. El modelo es:
Zmáx
máx
24x1 45x2
s.a.: x1 x2 500
x1 40
x2
250
x1 0
x2
174
0
60 26
,
con un valor de la función
7 7
Investigación de operaciones
8. Su solución es (250, 250) con un valor de la función objetivo Z = 11
250
Respuestas a la autoevaluación
1. b)
2. a)
3. c)
4. c)
5. d)
6. b)
7. d)
8. a)
9. d)
10. b)
175