capítulo 2. análisis matemático de la información

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA
INFORMACIÓN
Lección 6: Parámetros y Estadísticos
Parámetro: Son medidas numéricas descriptivas, asociadas a la población, son valores fijos pero
2
desconocidos. Algunos de ellos: μ = La media. σ = Varianza. σ = Desviación típica o estándar.
Los parámetros como valores fijos, no tienen distribución de probabilidad, siendo características propias de la
población objeto de estudio.
∑
Promedio poblacional:
Donde N = total de la población y μ = Promedio poblacional.
∑
Varianza poblacional:
(
)
Estadísticos: Son medidas numéricas descriptivas, asociadas a la muestra, se consideras variables aleatorias.
2
Algunos de ellos: ̅ = La media o promedio. s = La varianza. s = Desviación típica. Los estadísticos como
están asociados a la muestra aleatoria, tienen distribución de probabilidad, ya que según la muestra tomada,
éste varia.
Promedio muestral:
̅
∑
Donde N = total de la población y μ = Promedio poblacional.
Varianza muestral:
∑
(
̅)
Lección 7: Medidas de tendencia central: La media, la mediana y
la moda
INTRODUCCIÓN
En las secciones anteriores se presentaron las técnicas para agrupar los datos (distribuciones o tablas de
frecuencia) y se plantearon las técnicas gráficas para descubrir los patrones de distribución ocultos en un
conjunto de datos; se mencionó que la estadística cumplía una función descriptiva mediante el uso de cuadros
o tablas y gráficos para la clasificación, ordenación y presentación de datos estadísticos, limitando el análisis
de la información a la interpretación porcentual de las distribuciones de frecuencia.
El análisis estadístico propiamente dicho, parte de la búsqueda de parámetros sobre los cuales pueda recaer la
representación de toda la información. En esta sección y en la próxima (medidas de tendencia central y de
dispersión) se definirá algunas medidas numéricas que se emplean para describir conjuntos de datos.
Una de las características más sobresalientes de la distribución de datos es su tendencia a acumularse hacia el
centro de la misma; esta característica se denomina tendencia central. Las medidas de posición o de tendencia
central nos permiten determinar la posición de un valor respecto a un conjunto de datos, el cual
consideraremos como representativo o típico para el total de las observaciones.
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Antes de entrar a definir las medidas de tendencia central, repasaremos algunas notaciones simbólicas que
son de gran utilidad y son esenciales en la estadística.
SUMATORIAS Y OTRAS NOTACIONES IMPORTANTES
El uso de la notación simbólica es esencial en estadística. Por ejemplo, para distinguir entre los valores de n
observaciones se emplea la notación simbólica x1, x2,…, xn. En el análisis estadístico de un conjunto de datos
se requiere del uso de sumas de números, por lo cual, es conveniente introducir una notación simple para
términos en secuencia. De esta manera, la suma de x1, x2,…, xn se designa por:
n
x
i 1
i
 x 1  x 2  x 3  ...  x n ,
Y se lee ―suma de las xi, con i variando desde 1 hasta n‖. La letra i recibe el nombre de índice de suma toma
valores enteros sucesivos hasta e incluyendo a n, que es el límite superior o el valor más grande de i.
Considere, por ejemplo, la sucesión de números: 1, 4, 7, 10, 13,…, y suponga que se desea referirse a la suma
de los cuadrados de los primeros cuatro términos de la sucesión. En la notación de sumatoria esto se escribiría
como
4
y
i 1
2
i
 12  4 2  7 2  10 2  1  16  49  100  166
De
n
a)
x
i 1
2
i
 x 12  x 22  x 32  ...  x 2n ,
n
b)
 (x
i 1
i
 a)  (x 1 - a)  (x 2 - a)  (x 3 - a)  ...  ( x n - a),
i
 a) 2  (x 1 - a) 2  (x 2 - a) 2  (x 3 - a) 2  ...  ( x n - a) 2 ,
n
c)
 (x
i 1
n
d)
x y
i 1
i
i
 x 1 y1  x 2 y 2  x 3 y 3  ...  x n y n ,
n
1. Si c es cualquier constante, entonces
 c  nc
i 1
2. Si c es cualquier constante, entonces
n
3.
 x
i 1
i
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
 cx i  c x i
 yi    x i   yi
Como ejemplo, consideremos la sucesión de números 1, 2, 3, 4, y sean a=10 y c=5, entonces,
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 x
4
i 1
2
i

4
4
4
 ax i  5   x i2  a  x i   5
i 1

i 1
i 1

 1  2  3  4  10 1  2  3  4  5  5  5  5
2
2
2
2
 1  4  9  16  10 10  20
 30  100  20
 150
Otro símbolo útil e
(pi). Esta letra se emplea para indicar el producto de los términos de una
secuencia. Por ejemplo, dada la secuencia de observaciones x1, x2,…, xn se designa por:
n
x
i
 x 1 . x 2 . x 3 .... x n
i 1
Donde la letra i tiene el mismo propósito que en la suma.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la información son
de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas, sin embargo, su interpretación no debe hacerse
aisladamente de las medidas de dispersión, ya que la representatividad de ellas está asociada con el grado de
concentración de la información.
Las principales medidas de tendencia central son:
Media aritmética
Mediana
Moda
Sin embargo, existen otras medidas menos comunes; las medidas de tendencia central, también denominadas
medidas de posición, pueden ser pueden ser de dos tipos:
1. CENTRALES:
Medias: Aritmética, Geométrica, Armónica
Medianas
Moda
2. NO CENTRALES O DE POSICIÓN:
Cuantiles:
Cuartiles
Deciles
Centiles o percentiles
La fórmula de cálculo de cada una de ellas depende de cómo se encuentren presentados los datos: agrupados
o sin agrupar. Por datos agrupados entenderemos los presentados en una tabla de frecuencias (variable
discreta o continua), mientras que por datos sin agrupar se entenderá los que se encuentran enlistados.
Media Aritmética
Es la medida de posición mas empleada, la más conocida y sencilla de calcular, de gran estabilidad en el
muestreo y sus fórmulas admiten tratamientos algebraicos. También se le conoce como promedio aritmético o
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simplemente como la media de un conjunto de observaciones. Cotidianamente e inconscientemente estamos
utilizando la media aritmética. Cuando por ejemplo, decimos que un determinado fumador consume una
cajetilla de cigarrillos diaria, no aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que
contiene un paquete, sino que es el resultado de la observación, es decir, dicho sujeto puede consumir 18 un
día, 10 otro, 20, 21, 22; pero según nuestro criterio, el número de unidades estará alrededor de 20.
Su desventaja principal es el de ser muy sensible a valores extremos, es decir, puede afectarse de manera
desproporcionada por la presencia de valores grandes, o de valores muy pequeños.
Se designará el símbolo (la letra griega miu) para designar una media poblacional, y x (que se leerá como
―x-barra‖) para designar una media muestral.
Media para datos sin agrupar
1. Sean x1, x2,…, xN, los N datos correspondientes a una población. Entonces la media poblacional es,
N
xi
x 1  x 2  x 3  ...  x N 
1 N
i 1
μ

  xi
N
N
N i 1
2. Sean x1, x2,…, xn, los n datos correspondientes a una muestra. Entonces la media muestral es,
n
xi
x 1  x 2  x 3  ...  x n 
1 n
i 1
x

  xi
n
n
N i 1
Ejemplo
Hallar la media aritmética de los siguientes números: 10, 8, 6, 5, 10, 7.
SOLUCION:
6
x
x
i 1
6
i

1 6
10  8  6  5  10  7
xi 
8

6 i 1
6
Ejemplo
Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana.
Lunes
18
Martes
21
Miércoles
22
Jueves
21
Viernes 20
Sábado 19
Domingo
19
Entonces la media aritmética es
7
x
x
1
7
i

18  21  22  21  20  19  19
 20
7
El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios.
Para algún campo de la ciencia, específicamente en la física, se dice que la media aritmética es el CENTRO
DE GRAVEDAD de los datos.
Media para datos agrupados
Cuando se cuenta con una variable discreta que se encuentra agrupada en una distribución de frecuencias de
k valores, la media aritmética se calcula por la fórmula:
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k
x
 x .f
i
i 1
n
i

1
 xifi
n
Ejemplo
Al organizar los datos en el ejemplo de la cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana,
se obtiene la siguiente distribución de frecuencias.
Cantidad
Frecuencia
(Xi)
(fi)
18
1
19
2
20
1
21
2
22
1
Total
7
7
x
x f
i i
1
7

18(1)  19(2)  20(1)  21(2)  22(1) 140

 20
7
7
Para facilidad del cálculo de la media, se puede recurrir a construir primeramente en el cuadro, el valor del
numerador así,
Cantidad (Xi)
Frecuencia (fi)
Xi fi
18
1
18
19
2
38
20
1
20
21
2
42
22
1
22
Total
7
140
Si la información se encuentra relacionada en una distribución de frecuencias por intervalo (variable continua),
se toman como valores de la variable las marcas de clase de los intervalos; recuérdese que por marca de
clase se entiende el punto medio entre los límites de cada clase o intervalo.
Ejemplo
Mediante la siguiente distribución de frecuencias que nos muestra los espesores en pulgadas, de recipientes
de acero, hallar la media aritmética.
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Espesores
en pulg
0.307 - 0.310
0.311 - 0.314
0.315 - 0.318
0.319 - 0.322
0.323 - 0.326
0.327 - 0.330
f
3
5
5
22
14
1
N= 50
SOLUCION:
Espesores
en pulg
0.307 - 0.310
0.311 - 0.314
0.315 - 0.318
0.319 - 0.322
0.323 - 0.326
0.327 - 0.330
f
3
5
5
22
14
1
mi
0,3085
0,3125
0,3165
0,3205
0,3245
0,3285
fmi
0,9255
1,5625
1,5825
7,051
4,543
0,3285
̅
N= 50
15,99
̅
De esta manera, el espesor promedio de los recipientes de acero es de 0,32 pulgadas.
Media Aritmética Ponderada
En lo que se ha venido presentando, se observa que la media aritmética se calcula otorgándole a los datos
igual importancia a cada uno de ellos; sin embargo, existen casos donde los datos se encuentran ponderados
por un determinado peso.
La media aritmética ponderada tiene en cuenta la importancia relativa de cada uno de los datos, para lo cual, la
definimos de la siguiente manera:
n
xw 
x w
i 1
n
w
i 1
Donde
i
i
,
i
x w es la media ponderada,
xi es el valor de la variable para el i-ésimo elemento, y
wi es la ponderación de la i-ésima variable para el i-ésimo elemento.
Ejemplo
Las calificaciones de un estudiante están conformadas por los siguientes factores: Un examen cuyo valor es el
60% en el cual obtuvo una nota de 3,0; talleres de resolución de ejercicios con ponderación del 25% con una
calificación de 3,5 y por último, laboratorios de consulta y resolución de ejercicios con un valor del 15% y una
nota de 4,5. ¿Cuál es la nota final del primer corte del estudiante?
SOLUCIÓN
El ejercicio brinda los siguientes datos.
Ponderaciones:
w1 = 0,6; w2 = 0,25 y w3 = 0,15.
Datos de la Variable:
x1 = 3,0; x2 = 3,5 y x3 = 4,5.
De esta manera, se tiene que:
3
xw 
x w
i 1
3
i
w
i 1
i

3,0(0,60)  3,5(0,25)  4,5(0,15) 1,80  0,875  0,675 3,35


 3,35
0,60  0,25  0,15
1,00
1,00
i
Así, la nota definitiva es 3,4.
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Para datos agrupados, tenemos que la fórmula para calcular la media aritmética ponderada está dada por,
n
x f w
xw 
i i
i 1
n
i
w f
i i
i 1
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las diferencias de los datos con respecto a la media aritmética es igual a cero, es decir,
n
 x
i 1
i
- x  0
Para comprobar esta propiedad recurriremos a las propiedades de la sumatoria descritas previamente.
Tenemos que:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 x i - x    x i   x
Sin embargo,
n
x
x
i 1
n
i
, despejando tenemos que
n
nx   x i
i 1
Cabe mencionar que una vez calculada la media aritmética, esta es una constante, por tanto, por
propiedades de la sumatoria:
n
 x  nx
i 1
De esta manera, reemplazando las dos igualdades en la ecuación original tenemos que:
n
 x
i 1
i
n
n
i 1
i 1
- x   xi   x
 nx - nx
0
Veamos un ejemplo de comprobación; para ello consideremos los datos dados para el problema del
fumador cuya media es de 20 cigarrillos por día:
X
xi - x
18
18 – 20 = -2
21
21 – 20 = 1
22
22 – 20 = 2
21
21 – 20 = 1
20
20 – 20 = 0
19
19 – 20 = -1
19
19 – 20 = -1
Suma
0
Para una distribución de frecuencias, consideremos el mismo ejemplo con los datos agrupados:
Página 47 de 177
X
18
21
22
20
19
Suma
xi - x
18 – 20 = -2
21 – 20 = 1
22 – 20 = 2
20 – 20 = 0
19 – 20 = -1
fi
1
2
1
1
2
7
(xi - x )fi
-2
2
2
0
-2
0
2. La suma de las diferencias cuadráticas de los datos, con respecto a la media aritmética es mínima.
n
2
 x i - x 
i 1
es mínima para x ; quiere decir que para cualquier otro parámetro p, diferente a la media
n
aritmética hacer mayor la expresión
2
n
2
 x i - p >  x i - x 
i 1
i 1
.
3. La media aritmética de una constante es igual a la constante. Es decir, dada x i=k, para i=1, 2, 3,…, n.
x
1 n
1 n
1
 x i   k  n.k  k
n i1
n i1
n
Ejemplo
Si un alumno presenta 5 parciales y en todos ellos alcanza una calificación de cuatro, su nota promedio
será de cuatro:
x
1 n
1 5
1
 x i   4  5.4  4
n i1
5 i1
5
4. Si a cada uno de los resultados de una variable le sumamos o le restamos una constante C, la media
aritmética de la nueva variable queda alterada en esa constante. Formalmente, la media de una variable
mas (o menos) una constante es igual a la media aritmética de la variable mas (o menos) la constante.
Sean x1, x2,…, xn datos de una variable X cuya media aritmética es x . Definimos una variable Y de tal
manera que y1 = x1  c, y2 = x2  c,…, yn = xn  c, es decir yi = xi  c, i=1, 2,…, n.
Entonces la media aritmética de la nueva variable es:
y
Es decir,
n
1 n
1 n
1n
1 n
1
 1 n
 y i   x i  c    x i  c    x i   c  x  n.c
n i1
n i1
n  i1
n i1
n i1
n
i1 
yxc
Ejemplo
Consideremos la siguiente distribución de frecuencias:
Página 48 de 177
x
1 5
1
1 5
1
134  6,7
174  8,7
x ini 
y   y ini 

n i 1
20
n i 1
20
y  x  2  6,7  2  8,7
El ejemplo es válido para la diferencia:
Ejemplo
2
Se tienen 100 baldosas y se midió sobre ellas su resistencia en Kg/m , obteniendo los siguientes datos:
Con base en estos datos, tenemos que la resistencia media de las 100 baldosas es:
x
1 5
1
44.800  448 Kg/m2
mi n i 

n i 1
100
Si hacemos Y = X – 450:
y
1 5
1
 200  2 Kg/m2
y ini 

n i 1
100
Página 49 de 177
y  x  450  448 - 450  - 2
5. Si cada uno de los datos se multiplica por una constante K, entonces la media aritmética queda
multiplicada por esa constante.
Sean x1, x2,…, xn los datos de una variable X cuya media aritmética es x .
De igual forma, sea y1 = k.x1, y2 = k.x2,…, yi = k.xi,…, yn = k.xn.
La media aritmética de la nueva variable es y  k.x :
y
1 n
1 n
k 5
1 5
y i   k.x i   x i  k.  x i  k.x

n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
Ejemplo
Considerando la siguiente distribución de frecuencias y tomando k=2 se tiene que:
x
1 5
1
134  6,7
x ini 

n i 1
20
y
1 5
1
268  13,4
y ini 

n i 1
20
y  2.x  2(6,7)  13,4
Ejemplo
Si multiplicamos cada una de las resistencias de las 100 baldosas por una constante
k
1
, tenemos:
100
1 7
1
 m y ni  100 448  4,48
n i 1 i
1
448  1 x
y  4,48  
100
100
y
6. Empleando las dos propiedades anteriores, podemos calcular la media de una combinación lineal de
variables, esto es, una transformación de variables:
Página 50 de 177
Sean x1, x2,…, xn los datos de una variable X cuya media aritmética es x ; de manera similar, sean C y K,
dos constantes y Y una variable aleatoria tal que Y = C.X  K. Entonces la media aritmética de la nueva
variable es y  c.x  k .
Ejemplo
En una empresa constructora de vivienda los salarios semanales tienen una media de $169.000. Como
una solución al conflicto laboral surgido se proponen dos soluciones al conflicto:
1. Aumento del 6% en el salario semanal, ó,
2. Aumento del 4% más una bonificación semanal de $5.800 a cada obrero.
¿Cuál de las dos alternativas mejora la situación de los obreros?
Tenemos que, sea X la variable salario mensual, entonces:
Y1 = 1,06.X  y  1,06.x  1,06(169.000)  179.140 , es decir, si aplicamos la primera opción,
obtendríamos un nuevo salario semanal de $179.140.
Y2 = 1,04.X + 5800  y  1,04.x  5.800  1,04(169.000)  5.800  175.760  181.560 , es decir, si
aplicamos la segunda opción, obtendríamos un nuevo salario semanal de $181.560.
7. La media de una muestra es igual a la media ponderada de las sub-muestras, tomándose como
ponderación los tamaños de las sub-muestras, es decir,
x
n1 .x1  n2 .x 2  ...  nk .x k
,
n
Donde n = n1 + n2 + … + nk.
Ejemplo
3
1 5
1
43  2,15 , x 1  1  x ini  1 16  1,33 ,
x ini 

n i 1
20
n1 i 1
12
De esta manera,
n .x  n 2 .x 2
12 1,33  8 3,375
43
x 1 1


 2,15
n1  n 2
12  8
20
x
x2 
1
n2
2
 x ini
i 1

1
27  3,375
8
La Mediana
Otra medida de tendencia central, utilizada principalmente en estadística no paramétrica es la mediana, la
cual, a diferencia de la media, no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de
observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de
Página 51 de 177
observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y
debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que
nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).
Hay que tener en cuenta que si x1, x2,…, xN-1, xN, se utiliza para denotar el conjunto de las observaciones,
donde el subíndice indica el orden en el dato que fue obtenido o registrado, suele utilizarse x(1), x(2),…, x(N-1),
x(N), para representar las mismas observaciones, pero ahora ordenadas de menor a mayor, por lo tanto ahora
aparece primero el dato más pequeño y último el más grande.
Mediana para datos sin agrupar
Para determinar el valor de la mediana en datos enlistados, hay que tener en cuenta la cantidad de datos que
se recolectaron; es decir, si se tiene un número de datos IMPAR o si por el contrario, el número de datos es
PAR; a continuación se presentara la mecánica a emplear para su cálculo.
a. Número impar de observaciones: La mediana es el valor del dato central así, la mediana puede
expresarse como:
Mediana  Me  x  N 1  , en caso de que N (o n) sea impar.


 2 
Ejemplo
En el ejercicio de los cigarrillos consumidos por un fumador, los datos suministrados fueron:
Lunes (x1)=18, martes (x2)=21, miércoles (x3)=22, jueves (x4)=21, viernes (x5)=20, sábado (x6)=19 y
domingo (x7)=19.
En primer lugar, tenemos siete (7) datos, un número IMPAR.
Ordenando ascendentemente los datos tenemos:
x(1) = 18, x(2) = 19, x(3) = 19, x(4) = 20, x(5) = 21, x(6) = 21, x(7) = 22.
Una vez ordenados los datos, determinamos el valor de la variable que se encuentra en la posición central
de los datos, es decir:
Me  x  N 1   x  7 1   x  8   x 4   20


 2 


 2 
 
2
De esta manera, consideramos que en el 50% de los días de la semana este fumador consume máximo
20 cigarrillos; mientras que en el restante 50% de los días fuma mas de 20 cigarrillos.
Nótese que tras del cuarto dato ordenado se encuentran 3 valores observados, la misma cantidad de
observaciones que superan el valor de la mediana, esto es:
La mediana divide la cantidad de datos en dos ―partes‖ iguales.
b. Número par de observaciones: La mediana esta determinado por el valor de la semisuma (promedio
aritmético) de los valores de los dos datos centrales, esto es:
x N   x N
Mediana  Me 

 1 
2 
 
2
2
, en caso de que N (o n) sea par.
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Ejemplo
3
Consideremos el consumo mensual de agua en m , por una fábrica de confecciones ―La Hilacha‖.
Enero (x1) = 10,
Mayo (x5) = 14,
Septiembre (x9) = 18
Febrero (x2) = 12,
Junio (x6) = 19,
Octubre
(x10) = 22
Marzo (x3) = 15,
Julio
(x7) = 17,
Noviembre (x11) = 15
Abril
(x4) = 18,
Agosto (x8) = 18,
Diciembre (x12) = 13
En primer lugar, tenemos doce (12) datos, un número PAR.
Ordenando ascendentemente los datos tenemos:
x(1) = 10, x(2) = 12, x(3) = 13, x(4) = 14, x(5) = 15, x(6) = 15,
x(7) = 17, x(8) = 18, x(9) = 18, x(10) = 18, x(11) = 19, x(12) = 22.
Una vez ordenados los datos, determinamos el valor de la variable que se encuentra en la posición central
de los datos, es decir:
x  12   x  12
Me 

 1 
 2 
 
 2 
2

x 6   x 61
2

x 6   x 7 
2

15  17 32

 16
2
2
3
De esta manera, tenemos que el 50% de los meses la empresa tuvo un consumo de agua menor a 16 m ,
mientras en el restante 50% de los meses el consumo supero esta cifra.
Como se puede observar, en este caso la mediana no es un dato perteneciente a la información recogida,
sin embargo, es un parámetro que divide la información dejando el 50% por encima y el 50% por debajo
de ella, esto es:
Mediana para datos agrupados - Variable Discreta
En el caso de variables discretas donde cada categoría es el valor de la variable, se puede tomar como un
caso de intervalo de amplitud 1 y en este caso el cálculo de la mediana funciona exactamente como lo visto
para datos sin agrupar; sin embargo, existe un par de reglas prácticas basadas en las frecuencias absolutas
que pueden ser de utilidad:
a. Cuando Nj-1 <
b. Cuando Nj-1 =
n
n
y Nj > , entonces Me = xj.
2
2
x j-1  x j
n
2
, entonces Me =
2
.
A continuación se presentará un par de ejemplos, casos típicos, donde se trabaja con datos agrupados para
variables discretas.
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Ejemplo Caso a:
Consideremos la siguiente distribución de frecuencias para una variable cualquiera:
Xi
ni
Ni
0
2
2
1
3
5 Nj-1
2
6
11 Nj
3
5
16
4
4
20
20
Para este caso, tenemos un número par de datos, de acuerdo a lo planteado para el caso de datos sin agrupar,
la mediana tomaría el valor del promedio de los dos valores centrales, esto es, los valores que se encuentren
en la posición 10 y 11; por tanto, la mediana para este caso es igual a 2. Comprobemos lo anterior con la
fórmula presentada:
Tenemos que
n 20
n
n

 10 , además Nj-1 < es decir, 5<10 y Nj > o sea 11>10, por tanto,
2
2
2
2
Me = xj = 2.
Ejemplo Caso b:
Consideremos la anterior distribución de frecuencias con un leve cambio:
Xi
ni
Ni
0
2
2
1
3
5
xj-12
5
10 Nj-1
xj3
6
16 Nj
4
4
20
20
Tenemos que
n 20
n
n

 10 , además Nj-1= es decir, N3=10= , por tanto
2
2
2
2
Me 
x j-1  x j
2

23 5
  2,5
2
2
Podemos comprobar el resultado anterior, transformando la distribución de frecuencias en una variable cuyos
datos no estén agrupados,
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
0
0
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
Me 
23 5
  2,5
2
2
Mediana para datos agrupados - Variable Continua
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Cuando trabajamos con variables agrupadas por intervalos es imposible determinar con precisión los valores
que toman los datos, ya que esa información se ha perdido en privilegio del agrupamiento interval. Por lo tanto,
en este caso, debemos buscar otro método para determinar el valor de la mediana. Consideremos como x Ij al
límite inferior del j-ésimo intervalo, de manera análoga como x Sj al límite superior del j-ésimo intervalo.
Para la variable continua también se tienen dos casos, como se verá a continuación:
n
, entonces Me = x Sj-1 .
2
n
n
b. Cuando Nj-1 <
y Nj > , se puede calcular la mediana empleando las frecuencias absolutas mediante
2
2
a. Cuando Nj-1 =
la siguiente fórmula
 n
  N j-1
M e  LI   2
nj





A ,



donde,
LI:
Límite Inferior del intervalo mediano, es decir, el intervalo donde se encuentra la
mediana, el cual se determina observando en que intervalo
n:
Nj-1:
nj:
A:
se encuentra la posición
n
.
2
Número de observaciones.
Frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo mediano.
Frecuencia absoluta del intervalo mediano.
Amplitud del intervalo.
Ó con base en las frecuencias relativas mediante la siguiente fórmula
 0,5  Fj -1
Me  LI  

fj


A ,


Donde:
LI:
Límite Inferior del intervalo mediano, es decir, el intervalo donde se
mediana, el cual se determina observando en que intervalo
n:
Fj-1:
fj:
A:
Número de observaciones.
Frecuencia relativa acumulada anterior al intervalo mediano.
Frecuencia relativa del intervalo mediano.
Amplitud del intervalo.
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encuentra
n
se encuentra la posición .
2
la
Ejemplo Caso a
Consideremos la siguiente distribución de frecuencias:
Tenemos que
Xi-1 – Xi
ni
Ni
2–6
2
2
6 – 10
3
5
10 – 14  xSj
5
10  Nj-1
14 – 18
6
16  Nj
18 – 22
4
20
20
-
n 20
n
n

 10 , además Nj-1= es decir, N3=10= , por tanto
2
2
2
2
Me = xSj = xS3 = 14.
Ejemplo Caso b
Consideremos la anterior distribución de frecuencias con un leve cambio:
Xi-1 – Xi
ni
2–6
2
2
6 – 10
3
5  Nj-1
Ni
6 nj
11
14 – 18
5
16
18 – 22
4
20
10 – 14  xSj
20
Tenemos que

Nj
Intervalo
Mediano
-
n 20
n
n

 10 , además Nj-1 = N2 = 5 < =10; y Nj = N3 = 11 > =10, por tanto:
2
2
2
2
 n

  N j-1 
2
A
M e  LI  
nj






 20

5 

(14  10)
 10   2
 6 




 10  5 
 10  
 ( 4)
 6 
 5
 10   (4)
 6
 10  3,33
M e  13,33
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La Moda
La moda, o valor modal, como su nombre lo indica, es el valor más común, es el valor de la variable que más
se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) que observa con mayor
frecuencia dentro de una distribución. Un conjunto de datos puede tener una sola moda, en este caso se suele
llamar distribución unimodal, si tiene dos modas se denomina bimodal, o varias modas y llamarse multimodal.
Sin embargo puede ocurrir que la distribución no posea moda.
Cálculo para datos sin agrupar
En los datos sin agrupar o en los datos agrupados para variables discretas donde cada clase es un valor
diferente de la variable, basta una simple inspección ocular.
Ejemplo
Consideremos los siguientes datos: 5, 10, 8, 5, 10, 18, 5, 12, 5, 12.
Para este conjunto de datos, el valor que mas se repite es 5, por tanto este valor representa la moda, esto es:
Mo = 5.
Cálculo para datos agrupados
Se debe utilizar de preferencia cuando la amplitud de los intervalos es constante, para ello podemos observar y
comprender su cálculo así:
Variable Discreta
Consideremos el ejemplo de los salarios de 50 operarias de cierta fábrica en particular, presentado en la
siguiente tabla:
Página 57 de 177
Miles de
Pesos/Día
Xi
ni
50
1
51
3
52
5
53
9
54
12
55
10
56
5
57
3
58
2
50
El valor que presenta mayor frecuencia es 54 con una repetición de 12 personas con el mismo salario, de esta
manera, afirmamos que el salario más común dentro de la fábrica es de $54.000 diarios.
Consideremos el ejemplo del fumador, cuyos datos se encuentran resumidos a continuación:
Cantidad
(Xi)
Frecuencia
(fi)
18
1
19
2
20
1
21
2
22
1
Total
7
Observamos que los valores de mayor frecuencia corresponden a 19 y 21, por tanto, se trata de una
distribución bi-modal con Mo1= 19 y Mo2 = 21.
Variable Continua
Existen diversas fórmulas para la estimación del valor modal cuando de una variable continua se refiere; sin
embargo, tomaremos como valor modal la marca de clase del respectivo intervalo modal. Cabe mencionar que
por intervalo modal entenderemos aquel intervalo que presenta la mayor frecuencia observada.
Sin embargo, presentaremos las fórmulas que se pueden encontrar en los diversos textos para su debido
conocimiento y aplicación
Cálculo a partir de la frecuencia relativa
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

fm  fm -1
 A
Mo  LI  
 2fm  fm - 1  fm  1 
Donde,
Mo: Moda
LI: Límite inferior del intervalo modal
fm: Frecuencia relativa del intervalo modal (clase modal)
fm-1: Frecuencia relativa del intervalo pre-modal (clase pre-modal)
fm+1: Frecuencia relativa del intervalo pos-modal (clase pos-modal)
A: Amplitud del intervalo modal.
La fórmula para estimar la moda a partir de la frecuencia absoluta es similar a la presentada anteriormente, tan
solo se trabaja con las frecuencias absolutas:


nm  nm -1
A
Mo  LI  
 2nm  nm - 1  nm  1 
Ejemplo
Consideremos el ejemplo de las 100 baldosas; cuyos datos se resumen a continuación:
Kg/m
Xi
2
mi
ni
100 – 200
150
4
200 – 300
250
10
300 – 400
350
21
Clase premodal
400 – 500
450
33
Clase modal
500 – 600
550
18
Clase posmodal
600 – 700
650
9
700 – 800
750
5
100
Observamos que el cuarto intervalo presenta la mayor cantidad de datos, por tanto, este intervalo se denomina
intervalo o clase modal. De esta manera, tenemos que el valor modal esta dado por:


nm  nm -1


33  21
A  400  
100  444,44
Mo  LI  
 2(33)  21  18 
 2nm  nm - 1  nm  1 
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A pesar de que el valor 444,44 no es un dato real de la información, asumimos ese parámetro como el de
mayor ocurrencia.
Relación: Media - Mediana - Moda
Cuando trabajamos un problema de estadística, debemos decidir si vamos a utilizar la media, la mediana o la
moda como medidas de tendencia central. Las distribuciones simétricas que sólo contienen una moda, siempre
tienen el mismo valor para la media, la mediana y la moda. En tales casos, no es necesario escoger la medida
de tendencia central, pues ya está hecha la selección.
Obviamente, si todas las observaciones estuvieran concentradas en un solo valor de la variable, media,
mediana y moda coincidirían en el mismo. Si las observaciones se fueran distribuyendo en forma simétrica, a la
izquierda y a la derecha de ese valor central, media, mediana y modo seguirían coincidiendo.
En una distribución positivamente sesgada (es decir, sesgada hacia la derecha), la moda todavía se encuentra
en el punto más alto de la distribución, la mediana está hacia la derecha de la moda y la media se encuentra
todavía más a la derecha de la moda y la mediana; es decir, en una distribución asimétrica a la derecha, la
media, es mayor que la mediana y que la moda, tal como lo presenta el siguiente gráfico
Supongamos ahora que las observaciones de la parte izquierda se alejan del valor central más que las
observaciones de la parte derecha, generando una distribución asimétrica hacia la izquierda; en este caso
como la media es la suma de los valores de las observaciones dividido por la cantidad total de observaciones,
su valor se correrá a la izquierda también y por el mismo motivo, la media será menor que la mediana y ambas
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menor que la moda; es decir, en una distribución negativamente sesgada, la moda sigue siendo el punto más
alto de la distribución, la mediana está hacia la izquierda de ella y la media se encuentra todavía más a la
izquierda de la moda y la mediana.
Este corrimiento de la media se explica porque si tomamos un conjunto de datos cualquiera a los cuales
calculamos media, mediana y moda y agregamos un dato extremo y volvemos a calcular la media, la mediana
y la moda, veremos que la media puede variar notablemente, mientras que la mediana y la moda permanecen
idénticas. Esta no variación de la mediana y la moda reciben el nombre de robustez. Las medidas basadas en
el orden –como la mediana- gozan de ésta en tanto que las medidas basadas en la suma –como la media- se
ven más afectadas por las observaciones extremas y son, por lo tanto, poco robustas.
Cuando la población está sesgada negativa o positivamente, con frecuencia la mediana resulta ser la mejor
medida de posición, debido a que siempre está entre la moda y la media. La mediana no se ve altamente
influida por la frecuencia de aparición de un solo valor como es el caso de la moda, ni se distorsiona con la
presencia de valores extremos como la media.
Relación Empírica entre Media, Mediana y Moda
Para curvas de frecuencia unimodales que sean poco asimétricas tenemos la siguiente relación empírica
Media – Moda = 3(media- mediana).
CUANTILES: Cuartiles, Deciles y Percentiles
Son medidas de localización similares a las anteriores, las cuales las denominamos medidas de tendencia
central, sin embargo, también pueden ser llamadas medidas de localización ya que, igual determinan
posiciones ―centrales‖ de la información. Se les denomina CUANTILES (Q). Su función es informar del valor de
la variable que ocupará la posición (en tanto por cien) que nos interese respecto de todo el conjunto de
variables.
Podemos decir que los Cuantiles son unas medidas de posición que dividen a la distribución en un cierto
número de partes de manera que en cada una de ellas hay el mismo de valores de la variable.
Las más importantes son:
CUARTILES, dividen a la distribución en cuatro partes iguales (tres divisiones): C 1, C2, C3, correspondientes al
25%, 50%, 75%.
DECILES, dividen a la distribución en 10 partes iguales (9 divisiones): D 1,..., D9, correspondientes a
10%,...,90%.
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PERCENTILES, cuando dividen a la distribución en 100 partes (99 divisiones): P 1,..., P99, correspondientes a
1%,...,99%.
Existe un valor en cual coinciden los cuartiles, los deciles y percentiles esto es cuando son iguales a la
Mediana y así veremos
2 5
50
 
4 10 100
Para su cálculo distinguiremos entre distribuciones agrupadas y enlistadas:
En las distribuciones sin agrupar, primero hallaremos el lugar que ocupa:
Entonces tendremos que:
Ni-1 < (%).n < Ni  Q = xi
En el supuesto que (%).n = Ni 
Q
x i  x i 1
2
Primero encontraremos el intervalo donde estará el cuantil:
Lugar Ni-1 < (%) n< Ni Intervalo [Li-1, Li) , en este caso: Q  L i 1 
Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS:
En la siguiente distribución
xi
fi
5
10
15
20
25
% N  N i 1
ni
ai
Fi
3
7
5
3
2
n = 20
3
10
15
18
20
Calcular la mediana (Me); el primer y tercer cuartil (C1, C3); el 4º decil (D4) y el 90 percentil (P90).
Mediana (Me)
Lugar que ocupa la mediana  lugar 20/2 = 10.
Como es igual a un valor de la frecuencia absoluta acumulada, realizaremos el cálculo:
Me 
x i  x i 1 10  15

 12,5
2
2
Primer cuartil (C1)
Lugar que ocupa en la distribución (¼). 20 = 20/4 = 5
Como Ni-1 < (25%).n < Ni, es decir 3 < 5 < 10 esto implicara que C1 = xi = 10
Tercer cuartil (C3)
Lugar que ocupa en la distribución (3/4).20 = 60/4 = 15, que coincide con un valor de la frecuencia absoluta
acumulada, por tanto realizaremos el cálculo:
C3 
x i  x i 1 15  20

 17,5
2
2
Cuarto decil (D4)
Lugar que ocupa en la distribución (4/10).20 = 80/10 = 8.
Como Ni-1 < (%).n < Ni ya que 3 < 8 < 10 por tanto D4 =10.
Página 62 de 177
Nonagésimo percentil (P90)
Lugar que ocupa en la distribución (90/100).20 = 1800/100 = 18, que coincide con un valor de la frecuencia
absoluta acumulada, por tanto realizaremos el cálculo:
P90 
x i  x i 1 20  25

 22,5
2
2
Ejemplo:
DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el primer cuartil, el cuarto decil y el 90 percentil de la siguiente
distribución:
[Li-1 , Li)
fi
Fi
[ 0 , 100)
[100 , 200)
[[200 , 300)
[300 , 800)
90
140
150
120
n = 500
90
230
380
500
Primer cuartil (C4)
Lugar ocupa el intervalo del primer cuartil: (1/4). 500 = 500/4 = 125.
Por tanto C4 estará situado en el intervalo [100 – 200).
Aplicando la expresión directamente, tendremos: C 4  100
125 90
100  125
140
Cuarto decil (D4)
Lugar que ocupa: (4/10).500 = 200.
Por tanto D4 estará situado en el intervalo [100 – 200).
Aplicando la expresión tendremos:
D 4  100
200 90
100  178,57
140
Nonagésimo percentil (P 90)
Lugar que ocupa: (90/100).500 = 450.
Por tanto P90 estará situado en el intervalo [300 – 800).
Aplicando la expresión tendremos:
P90  300
450  380
70
500  300 
500  591,67
120
120
Lección 8: Medidas de dispersión: Rango, Varianza, Desviación
típica, coeficiente de variación, puntaje estandarizado.
Como se mencionó anteriormente, las medidas de tendencia central tienen como objetivo sintetizar los datos
en un valor representativo; como complemento, las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas
medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información; de esta manera, las
medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución
respecto al valor central como la media aritmética. Cuanto menor es la dispersión, tanto mayor será la precisión
Página 63 de 177
del sistema de medición. Si los estadígrafos de posición se relacionan con el concepto de exactitud, los de
dispersión se relacionan con la precisión de las técnicas.
La dispersión es importante porque:

Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si
los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.

Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de
identificarlos antes de abordar esos problemas.

Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia
dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables,
necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones
más grandes.
Ya que la dispersión ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, ¿cómo medimos la
variabilidad de una distribución empírica? Vamos a considerar sólo algunas medidas de dispersión: el rango, el
rango inter-cuartílico, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
EL RANGO O RECORRIDO ( R ):
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la
diferencia entre el máximo valor (X n ó XMax) y el mínimo (X1 ó XMin) en un conjunto de datos, de manera más
formal:
R = XMáx – XMín = Xn - X1
Ejemplo:
Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular
el rango o recorrido de la variable, se tiene que:
R = Xn – X1 = 34 – 18 = 16 años
Rango para datos agrupados
Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos
podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite
superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase, de manera más formal:
R= (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. de la clase 1)
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Ejemplo:
Dada la siguiente distribución de frecuencia determinar el rango o recorrido:
Clases
P.M.
mi
ni
fi
Ni
Fi
7,420 – 21,835
14,628
10
0,33
10
0,33
21,835 – 36,250
29,043
4
0,13
14
0,46
36,250 – 50,665
43,458
5
0,17
19
0,63
50,665 – 65,080
57,873
3
0,10
22
0,73
65,080 – 79,495
72,288
3
0,10
25
0,83
79,495 – 93,910
86,703
5
0,17
30
1,00
30
1,00
Total
El rango de la distribución de frecuencias se calcula así:
R = (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. De la clase 1)
= (93.910 – 7.420) = 86.49
Propiedades del Rango o Recorrido:




El recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar puesto que simplemente es la
distancia entre los valores extremos (máximo y mínimo) en una distribución.
Puesto que el recorrido se basa en los valores extremos, éste tiende a ser errático. No es extraño que en
una distribución de datos económicos o comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o
grandes. Cuando tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la dispersión con respecto a esos
valores anormales, ignorando a los demás valores de la variable.
La principal desventaja del recorrido es que sólo esta influenciado por los valores extremos, puesto que no
cuenta con los demás valores de la variable. Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido
ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión.
En el control de la calidad se hace un uso extenso del recorrido cuando la distribución a utilizarse no la
distorsionan y cuando el ahorro del tiempo al hacer los cálculos es un factor de importancia.
RANGO INTERCUARTÍLICO:
Teniendo en cuenta la principal desventaja del rango (toma en cuenta solo los valores extremos), surge el
rango intercuartílico, denotado por RI, su cálculo se limita a la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, es
decir
Página 65 de 177
Esto nos dice en cuántas unidades de los valores que toma la variable se concentra el cincuenta por ciento
central de los casos.
VARIANZA
2
Se representa por S . Se define como el promedio de las desviaciones de los datos entre si. La suma de los
cuadrados de los desvíos de la totalidad de las observaciones, respecto de la media aritmética de la
distribución, es menor que la suma de los cuadrados de los desvíos respecto de cualquier otro valor que no sea
la media aritmética.
Si observamos, veremos que la varianza no es más que el desvío estándar al cuadrado. Precisamente la
2
manera de simbolizarla es S .
∑(
̅)
Propiedades de la varianza:
 Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o distinta de 0. Será 0 solamente cuando X i= X
 La varianza es la medida de dispersión cuadrática optima por ser la menor de todas.
 Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la varianza no se modifica. Veámoslo:
 Si a Xi le sumamos una constante Xi’ = Xi + K. tendremos (sabiendo que
)
 Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante la varianza queda multiplicada por el
cuadrado de dicha constante. Veámoslo:
Si a xi’ = xi · k tendremos (sabiendo que
)
 Si en una distribución obtenemos una serie de subconjuntos disjuntos, la varianza de la distribución inicial se
relaciona con la varianza de cada uno de los subconjuntos mediante la expresión
Siendo
Ni el nº de elementos del subconjunto (i)
Página 66 de 177
S i2 la varianza del subconjunto (i)
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
También recibe el nombre de desviación tipo o desvío típico. Es posible identificar conjuntos de datos que a
pesar de ser muy distintos en términos de valores absolutos, poseen la misma media. Una medida diferencial
para identificar esos conjuntos de datos es la concentración o dispersión alrededor de la media.

Desviación estándar para datos sin agrupar
Una manera que aparece como muy natural para construir una medida de dispersión sería promediar las
desviaciones de la media, pero como vimos
Una manera de evitar que los distintos signos se compensen es elevarlas al cuadrado, de manera que
todas las desviaciones sean positivas. La raíz cuadrada del promedio de estas cantidades recibe el
nombre de desviación estándar, o desviación típica y es representada por la siguiente fórmula:
√ ∑
(
̅)
La desviación estándar sólo puede utilizarse en el caso de que las observaciones se hayan medido con
escalas de intervalos o razones.
A mayor valor de la desviación estándar, mayor dispersión de los datos con respecto a su media. Es un
valor que representa los promedios de todas las diferencias individuales de las observaciones respecto
a un punto de referencia común, que es la media aritmética. Se entiende entonces que cuando este
valor es más pequeño, las diferencias de los valores respecto a la media, es decir, los desvíos, son
menores y, por lo tanto, el grupo de observaciones es más ―homogéneo‖ que si el valor de la
desviación estándar fuera más grande. O sea que a menor dispersión mayor homogeneidad y a mayor
dispersión, menor homogeneidad.

Desviación estándar para datos agrupados
1. Cálculo usando las frecuencias absolutas
2. Cálculo usando las frecuencias relativas
Página 67 de 177
Propiedades de la Desviación Estándar





La desviación estándar es siempre un valor no negativo.
Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.
La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable.
Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía.
Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar
queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.
EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN:
Para comparar la dispersión de variables que aparecen en unidades diferentes (metros, kilos, etc.) o que
corresponden a poblaciones extremadamente desiguales, es necesario disponer de una medida de variabilidad
que no dependa de las unidades o del tamaño de los datos. Este coeficiente únicamente sirve para comparar
las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razón.
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores es el llamado
coeficiente de variación:
(Las barras del denominador representan el valor absoluto, es decir, indican que debe prescindirse de la unidad
de medida de la media). A menor coeficiente de variación consideraremos que la distribución de la variable
medida es más homogénea.
PUNTAJE ESTANDARIZADO:
Cuando se tiene una distribución simétrica, su polígono de frecuencias revelará una forma de campana muy
común en estadística. Esta curva es llamada curva normal, de error, de probabilidad o campana de Gauss.
En ella la media aritmética se localiza en la mitad de la distribución. En el eje horizontal se ubican los valores
que toma la variable y en el vertical la frecuencia absoluta o relativa. El área bajo la curva tendrá un valor del
100%
Figura: Curva normal o campana de Gauss
Página 68 de 177
El puntaje típico o estandarizado o variable normalizada, es una medida de dispersión muy utilizada como
variable estadística en este tipo de distribución, denominada distribución normal. El puntaje estandarizado
mide la desviación de una observación con respecto a la media aritmética, en unidades de desviación estándar,
determinándose así la posición relativa de una observación dentro del conjunto de datos. Por lo general se
simboliza por Z.
Z
X x
s
Por ser adimensional, el puntaje Z es útil para comparar datos individuales de distribuciones que tienen
distintas unidades de medida, así como diferentes medias y desviaciones estándar.
Propiedades:
z  0
2
2.  z  1
1.
EJEMPLO
Al terminar el segundo semestre de laño 2010, un grupo de 150 estudiantes
de primer semestre de Ingeniería
10.110.1
de un CEAD, obtuvieron los siguientes resultados en el puntaje final de los cursos Lógica Matemática y
Estadística Descriptiva:


Lógica Matemática: puntuación media de 3.9 y varianza 3.2.
Estadística Descriptiva: puntuación media de 3.7 y desviación estándar 1.7.
a. ¿En cuál curso hubo mayor dispersión absoluta? ¿En cuál hubo mayor dispersión relativa?
b. Si un estudiante obtuvo como nota final en Lógica Matemática 3.8 y en Estadística
Descriptiva 3.5. ¿En
cuál curso fue su puntuación relativa superior?
Solución:
a. Para determinar la dispersión absoluta:
Lógica Matemática: s  3.2
Estadística Descriptiva: s  1,7
2

s  3.2  1.79
Se tiene entonces que en Lógica Matemática hubo una mayor dispersión absoluta que en Estadística
Descriptiva.
Página 69 de 177
Para la dispersión Relativa:
1.79
 100  45.9%
3.9
1.7
Estadística Descriptiva: CV 
 100  46%
3.7
Lógica Matemática: CV 
En Estadística Descriptiva hubo una mayor dispersión relativa 46% > 45.9%
b. Para el cálculo de la puntuación relativa, se hace uso del puntaje estandarizado. Es decir, se requiere
estandarizar las calificaciones convirtiéndolas en puntuaciones Z.
x  x 3.8  3.9

 0.06
s
1.79
x  x 3.5  3.7
Estadística descriptiva: Z 

 0.12
s
1.7
Lógica Matemática:
Z
Estos valores de puntuación Z negativos indican que ambas calificaciones se encuentran por debajo de la
media. Este es un principio del puntaje estandarizado: Siempre que un valor sea menor que la media, su
puntuación Z correspondiente será negativa.
Estos resultados afirman entonces que el estudiante con calificaciones de 3.8 en Lógica Matemática y 3.5 en
Estadística Descriptiva, está por debajo del promedio del grupo en ambos cursos.
Dado que -0.06 se encuentra más cera a 0 (la media de la variable estandarizada), se dice que la puntuación
relativa del estudiante fue superior en Lógica Matemática.
Lección 9: Medidas de forma: Asimetría y Curtosis.
Después de conocer cómo varía un grupo de datos respecto a su media e identificar otras medidas de
variación, a continuación se estudiará algunos aspectos sobre la forma de las curvas que presentan los datos.
Asimetría: La primera característica que se estudia es el coeficiente de asimetría, el cual mide el grado de
simetría en la distribución de los datos, ya que conocer la distribución de los datos, permite tomar ciertos
caminos para el análisis de los mismos.
Si un conjunto de datos tiene distribución simétrica es porque se cumple:
x  Me  Mo
En las distribuciones asimétricas la media se corre en el sentido del alargamiento o sesgo por efecto de las
frecuencias y de los valores extremos de la variable; la mediana también se corre pero menos que la media ya
que en ella sólo influyen las frecuencias; en tanto que la moda no es influenciada ni por las frecuencias ni por
los valores extremos. Una distribución es asimétrica positiva cuando presenta un alargamiento o sesgo a la
derecha: Mo  Me  x
Una distribución será asimétrica negativa cuando presenta un alargamiento o
sesgo a la izquierda: x  Me  Mo
Las asimetrías positivas son las más frecuentes que las sesgadas hacia la izquierda, porque con frecuencia es
más fácil obtener valores excepcionalmente grandes que valores excepcionalmente pequeños. Ejemplo de ello
es la distribución de valores en los consumos de servicios públicos, las calificaciones en pruebas, los sueldos,
etc.
Se reconocen, entre otras, las siguientes medidas para calcular el grado de la asimetría:
Página 70 de 177

Coeficiente de Pearson. Asimetría en función de la media y la moda. Varía entre ±3 y es 0 en la
distribución normal.
As 


As 
3  ( x  Me)
s
Media cuartil de asimetría o media de Bowley. Varía entre ±1 y es 0 en la distribución normal.
As 
Si
Si
Si
x  Mo
s
Q1  Q3  2Q2
Q3  Q1
As  0 la distribución es simétrica.
As  0 la distribución es asimétrica positiva.
As  0 la distribución es asimétrica negativa.
Apuntamiento O Curtosis: Las curvas de distribución, comparadas con la curva de distribución normal,
pueden presentar diferentes grados de apuntamiento o altura de la cima de la curva. Esta agudeza en la cima
se observa en la moda. Si la curva es más plana que la normal se dice que la curva es platicúrtica; si es más
aguda que la normal, recibe el nombre de apuntada o leptocúrtica. Si la distribución es normal, la curva se
conoce también como mesocúrtica.
La curtosis es la medida de la altura de la curva y está dada por:
Si
Si
Ap  3
Ap  3
Ap  3
Z
Ap 
4
i
ns
 fi
4
la distribución es normal o mesocúrtica.
la distribución es apuntada o leptocúrtica.
Si
la distribución es achatada o platicúrtica.
Otra medida de curtosis que se emplea está basada en el rango semiintercuartílico y los percentiles 10 y 9:
Ap 
QD 2
Q3  Q1

P90  P10 2( P90  P10 )
En el siguiente ejemplo se puede comprender de una manera práctica, la forma de calcular éste tipo de
medidas.
Página 71 de 177
EJEMPLO
El coordinador académico del programa de Administración de Empresas,
desea conocer el rendimiento
10.110.1
académico de los estudiantes de primer semestre en el 2010, en los cursos de Lógica Matemática,
Competencias Comunicativas, Cultura Política, Estadística Descriptiva y Herramientas Informáticas. Para esto
selecciona una muestra de 55 estudiantes de los distintos programas que se ofrecen en el CEAD. La siguiente
tabla, arroja los resultados de la investigación realizada por el funcionario.
Tabla: Distribución de frecuencias de las calificaciones de primer semestre
Calificación
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Total
Lógica
Competencias Cultura Estadística Herramientas
Matemática Comunicativas Política Descriptiva Informáticas
1
3
2
1
1
4
3
2
1
2
7
5
3
2
3
9
6
4
4
7
9
7
6
11
9
8
7
8
14
11
6
7
9
12
9
4
6
9
6
7
3
5
7
3
3
2
3
4
1
2
2
3
1
0
1
55
55
55
55
55
En la tabla siguiente se reporta un resumen de las medidas estadísticas por cada uno de los cursos.
Medida
x
Me
Mo
s2
s
Q1
Q2
Q3
Lógica
Matemática
2.25
2.0
1.5 y 2.0
Competencias
Comunicativas
2.5
2.5
2.0, 2.5 y 3.0
Cultura
Política
2.75
3.0
3.0 y 3.5
Estadística
Descriptiva
2.53
2.5
2.5
Herramientas
Informáticas
2.5
2.5
2.5
1.45
1.20
1.84
1.36
1.45
1.20
0.76
0.87
1.12
1.06
1.5
1.5
2.0
2.0
2.0
2.0
2.5
3.0
2.5
2.5
3.0
3.5
3.5
3.0
3.4
a-) Asimetría:
Para Lógica Matemática: Se observa que Mo  Me  x , lo que indica que la distribución tiene asimétrica
positiva. Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Pearson y la media de Bowley: En este caso se
trabajará con la media de Bowley, pues la distribución tiene dos modas y no permite un resultado seguro con el
coeficiente de Pearson.
Página 72 de 177
As 
Q1  Q3  2Q2 1.5  3  2(2)

 0.33  0
Q3  Q1
3  1.5
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Lógica Matemática confirma los resultados.
Figura: Curva asimétrica positiva Polígono de frecuencias de calificaciones de Lógica Matemática
10
9
Frecuencia
8
7
6
5
4
3
2
1
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación
La curva lleva a concluir que la mayoría de los estudiantes están por debajo de la media en el curso de Lógica
Matemática y son pocos los estudiantes que la superan.
Para Competencias Comunicativas: Se observa que Mo  Me  x , lo que indica que la distribución es
simétrica. Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Bowley, pues la distribución tiene tres modas y no
permite un resultado seguro con el coeficiente de Pearson.
As 
Q1  Q3  2Q2 1.5  3.5  2(2.5)

0
Q3  Q1
3.5  1.5
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Competencias Comunicativas confirma los resultados.
Figura: Curva simétrica platicúrtica
Polígono de frecuencias de calificaciones de Competencias Comunicativas
con el coeficiente de Pearson.
10
9
8
Frecuencia
7
6
5
4
3
2
1
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación
Para determinar el grado de apuntamiento o curtosis, se debe determinar el puntaje típico o estandarizado de
cada clase y luego aplicar la fórmula que lo calcula. En la siguiente tabla se indican estos valores.
Página 73 de 177
Tabla: Cálculo de Z para la distribución de frecuencias de las calificaciones de Competencias Comunicativas
4
Calificación
f
Z
Zi f i
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
3
3
5
6
7
7
7
6
5
3
3
-1,838235294
-1,470588235
-1,102941176
-0,735294118
-0,367647059
0
0,367647059
0,735294118
1,102941176
1,470588235
1,838235294
34,2551328
14,0309024
7,39910869
1,7538628
0,12788583
0
0,12788583
1,7538628
7,39910869
14,0309024
34,2551328
Total
55
0
115,133785
Z
Ap 
4
fi
i
ns
4
 Ap 
115.13
 0.62  3
55  1.36 4
Por lo tanto, la curva es simétrica platicúrtica o achatada.
Estos resultados indican que la mayoría de los estudiantes en Competencias Comunicativas están en el rango
de la media del curso, además sus notas son muy homogéneas alrededor de la media.
Para Cultura Política: Se observa que Mo  Me  x , lo que indica que la distribución es asimétrica negativa.
Para confirmarlo se hace uso de la media de Bowley, pues la distribución tiene dos modas y no permite un
resultado seguro con el coeficiente de Pearson.
As 
Q1  Q3  2Q2 2.0  3.5  2(3.0)

 0.33  0
Q3  Q1
3.5  2.0
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Cultura Política confirma los resultados.
Figura: Curva asimétrica negativa
Polígono de frecuencias de calificaciones de Cultura Política
10
9
8
Frecuencia
7
6
5
4
3
2
1
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación
Esto quiere decir que las calificaciones de
la mayoría de los estudiantes del curso Cultura Política están por
encima de la media.
Página 74 de 177
Para Estadística Descriptiva: Se observa que Mo  Me  x , lo que indica que la distribución es simétrica.
Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Pearson y la media de Bowley:
As 
x  Mo 2.53  2.5

 0.03  0
s
0.87
As 
y
Q1  Q3  2Q2 2.0  3.0  2(2.5)

0
Q3  Q1
3.0  2.0
Para determinar el grado de apuntamiento o curtosis, se debe determinar el puntaje típico o estandarizado de
cada clase y luego aplicar la fórmula que lo calcula. En la tabla siguiente tabla se indican estos valores.
Tabla: Cálculo de Z para la distribución de frecuencia de las calificaciones de Estadística Descriptiva
4
Calificación
f
Z
Zi f i
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1
1
2
4
11
14
12
6
3
1
0
-2,908045977
-2,333333333
-1,75862069
-1,183908046
-0,609195402
-0,034482759
0,540229885
1,114942529
1,689655172
2,264367816
-1,352941176
71,516306
29,6419753
19,1301647
7,85835926
1,51502275
1,9794E-05
1,02210536
9,27173856
24,4519547
26,289837
0
Total
55
-4,571331981
190,697484
Z
Ap 
4
i
ns
4
fi
 Ap 
190.70
 6.05  3
55  0.87 4
Por lo tanto, la curva es simétrica leptocúrtica o apuntada.
Lo anterior indica que las calificaciones de Estadística Descriptiva de la muestra de 55 estudiantes están muy
cerca de la media y que existe además, un pico en 2.5, señalando una alta frecuencia en esta calificación.
Frecuencia
Figura: Curva simétrica leptocúrtica
Polígono de frecuencias de calificaciones de Estadística Descriptiva
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación
Para Herramientas Informáticas: Se observa que Mo  Me 
simétrica. Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Pearson:
Página 75 de 177
x , lo que indica que la distribución es
As 
x  Mo 2.5  2.5

0
s
1.06
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Herramientas Informáticas confirma los resultados. La curva
es simétrica mesocúrtica o normal.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSION EN EXCEL
El proceso a seguir, cuando los datos estén SIN AGRUPAR, es decir, tal como se recolectaron, si trabajamos
con la variable número de hermanos, para la aplicación de las diferentes medidas, serán las siguientes:

Consideremos los datos del CUADRO No. 1, que contiene información de 10 variables correspondiente a
50 estudiantes seleccionados como muestra, de una población de 1.080 estudiantes, que a continuación se
reedita:
Cuadro No. 1.
No.
Promedio
No.
No.
Facultad Sexo
libros calificación
orden
hermanos
leídos matemáticas
2
2
2
2
2
4,1
9
3
2
0
6
3,4
12
3
1
6
3
3,6
35
2
2
0
7
3,6
41
3
1
3
5
4,1
63
3
2
4
2
3,1
74
2
2
2
4
3,6
113
1
1
1
3
3,4
147
3
1
1
8
5,0
175
1
2
3
2
2,6
199
2
2
0
2
3,9
214
1
1
1
7
3,5
234
1
1
1
2
3,6
268
3
1
3
12
3,9
327
3
1
1
8
5,0
331
1
2
0
6
3,4
364
1
2
3
2
3,3
400
3
2
0
6
3,6
405
1
2
2
11
4,6
470
1
2
3
2
3,0
507
3
1
1
8
5,0
512
1
2
0
3
2,8
545
2
1
6
10
3,9
557
2
1
6
2
3,1
587
3
1
1
4
3,3
589
3
2
2
3
2,6
590
1
1
0
2
2,7
616
3
2
0
3
3,8
621
3
1
0
3
3,0
653
1
1
1
3
3,4
Actualmente Calificaciones Edad Estatura Peso
trabaja
ICFES
(años)
(Cm)
(Kg)
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
Página 76 de 177
360
320
330
280
320
320
325
280
310
270
290
310
320
310
310
380
280
280
400
300
310
310
310
270
300
270
280
265
290
280
20
20
18
22
16
24
20
23
17
15
26
22
20
21
17
20
16
17
24
20
17
20
17
21
32
17
19
19
17
23
158
170
174
155
170
172
169
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166
174
165
166
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165
164
174
171
171
168
160
165
168
156
171
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48
70
78
60
72
69
66
82
83
60
66
80
70
64
83
58
58
46
60
70
83
59
64
60
65
59
71
54
82
82
665
669
721
747
748
761
771
825
873
876
923
933
936
943
976
982
1001
1017
1025
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2
3
2
2
1
3
3
2
1
3
1
1
2
3
3
3
3
2
2
3

1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
3
2
3
3
1
8
3
6
1
3
3
2
0
0
3
5
1
0
2
1
4
2
2
5
1
2
5
2
3
10
10
6
3
6
5
2
2
2
3,2
4,0
2,6
4,0
3,3
4,1
2,8
3,7
4,2
4,0
4,2
2,8
2,8
3,8
3,8
3,0
3,1
3,8
3,2
3,3
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ubiquémonos en la barra de MENU, con el MOUSE
aparecer la siguiente figura:
360
315
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330
310
320
290
320
350
380
390
260
260
280
265
410
280
290
360
325
21
16
18
18
17
16
24
22
22
20
22
20
28
20
19
18
17
15
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19
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140
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174
169
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haciendo CLIC en HERRAMIENTAS
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58
55
64
54
86
76
70
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60
debiendo
Figura No. 1. Microsoft Excel

Al hacer CLIC en el submenú ANÁLISIS DE DATOS , debe aparecer la siguiente figura (Fig. 2):
Figura No. 2. Funciones para análisis
Con la figura No. 2, correspondiente a ANÁLISIS DE DATOS, procederemos a seleccionar una de las
funciones, en nuestro caso la opción identificada como ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, luego al hacer CLIC en
ésta y ACEPTAR debe aparecer la figura siguiente (Fig. 3):
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Figura No. 3. Estadística Descriptiva

Teniendo en cuenta la Figura No. 3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, se comienza el procesamiento de los
datos. Recordemos que el RANGO DE ENTRADA es el correspondiente a la variable número de hermanos
registrados en el Cuadro No. 1.

En la misma figura anterior, aparecen unas opciones de salida, con alternativa de ser una HOJA NUEVA o
en un LIBRO NUEVO.

Además, aparecen: RESUMEN DE ESTADÍSTICAS; NIVEL DE CONFIANZA PARA LA MEDIA: 95% o
cualquier otro valor establecido; K-ESIMO MAYOR y, finalmente, K-ESIMO MENOR, activando o haciendo
CLIC en cada uno de ellos, En caso de considerar la obtención de un mayor número de resultados para el
análisis.

Al hacer CLIC en ACEPTAR, se obtiene la información, tal como puede observarse en la figura No. 4.
Medidas
Resultados
Media
Error típico
Mediana
Moda
Desviación estándar
Varianza de la muestra
Curtosis
Coeficiente de asimetría
Rango
Mínimo
Máximo
Suma
Cuenta
Mayor (1)
Menor(1)
Nivel de confianza (95.0%)
2,04
0,27547362
1,5
1
1,94789263
3,79428571
0,92539916
1,11511128
8
0
8
102
50
8
0
0,55358463
Figura No. 4. Resultados

Para lograr los anteriores resultados en todas y cada una de las opciones (Resumen de estadísticas; nivel
de confianza para la media, K-ésimo mayor y K-ésimo menor), deben señalarse.
Los resultados de la figura No. 4, nos muestra un cuadro resumen con los valores de la Media, Error Típico;
Mediana; Asimetría; Mínimo; Máximo; Suma; Conteo para la variable NUMERO DE HERMANOS.
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