Capítulo 1

Capítulo 1
Introducción
1.1 Objetivos y motivación del proyecto
Dentro de los campos de la Mecánica de Fluidos y de la Transferencia de Calor existen
numerosos problemas cuya formulación matemática da lugar a sistemas de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales que son complicados y para los que, en la inmensa
mayoría de los casos, no se conoce una solución analítica. Debido a ello, la forma de
enseñanza de estas materias en las escuelas de ingeniería o facultades de ciencias físicas
se ha basado tradicionalmente en clases teóricas, donde se deducían las ecuaciones de
los fenómenos considerados, y en clases donde se aplicaban dichas ecuaciones a la
resolución de casos prácticos. Sin embargo, estas aplicaciones consistían
fundamentalmente en problemas académicos que, forzados por la necesidad de obtener
una solución analítica, resultaban o bien triviales o bien demasiado artificiales y
desligados de la realidad física. El tratamiento de problemas algo más complejos y
realistas pronto daba lugar a largas horas de manipulaciones matemáticas en la pizarra,
con la consiguiente maraña de fórmulas que hacían perder al alumno la perspectiva de
los conceptos fundamentales de la asignatura. Lo mismo ocurría si, al desistir
finalmente el profesor de cualquier tratamiento matemático de un problema, éste
presentaba resultados y correlaciones experimentales que debían ser creídas casi a
ciegas por los alumnos.
Es el objetivo principal de este trabajo el mostrar que, hoy en día, el problema con la
docencia de las materias citadas anteriormente puede ser solventado en gran medida, y
esto es debido fundamentalmente al alto grado de desarrollo experimentado en los
tiempos modernos por los ordenadores y a la gran asequibilidad de éstos por parte de los
alumnos. En efecto, actualmente se pueden instalar en los ordenadores programas
numéricos muy completos y eficientes (por ejemplo, MATLAB), que permiten al
alumno implementar fácilmente sus propias rutinas para resolver problemas realistas
cuya solución era antes impensable en una clase. A esta categoría, y en el ámbito de la
Mecánica de Fluidos, pertenecen, por ejemplo, muchos problemas de capa límite,
convección natural, movimientos estacionarios y no estacionarios de gases en
conductos, flujos potenciales alrededor de alas, etc. La experiencia ha demostrado que
estos problemas pueden ser resueltos hoy en clase haciendo uso de sencillos programas
de ordenador que, bajo la guía del profesor, pueden realizarse en el aula por los alumnos
que posean conocimientos básicos de programación y métodos numéricos adquiridos en
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cursos anteriores. Pueden sustituirse así engorrosos cálculos en la pizarra por la
implementación de unas pocas líneas de programa que permiten calcular numéricamente
la solución del problema de una forma más sencilla, eficiente y transparente, y
visualizarla inmediatamente en la pantalla del ordenador. De esta forma la resolución de
un problema deja de estar supeditada a la obtención de una (muchas veces innecesaria)
solución analítica, y el aprendizaje resulta mucho más eficiente y ameno. En efecto, así
el alumno mejora su grado de comprensión de las leyes fundamentales de la disciplina
al implementar directamente las ecuaciones que las describen, sin necesidad de
introducir en ellas manipulaciones tediosas ni simplificaciones artificiales. Además, al
elaborar el alumno sus propios programas se evita la interacción con el ordenador de
una forma tipo “caja negra”, propia de los programas comerciales de CFD (por ejemplo,
FLUENT), que oscurece los aspectos físicos del problema. Esto hace que aumente el
grado de asimilación de la materia por parte del alumno, quien experimenta una gran
motivación cuando obtiene por sus propios medios (programas realizados
personalmente) resultados sobre problemas de interés que están de acuerdo con las
predicciones teóricas, mientras que, cuando no es así, siente una gran curiosidad por
detectar los errores en sus programas que producen resultados no compatibles con las
leyes físicas del problema. De esta forma, los estudiantes apreciar la interrelación
existente entre los conceptos teóricos fundamentales de la materia y los métodos
numéricos usados para la resolución de las ecuaciones que formulan dichos conceptos.
Finalmente, cabe también añadir que la realización de programas numéricos para
resolver problemas prácticos permite a los alumnos aplicar y desarrollar los
conocimientos adquiridos en cursos anteriores sobre cálculo numérico, tan necesario
hoy en día en cualquier rama de la ingeniería, al mismo tiempo que le proporciona una
experiencia que les será de enorme utilidad a la hora de abordar los problemas más
complejos, para los que es preceptivo el uso de códigos CFD mucho más complejos.
Una vez expuesta la principal motivación de este proyecto, que puede resumirse en la
mejora de la calidad de la docencia haciéndola más eficiente mediante el uso del
ordenador, conviene indicar que en el campo de la Termo-Fluidomecánica esto puede
ilustrarse con numerosos ejemplos, como se ha señalado más arriba. Para fijar ideas, nos
centraremos en uno de ellos que es a la vez cotidiano y fascinante, el problema de
convección natural de Rayleigh-Bénard.
1.2 Convección de Rayleigh-Bénard
En nuestro entorno, el fenómeno de convección natural lo constituyen los movimientos
generados en el seno de un fluido que se encuentran en presencia de un campo
gravitatorio y en el que existen diferencias de densidad entre sus partes. Normalmente,
dichas variaciones de densidad son debidas a gradientes de temperaturas, aunque es
también común el caso de que se produzcan debido a gradientes de concentración.
Asimismo, pueden presentarse fenómenos de convección natural en fluidos con carga
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eléctrica cuando son sometidos a la acción de campos eléctricos o magnéticos. No
obstante, nos centraremos en este proyecto en el caso más simple, y también más
común, el de un fluido situado en un campo gravitatorio y en el que existen variaciones
de densidad provocadas por gradientes de temperatura. Los movimientos generados en
el fluido en estas circunstancias constituyen el fenómeno conocido universalmente
como convección natural de Rayleigh-Bénard.
El fenómeno de Rayleigh-Bénard se encuentra tanto en la naturaleza como en procesos
industriales. En la naturaleza se manifiesta, por ejemplo, en los movimientos a gran
escala de la atmósfera terrestre que tienen lugar en las celdas denominadas de Hadley
(en el entorno del ecuador y responsable de los vientos alisios), de Ferrell (en latitudes
medias) y Polar, producidas por el gradiente de temperaturas medias existente entre las
zonas ecuatoriales y polares (véase la figura 1.1). También se manifiesta el fenómeno de
Rayleigh-Bénard en la dinámica del manto terrestre, que está gobernada por las
corrientes de convección natural debidas a gradiente térmico existente entre el núcleo y
la corteza de la Tierra (véase la figura 1.2).
a)
b)
Figura 1.1 Fenómenos naturales donde están presente la convección natural. a) movimiento a gran escala
de la atmósfera, b) corrientes de convección natural producidas en el manto terreste.
Son también numerosas las aplicaciones del fenómeno de Rayleigh-Bénard en el ámbito
de la ingeniería y de la industria. Así ocurre, por ejemplo, en el diseño de convertidores
solares (figura 1.2.a), donde la energía lumínica solar de onda larga captada por el
material refractario de la placa se transmite eficientemente al fluido de trabajo a causa
del movimiento de convección natural del aire que ocupa la cámara donde se encuentran
los tubos del intercambiador (figura1.2.b). Obsérvese (figura 1.2.c) que, en este caso, no
sólo se produce convección natural en el aire de la cámara, sino que también es de esta
naturaleza el movimiento del propio fluido de trabajo en el interior de los tubos (efecto
termo-sifón); este efecto se utiliza en los sistemas de producción de agua caliente
sanitaria mediante captadores solares. Por último, son también muy comunes las
aplicaciones del fenómeno de convección natural en la refrigeración de equipos
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electrónicos, en la ventilación, calefacción y aislamiento de edificios, en cámaras de aire
en ventanas, etc.
a)
b)
c)
Figura 1.2 Ejemplo de convección natural en aplicaciones industriales. a) Captador solar, b)
funcionamiento de la instalación para producir ACS.
Desde el punto de vista histórico, el estudio sistemático de los fenómenos de
convección natural comenzó hacia 1900, cuando Henri Bénard llevó a cabo una serie
de experimentos en capas delgadas de esperma de ballena (de elevada conductividad
térmica) calentadas desde abajo y cuya su superficie superior estaba expuesta al aire del
ambiente. Bénard observó la aparición de un movimiento en el fluido que, tras un
régimen transitorio inicial, alcanzaba un régimen estacionario en el que se distinguía en
la superficie una estructura muy peculiar formada por celdas hexagonales regulares
similares a las que observan en un panal de abejas (figura 1.3.a). Las investigaciones del
flujo en el interior de la celda realizadas por Bénard (figura 1.3.b), revelaron que el
fluido ascendía por el centro de la celda y descendía a lo largo del perímetro hexagonal.
Otras mediciones ópticas mostraron también que la superficie del fluido sufría una
depresión por el centro de la celda, y Bénard atribuyó la aparición de este fenómeno a la
tensión superficial de la película de fluido en contacto con el aire. Bénard también
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midió la dependencia del tamaño característico de la celda, que tomó como la distancia
entre los centros de dos celdas vecinas y la designó por λ, con la profundidad de la capa
de fluido, el flujo de calor y de la temperatura.
a)
b)
Figura 1.3 Resultados de los experimentos de Bénard. a) esquema representativo del movimiento del
fluido en las celdas de convección, donde el fluido sube por el centro de la celda hexagonal y baja por el
perímetro de ésta, b) fotografía original realizada por Bénard, en la que se muestra las celdas de Bénard
en una capa de 0,810 mm de ancho, visualizadas mediante polvo de grafito.
Posteriormente, en 1916, Lord Rayleigh publicó su artículo “On Convection Currents in
a Horizontal Layer of Fluid, When the Higher Temperature Is Under Side”, siendo el
primer investigador que desarrolló una teoría que ponía de manifiesto de forma clara los
mecanismos físicos involucrados en el fenómeno de la convección natural. En efecto,
cuando un fluido, cuya densidad no es uniforme, se encuentra en presencia de la
gravedad, la fuerza de flotabilidad, o empuje de Arquímedes, hace que una porción de
fluido que (en media) sea más densa que su entorno tienda a descender, mientras que
una con densidad menor tienda a ascender. No obstante, y como hizo notar Rayleigh,
además de las fuerzas de flotabilidad, deben tenerse en cuenta en el proceso los
mecanismos que tienden a contrarrestar su efecto: la fricción, originada por las fuerzas
de viscosidad, y el de conducción de calor, que tiende a homogeneizar en el seno del
fluido el campo de temperaturas y, por tanto, también el de densidades (véase la figura
1.4). De esta forma, si en un fluido inicialmente en reposo con una distribución de
densidades creciente en la dirección ascendente se introduce una perturbación, una
parcela de fluido volverá a su situación de reposo (situación de equilibrio estable) o se
mantendrá en movimiento (situación de equilibrio inestable) dependiendo de la
importancia relativa de los tres efectos antes citados. Por tanto, la situación de
equilibrio inestable es la que da lugar al fenómeno de convección natural.
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Figura 1.4 Representación de los mecanismos físicos que tiene lugar en
el seno del fluido.
En su análisis, Rayleigh consideró una capa de fluido entre dos placas infinitas paralelas
a distinta temperatura dispuestas perpendicularmente a la dirección de la gravedad,
siendo la placa inferior la de mayor temperatura. Rayleigh estaba interesado en la
estabilidad de pequeñas perturbaciones respecto a la situación de reposo, por lo que
linealizó en torno a la solución de equilibrio las ecuaciones de Navier-Stokes que
gobiernan el movimiento del fluido entre las placa descubriendo que en el sistema lineal
de ecuaciones en derivadas parciales resultante aparece de forma natural el parámetro
adimensional, denominado número de Rayleigh:
Ra =
,
donde β, ν y α son, respectivamente, el coeficiente de dilatación térmica, la viscosidad
cinemática y la difusividad térmica del fluido, g es la aceleración de la gravedad, H es el
espesor de la capa fluida(o, en general, una longitud característica del dominio fluido)
y ΔT es la diferencia de temperatura entre placas. El número de Rayleigh puede
interpretarse físicamente como el parámetro adimensional que mide la importancia
relativa entre los efectos de las fuerzas de flotabilidad y los efectos de las fuerzas de
viscosidad y de la conducción térmica. Como se verá en la sección 2.2 al revisar el
trabajo de Rayleigh, la solución de las ecuaciones muestra que para valores del número
de Rayleigh superiores a un cierto valor crítico, Ra , el sistema se hace inestable y los
movimientos de convección natural aparecen en líquido organizados en las
denominadas celdas convectivas (véase figura 1.5). El valor teórico de Ra =1708, que
coincide muy bien con los valores medidos, alrededor de 1708±50, en el experimento
de convección natural entre dos placas infinitas paralelas.
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a)
b)
Figura 1.5 Celdas de convección. a) visualización de celdas de convección de Rayleigh-Bénard en agua,
b) representación esquemática de las líneas de corriente en las celdas de convección de Rayleigh-Bénard.
Después de los trabajos pioneros de Bénard y de Rayleigh son muchos los trabajos que
se han realizado sobre la convección natural en fluidos confinados y sería imposible
mencionarlos aquí todos. Entre ellos cabe citar el trabajo de Batchelor (1954), quien
estudió el problema de la convección natural en una cavidad rectangular de longitud
finita, L, y analizó la dependencia de la solución de los tres parámetros adimensionales
que gobiernan el problema: la relación de aspecto, A=L/H, el número de Prandtl,
Pr=ν/α, que caracteriza las propiedades físicas del fluido y el número de Rayleigh,
Ra=gβ L ∆T /ν . Como se ha dicho anteriormente, el número de Rayleigh crítico
caracteriza el punto a partir del que cualquier pequeña perturbación en el sistema da
lugar a un régimen de convección natural en el fluido. Muchos autores han encontrado
el valor del Ra crítico (Ra ) para sistemas particulares: Jeffreys (1926) determinó por
primera vez el número de Rayleigh crítico para el caso de placas infinitas (Ra =1708) y,
algunos años, después Davis (1967), Catton (1970, 1972a, 1972b), Heitz y Westwater
(1971) y Stork y Müller (1972) mostraron resultados teóricos y experimentales de
valores de números de Ra para diferentes geometrías con diferentes conductividades de
las paredes laterales. Para números de Rayleigh muy grandes comparados con Ra , en
torno a 10 , se obtiene un régimen turbulento de convección natural que ha suscitado un
gran interés recientemente como lo demuestran las investigaciones de D. Lohse
publicadas en la revista Annual Review of Fluid Mechanisc, en 2010 mediante el
artículo ” Small-Scale Properties of Turbulent Rayleigh-Bénard Convection”.
Finalmente conviene indicar que, aunque en este trabajo nos centraremos en el
fenómeno de convección natural inducido por variaciones de densidad asociadas a
gradientes de temperatura en un fluido de composición homogénea, existen, como se
indicó anteriormente, muchas circunstancias en las que la convección natural está
originada por variaciones de densidad asociadas a gradientes de concentración en
fluidos heterogéneos. Un ejemplo de esta situación se puede observar y admirar en los
paisajes de Salinas Grandes en Salta (figura 1.6). Los salares son cuencas cerradas
donde se acumula agua en épocas de lluvias. En la época seca el agua se evapora
lentamente por acción del sol dejando capas delgadas de solución salobre concentrada
en la que se produce convección de Bénard. El flujo de líquido arrastra la sal en las
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celdas convectivas, donde cristaliza a medida que el agua se evapora. Finalmente la
cuenca se seca dejando una estructura geométrica de sal que reproduce una forma
hexagonal idéntica a la que aparece en el experimento de Bénard, y que caracteriza al
fenómeno de convección natural en sistemas con superficie libre.
Figura 1.6 Celdas de Bénard debido a gradientes de concentración
en la superficie de los salares de Salinas Grandes (Provincia de Salta).
1.3 Estructura del proyecto
En el presente trabajo se presenta un estudio teórico y numérico del fenómeno de
convección natural de Rayleigh-Bénard en cavidades rectangulares cerradas, calentadas
por su parte inferior, y cuyas paredes laterales son verticales, pudiendo ser adiabáticas o
conductoras. Los valores del número de Rayleigh considerados en este trabajo estarán
siempre dentro del rango correspondiente a un régimen laminar.
En el capítulo 2 se formulan las ecuaciones que gobiernan el fenómeno de convección
natural de Rayleigh-Bénard en 3D. Posteriormente se presentará una revisión de la
teoría lineal original de Rayleigh para entender los tres resultados principales que se
obtienen de dicha teoría y que han sido verificados en los experimentos: la existencia de
un número de Rayleigh crítico, la existencia de un patrón celular y la existencia de un
tamaño celda crítico. A continuación, se particularizarán las ecuaciones completas, no
lineales, 3D, para el caso bidimensional (2D), y se obtendrán las denominadas
ecuaciones de Saltzman (1962), cuya resolución numérica es el objeto principal de este
trabajo.
En el capítulo 3, se expondrán los fundamentos teóricos y la implementación numérica
del método de colocación mediante interpolación de Lagrange con nodos de
Chebyshev, que es el que se va usar para la integración de las ecuaciones de Saltzman
introducidas en el capítulo anterior. En este capítulo se ilustrará la aplicación de dicho
método para la resolución numérica de ecuaciones modelo tales como la ecuación
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diferencial ordinaria de segundo orden, la ecuación de Laplace y la ecuación
biharmónica.
En el capítulo 4, se aplica el método de colocación introducido en el capítulo anterior
para llevar a cabo la resolución de las ecuaciones de Saltzman. En este capítulo, se
explicará detalladamente la implementación numérica de dichas ecuaciones usando el
programa MATLAB y se expondrán los resultados más relevantes obtenidos para el
caso de una cavidad rectangular con paredes verticales aisladas.
Finalmente, en el capítulo 5se resolverán numéricamente, mediante el método de
colocación introducido en el capítulo 3, las ecuaciones de la convección natural de
Rayleigh-Bénard en una cavidad rectangular 2D sujeta a dos tipos distintos de
condiciones de contorno. Primero se considerará el caso de paredes horizontales
isotermas y paredes verticales conductoras con una variación lineal de la temperatura;
los resultados obtenidos se compararán con los correspondientes a paredes verticales
adiabáticas para analizar la influencia del cambio en las condiciones de contorno en las
paredes verticales. A continuación, se considerará el caso en que cada una de las
paredes verticales se encuentre a una temperatura constante y manteniendo las paredes
horizontales adiabáticas; este caso fue resuelto numéricamente por Wilkes y Churchill
(1966) mediante diferencias finitas y, por tanto, permitirá comparar sus resultados con
los obtenidos en este trabajo mediante el método de colocación.
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