estado del arte sobre pensamiento inicial matemático

ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
ESCRITO PARA CECC/SICA
COORDINACIÓN EDUCATIVA Y CULTURAL CENTROAMERICANA
DEL SISTEMA
DE LA INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA
POR
TRACEY TOKUHAMA-ESPINOSA, PH.D
GRACIELA MARIANA RIVERA BILBAO, Msc.
QUITO, 27 DE ABRIL DE 2013
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN............................................................................................................. 1
Antecedentes ............................................................................................................... 1
El problema .................................................................................................................. 2
Preguntas de investigación .......................................................................................... 3
Contexto y marco teórico ............................................................................................. 3
El propósito del estudio ................................................................................................ 3
El significado del estudio.............................................................................................. 3
Definición de términos.................................................................................................. 3
Presunciones del autor del estudio .............................................................................. 4
Supuestos del estudio .................................................................................................. 4
REVISIÓN DE LA LITERATURA ..................................................................................... 5
Géneros de literatura incluidos en la revisión .............................................................. 5
Fuentes .................................................................................................................... 5
Pasos en el proceso de revisión de la literatura ....................................................... 5
Temas de la revisión de la literatura ......................................................................... 5
El desarrollo infantil temprano .............................................................................. 6
Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas 0-3 años ................................... 9
Antecedentes .................................................................................................... 9
El sentido numérico ......................................................................................... 10
Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años ............................ 13
Procesamiento numérico ................................................................................. 15
Competencias para el aprendizaje de las matemáticas ......................................... 17
1. La habilidad física de ver números y palabras ................................................ 18
El reconocimiento visual.................................................................................. 19
2. La habilidad de utilizar funciones ejecutivas y habilidades de pensamiento de
orden superior ..................................................................................................... 20
3. La habilidad de generalizar en un mismo concepto diferentes símbolos que
representan una misma idea .............................................................................. 22
Modelo de Código Triple ................................................................................. 23
Dos redes neurales para la identificación de símbolos ................................... 27
Primera red neuronal para el procesamiento simbólico .................................. 27
Segunda red neuronal para el procesamiento simbólico................................. 27
4. Habilidad de estimar o aproximar cantidades ................................................. 30
5. Habilidad de retener información en la memoria ............................................ 33
6. La habilidad para almacenar y utilizar procedimientos ................................... 36
Línea numérica mental .................................................................................... 36
Elección de la memoria verbal ........................................................................ 39
1
Elaboración semántica .................................................................................... 39
Uso de la memoria de trabajo ......................................................................... 40
Estrategias y planificación de procedimientos matemáticos ........................... 40
7. Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente ...................... 41
8. Habilidades gráficas........................................................................................ 45
Resumen revisión de la literatura ............................................................................... 47
ANÁLISIS ...................................................................................................................... 55
Bases del aprendizaje futuro de las matemáticas ...................................................... 55
La facultad primitiva del sentido numérico.............................................................. 55
Orden, ubicación y procesos numéricos: la línea numérica mental ........................ 56
Estimación mental: el sistema del número aproximado.......................................... 57
Subáreas ................................................................................................................ 58
Procesamiento y operaciones ............................................................................. 58
Geometría y espacio ........................................................................................... 59
Medición ............................................................................................................. 60
Patrones ............................................................................................................. 61
Representación gráfica de datos ........................................................................ 62
Consideraciones globales en el aprendizaje .......................................................... 64
El factor docente ................................................................................................. 65
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES................................................................. 66
Respuestas a las preguntas de investigación ............................................................ 66
¿Hay una edad para alcanzar el procesamiento matemático?............................... 66
¿Es posible medir el procesamiento inicial matemático? ....................................... 68
¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a mejorar el
pensamiento inicial matemático? ........................................................................... 73
Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart .................................................. 74
Herramientas de la mente (Tools of the Mind) .................................................... 74
La carrera del número (The Number Race) ....................................................... 75
Los mundos del número (The Number Worlds) .................................................. 77
Resumen de las posibles intervenciones ............................................................... 79
Limitaciones del estudio ............................................................................................. 79
Recomendaciones para futuros estudios ................................................................... 80
Resumen final ............................................................................................................ 80
Resumen de los circuitos neuronales relacionados con la matemática ................. 81
REFERENCIAS ............................................................................................................. 84
2
FIGURAS
Figura 1. Activación neuronal en el procesamiento de cantidad.................................... 11
Figura 2: Esquema mental de la resolución de problemas matemáticos ....................... 13
Figura 3. Activación cerebral en el procesamiento numérico ........................................ 16
Figura 4. Redes visuales activadas ............................................................................... 18
Figura 5. Circuitos relacionados con la atención en el cerebro ..................................... 21
Figura 6. Esquema del Modelo de Código Triple en el cerebro ..................................... 23
Figura 7. Imagen cerebral del Modelo de Código Triple ................................................ 24
Figura 8. Regiones activadas en el cerebro al reconocer letras y símbolos .................. 25
Figura 9. Magnitud y cálculo en niños y niñas con discalculia y sin discalculia ............. 28
Figura 10. Evidencia neural de la convergencia entre representaciones numéricas
simbólicas y no simbólicas ..................................................................................... 29
Figura 11. Aproximación numérica para niños y niñas pequeños ................................. 31
Figura 12. Activación neuronal de respuesta al cambio de número .............................. 31
Figura 13. Activaciones en el cerebro adulto a los cambios en numerosidad ............... 32
Figura 14. Activación cerebral al estimar y comparar .................................................... 33
Figura 15. Memoria de corto a largo plazo .................................................................... 34
Figura 16. Memoria de trabajo....................................................................................... 35
Figura 17. Activaciones cerebrales en el procesamiento de estímulos no simbólicos
numéricos ............................................................................................................... 36
Figura 18. Representación del número en la línea numérica mental ............................. 37
Figura 19. Activación neuronal al realizar diferentes procesos matemáticos ................ 38
Figura 20. Activación de regiones parietales involucradas en el cálculo ....................... 41
Figura 21. Patrón general de la actividad durante cada operación mental .................... 42
Figura 22. Áreas del cerebro involucradas en procesos matemáticos .......................... 43
Figura 23. Activación cerebral al realizar sumas y restas .............................................. 45
Figura 24. Ejemplos del sistema de Singapur ............................................................... 46
Figura 25. Bloques de Cuisenaire Rods y la correspondencia de colores ..................... 67
Figura 26. The Number Race ........................................................................................ 76
TABLAS
Tabla 1. Sentido numérico ............................................................................................. 12
Tabla 2. Habilidades y circuitos neuronales para las matemáticas en niños de 0-6 años
............................................................................................................................... 14
Tabla 3. Resumen de la revisión de literatura ............................................................... 47
Tabla 4. Áreas de contenido para el aprendizaje de las matemáticas y su posible
medición ................................................................................................................. 68
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ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
Rivera Bilbao
INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA SOBRE PENSAMIENTO INICIAL NUMÉRICO
PARA CECC/SICA DEL SISTEMA DE INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA
INTRODUCCIÓN
Antecedentes
El Proyecto Regional de Educación de la Coordinación Educativa y Cultural
Centroamericana (CECC/SICA) propicia actividades de producción y difusión de
conocimiento sobre factores relacionados con la enseñanza de la lectura y la
matemática que posiblemente se asocien con el fracaso escolar, medido en indicadores
de repetición, extra edad y abandono. El CECC/SICA requiere de la elaboración de un
estado del arte sobre Pensamiento Inicial Numérico.
La investigación solicitada sobre Pensamiento Inicial Numérico parte del planteamiento
del Ministerio de Educación de Costa Rica que “está especialmente interesado en
encontrar aplicación didáctica de los principios científicos que se derivan de los
hallazgos de las neurociencias” (CECC/SICA, 2012a, p.1). Para ello, el Ministerio de
Educación ha solicitado a la CECC/SICA “realizar una indagación específica sobre si el
fracaso escolar podría estar asociado al hecho de que, al comienzo de la escolaridad,
los niños y niñas no han logrado el procesamiento inicial matemático en el nivel
adecuado previo al aprendizaje escolar de la matemática” (CECC/SICA, 2012a, p.1). A
decir de Daniel Ansari, investigador de la Universidad del Oeste de Ontario y miembro
de la directiva del International Mind, Brain, and Education Society (IMBES), el
Ministerio de Educación de Costa Rica estaría indagando sobre un “tema fundamental”
para entender los factores que influyen en los procesos de aprendizaje (Ansari, 4 de
septiembre de 2012, comunicación personal).
Los Términos de Referencia recibidos sostienen que el abandono de la escuela es un
proceso que no ocurre repentinamente. Parten de la hipótesis de que el desarrollo del
pensamiento inicial numérico contribuye a un mejor aprendizaje de la matemática
(CECC/SICA, 2012a). Argumentan que existen señales previas al abandono en el
ámbito pedagógico, posibles de identificar por el sistema educativo y factibles de
corregir oportunamente. Además, consideran que directivos y docentes que puedan
identificar las posibles deficiencias en la adquisición del pensamiento inicial numérico
podrían evitar procesos de no aprendizaje, repetición, extra edad y rezago escolar, los
que conllevan a una pérdida en la autoestima de los estudiantes y suelen terminar en
abandono de la escolaridad (CECC/SICA, 2012a).
En este contexto, la CECC/SICA busca una aclaración conceptual basada en un
estudio bibliográfico acerca de cuál sería el nivel de desarrollo normal del pensamiento
inicial numérico que niños y niñas debieran alcanzar en la etapa preescolar, a fin de que
el aprendizaje posterior de las matemáticas se realice con éxito en los aprendizajes
escolares.
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El problema
Se sabe que la instrucción temprana en matemáticas es beneficiosa: “Los niños que
aprenden los fundamentos de matemáticas en la etapa preescolar y en el kindergarten
tienen las mejores posibilidades de logros escolares. Pero con demasiada frecuencia,
los niños no reciben la instrucción de calidad necesaria que puede hacer esta
diferencia” (Moomaw, 2011; United States Department of Education, 2008). La buena
instrucción en matemáticas en edades tempranas es un indicador de logro en esta
disciplina en los años posteriores (Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2009).
También se sabe que hay indicadores tempranos que pueden ayudar a identificar
problemas potenciales (Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2009; Jordan & Levine,
2009; Locuniak & Jordan, 2008; Mazzocco & Thompson, 2005). Por ejemplo, existen
varios estudios longitudinales (desde el comienzo hasta el final del kindergarten) que
muestran que los indicadores de conocimiento de números como contar, discriminar la
cantidad y nombrar los números son predictores de logros (de medio a muy bueno) en
el aprendizaje de las matemáticas en niveles superiores (Clarke, & Shinn, 2004; Geary,
1990; Lembke, Foegen, 2009; Methe, Hintze, & Floyd, 2008 citado en Jordan, 2010).
Finalmente, se reconoce que niños y niñas que pueden participar en programas de
intervención temprana (prekindergarten) de alta calidad, pueden mejorar las
consecuencias de la pobreza a través de una enseñanza de calidad y un buen inicio de
la escolaridad (Hindman, Skibbe, Miller, & Zimmerman, 2009; Sarama, Clements,
Starkey, Klein, & Wakeley, 2008), y que el conocimiento pedagógico del docente sobre
qué, cómo y por qué enseñar ciertos conceptos matemáticos en los momentos precisos
es fundamental (Bowman, et al., 2001; Darling-Hammond, 1997).
El Ministerio de Educación de Costa Rica supone una relación entre el fracaso escolar y
el aprendizaje de las matemáticas, el cual va de la mano de una deficiente adquisición
del pensamiento inicial numérico. Argumentan que el fracaso escolar podría estar
asociado al hecho de que los niños y niñas, al comienzo de la escolaridad, no han
logrado desarrollar destrezas relacionadas con el pensamiento inicial numérico en un
nivel adecuado previo al aprendizaje escolar de la matemática (CECC/SICA, 2012b).
Los datos proporcionados por la CECC/SICA evidencian que un 17,2% de los niños y
niñas de primer grado se encuentran en riesgo de fracaso y abandono escolar.
Adicionalmente, se ha identificado que son alrededor de 15.000 niños y niñas que no
han logrado aprobar el primer grado de primaria (CECC/SICA, 2012b), sea por
abandono o por no haber sido promovidos. De acuerdo con los datos proporcionados
por la CECC/SICA, y siendo el Ministerio de Educación de Costa Rica el que se plantea
la hipótesis de la relación entre el procesamiento inicial matemático y el aprendizaje de
la matemática, este estudio pretende aclarar las posibles relaciones entre estas dos
habilidades y su probable influencia sobre el abandono escolar.
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Preguntas de investigación
La pregunta principal de investigación es: ¿Cómo y hasta qué punto la adquisición del
pensamiento inicial numérico influye en el aprendizaje de las matemáticas en niños y
niñas de primer grado de primaria?
Preguntas secundarias incluyen: (a) ¿Hay una edad para alcanzar el pensamiento
inicial matemático? (b) ¿Es posible medir la adquisición del pensamiento inicial
matemático? y (c) ¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a
mejorar el pensamiento inicial matemático?
Contexto y marco teórico
El marco teórico de este estudio se basa en la ciencia de la Mente, Cerebro y
Educación, o la intersección de la neurociencia, psicología cognitiva y la pedagogía.
Existen pocos estudios que integran fuentes de información sobre cómo funciona el
cerebro respecto a conciencia inicial matemática y su aplicación en las escuelas. Por
ende, se utilizarán las aproximaciones más cercanas ofrecidas por Stanislas Dehaene,
Brian Butterworth, Douglas Clements, Julie Sarama, Nancy Jordan y Daniel Ansari,
entre otros líderes neurocientíficos, con años de experiencia en la exploración del uso
de sus investigaciones en campos educativos.
El propósito del estudio
El propósito de este estado del arte es sistematizar los principales hallazgos
encontrados en diferentes estudios e investigaciones sobre el desarrollo del
pensamiento inicial numérico en función de sus implicaciones y consecuencias para la
adquisición de posteriores aprendizajes, particularmente de la matemática. Se busca
establecer parámetros dentro de los que el Ministerio de Educación de Costa Rica
pueda tomar decisiones sobre intervenciones apropiadas, relacionadas con el
aprendizaje de las matemáticas en la etapa escolar inicial.
El significado del estudio
Los resultados presentados en este estudio permitirán organizar y relacionar
importantes aportes conceptuales que contribuirán a identificar posibles factores que se
están pasando por alto en el proceso pedagógico de niños y niñas en los primeros años
de escolaridad. La identificación de los posibles factores podría derivar en la
introducción de medidas iniciales para favorecer los posteriores aprendizajes de las
matemáticas.
Definición de términos

Cerebro: para efectos de la presente investigación, es la parte más evolucionada y
grande del encéfalo. En el cerebro se dan la cognición, el pensamiento, las
emociones, la memoria y el lenguaje, entre otras habilidades. Tiene dos hemisferios,
cada uno con cuatro lóbulos: frontal, temporal, parietal y occipital. La parte más
externa es la corteza cerebral, que tiene unos repliegues que forman
circunvoluciones y cisuras (Enciclopedia Salud, 2013).
3
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
Ciencia de la Mente, Cerebro y Educación: ciencia transdiciplinaria que emerge
de la interrelación de la Psicología (Biosicología, Psicología del Desarrollo y
Psicología Cognitiva), las Neurociencias (Neurociencia Cognitiva, Neuroética,
Neuropsiquiatría, Neurociencia del Desarrollo, Pediatría) y la Educación (Pedagogía,
Educación Especial). Se la nombra con las siglas MCE (Tokuhama-Espinosa, 2011).

Discalculia: trastorno del aprendizaje que se manifiesta con una baja capacidad
para el procesamiento numérico y el cálculo (Emerson, 2010).

Mente: para efectos del presente ensayo, se conoce como mente el estudio de los
fenómenos cerebrales desde el ámbito psicológico (Tokuhama-Espinosa, 2011).

Vía o red neuronal: el tracto neural que une una parte del sistema nervioso con
otra. Por lo general consiste en haces de mielina alargadas, con aislamiento de
neuronas, conocidas colectivamente como materia blanca. Las vías neuronales
sirven para conectar las zonas relativamente distantes del cerebro o el sistema
nervioso, y también sirven como rutas de destrezas distintas en el cerebro (Purves,
2001).

Plasticidad cerebral: se refiere a la habilidad de cambiar la eficacia de la
transmisión sináptica, y de las conexiones neuronales en la actividad aferente
(Purves, 2001).
Presunciones del autor del estudio
Se presume que los antecedentes contenidos en los Términos de Referencia enviados
por la CECC/SICA reflejan la realidad sobre deserción escolar en Costa Rica.
Supuestos del estudio




Se supone que es posible extrapolar a Costa Rica los resultados de los estudios
sobre procesamiento inicial matemático realizados en su mayoría en Estados Unidos
y Europa, fuera del contexto hispanohablante.
Se supone que existe una relación directa entre una baja adquisición del
procesamiento inicial matemático y bajos índices de logro en matemáticas.
Se supone que el aprendizaje de la matemática tiene relación con la adquisición
inicial del lenguaje (Denton & West, 2002; Donlan, Cowan, Newton & Lloyd, 2007;
Evans, 2008; Miura, 1987; Miura, Kim, Chang & Okamoto, 1988; Park, 2000), y que
el aprendizaje de la lectura influye en los logros de otros aprendizajes, como el de
las matemáticas, a lo largo de la vida.
Se supone que los resultados del estado del arte se utilizarán en niños y niñas con
cerebros “típicos”, de los que el 95% son sujetos diestros y 70% zurdos, que utilizan
el hemisferio izquierdo de acuerdo al idioma que hablan, tal como los individuos de
los estudios presentados en este estado del arte. Cabe resaltar que existe una
población importante que NO se refleja en la información contenida en este informe.
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Por medio de la presente recopilación bibliográfica se pretende contribuir al
entendimiento de los procesos cerebrales comprometidos en el aprendizaje de la
matemática y el procesamiento numérico bajo el lente de la Ciencia de Mente, Cerebro
y Educación (MCE). A continuación una revisión de los estudios más actualizados sobre
matemáticas en el campo de MCE.
REVISIÓN DE LA LITERATURA
Géneros de literatura incluidos en la revisión
Fuentes
Las fuentes bibliográficas utilizadas se enmarcan en los avances realizados por la
Ciencia de Mente, Cerebro y Educación (MCE), de los centros de investigación más
avanzados en este campo como el Canada Research Chair in Developmental Cognitive
Neuroscience, la American Association for the Advancement of Science; Journal for
Research in Mathematics Education, National Council of Teachers of Mathematics
(EEUU) y la International Mind, Brain, and Education Society (IMBES), entre otros. Las
investigaciones y documentación vienen de las fuentes primarias y contactos
personales con los autores e investigadores de dichos centros. Se otorga prioridad a
estudios, investigaciones, artículos científicos, publicaciones y otros con no más de diez
años de antigüedad. Además se utilizan todos aquellos estudios y publicaciones que
son referencia de otros estudios realizados en este siglo, y que por su trascendencia
siguen siendo mencionados.
Pasos en el proceso de revisión de la literatura
La revisión inicial de la literatura general dio lugar a la elaboración de un mapa
conceptual que establece las relaciones requeridas por los Términos de Referencia. La
lectura en profundidad de la literatura más especializada registra la información en
función del marco conceptual. La etapa analítica refleja tendencias que pudieran existir
y sugiere, con la claridad que pueda lograrse, la preferencia de la investigadora por tal o
cual tendencia en particular. Se escogió, de manera que quede claramente identificado,
lo que puede considerarse un hallazgo conclusivo consolidado de lo que está aún en
proceso y debiera someterse a posteriores escrutinios.
Temas de la revisión de la literatura
Como en cualquier área de aprendizaje, “todas las decisiones relacionadas con las
matemáticas, el currículo y las prácticas de enseñanza deben estar fundamentadas en
el conocimiento del desarrollo del niño y su capacidad de aprender en todos los ámbitos
relacionados –cognitivo, lingüístico, físico y socioemocional” (NAEYC & NCTM, 2002).
Aunque se reconoce la gran importancia de los aspectos físicos y socioemocionales,
este estudio está limitado a la revisión de literatura sobre el proceso de aprendizaje de
conceptos matemáticos en el cerebro y su posible aplicación a diferentes metodologías
de enseñanza.
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La revisión de la literatura está dividida en tres grandes temas: (a) desarrollo infantil
temprano; (b) la matemática en el cerebro de niños y niñas de 0-3 años; y (c) las
matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años.
El desarrollo infantil temprano
El análisis del aprendizaje de la matemática desde el punto de vista de MCE lleva
también a enriquecer la comprensión de lo que llamamos “desarrollo infantil temprano”
y su influencia en los futuros aprendizajes, así como destacar sugerencias generales
para alimentar estos procesos de desarrollo con base en evidencia.
El National Scientific Council on the Developing Child de la Universidad de Harvard,
utilizando distintas investigaciones basadas en los hallazgos de MCE, políticas públicas
y economía, propone prácticas orientadas a promover el desarrollo infantil temprano
como base del crecimiento de niños y niñas. En las políticas a nivel mundial ya se han
planteado recomendaciones para fortalecer el desarrollo infantil en etapas tempranas.
Se ha observado que esto ya es una prioridad nacional a lo largo de las Américas,
manifestado en declaraciones en Chile, EEUU, Ecuador y Colombia en 2012 y 2013. Al
momento, MCE puede apoyar varias recomendaciones basándose en evidencia
científica. Entre las recomendaciones fundamentadas en planteamientos
internacionales basados en evidencia, como el caso argentino, Hacia un modelo
interdisciplinario: Biología, interacción social y desarrollo infantil temprano (Rolla, Hinton
& Shonkof, 2011), encontramos las siguientes:

Invertir en servicios de salud, educación y estimulación de alta calidad en
edades tempranas con oportunidades de desarrollo adecuadas, como base de una
sociedad sana, próspera y sustentable (Rolla, et al., 2012). Desde el punto de vista
económico, la inversión en desarrollo infantil temprano asegura un efecto
multiplicador en la edad adulta (Lynch, 2004; Rolla, et al., 2012). Por lo tanto,
cultivar habilidades y motivación en etapas tempranas de la vida sirve de andamio
para desarrollar estas mismas características en edades adultas (Cunha, Heckman,
Lochner, & Masterov, 2006). Oportunidades de desarrollo adecuadas son la base de
una sociedad sana, próspera y autosustentable.

Estimular y exponer a niños y niñas a experiencias que desarrollen bases que
contribuyan a la organización cerebral (Fox, Levitt, & Nelson, 2010; Meaney, 2010)
procurando involucrar a niños y niñas “en oportunidades futuras de aprendizaje y de
salud física y mental” (Rolla, 2012, p. 74). La arquitectura cerebral se organiza en
forma continua y jerárquica, desde los circuitos más simples hasta los más
complejos. También se sabe que en los primeros años de vida se forman alrededor
de 700 conexiones neuronales por segundo. A los siguientes años se les denomina
de poda, que es cuando se van debilitando aquellas redes de poco uso (Center on
the Developing Child, 2007). A su vez, Knudsen (2004; 2006) propone que la
arquitectura cerebral se encuentra organizada de tal manera, que los circuitos más
simples son la base de circuitos más complejos. En el caso de la lectura, los
circuitos que se desarrollan en el área visual y fonológica utilizados para el lenguaje
y la comunicación en los primeros años de infancia van a ser el andamio donde se
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construirán los procesos de lectoescritura. El aprendizaje de la lectura y escritura al
inicio de la etapa escolar se verá favorecido por la estimulación y desarrollo de los
circuitos neurales que involucran el lenguaje, así como las áreas de reconocimiento
visual y fonológico relacionadas con la matemática.

Promover relaciones de interacción recíproca de ida y vuelta (serve and return
en inglés) entre los niños, niñas y sus padres, así como con las diferentes personas
que se encargan de su cuidado en la familia y en la comunidad (Rolla, et al., 2012).
Las respuestas empáticas que se producen en las relaciones positivas en función de
las necesidades emocionales y comunicacionales de los niños y niñas pueden
afectar la arquitectura cerebral de los mismos. De esta manera, si es que en la
etapa de balbuceo las expresiones faciales, gestos y movimientos corporales de
todos aquellos que se relacionan con los niños y niñas son coordinados de manera
coherente con las emociones, se asegurará una mejor organización cerebral, la cual
servirá de andamiaje para nuevos aprendizajes, como por ejemplo el procesamiento
inicial matemático, objeto de esta investigación.

Propender al bienestar emocional, la salud física, las competencias sociales, las
aptitudes cognitivas y el desarrollo del lenguaje de niños y niñas. El cumplimiento de
este propósito se sustenta en la complejidad cerebral; el cerebro es un órgano
integrado y coordinado, de tal manera que el bienestar emocional y el desarrollo de
competencias sociales son una base sólida para el surgimiento de habilidades
cognitivas y un buen desempeño escolar.

Prevenir los niveles de estrés tóxico para los niños y niñas. El estrés tóxico
tiene relación con una activación abrupta, frecuente y prolongada de los sistemas de
respuesta al estrés (Rolla et al. 2012). La exposición permanente a estrés tóxico
activa respuestas fisiológicas como el incremento del ritmo cardiaco, la presión
sanguínea y la acción de hormonas del estrés. Si niños y niñas se encuentran
protegidos por relaciones adultas de contención, es más probable una adaptación a
los desafíos de la vida y retomar un estado fisiológico normal. Contribuir a la
prevención del abandono o abuso y contar con sistemas de protección a la niñez
permite un desarrollo cerebral más equilibrado.

Intervenir en edades tempranas para aprovechar la plasticidad cerebral. Desde
intervenciones emocionales que brinden un lugar seguro para el crecimiento de
niños y niñas, hasta el aprendizaje y desarrollo de habilidades como la identificación
y procesamiento de los números, son deseables mientras más rápido se realice la
intervención. Si bien es cierto que no existe una sola edad para las intervenciones,
queda claro que en la mayoría de los casos una intervención tan temprana como
posible es mucho más efectiva que si es tardía (Rolla, et al., 2012).
Estas seis recomendaciones deben estar incorporadas al momento de planificar
cualquier política pública respecto a la enseñanza. El primer punto (Invertir en servicios
de salud, educación y estimulación de alta calidad en edades tempranas) concierne a
oportunidades y acceso a la educación temprana. El segundo punto (Estimular y
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exponer a niños y niñas a experiencias que desarrollen bases) refiere a la importancia
de la calidad de experiencia de los contactos en las edades tempranas. No es igual una
“guardería” donde simplemente protejan a los niños de peligros, sino un ambiente que
estimule su interés en conceptos básicos de lenguaje y matemáticas. El tercer punto
(Promover relaciones de interacción recíproca de ida y vuelta) mejora la calidad de
pensamiento de los niños a través de una habituación de procesos de pensamiento en
lenguaje y matemáticas. El cuarto punto (Propender al bienestar emocional) destaca la
importancia de un ambiente socioemocional positivo dentro del cual el niño puede
empezar a relacionar experiencias educativas con interacción motivadora. El quinto
punto (Prevenir los niveles de estrés tóxico para los niños y niñas) extiende el punto
cuatro para delinear entre experiencias positivas y negativas, y el rol del cuidador de
proteger a los niños de amenazas a su desarrollo debido a estrés tóxico causado por
las personas o condiciones del ambiente. El sexto punto (Intervenir en edades
tempranas para aprovechar la plasticidad cerebral) refleja el hecho de que, aunque el
cerebro puede aprender a lo largo de la vida, hay etapas de más plasticidad en las
edades tempranas.
Independientemente de la materia enseñada –Matemáticas, Lenguaje, Ciencias, Cívica
y Cultura, Arte, Educación Física– las condiciones de aprendizaje influyen en el éxito
del estudiante. Además de los seis puntos mencionados por el Center on the
Developing Child, hay cuatro puntos adicionales identificados por Tokuhama-Espinosa
(2011) relacionados con el aprendizaje de las matemáticas: (a) cómo un niño se siente
sobre el proceso (autoestima); (b) cómo el aprendizaje influye en su estatus social y
relación con pares; (c) la relación estudiante-docente; y (d) su motivación por la materia
(Tokuhama-Espinosa, 2011, p.183, traducido por autor).
Aunque no es el enfoque del estudio actual, al considerar la enseñanza exitosa de las
matemáticas en edades tempranas es importante tener en cuenta no solo los aspectos
de matemáticas en el cerebro, sino estas diez condiciones del aprendizaje que
acabamos de mencionar.
Finalmente, otra área de importancia dentro de MCE es la conexión entre matemáticas
y el lenguaje. El aprendizaje de la matemática se relaciona con el lenguaje y la lectura,
ya que son sus medios de enseñanza, los cuales a su vez utilizan y comparten circuitos
neuronales (Ansari, 2010; Dehaene, 1997; Dehaene, 2011; Devlin 2010). El aprendizaje
de las matemáticas desde la perspectiva MCE pone en evidencia la importancia del
aprendizaje del lenguaje y el desarrollo de las áreas involucradas en el procesamiento
matemático.
El lenguaje, a diferencia del sentido numérico innato, en su fase inicial requiere de
estimulación de las rutas cerebrales, base para su desarrollo y posterior adquisición de
códigos verbales que se emplean en diferentes destrezas, así como en el desarrollo del
Modelo de Código Triple, el cual se explicará más adelante. Desde el segundo año de
vida el cerebro de los niños y niñas va formando hasta 700 conexiones o redes
neuronales por segundo (Center on the Developing Child, 2007), por lo que se debe
aprovechar el estímulo y refuerzo de las rutas cerebrales relacionadas con el lenguaje,
el sentido numérico, la línea numérica mental y los procesos de aproximación
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matemática para contribuir a reafirmar las rutas de adquisición del procesamiento verbal
y matemático. La estimulación permanente y adecuada a la edad del niño mencionada
anteriormente sentará las bases (neuronalmente hablando) para un futuro aprendizaje
del sistema de representación verbal y matemática.
Para responder al desarrollo integral de una persona en edades tempranas, las
escuelas tienen que tomar en consideración aspectos socioemocionales, cognitivos y
de crecimiento físico (Perkins, 2010). Este estudio concierne principalmente el aspecto
cognitivo; sin embargo, respuestas provenientes solo de la neurociencia no son la
solución a los retos de una mejor educación. Se espera que el aspecto del desarrollo
cognitivo en matemáticas sirva como un elemento dentro de todo el rompecabezas de
la formación integral de los niños y niñas en la escuela.
Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas 0-3 años
El primer tema, La matemática en el cerebro de niños y niñas de 0-3 años, está
subdividido en: (a) antecedentes (b) sentido numérico.
Antecedentes
¿Por qué los seres humanos tardaron 25.000 años en desarrollar sistemas
simbólicos para la enumeración y los niños han logrado dominarlos en
pocos años?
Hace 30.000 años, los seres humanos mantuvieron registros de
cantidades numéricas haciendo marcas en fragmentos de los huesos. La
evolución de un sistema numérico se tardó aproximadamente 25.000 años
(por ejemplo, el sumerio cuneiforme). Hoy en día, los niños adquieren el
significado de las palabras para contar, los procesos para contar, los
números arábigos, números escritos en palabras y los procesos de
aritmética básica como sumar y restar en apenas seis años (entre 2 y 8
años de edad). ¿Qué habilidades cognitivas permitieron a nuestros
ancestros lograr contar en primer lugar? Además, ¿qué habilidades
cognitivas permiten que los niños adquieran conocimientos matemáticos
rápidamente mientras nuestros ancestros se demoraron varios miles de
años en crearlas? (Cantlon, 2012, p. 10725).
Hipótesis del reciclaje neuronal:
Dehaene (2009) plantea la hipótesis del reciclaje neuronal afirmando el hecho de que la
arquitectura del cerebro humano se rige a marcados contrastes genéticos, y que ciertos
circuitos pueden tolerar variaciones. Uno de los sistemas estudiados por Dehaene
relacionado con el aprendizaje de la lectura es el visual. Hace miles de años, los seres
humanos utilizaban áreas de la corteza occipital para inspeccionar las amplias llanuras
e identificar los animales que podrían atacarlos; en la actualidad no hace falta el uso de
estas redes visuales, y éstas pueden dedicarse a otras funciones. El sistema visual,
ubicado en la región occipito-temporal, es muy plástico y puede sufrir cambios por la
9
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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influencia del ambiente. Esto ha dado paso a la oportunidad de observar símbolos que
permiten desarrollar el sistema de identificación y relación entre los números arábigos,
las letras con que se escribe el nombre de dichos números, y los grupos de objetos que
pueden representarlos.
Por otro lado, el concepto del Efecto de Baldwin (1896) indica que si hay algún factor
que pueda ser utilizado para la supervivencia de la especie, éste se transmitirá a los
genes de las futuras generaciones. Por ejemplo, se ha identificado en la región
occipito-temporal de cerebros humanos, un alargamiento de esta región, lo que indica
un mayor uso en los humanos. El alargamiento de la región occipito-temporal se
atribuye a la asociación de regiones de procesamiento de lenguaje y redes semánticas
utilizadas en los procesos de aprendizaje en general (inclusive el de las matemáticas),
especialmente en los lóbulos temporales anterior y lateral (Dehaene, 2009).
La hipótesis del reciclaje neuronal también propone que, para que exista un proceso
como el del aprendizaje de las matemáticas, significa que ya existe un nicho de
conexiones neuronales propicio para desarrollar esta habilidad (Dehaene, 2009). De
acuerdo a la hipótesis del reciclaje neuronal, cuando el hombre de las cavernas hizo las
primeras representaciones pictográficas, su cerebro utilizó redes o vías neuronales
visuales que identificaban a los animales en las llanuras, y otras redes neuronales
conceptuales que elaboraban el acto de cazar estos animales, haciendo que sus
capacidades de reconocimiento simbólico se incrementaran (Deacon, 2001; Dehaene,
2008; Mussolin, Mejias, & Noel, 2010; Wolf, 2008). El cerebro de los seres humanos
aprendió a conectar áreas visuales con áreas conceptuales que permitieran el
entendimiento de símbolos, cantidades y áreas de lenguaje donde emerge una nueva
habilidad: la capacidad de leer primero los símbolos pictóricos y después los alfabetos,
o los números arábigos, y transmitir una forma escrita de lenguaje, preservada de
generación en generación (Wolf, 2008).
La importancia de entender el concepto de reciclaje neuronal en el contexto del
presente estado del arte es reconocer que algunos estudios sugieren que, al ser el
aprendizaje de la matemática una destreza en continuo desarrollo en el cerebro de los
seres humanos, existen más problemas (ej., discalculia) por falta de refinamiento de las
redes (Tokuhama-Espinosa, 2011) que por su desarrollo per se.
El sentido numérico
Uno de los primeros conceptos necesarios para entender los procesos involucrados en
el aprendizaje de las matemáticas desde la mirada de la ciencia de MCE es el sentido
numérico (o Number Sense en inglés), una facultad primitiva del ser humano. En el año
de 1954, el investigador Tobias Dantzing definió el sentido numérico como “la facultad
que permite al hombre reconocer que algo se ha modificado en un pequeño grupo de
cosas cuando, sin su conocimiento directo, un objeto ha sido eliminado o añadido a
dicho grupo” (Dantzing, 2005, p. 1, traducción de la autora). Este sentido numérico es
diferente a contar. Según Dantzing (1954), es un proceso más complejo que evolucionó
con el tiempo.
10
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Algunos conceptos proporcionados por Dantzing (1954) han contribuido al trabajo
neurocientífico de investigadores como Stanislas Dehaene y Daniel Ansari, dos de los
científicos que han identificado las bases neurocientíficas del aprendizaje de las
matemáticas.
Figura 1. Activación neuronal en el procesamiento de cantidad
Fuente: Dehaene, Moiko, Cohen, & Wilson, (2004), Arithmetic and the Brain, (traducido por autoras)
Uno de los investigadores de sistemas de representación en el área de lectura y
matemáticas, Stanislas Dehaene (2011), retoma el concepto del sentido numérico como
parte de la evolución, desarrollado en función de las necesidades de los seres
humanos.
Los niños y niñas desarrollan el “sentido numérico primario” antes de entrar a la
escuela; éste es preverbal (antes de que se expresen por medio del lenguaje)
(Dehaene, 1997; Xu, Fei, Spelke & Goddard, 2005) y no requiere de instrucción directa.
La representación precisa de números pequeños precede a la de números grandes, y
se desarrolla desde una percepción de representaciones aproximadas (Feigenson &
Carey, 2003).
Después del desarrollo inicial del sentido numérico primario aparece el “sentido
numérico secundario” o verbal ( Fiegenson, et al., 2004; Halberda, Mazzocco, &
Feigenson, L. (2008Le Corre & Carey, 2007). En esta etapa, alrededor de los tres años
de edad, los niños pueden contar y comprender valores simbólicos de los números. La
representación precisa de cantidades es evidente en la segunda etapa, y permite a los
niños entender que cada número tiene un sucesor único. A diferencia del sentido
numérico primario y preverbal, el sentido numérico secundario está relacionado con los
símbolos, y su desarrollo depende de la educación (Clements & Samara, 2007).
11
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Tabla 1. Sentido numérico
0-3 años
3 años+
Comprensión
de la
cantidad
Conceptualización
de estimación
aproximada
x
X
Sentido
numérico
primario, o
pre verbal
Sentido
numérico
secundario,
o verbal
Valores
simbólicos
x
Representación
precisa
x
Cada
número
tiene un
sucesor
único
x
Cantidad
representada
por el número
final del serie
(set)
x
Fuente: Autoras
Aunque el concepto de cantidades es innata, la capacidad de contar, entender símbolos
numéricos y aritméticos depende del sentido numérico y de la manera explícita en que
lo están enseñando en la escuela (Sarnecka & Carey, 2008). El poder relacionar un
símbolo con un valor, entender el orden fijo de cada número en el acto de contar (ej. 1,
2, 3, 4, 5, 6, etc.), así como que el último número indica el total del set, todo eso es el
sentido numérico (Gelman & Gallistel, 1978).
Este sentido está influenciado por la forma de representar los símbolos (Tang, Zhang,
Chen, Feng, Ji, Shen, Reiman & Liu, 2006), basado en el desarrollo de la
conceptualización de cantidades en las edades tempranas (0 a 3 años). El sentido
numérico es clave en el éxito escolar debido a que los problemas en matemáticas están
relacionados con el inadecuado desarrollo de destrezas como contar, reconocer
símbolos, comparar valores y entender la transformación de sets de números (Geary,
1990; Mazzocco, & Thompson, 2005). El sentido numérico es vital para establecer los
fundamentos de todo aprendizaje matemático (Baroody, Lai, & Mix, 2006; Feigenson,
Dehaene, & Spelke, 2004; Jordan, Glutting, Ramineni, & Locuniak, 2009).
Desgraciadamente, se ha encontrado que niños y niñas que viven en condiciones
socioeconómicas bajas tienen más problemas en desarrollar el sentido numérico
(Baroody, Thompson, Eiland, & Thompson, 2009), especialmente si sus padres no
participan en su educación (Blevins-Knabe, & Musun-Miller, 1996). Más adelante se
explicará sobre la relación entre el sentido numérico y la línea numérica mental.
El sentido numérico ayuda construir el concepto de números generando las
interacciones entre ellos, es decir, que las operaciones matemáticas se aprenden a
partir del sentido numérico (Dantzing, 1954; Dehaene, 1997; Dehaene, 2011; Devlin,
2010). Los circuitos neuronales y los procesos para el aprendizaje de las matemáticas
12
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que los emplean serán descritos a lo largo del presente estudio a través de 13 temas de
suma importancia.
En niños y niñas de 0 a 3 años de edad es común ver el desarrollo del sentido numérico
(la comprensión del número y cantidad) a través del juego visual y concreto. Como el
niño ya entiende cantidades en términos de “más” y de “menos” que se dan en las
etapas preverbales (Leslie, Gelman & Gastille, 2008), el trabajo en los primeros años de
vida es empezar a ayudarle a conectar el concepto de cantidad con el concepto de
nombre. Es decir, en vez de “más o “menos” se puede desarrollar un concepto de “uno,
dos, tres,” para finalmente conectar los nombres a los símbolos. En esta etapa, las
actividades que facilitan la observación y etiquetación de símbolos y después de grupos
de símbolos (sets) facilita su futura comprensión de los números. Otras actividades de
mucha utilidad en esta etapa son las que involucran secuencias, orden de los números,
cantidad y sus relaciones (como pocos y muchos), y el aumento o disminución de
cantidades a través de ejercicios en donde se reúnen objetos (sumándolos y
restándolos en cajas que permitan visualizar los grupos). Cada ejercicio contribuirá a
que niños y niñas rescaten de la memoria primitiva el sentido numérico innato.
Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años
En su libro Construcción de sentidos y estrategias matemáticas (Construction of
Arithmetical Meaning and Strategies), Steffe y Cobb (1998) identificaron subáreas
básicas en el aprendizaje de conceptos matemáticos que fueron ratificadas en el año
2002 por investigadores como Clemente, Sarama y DiBiase, las cuales se encuentran
en el esquema de la Figura 2.
Figura 2: Esquema mental de la resolución de problemas matemático
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Fuente: Clemente, Samara y DiBiase, (2002), (traducido por autoras)
Se sabe que ciertas destrezas aprendidas en los primeros años escolares son de gran
importancia como base para el futuro aprendizaje de las matemáticas, incluyendo tres
competencias básicas: (a) estimación de líneas numéricas; (b) agrupación de (sets) de
números y; (c) poder contar (Namkung, & Fuchs, 2012).
Otra manera de visualizar las subáreas básicas en el aprendizaje de conceptos
matemáticos relacionados con diferentes circuitos neuronales es a través de la
interpretación de Clements y Samara (2007) citada por el NAYCE (que se encuentra en
este documento en la sección de Análisis, con indicadores precisos para su medición).
El conjunto de las fuentes mencionadas arriba se resume en la Tabla 2 indicando los
conocimientos básicos de los niños de 0-6 años. El sentido numérico más los
procesamientos matemáticos son las destrezas fundamentales para el logro de
aprendizajes relacionados con las matemáticas en edades tempranas.
Tabla 2. Habilidades y circuitos neuronales para las matemáticas en niños de 0-6 años
14
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Procesamientos matemáticos
Estudios
ejemplares
en el campo
Sentido
numérico
primaria
Sentido
numérico
secundaria
Números y
operaciones
Poder
contar
Agrupación de
sets de
números
Geometría y
espacio
Medi
da
Patrones/
álgebra
Visualización y
análisis de
datos
Estimación
de líneas
numéricas
Namkung &
Fuchs 2012
x
X
Clemente,
Sarama y
DiBiase
(2002)
x
X
x
x
x
NAYCE &
NCTM
(2002);
x
x
x
x
x
Clemente &
Sarama 2009
x
x
x
x
x
Dehaene,
1997; Xu, Fei,
x
Spelke &
Goddard, 2005
Feigenson,
2004; Le
x
Corre &
Carey, 2007
Fuente: Autora
Procesamiento numérico
Procesar números y/o cantidades es una actividad humana permanente, desde verificar
la hora en el reloj que nos anuncia si estamos a tiempo o no para las actividades
diarias, realizar operaciones de compra y venta para suplir las necesidades básicas,
hasta poder calcular la distancia a la que se encuentra el vehículo de adelante en el
tráfico. Son todos actos de la vida cotidiana que involucran números y su
procesamiento. La actividad de procesar números y cantidades es tan importante que
nos permite guiar el comportamiento y la toma de decisiones de una manera tal (Ansari,
De Smedt, & Grubner, 2012) que la educación le ha asignado una parte importante en
el currículo educativo, con la intención de asegurar el éxito en el aprendizaje y en la
vida (Ansari, et al., 2012). La incorporación de la enseñanza de las matemáticas en el
currículo ha sido alimentada por teorías provenientes del área de la psicología, como es
el caso de las teorías de Piaget y su etapa de operaciones concretas.
Partiendo de los hallazgos de Piaget (1952) y la etapa de operaciones concretas, una
de las primeras recomendaciones didácticas que puede realizarse tiene relación con el
15
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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paso de lo concreto a lo abstracto. Así, un buen aprestamiento en el aprendizaje de las
matemáticas emplea material tangible, físico y palpable antes de iniciar una transición al
mundo abstracto. Según Dehaene (2010), el mundo abstracto puede aprenderse a
través de una línea matemática mental que esté inicialmente visualizada, ya sea en el
aula (a manera de un gran cartel que rodee la clase), ya sea individual para cada
estudiante, pero que esté permanentemente visible en los momentos de aprendizaje de
números y operaciones.
La línea mental permite iniciar una transición de conteo para cada número (cuando la
maestra señala en la línea matemática un determinado número, contando para que se
vea el aumento de cantidad en la línea), y luego para realizar operaciones matemáticas
(utilizando la línea mental contando el primer número para luego sumar o restar el
segundo, etc.).
Jean Piaget planteaba que la construcción del conocimiento matemático se realiza
alrededor de los seis años (Piaget, 1952). Sin embargo, existe evidencia que sostiene
que los niños desde los seis meses pueden discriminar la cantidad (Dehaene, 1997;
2010; Gelman & Gallistel, 1978), es decir que utilizando la comparación de dos grupos
de elementos (diferentes en cantidad) pueden identificar si hay mayor o menor cantidad
de objetos. Estos primeros indicios son la evidencia de una intuición matemática inicial
(Gelman & Gallistel, 1978), tema que se desarrollará a lo largo del presente estudio.
Figura 3. Activación cerebral en el procesamiento numérico
Fuente: Dehaene, Cohen (2007), Cultural Recycling of Cortical Maps, (traducido por autoras)
La integración de los procesamientos (números y operaciones; poder contar, agrupar
sets de números; estimar líneas numéricas; geometría y espacio; medición; patrones y
conceptos de preálgebra; y visualización y análisis de datos) a las habilidades que se
describen a continuación muestra los diferentes aspectos del aprendizaje de las
matemáticas.
16
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En niños y niñas de 3 a 6 años se desarrolla el conocimiento del número y sus
operaciones, se aumentan los ejercicios de contar y descontar pero aumentando el
número de objetos, además del uso de patrones hasta de seis elementos presentados
con objetos concretos o dibujos de los objetos. Los ejercicios son los mismos pero se
llega hasta el 10.
Luego se encuentra el procesamiento numérico como una actividad que se emplea a lo
largo de la vida; por ello su aprendizaje y desarrollo forma parte del currículo. La
actividad de procesar números y cantidades es tan importante que nos permite guiar el
comportamiento y la toma de decisiones. Por ello, se debe tomar en cuenta la relación
existente entre el desarrollo del Procesamiento Numérico y las Funciones Ejecutivas.
Las áreas en que se ha dividido el aprendizaje de la matemática (números y
operaciones; poder contar, agrupar sets de números; estimar líneas numéricas;
geometría y espacio; medición; patrones y conceptos de preálgebra; y visualización y
análisis de datos) forman parte de un complejo aprendizaje que envuelve amplias redes
y regiones en el cerebro como la de los lóbulos frontales utilizados en procesos
cognitivos de orden superior, que se analizarán posteriormente. Para mejorar el
aprendizaje de las matemáticas, se han organizado sus áreas a través de habilidades
que permiten, por una parte, diagnosticar posibles problemas en el aprendizaje de la
matemática, y por otra, mejorar el aprendizaje de la matemática con un claro
entendimiento de las varias posibles raíces de los problemas potenciales.
Cabe destacar que existen factores sensoriales que pueden impedir el aprendizaje. Por
ejemplo, problemas en la percepción sensorial pueden impedir el aprender
normalmente. Este estudio solo se enfoca en las redes neuronales directamente
relacionadas con las matemáticas. Por ello, detectar si existen factores sensoriales que
impiden el aprendizaje en general, es decir, tomar en cuenta la revisión de vista y oídos
como estrategia temprana y general (a todos los estudiantes y en todos los niveles)
permitirá evitar dificultades en el aprendizaje que no tienen nada que ver con las
habilidades de procesamiento matemático.
Para unir estos conceptos en un esquema donde se relacionan con los estudios en
neurociencia sobre los procesos cerebrales matemáticos, presentamos en la siguiente
parte una resumen de las competencias más destacadas en el desarrollo de las
matemáticas en el cerebro.
Competencias para el aprendizaje de las matemáticas
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A pesar de la juventud de la ciencia de MCE, una de sus metas es mejorar la
enseñanza de las matemáticas. De manera similar a la lectura, el procesamiento
matemático en el cerebro presenta un claro enlace entre las matemáticas, el lenguaje,
las habilidades de lógica, y el sistema de pensamiento crítico, según MCE. Con ayuda
de la transdisciplinariedad y reconociendo la complejidad del aprendizaje del
procesamiento matemático, se han logrado identificar las redes neuronales relativas a
los sistemas de enlace como el de lenguaje, y además se han logrado identificar
algunos de los mejores métodos basados en evidencia para su aprendizaje.
Empleando información proveniente de la literatura proporcionada por MCE se han
identificado doce competencias, es decir, una mezcla de conocimientos, destrezas y
actitudes que son necesarias para desarrollar el aprendizaje de las matemáticas
(Tokuhama-Espinosa, 2011 basado en documentos de los siguientes autores: Ansari,
Donlan, & Karmiloff-Smith, 2007; Ansari & Karmiloff-Smith, 2002; Bisanz, Sherman,
Rasmussen, & Ho, 2005; Byrnes, 2008; Cohen, Dehaene, Chochon, Lehericy, &
Naccahe, 2000; Dehaene, 2008; Dehaene, Moiko, Cohen, & Wilson, 2004; LeFevre,
Smith-Chant, Fast, Skwarchuk, Sargla, et al., 2006; Sherman & Bisanz, 2007).
A continuación mencionaremos las diferentes competencias para el aprendizaje de las
matemáticas.
1. La habilidad física de ver números y palabras
El mundo se percibe a través de los sentidos (Aristóteles, 384-322 AC). La capacidad
de identificar o ver un número está determinada por el estímulo que entra por los ojos,
que actúan como el “scanner” del cuerpo. Existen dos partes importantes para la
estimulación visual: la retina, que recibe el estímulo de la luz sobre una página escrita, y
la fóvea (Dehaene, 2009). La fóvea es una depresión situada en el centro de la mácula
del ojo que constituye el punto de máxima agudeza visual, y es la parte especializada
para leer e identificar símbolos. Si existe un daño a nivel de la retina, en la fóvea, una
lesión en el córtex visual o un bloqueo en la fóvea, estas actividades resultan
imposibles (Dehaene, 2009).
El tamaño del estímulo, es decir el número o la letra, juega un papel en su aprendizaje.
Siempre será más sencillo leer números y letras grandes, requiriendo más esfuerzo
para leer números y letras pequeñas. La razón es que mientras más grandes son, más
espacio ocupan en la retina, y la fóvea permitirá tener la precisión máxima en el centro
de la misma (Dehaene, 2009; Nieder & Dehaene, 2009). El cerebro utiliza la atención
selectiva: atiende más a lo que le llama más la atención.
Figura 4. Redes visuales activadas
18
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Fuente: Redes neuronales principalmente en la corteza occipital. Geriniani, D’Agata, Sacco, Duca,
Bagshaw & Cavanna (2010)
El reconocimiento visual
La observación del cerebro de un individuo por medio de resonancia magnética (fMRI)
al inicio de la lectura muestra la activación de las áreas visuales en pocos segundos
(Hasson, Levy, Behrmann, Hendler, & Malach, 2002) en el área denominada fisura
tempo-occipital izquierda, aunque se lea de derecha a izquierda o de izquierda a
derecha.
En el estudio de las redes involucradas en la visión, se las han categorizado de acuerdo
a las formas que identifican (Grill-Spector, Sayres, & Ress, 2006; Tsao, Freiwald,
Tootell, & Livingstone, 2006). Existen diversas zonas que identifican caras, objetos,
dígitos o letras. A medida que los niños y niñas van creciendo se va incrementando el
lenguaje y van organizándose las redes comprometidas con los sistemas visuales en el
cerebro. Según algunas investigaciones (Bhatt, Hayden, Reed, Bertin, & Joseph, 2006;
Dehaene, 2009; Kraebel, West, & Gerhardstein, 2007; Wang, & Baillargeon, 2008), en
los primeros meses de vida el sistema visual permite que niños y niñas tengan la
habilidad de distinguir objetos y rastrearlos cuando los mueven; hasta el primer año de
vida pueden distinguir texturas con solo mirarlas, diferenciar objetos cóncavos de
convexos, y realizar inferencias sobre la tridimensionalidad de los objetos. El desarrollo
neuronal dado por la habilidad de diferenciar los objetos es la base de la interpretación
visual que se requiere para distinguir los bordes de dicho objeto que satisfagan una
forma T, X, O y L, base de la mayoría de los alfabetos en el mundo (Sigman & Gilbert,
2000; Sigman, Pan, Yang, Stern, Silbersweig, & Gilbert, 2005).
La escritura de las palabras en las culturas a nivel mundial se basa en sistemas
simbólicos. En occidente, el sistema simbólico entiende el alfabeto como una serie de
combinaciones de las uniones curvas o anguladas que utilizan las formas T, X, L y O
19
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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(Dehaene, 2009, 2011; Shuwuari, Albert, & Johnson, 2007). En el primer año de vida se
inicia el desarrollo del reconocimiento de este sistema de formas y uniones curvas o
anguladas (Shuwuari, Albert, & Johnson, 2007). En el segundo año, los bebés
reconocen escuetas versiones de objetos y caras fuera de contexto, lo que indica que
son capaces de abstraer los elementos esenciales de la forma de una imagen
(Pascalis, de Haan, & Nelson, 2002; Pastalis, Scott, Kelly, Shannon, Nicholson,
Coleman, & Nelson, 2005; Robinson & Pascalis, 2004). Al inicio de la etapa escolar, es
decir alrededor de los cinco años, la red neuronal del proceso clave del reconocimiento
visual se encuentra en su lugar, aunque mantiene su plasticidad a lo largo de la vida.
En este período es factible la adquisición de nuevas formas visuales como letras y
palabras (Dehaene, 2009).
2. La habilidad de utilizar funciones ejecutivas y habilidades de
pensamiento de orden superior
La ciencia de MCE define las funciones ejecutivas (FEs) como un conjunto de funciones
neurales que permiten relacionar la metacognición, como un proceso inteligente, con la
actividad cerebral que define la toma de decisiones, la planificación y la autorregulación
(Puebla, 2009). La intrincada red de funciones ejecutivas realiza procesos neuronales
que son la base biológica de diferentes estrategias cognitivas. Las estrategias
cognitivas se han desarrollado en el ser humano ante la necesidad de comunicarse. Es
así que, a partir del surgimiento del lenguaje, se va planteando la resolución de
problemas, formación de conceptos, planificación de tareas y ejecución de trabajos de
manera eficiente (Puebla, 2009).
Adele Diamond (2013) dice que existen tres FEs centrales: (a) Flexibilidad Cognitiva:
incluye el cambio de perspectiva y la posibilidad de ver situaciones, problemas, etc. con
otros ojos, alimentados con información nueva y diferente; (b) Control Inhibitorio: que
incluye el autocontrol y la disciplina; y (c) Memoria de Trabajo: mantiene la información
en la mente y trabaja con ella. Estas tres funciones están relacionadas con diferentes
redes neuronales que van desarrollándose a lo largo de la vida del individuo.
Además, Diamond se refiere a tres FEs de orden superior: (a) Atención Selectiva: que
permite focalizar la atención a pesar de las distracciones; (b) Disciplina: iniciar una
actividad y permanecer en ella hasta terminarla; y (c) Autocontrol o autorregulación:
inhibirse a actuar impulsivamente y considerar las reacciones o respuestas (Diamond,
2013). Igual que las FEs centrales, las de orden superior están relacionadas con
diferentes redes neuronales que se pueden desarrollar por medio de intervenciones,
como por ejemplo un andamiaje sencillo en el caso de las matemáticas (Clements,
Sarama, Unlu & Layzer, 2012).
Las FEs se relacionan con la atención que se presta a lo que se piensa aprender,
relacionando nuevos conceptos con los antiguos (Meltzer, Sales & Barzialli, 2007).
Además, un proceso de aprendizaje no es solamente cognitivo, involucra emociones,
motivaciones y recuerdos (Moran & Gardner, 2007). Es decir, que para atender a lo que
se está leyendo o aprendiendo, es necesario el razonamiento cognitivo, así como otras
20
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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manifestaciones que influyen en la atención como las emociones y la motivación (Moran
& Gardner, 2007).
Figura 5. Circuitos relacionados con la atención en el cerebro
Fuente: Posner, Sheese, Odludas & Tang (2006), (traducido por autoras)
Según Michael Posner (1998), hay por lo menos tres circuitos relacionados con la
atención en el cerebro: (a) alerta (para llamar la atención de un estímulo); (b) sustento
(para mantenerse enfocado) y (c) de funciones ejecutivas.
Stanislas Dehaene (1997; 2011) reconoce que el cálculo es un proceso esforzado que
requiere intensa concentración, elección de estrategias apropiadas y recuperación de
recursos almacenados en la memoria de trabajo. En el cerebro, estos factores se
reflejan en una activación muy intensa de la corteza prefrontal, esa extensa área
ubicada justo detrás de la frente. La corteza prefrontal es un área del cerebro esencial
para desarrollar la capacidad de diseñar y seguir nuevas estrategias rutinarias
(Dehaene, 1997; 2011). Además de ser un centro de recursos único que no comparte
tareas, la corteza prefrontal es responsable de que no se puedan realizar varias
operaciones simultáneamente (Dehaene, 1997; 2011).
La corteza prefrontal se encarga de la automatización de las operaciones aritméticas, y
cuando los niños y niñas se vuelven más expertos en una tarea, la cantidad de
actividad de la corteza prefrontal disminuye (Dehaene, 1997; 2011) y la activación se
traslada al sistema cerebral más automático en la parte posterior de la cabeza. Si la
automatización no se realiza, el área prefrontal se encuentra absorbida en la mecánica
del cálculo, olvidando aspectos importantes como la revisión, la pertinencia de la
21
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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solución al problema, el significado del problema y la respuesta al mismo (Dehaene,
1997; 2010).
Dentro del desarrollo de las FEs se encuentran dos procesos importantes para todo
aprendizaje: atención y memoria (Tokuhama-Espinosa, 2011). En el caso de la
atención, los estudios refieren que el rango va entre 10 y 20 minutos. En el aula, los
docentes pueden aumentar la atención de los estudiantes al cambiar el tema, o el
espacio físico o la persona que está hablando, en ese mismo rango de tiempo (de 1020 minutos) (Tokuhama-Espinosa, 2012). La atención puede desarrollarse a través de
ejercicios propuestos por los docentes, como por ejemplo, que los niños y niñas
caminen a lo largo de una línea imaginaria siguiendo a su maestro. Asimismo, la
atención se focaliza en aquello que es interesante, importante y tiene valor de
supervivencia, personal o emocional para quien recibe la información. Es por eso que el
profesor debe tratar de crear ambientes de aprendizaje que tengan orden lógico,
sentido y significado para la vida de los estudiantes.
También el docente debe recordar el Efecto de Primacía, aquel que evidencia que los
estudiantes recuerdan mejor lo que sucede primero y al final de la clase, mientras que
recuerdan menos lo que sucede en la mitad (Tokuhama-Espinosa, 2012). Por lo tanto,
los docentes deberían utilizar los momentos de mayor atención –al principio y final de la
clase–, dando la información más importante y/o en retroalimentar lo aprendido antes,
dejando los momentos de la mitad de la clase para realizar actividades enfocadas en
los alumnos y mantener su atención (Tokuhama-Espinosa, 2012).
La atención selectiva es una función ejecutiva de orden superior. Diamond (2011)
realizó un estudio que mostró intervenciones respaldadas por evidencia que
contribuyen a desarrollar las FEs, entre ellas la atención. En el estudio de Diamond
(2011) se propone incluir diversas actividades para entrenar a niños y niñas mediante
ejercicios aeróbicos, artes marciales, yoga, ejercicios de concentración y el uso de la
computadora. Estas actividades dentro del currículo escolar podemos encontrarlas en
dos programas que comparten similitudes importantes en relación a estos mismos tipos
de ejercicios, demostrando así el mejoramiento de las FEs. En relación a las
matemáticas, se presume que el mejoramiento de la concentración en los estudiantes
mejorará las destrezas en el área de atención y memora.
3. La habilidad de generalizar en un mismo concepto diferentes símbolos
que representan una misma idea
Una de las bases del logro en matemáticas y una de las grandes metas de la educación
se encuentra en las interacciones altamente fluidas y automáticas entre las
representaciones de cantidad con otras representaciones, sean éstas lingüísticas o los
símbolos arábigos de los números, haciendo que se utilice la memoria. Todo tipo de
herramientas se pueden utilizar para mejorar este enlace en el desarrollo de las
representaciones mentales; juegos de contar, juegos con el ábaco o simples juegos de
mesa (ya existentes o diseñados por los docentes) son estrategias altamente eficientes
para entrenar el sistema numérico y las relaciones presentadas en el Modelo de Código
Triple. La identificación de símbolos puede producirse por dos rutas: una fonológica u
22
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otra del significado. El aprendizaje a través de cualquiera de las dos contribuye al
desarrollo del Modelo de Código Triple.
La habilidad de generalizar un mismo concepto en diferentes símbolos ocurre en el
aprendizaje de la lectura y en el aprendizaje de los números, los cuales pueden ser
representados de diferentes maneras. Así, podemos decir “tres” en números arábigos
“3” o en números romanos “III” o representándolo por figuras “●●●”; estas
representaciones acarrean un concepto semántico y otro numérico (Ansari, 2007;
Campbell, 1994; Piazza, Pinel, LeBihan & Dehaene, 2007; Cohen Kadhosh, Cohen
Kadosh, Kass, Henik & Goebel, 2007; Tokuhama-Espinosa, 2011). En el área de la
matemática, la habilidad de generalizar un mismo concepto en diferentes símbolos se
encuentra explicada en el Modelo de Código Triple.
Figura 6. Esquema del Modelo de Código Triple en el cerebro
Fuente: OCDE (2003), Brain Research and Learning Sciences, (traducido por autoras)
Modelo de Código Triple
Dehaene (1997; 2010; 2011) propone que la evolución ha dotado a la humanidad de
una competencia suplementaria: la habilidad para crear complejos sistemas de
representación. Los sistemas de representación pueden ser de lenguaje hablado o
escrito, palabras o símbolos, que permiten separar conceptos de significado cercano,
dando al cerebro el derecho de moverse en los límites de la aproximación (Dehaene,
1997; 2010; 2011).
23
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Figura 7. Imagen cerebral del Modelo de Código Triple
Fuente: Arsalidou & Taylor (2011), Is 2+2=4? Meta-analyses of Brain Areas Needed for Numbers and
Calculations, (traducido por autoras).
El Modelo de Código Triple utiliza una de las dos redes de reconocimiento simbólico,
sea verbal o arábigo (dependiendo de si el estímulo visto sea un número arábigo, la
palabra que lo representa o un set de objetos que muestren la cantidad), escogiendo
entre ellas para reconocer e identificar el número. Si el cerebro escoge la red de código
verbal, ubicada en las regiones de Broca y Wernicke, utiliza la comprensión oral, la
producción y la memorización (Coch, et al., 2007; Dehaene, 1997; 2011; Mussolin,
Mejias, & Noel, 2010;). Por ejemplo, al observar el número tres escrito, se activan en el
cerebro áreas del hemisferio izquierdo pertenecientes al sistema del lenguaje que
involucra lo ortográfico, el léxico y lo fonológico para decodificar la palabra. Al identificar
el número tres por medio del sistema alfabético o lingüístico se le asignará una cantidad
que lo represente. Si es que la representación visual es con gráficos, códigos u otros
sistemas de imagen desarrollados por el ser humano a lo largo de la historia (3, III, ●●
24
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●) se realiza el mismo proceso. Por ejemplo, la cultura Maya utilizaba puntos y rayas
para representar los números así: un punto (●) es el uno; dos puntos (●●) es el dos;
tres puntos (●●●) es el tres; etc. (Rodríguez, 2011).
Si la identificación se realiza a través del código arábigo, el proceso asigna una
representación simbólica específica a la cantidad mediante los números del sistema
arábigo (Dehaene, 1997; 2011; Mundy, & Gilmore, 2009). A través del proceso
histórico, la representación escrita de los números se modificó a un formato universal y
análogo empleando los números arábigos, muy diferente a los signos utilizados por las
diferentes culturas en el mundo (Verguts & Fias, 2008). En el Modelo de Código Triple,
el cerebro procesa un número de la siguiente manera: mira la representación –tres–; la
red neuronal de cantidad asigna la cantidad (●●●); y por último, aplica el número
arábigo 3. Debe recalcarse que el orden expuesto de las tres redes no significa que el
proceso en el cerebro se realice en este orden determinado. El Modelo de Código Triple
es un sistema continuo y permanente de procesamiento numérico.
El Modelo de Código Triple de Dehaene y Cohen (1995) contiene en sí mismo las tres
habilidades para el aprendizaje de las matemáticas:



Habilidad de visualizar el código arábigo
Habilidad analógica de cantidad o de código de magnitud
Habilidad de código verbal
El aprendizaje de estas representaciones está basado en la idea de la representación
abstracta, y los investigadores han observado que el surco intraparietal se activa al
observar representaciones abstractas, por lo que la han establecido como una región
importante para la cognición numérica (Libertus, Woldorff, & Brannon, 2007). En esta
región se representa el número, independientemente de si la anotación de entrada es
simbólico (por ejemplo, número de palabras o símbolos) o no simbólicos (por ejemplo
patrones de puntos).
Figura 8. Regiones activadas en el cerebro al reconocer letras y símbolos
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ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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Fuente: Bach, Richardson, Brandeis, Martin & Brem (2011)
Con respecto al reconocimiento del símbolo representado por números y letras, el
cerebro activa una pequeña parte perteneciente a la vía visual ventral de la corteza,
empleada para la identificación de las formas, objetos, lugares o rostros (Dehaene,
2009; 2011). Mediante estimulación controlada (Szwed, Cohen, & Dehaene, 2009) se
ha evidenciado la activación de la corteza visual durante la identificación de número y
letras, el área donde las palabras van inscribiéndose naturalmente debido a que este
lugar se encuentra preadaptado a las formas que tienen las letras y los símbolos
arábigos (Dehaene, 2011). Según Bach, Richardson, Brandeis, Martin y Brem (2011), la
detección de símbolos en el preescolar predice la calidad de destrezas de lectura en
segundo grado, tanto como el reconocimiento de las habilidades numéricas y
matemáticas es predictor del logro de aprendizaje de las matemáticas y del éxito en las
habilidades de alfabetismo (Ansari, 2010; Bynner & Parson, 1997; De Smedt,
Verschaffel & Ghesquiere, 2009; Duncan, Dowsett, Classens, Magnuson, Huston,
Klebanov, et al., 2007).
Los dos últimos siglos han arrojado abundante información acerca de las redes
neuronales para la identificación de símbolos. Algunos autores dan cuenta de la
existencia de una sola ruta para su procesamiento (letras, en el caso de la lectura y
números escritos y símbolos para la matemática) (Dejerine, 1892 en Dehaene, 2009;
Geschwind, 1965 en Dehaene, 2009). Actualmente, la ciencia de MCE se ha valido de
los puntos de vista de la psicología, la pedagogía y las neurociencias, con especial
apoyo de la tecnología de escáner cerebral, para la observación directa del
funcionamiento del cerebro, su arquitectura, la identificación de modelos de redes
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ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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neuronales en diferentes procesos, y el funcionamiento de las mismas. De dichos
estudios e investigaciones se ha obtenido importante evidencia. Es así como distintos
grupos científicos (Coltheart, Rastle, Perry, Langdon, & Ziegel, 2001; Dehaene, 2009;
Harm & Seigdenberg, 2004; Perry, Ziegel, & Zorzi, 2007) reportan por lo menos dos
redes neuronales utilizadas al momento de identificar símbolos (letras y números).
Dos redes neurales para la identificación de símbolos
Las dos redes neuronales encargadas de identificar los símbolos utilizan dos distintas
rutas correspondientes a dos distintos circuitos en áreas neuronales del cerebro, según
Dehaene (2009). El funcionamiento de los dos circuitos inicia de la misma manera, a
través de un estímulo visual de identificación que se realiza en la región occipitotemporal. Luego del reconocimiento del estímulo, éste puede dirigirse por la primera
ruta o circuito de acceso al significado, que utiliza el giro temporal medio, la región
temporal basal y el giro frontal inferior (Jobard, Crivello, & Tzourio-Mazoyer, 2003;
Zamarian, Ischebeck & Delazer, 2009). La segunda ruta o circuito es la denominada
ruta de conversión al sonido hablado, que emplea el giro temporal superior, el giro
temporal medio, el giro supramarginal y el giro temporal inferior (Jobard, Crivello, &
Tzourio-Mazoyer, 2003; Zamarian, Ischebeck & Delazer, 2009). Las dos redes
neuronales de procesamiento de símbolos se relacionan por la forma en la que el
cerebro procesa lo que ve. En este caso, letras y números, las dos redes cohabitan
(Dehaene, 2009).
Primera red neuronal para el procesamiento simbólico
La primera red o ruta llamada ruta indirecta o fonológica se utiliza cuando el cerebro
identifica las palabras raras (neologismos) o regulares, buscando su significado a través
del sonido, es decir, utilizando una ruta fonológica que descifra las letras y las convierte
en pronunciación (Dehaene, 2009). La ruta indirecta o fonológica emplea la
decodificación de letras en sonidos e involucra las regiones superiores del lóbulo
temporal, donde las “figuras” o letras inicialmente se conocen con los sonidos
(Dehaene, 2009; van Atteveldt, Formisano, Goebel, & Blomert, 2004). Es en la zona
denominada plano temporal izquierdo del cerebro donde se discriminan los sonidos en
la mayoría de los seres humanos. Dicha zona del cerebro, temporal izquierda, se define
al final del primer año de vida en momentos en que se está aprendiendo a hablar e
identificar los sonidos del lenguaje cotidiano. En el caso del aprendizaje de las
matemáticas, los símbolos arábigos se escriben con letras (3, tres). La ruta fonológica
se emplea al identificar el sonido de la palabra “tres”.
Segunda red neuronal para el procesamiento simbólico
La segunda ruta, denominada directa o del significado, se emplea con las palabras más
usuales, por ejemplo las que nombran los números, y con aquellas que tienen un
sonido excepcional (Dehaene, 2009). Por ejemplo, para encontrar el significado del
símbolo “3” el cerebro pone en movimiento un amplio conjunto de regiones, las cuales
se activan inmediatamente cuando los conceptos (la cantidad ••• y cómo se escribe el
número “tres”) convergen en palabras habladas o en imágenes (Binder, Frost,
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Hammake, Bellgowan, Springer, Kaufman, & Possing, 2000; Dehaene, 2009; Kotz,
Cappa, von Cramon, & Friederich, 2002).
Figura 9. Magnitud y cálculo en niños y niñas con discalculia y sin discalculia
Fuente: Kucian, Loenneker, Dietrich, Dosch, Martin, & von Aster, (2006)
Las redes de identificación de símbolos realizan un trabajo de doble ruta con las áreas
del cerebro que codifican el significado. Las redes del significado no se limitan a
procesar palabras. Por ejemplo, el Área de Broca y de Wernicke (ubicadas en la región
frontal y parietal respectivamente) se encargan de la combinación del significado de
palabras para formar una oración (Dehaene, 2009; Lee, Lim, Yeong, Venkatraman &
Chee, 2007; Vandenberghe, Norbre, & Price, 2002). En el caso de las matemáticas y,
desde el punto de vista de MCE, se explica cómo el cerebro es capaz de comprender el
concepto de número y cómo puede entender sus diferentes representaciones
simbólicas (3, tres, III, •••) ya mencionadas anteriormente. Entender las redes
neuronales que intervienen en la comprensión de las distintas representaciones
simbólicas forma parte del aprendizaje de las matemáticas.
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Figura 10. Evidencia neural de la convergencia entre representaciones numéricas
simbólicas y no simbólicas
Fuente: Piazza (2010). Neurocognitive Star-up Tools for Symbolic Number, (traducido por autoras)
Manuela Piazza (2010) realiza un estudio en el que explica que el asignar un significado
a los símbolos arbitrarios (palabras) es un proceso complejo y prolongado. Para el caso
de los números, sugiere que este proceso se basa en dos sistemas preverbales para la
cuantificación numérica: el sistema de número aproximado (ANS), y el sistema de
seguimiento de objetos (OTS), con los que los niños y niñas están equipados antes de
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iniciar el aprendizaje simbólico. Cada sistema se basa en circuitos neuronales
específicos y cada uno se somete a una trayectoria de desarrollo por separado.
Además, pruebas complementarias con neuroimagen evidencian que el cerebro asigna
un código de cantidad a los símbolos de los números, mostrando una respuesta en la
región parietal ante la cantidad numérica (Piazza, 2010). En primer lugar, las mismas
regiones parietales del cerebro y las respuestas similares en ERP (Event-Related
Potential) son moduladas por los efectos de la distancia y la magnitud, tanto de los
dígitos arábigos como de las cantidades numéricas no simbólicas (Piazza, 2010).
Segundo, y más importante aún, evidencia la cantidad de respuestas relacionadas con
la transferencia de la corteza media intraparietal a través de formatos simbólicos y no
simbólicos (Mussolin, Mejias, & Noel, 2010). Así, en un paradigma de adaptación, la
respuesta a la cantidad es proporcional a la relación numérica entre cantidades nuevas
y repetidas, incluso cuando están representadas en diferentes formatos (Mundy &
Gilmore, 2009; Piazza, 2010). Curiosamente, este efecto no es totalmente bidireccional
(especialmente en el hemisferio izquierdo): aunque la adaptación a los puntos se
extiende a los dígitos arábigos, lo contrario no ocurre.
Un efecto asimétrico similar fue reportado por el estudio de "descodificación", con fMRI,
en el que se utilizó un clasificador de patrones multi-voxel, entrenado en la activación
de la corteza parietal para predecir los números arábigos (Piazza, 2010). La
numerosidad de patrones de puntos también fue correctamente clasificada, pero no al
revés. Estos datos son consistentes con la idea de que el código de cantidad símbolica
es más preciso que el de cantidad no-simbólica, incluso aunque le falte claridad y
comprensión a la numerosidad (Piazza, 2010).
4. Habilidad de estimar o aproximar cantidades
Otro concepto importante es el de “aproximación numérica” (approximate number en
inglés). La aproximación numérica se relaciona con los números esperados e
inesperados, es decir, encontrar un número que pueda representar la respuesta más
cercana a lo que queremos obtener. La aproximación es una habilidad innata que da a
los niños y niñas la intuición de cómo resolver un problema a pesar de no tener
experiencia previa en el aprendizaje formal de la matemática (Brannon, 2006; Dehaene,
2010; 2011). Por ejemplo, los niños pequeños que inician su escolaridad (3-4 años)
perciben que hay una mayor o menor cantidad de objetos observando si están
agrupados (hay menos) si están separados (hay más) a pesar de ser la misma cantidad
de objetos.
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Figura 11. Aproximación numérica para niños y niñas pequeños
Fuente: Bressan, Merlo de Rivas, & Scheuer, Los conocimientos numéricos en niños que inician su
escolaridad, (2009)
La precisión en la aproximación se va refinando a lo largo del tiempo (si es estimulada)
y juega un papel fundamental en el desarrollo del procesamiento numérico (Brannon,
2006; Dehaene, 2010; 2011; Rivera, Reiss, Eckert & Menon, 2005). La aproximación es
lo más cercano al sentido numérico, y va evolucionando a medida que los niños y niñas
crecen (Dehaene, 2010; 2011). Se ha encontrado que “en ausencia de otro
impedimento sensorial o cognitivo, aquellos niños y niñas con dificultades de
aprendizaje de por vida en la aritmética muestran una precisión drásticamente alterada
en el sistema de número aproximado” (Dehaene, 2010, p. 182).
Figura 12. Activación neuronal de respuesta al cambio de número
Fuente: Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan, & Dehaene (2004), Tuning Curves for Approximate Numerosity in
the Human Intraparietal Sulcus, (traducido por autoras)
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Por otro lado, algunos investigadores como Daniel Ansari (2008) aseguran que la
capacidad básica para discriminar cantidades numéricas no puede explicar
completamente toda la extensión de las habilidades numéricas y matemáticas. La
evolución humana ha puesto en evidencia un gran conjunto de habilidades que han
proporcionado la capacidad de procesar símbolos numéricos abstractos (como nombres
de números y números arábigos) y de realizar cálculos usando nuevas "herramientas
mentales" (Ansari, 2008).
Figura 13. Activaciones en el cerebro adulto a los cambios en numerosidad
Fuente: Brannon, (2006)
Pasando del proceso de aproximación al entendimiento sobre el número exacto, las
investigaciones dicen que entender un número exacto no es un acto espontáneo, más
bien es un ejercicio que depende de la educación. Por ejemplo, investigaciones en
tribus amazónicas (Brannon, 2006; Pica, Lemer, Izard, & Dehaene, 2004) evidencian la
importancia de la aproximación y de la influencia del aprendizaje para la identificación
de la cantidad con su representación simbólica (número) en niños y adultos alejados del
contacto escolar. Por lo tanto, al igual que en las tribus amazónicas, los niños y niñas
que inician su aprendizaje en matemáticas pueden rápidamente superar las limitaciones
presentadas por la falta de identificación de la cantidad con un número, y pasar a un
sistema exacto de número ayudados de la aproximación y exponiéndolos a un sistema
de conteo (Dehaene, 2010).
La transición desde la aproximación hasta la construcción de un número exacto (con su
símbolo), ocurre lentamente desde los dos años y medio hasta los cuatro años
(Dehaene, 2010) con ayuda de una rutina de conteo. Entender la importancia de la
aproximación y la habilidad de juzgar cantidades permite utilizarla en el aula como
estrategia de enseñanza de operaciones formales (suma, resta, multiplicación y
división). Por ejemplo, operaciones en la mente donde se aproxime al resultado con
números enteros o múltiplos de cinco (si la pregunta es 23 x 5, se aproxima el 23 a 25 y
32
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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se multiplica por 5 para tener el resultado). Es un tipo de operación que utiliza la
memoria, el razonamiento y la aproximación.
Figura 14. Activación cerebral al estimar y comparar
Fuente: Heim, Amunts, Drai, Eickhoff, Hautvast & Grodzinsky, 2012
5. Habilidad de retener información en la memoria
La habilidad de retener información en la memoria, o conocimiento declarativo, es la
que se encarga de almacenar los “hechos matemáticos” (LeFevre, DeStefano, Coleman
& Shanahan, 2005), como por ejemplo las tablas de multiplicar. Según autores como
Devlin (2010), el aprendizaje de las tablas de multiplicar es esencialmente una actividad
lingüística, cuando niños y niñas repiten las tablas sin comprender el concepto que
existe detrás de la multiplicación. Niños y niñas que repiten la tabla de multiplicar sin
comprender cómo y por qué se llega a ese resultado están ejercitando la memoria:
repitiendo la operación y su resultado hasta que queda grabado en la misma (4 x 3 =
12).
La memoria es fundamental para el aprendizaje (Levine, 2001; Tokuhama-Espinosa,
2011) y su función en el cerebro es permitir codificar, almacenar y recuperar la
información utilizando conexiones sinápticas, que con el tiempo crean redes neuronales
que mantienen la información relativamente estable (Baddeley, 2001). El problema con
la memoria en las matemáticas es que es posible memorizar fórmulas y el orden de los
procesos, sin necesariamente comprenderlos.
Existen diferentes tipos de memoria y distintas clasificaciones. Para el presente estudio
se toma en cuenta la clasificación dada por Atkinson & Shiffrin (1968) y utilizada por
Baddeley (2003). Para estos autores, la memoria puede ser de largo plazo, es decir,
abarca una serie de procesos para retener la información incluso días, meses y años.
33
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La memoria de largo plazo incluye la memoria implícita o procedimental (habilidades
sensomotoras) y la declarativa (detalles autobiográficos, hechos, semántica). También
se encuentra la memoria de trabajo, una forma de memoria de corto plazo que sirve
para cumplir procesos, como por ejemplo recordar la fórmula escrita en la pizarra para
procesar el problema en que puede emplearse dicha fórmula y realizar el proceso en un
papel (Tokuhama-Espinosa, 2011). La memoria también es de corto plazo: un sistema
de almacenamiento temporal que se basa en la capacidad de pensar del individuo
(Baddeley, 2003). La memoria de trabajo difiere de la memoria de corto plazo en que la
memoria de corto plazo tiene que ver con el recuerdo de 7 ± 2 ítems, mientras la
memoria de trabajo tiene que ver con procesos. Por ejemplo, recordar un número de
teléfono hasta llegar a marcarlo en el celular es de corto plazo, mientras que poder
acordarse de una fórmula de matemáticas que está en la pizarra hasta seguir los pasos
en el propio papel es memoria de trabajo.
Atkinson y Shiffrin (1968) proponen un sistema de procesamiento de información en la
memoria. Un sistema de procesamiento de información en la memoria permite
comprender cómo se la recupera cuando se encuentra almacenada en la memoria de
largo plazo, conectando con ella la recién integrada. La información que recogen los
sentidos ingresa al cerebro como impulsos eléctricos, que son procesados por el tálamo
(memoria sensorial), la parte del cerebro encargada de filtrar o seleccionar
permanentemente la información recibida, eliminándola, si no es relevante. La
información recopilada pasa a la corteza cerebral y, dependiendo de la persona y sus
experiencias, la información se retiene o elimina, en función de la importancia que se le
conceda. También se ha identificado (Miller, 1956) que el procesamiento de información
en la memoria de corto plazo tiene un límite en términos de unidades numéricas que
pueden ser procesadas en cualquier momento. Miller (1956) determinó que el número
de unidades que procesa la memoria es de 7 ± 2, a pesar de que se deben tomar en
cuenta las particularidades de cada persona, por lo que existen estudiantes que pueden
procesar 5 ± 2 y hasta 3 ± 2 unidades o pedazos de información (Huitt, 2003).
Figura 15. Memoria de corto a largo plazo
Fuente: Atkinson & Shiffrin, (1968), (traducido por la autora)
La memoria es un sistema complejo y de vital importancia para el aprendizaje. La
información
se
almacena
y
se
recupera
de
varias
maneras,
implicando
que
l
34
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os
educadores
deberían
variar
sus
métodos
de
enseñanza
para
crear
una
diver
sidad de vías a través de las cuales se puede recuperar información, facilitanto así el
proceso de recordar. Si bien es cierto que al momento existe escasa información de los
sistemas de memoria en el aula bajo criterios de MCE, es posible plantear un sistema
de memoria como el de la Figura 15.
La memoria a largo plazo es la que almacena la información por mayor tiempo, y la
información que llegue ahí debe cumplir tres requisitos: (a) tener valor de supervivencia,
(b) ser fácil de relacionar con conocimientos previos (c) y tener valor personal o
emocional (Sousa, 2002, citado en Tokuhama-Espinosa, 2010).
La educación constructivista muchas veces ha desmerecido la importancia de la
memorización frente al razonamiento. Lo que se debe recalcar es que el uso de la
memoria es tan importante como razonar y ser crítico en los aprendizajes. Existen
estrategias para recordar la información almacenada en la memoria de largo plazo que
el docente debe tomar en cuenta, como por ejemplo la predicción, asociación con
conocimientos previos o aprendizajes recientes, la repetición simple o acumulativa,
entre otras. De ahí la importancia de que el aprendizaje de la matemática debe
establecerse por medio de diferentes estímulos y vías sensoriales.
Se ha especulado que muchos problemas de matemáticas son realmente déficits de
memoria de trabajo y no de la comprensión de matemáticas en sí (Wilson & Swanson,
2001). En muchos casos, se sospecha que al mejorar la memoria, es posible mejorar
los procesos matemáticos.
Figura 16. Memoria de trabajo
Fuente:
http://teresadejesus.files.wordpress.com/200
9/12/semiologia-figura2.jpg?w=497
Fuente: http://usablealgebra.landmark.edu/wpcontent/uploads/2008/12/working-memory-2.gif
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6. La habilidad para almacenar y utilizar procedimientos
En el aprendizaje de las matemáticas es necesaria la intervención de los tres factores
que participan en el Modelo de Código Triple: (a) la habilidad de visualizar el código de
números arábigos, (b) la de atribuir una cantidad o código de magnitud, y (c) la de
visualizar el código verbal (Tokuhama-Espinosa, 2011). Además es importante el uso
de la memoria y de los procesos cerebrales involucrados en cómo se desarrollan los
procedimientos y la conceptualización en matemáticas. Una aclaración se puede lograr
mediante la introducción de una distinción entre los niveles de complejidad en las tareas
de cálculo, teniendo en cuenta los diferentes procesos que pueden contribuir a dicho
proceso (Dehaene, & Cohen, 1995; Halberda, Mazzocco & Feigenson, 2008).
Para poder procesar fórmulas matemáticas hay que tener un entendimiento claro de la
relación entre los números. El desarrollo de una línea mental numérica juega esa
función Rivera, S.M., A.L. Reiss, M.A. Eckert, & Menon, V. (2005.
Figura 17. Activaciones cerebrales en el procesamiento de estímulos no simbólicos
numéricos
Fuente: Kaufmann, Vogel, Wood, Kremser, Schocke, Zimmerhackl & Koten, 2008
Línea numérica mental
En la introducción de la revisión de la literatura se había dicho que el sentido numérico
emplea una línea numérica mental que permite “acomodar” los números en las redes
neuronales, así como la codificación de los mismos. La habilidad de utilizar la línea
numérica mental se ha denominado analógica de cantidad o de código de magnitud
(Ashkenazi, Mark-Zigdon & Henik; 2009; Tokuhama-Espinosa, 2011). El sistema de
codificación numérica se denomina “codificación por puesto” (Place Coding en inglés)
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(Dehaene & Changeux, 1993; Dehaene, 2011). En la codificación por puesto o lugar,
cada número activa un conjunto específico de neuronas en el cerebro (un puesto o
lugar). En el caso de dos números cercanos uno del otro, o de dos puestos, se activan
parcialmente conjuntos superpuestos de neuronas. En el caso de la representación de
un número más pequeño, no está contenida en la representación de un número mayor.
Cada sistema de codificación se asemeja a una recta numérica mental. Cabe recalcar
que no se debe confundir este término (recta numérica mental) con el modelo
específico de codificación por puesto. El cerebro identifica este modelo como se ve en
la Figura 18.
Figura 18. Representación del número en la línea numérica mental
Fuente: Vergus & Fias, 2008
Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan y Dehaene (2004) pudieron confirmar la codificación por
puesto utilizando fMRI (Imagen de Resonancia Magnética funcional), donde los
resultados obtenidos sirvieron para identificar las representaciones no simbólicas en el
cerebro. Piazza, Pinel, Le Bihan y Dehaene (2007) obtuvieron los mismos resultados en
un diseño similar con las representaciones simbólicas. Estos procesos, señalan los
investigadores, emplean áreas del surco intraparietal (IPS) y representan el número,
independientemente de si la notación de entrada es simbólica (tres, 3) o no simbólica (
●●●), e independientemente de si los estímulos se presentan visual o auditivamente
(Ansari, 2008; Dehaene, Piazza, Pinel & Cohen, 2003).
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Figura 19. Activación neuronal al realizar diferentes procesos matemáticos
Fuente: Arsalidou & Taylor (2011), Is 2+2=4? Meta-analyses of Brain Areas Needed for Numbers and
Calculations (traducido por autoras)
La organización proporcionada por el Modelo de Código Triple permite entender el
desarrollo numérico en el cerebro humano. Su funcionamiento se ha identificado a
través de la activación de la zona intraparietal, desde los tres meses de edad, durante
simple identificación numérica (Dehaene, 2010). La evidencia proporcionada en la
investigación por Dehaene sustenta la idea de que el sentido numérico se encuentra
definido en la genética básica humana (Dantzing, 1954), mientras que los sistemas de
codificación verbal y de números arábigos son una invención cultural reciente que es
necesario que otro la enseñe (Dantzing, 1954). Teniendo en cuenta estas dos
posibilidades, el desarrollo numérico en el cerebro consiste en establecer conexiones
de forma permanente, eficiente y automatizada.
Establecer las representaciones de los números en varias formas es una labor
permanente en la educación. En los niños, las conexiones neuronales son mucho
menos eficientes y tardan años en automatizarse (Dehaene, 2011). Estas conexiones
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ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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ya han sido identificadas a través de los métodos de imagen; por ejemplo, la activación
de la región intraparietal izquierda indica que la formación aritmética desarrolla el
sistema de cantidad aproximada, además de las otras representaciones simbólicas de
números que reconocen sus formas verbales (Ansari, 2008; Dehaene, 2011). Estas
investigaciones sugieren ciertas recomendaciones que serán analizadas
posteriormente.
Aquí se exponen cuatro procedimientos matemáticos: elección de la memoria verbal,
elaboración semántica, memoria de trabajo, y estrategia y planificación del
procesamiento matemático (Ashkenazi, Mark-Zigdon & Henik, 2009; Dehaene, &
Cohen, 1995).
Elección de la memoria verbal
La elección de la memoria verbal es el nivel más simple. Estudios de sujetos normales
han sugerido repetidamente que los hechos aritméticos más sencillos, como 3 x 4=12
se almacenan y se recuperan de la memoria (Ashcraft, 1992). Operaciones de suma y
multiplicación se pueden activar de forma automática, incluso cuando son irrelevantes
para el problema o tarea que se intenta resolver (LeFevre, Bizanz, & MrKonjic, 1988).
Esta evidencia es consistente con la hipótesis de que los hechos rutinarios de aritmética
pertenecen a la clase general de memorización de recuerdos verbales. Dehaene y
Cohen (1995) proponen que ningún conocimiento semántico se requiere con el fin de
recuperar la mayor parte de simples procedimientos aritméticos. Más bien, pueden ser
recuperados mecánicamente, sin tener en cuenta las cantidades implicadas.
Elaboración semántica
La elaboración semántica es un segundo nivel de complejidad; sin embargo, ciertos
problemas matemáticos requieren de ella antes que se pueda acceder a la información
necesaria para resolverlos en la memoria (Dehaene & Cohen, 1995). Los sujetos
normales carecen de una memoria completa y sin errores, incluso para realizar
operaciones como sumas y multiplicaciones con un solo dígito (Campbell & Graham,
1985). Por lo tanto, cuando se enfrentan a información desconocida o difícilmente
recuperable, los sujetos pueden recurrir a estrategias que contribuyen a la recuperación
de la información en la memoria. Por ejemplo, los problemas de suma pueden ser
descompuestos en simples hechos memorizados (cuando en aproximaciones, se
multiplica por 10 en vez de 9 debido a que no se recuerda la tabla del 9). Estas
estrategias de memorización obviamente requieren una buena comprensión de las
cantidades involucradas en el problema original (Dehaene & Cohen,1995). Para
comprobar la veracidad de las respuestas recuperadas es necesario el uso de la
elaboración semántica, tanto antes como después de la realización de las operaciones
(Dehaene & Cohen, 1995); especialmente cuando se representan magnitudes
numéricas de información recuperada de resultados filtrados, resultados falsos y
resultados obtenidos lugo de realizar operaciones erróneas o confusas (Winkelman &
Schmidt, 1974). De esta manera, Dehaene y Cohen (1995) postulan que el éxito en la
recuperación de operaciones y resultados matemáticos se puede aumentar
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considerablemente utilizando una representación semántica de la magnitud de las
operaciones y los resultados tentativos.
Uso de la memoria de trabajo
En el tercer nivel de complejidad, los problemas matemáticos requieren el uso de la
memoria de trabajo (Dehaene & Cohen, 1995). El uso de la memoria de trabajo es
requerido debido a que las operaciones matemáticas se presentan auditivamente y
debe recordarse a lo largo del proceso de cálculo. También es necesaria para el
almacenamiento temporal de los resultados intermedios, como cuando sucede en las
operaciones de resta cuando se “llevan” las cantidades. La investigación con sujetos
normales demostró la participación de un centro de almacenamiento verbal a corto
plazo, llamado bucle articulatorio, en el cálculo complejo (Hitch, 1978; Logie, Gilhooly &
Wynn, 1994). También se puede utilizar un almacenamiento visoespacial para
mantener en línea la disposición espacial y los dígitos de un cálculo continuo de varios
dígitos.
Estrategias y planificación de procedimientos matemáticos
El cuarto nivel de complejidad determina que los problemas matemáticos de orden
complejo requieren la estrategia y planificación del procesamiento matemático
(Dehaene & Cohen, 1995). La resolución de operaciones que se realizan con varios
dígitos debe escoger cómo hacerlo, y en su ejecución se debe controlar y corregir cada
operación mental, lo cual pone en acción los recursos visoespaciales, (es común ver en
el aula a los estudiantes que miran hacia arriba o hacia el frente al realizar operaciones
mentales). Para la mayoría, las operaciones complejas, especialmente de sustracción y
división, implican secuencias de ensayo y error (Dehaene & Cohen, 1995). Incluso en
otro tipo de problemas, como aquellos planteados con palabras, la estrategia de
solución a menudo se desconoce o es necesario plantearlos en forma numérica en una
secuencia específica por medio de un nuevo algoritmo matemático (Dehaene & Cohen,
1995).
Utilizar correctamente las operaciones mentales es otro ejercicio que relaciona el
razonamiento y la memoria. Las investigaciones dieron cuenta de que en el cerebro no
existe un solo centro de cálculo, por lo que se identificó que el cálculo se realiza en
distintas áreas cerebrales que pueden ocuparse en más de una tarea cognitiva. Por
ejemplo, si se piensa en la secuencia u orden que se sigue en la resolución de
operaciones como la división, se ve que se colocan los términos de una forma (en la
educación hispana es diferente a la anglosajona), y se resuelve la operación a través de
un número determinado de divisiones, multiplicaciones y restas. Por el contrario, en la
resolución de problemas de aritmética y álgebra (ya sean planteados directamente con
números o con palabras) es el razonamiento el que lleva a tomar una determinada
secuencia de procedimientos.
En los dos casos mencionados anteriormente se identifica la importancia de contribuir a
que niños y niñas desarrollen la atención, memoria y razonamiento desde el inicio del
aprendizaje formal de la matemática. Además se debe contribuir al desarrollo de
40
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patrones de repetición, como por ejemplo con objetos y luego dibujándolos en
cuadernos. Este ejercicio permitirá desarrollar más adelante las nociones de
generalizaciones como las de álgebra (una de las cinco áreas de procesamiento
numérico).
Los cuatro niveles de procesamiento de operaciones matemáticas descritos en los
párrafos anteriores reflejan la importancia de la memoria, la codificación arábiga para
procesar símbolos espacialmente, y el sistema de cantidad para recuperar el resultado
correspondiente. Es aquí donde se refleja la importancia de la memoria tanto en los
procesos de lectura como en los de desarrollo matemático.
Figura 20. Activación de regiones parietales involucradas en el cálculo
Fuente: Piazza, Pinel, Le Bihan, Dehaene (2007), A Magnitude Code Common to Numerosities and
Number Symbols in Human Intraparietal Cortex, (traducido por autoras)
7. Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente
Al realizar tareas de resta o sustracción, los resultados mostraron activaciones extensas
en la región parietal inferior y premotora, prefrontal y la corteza motora (Appolonio, et
al., 1994; Roland & Frieberg, 1985); las activaciones fueron bilaterales, aunque tienden
a ser mayores en el hemisferio izquierdo. De manera global, los resultados de las
investigaciones mencionadas confirman que el cálculo mental complejo implica una red
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ampliada de las zonas parietal y frontal inferior (Appolonio, et al., 1994; Roland &
Frieberg, 1985). La tarea de la resta implica un amplio uso de la memoria de trabajo y
de seguir pasos en secuencia, por lo que estas investigaciones eran específicas para el
dominio numérico relacionado con la secuenciación global de la atención, así como el
uso de la memoria de trabajo (Appolonio, et al., 1994; Roland & Frieberg, 1985).
En la enseñanza de las matemáticas se ha visto que los niños y niñas desde antes de
los cuatro años pueden aprender de memoria las palabras que representan los
números, es decir uno, dos, tres, etc., sin saber lo que la palabra significa ni qué
cantidad representa. De acuerdo a las investigaciones (Le Corre & Carey, 2006), les
tomará al menos seis meses después de aprender las palabras de memoria, poder
entender las relaciones de orden (es decir, uno primero, luego dos, etc.), y a medida
que el tiempo pase irán entendiendo por completo la correspondencia entre lo verbal (o
nombre del número) y la cantidad, modificando su concepto de sentido numérico
radicalmente (Dehaene, 2010; 2011). Cabe resaltar que los procesos de aprendizaje no
dependen solamente de la edad tanto como de la madurez del cerebro; de esta manera
existirán niños y niñas que aprendan con mayor facilidad a memorizar los números
(uno, dos, tres, etc.) que otros.
Figura 21. Patrón general de la actividad durante cada operación mental
Fuente: Hanakawa, Honda, Okada, Fukuyama, & Shibasaki, 2003.
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Otra experimentación realizada con tareas de multiplicación mental de números
arábigos vistos en la pantalla de la computadora requería que los participantes de la
investigación multiplicaran mentalmente dos dígitos o seleccionaran el mayor de los dos
dígitos presentados, manteniendo el resultado en su cabeza (Dehaene & Cohen, 1995).
Estas tareas implicaron similares procesos de entrada y salida, operaciones de
multiplicación o de comparación que activaron las siguientes partes: la corteza occipital
lateral izquierda y derecha, el área motora suplementaria, y el giro precentral izquierdo
(el giro precentral derecho estaba activo durante la comparación, pero su activación no
tuvo relevancia en la multiplicación) (Dehaene & Cohen, 1995). Las investigaciones
descritas anteriormente han permitido llegar a determinar que no existe un “centro de
cálculo” o una región específica para el conocimiento numérico (Dehaene & Cohen,
1995). Más bien, se cree que el procesamiento numérico de cálculo emplea áreas
cerebrales ampliamente distribuidas, cada una de las cuales realiza solo
transformaciones elementales (Dehaene & Cohen, 1995). Muchas de estas
transformaciones no tienen que ser específicas para los números y pueden ser
utilizadas para varias tareas cognitivas diferentes (Dehaene & Cohen, 1995).
Al igual que en la habilidad de almacenar y recuperar procedimientos matemáticos, la
habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente apela al uso del sistema
de memoria del cerebro. Inicialmente, al almacenar en la memoria el significado se
moviliza un amplio conjunto de regiones que se activan al pensar en un concepto, ya
sea de números dichos verbalmente, símbolos arábigos o imágenes de conjuntos de
números (Binder, et al., 1999; Kotz, et al., 2002; Vandhenberghe, Price, Wise, Josephs,
& Frackwiak, 1996). Las regiones que movilizan el significado se distribuyen a lo largo
del córtex cerebral en donde las regiones frontal y temporal son la parte inicial. A pesar
de que se activan con el significado esencial de una palabra (tres) o símbolo (3), no
almacenan el significado pero permiten encontrar la información semántica dispersa en
el córtex.
Figura 22. Áreas del cerebro involucradas en procesos matemáticos
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Fuente: Psychologie (2012), (traducido por autoras)
En los últimos 15 años se ha encontrado evidencia sobre el papel vital de la memoria
de trabajo en el aprendizaje de las matemáticas (Ashcraft & Krause, 2007). Las
investigaciones generalizan la relación positiva entre la complejidad de los problemas
aritméticos o matemáticos, y la demanda de memoria de trabajo para la resolución de
los mismos (Ashcraft & Krause, 2007; LeFevre, DeStefano, Coleman, y Shanahan,
2005). La memoria de trabajo está cada vez más involucrada en la resolución de
problemas. Por ejemplo, cuando los números en un problema de aritmética (los
operandos) son más grandes, toma más tiempo resolver las operaciones planteadas, y
las respuestas pueden ser menos precisas (por ejemplo, es más fácil resolver 2x3 y 4+5
que 6x7 y 9+6) (Zbrodoff & Logan, 2005). El Efecto de Complejidad estudiado sobre los
números y cantidades más grandes, además de la solución de problemas más
complejos, contribuye a explicar la manera en que el cerebro los soluciona (Hamann &
Ashcraft, 1986; Siegler & Shrager, 1984).
La primera parte del Efecto de Complejidad puede explicarse gracias a la estructura de
representación mental de la información matemática en la memoria a largo plazo.
Mientras más complejo el problema, menor es la frecuencia con que se lo plantea. Por
lo tanto, las conexiones en la memoria para retener y almacenar los procedimientos
para solucionar problemas no se refuerzan (“usarlo o perderlo”: if you don´t used it, you
lose it) (Hamann & Ashcraft, 1986; Hebb, 1949; Siegler & Shrager, 1984).
La segunda parte del Efecto de Complejidad es la tendencia creciente a resolver los
problemas matemáticos más grandes utilizando algún proceso de prueba y error, o
dejando de lado el uso de la memoria ya sea contando, o usando problemas conocidos
como guía, u otras estrategias (Campbell & Xue, 2001; LeFevre, Sadesky, & Bisanz,
1996). Dado que el procesamiento a través de prueba y error puede ser más lento y
más propenso a la equivocación que los procesos que utilizan la memoria de
recuperación, los estudios (Campbell & Xue, 2001; LeFevre, Sadesky, & Bisanz, 1996)
reconocen que utilizar la memoria requiere de un proceso de aprendizaje más complejo
pero mejor, debido a la automatización de los procesos en la memoria, si es que el
proceso de aprendizaje ha incentivado la repetición de los procesos. Nuevamente se
refuerza la importancia del ejercitar la memoria sobre los procedimientos de resolución
de problemas, desde los más simples hasta los más complejos, contribuyendo así a la
sistematización de los pasos que se utilizan para resolver problemas matemáticos.
Otras investigaciones (ej., Gobel & Rushworth, 2004; Grabner, Ansari, Koschutnig,
Reishofer, Ebner & Neuper, 2009; Nieder, 2005) muestran incluso la forma en que el
cerebro entiende cómo utilizar los números y calcular acertadamente, es decir, cómo el
cerebro toma la lectura simbólica del número y manipula ese símbolo para un cálculo
que en realidad representa otra cosa. Por ejemplo, cuando a los estudiantes se les
presenta una operación matemática con objetos, cinco tazas sumadas a tres tazas, el
cerebro identifica la cantidad de tazas, la relaciona con el número arábigo y realiza la
operación de suma. Hay varios estudios que tratan de explicar exactamente por qué se
produce una ruptura de ciertos mecanismos neuronales que llevan a los individuos a
equivocarse en matemáticas, y que los profesores deberían utilizar en su beneficio.
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Estas explicaciones no pretenden disculpar el pobre desempeño de algunos niños y
niñas en matemáticas, sino más bien dar una explicación de por qué puede darse esto.
Queda por lo tanto en manos de los docentes hacer uso de dicha información para
diseñar mejor el contenido y las intervenciones de sus cursos, y así satisfacer las
necesidades de los estudiantes que tienen dificultades en su red neuronal de habilidad
matemática. Por ejemplo, si un docente identifica un déficit en la relación de cantidades
con el respectivo número arábigo (aprendizaje que se realiza en los primeros años de
educación primaria) podrá planificar ejercicios de reconocimiento de objetos,
identificando el número que los representa.
8. Habilidades gráficas
En la historia de las matemáticas siempre ha existido una conexión profunda entre las
representaciones numéricas y las espaciales (Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene,
2005). Desde los aspectos básicos de la matemática como la noción de medida, la línea
numérica mental (que puede dibujarse a lo largo del aula como una serpiente por
ejemplo), el plano cartesiano y sus coordenadas, e incluso la prueba del último teorema
de Fermat, –metáfora por la que los números corresponden a posiciones espaciales–,
traspasan el pensamiento matemático (Butterworth, 1999; Dehaene, 1997; Singh,
1997).
Figura 23. Activación cerebral al realizar sumas y restas
Fuente: Silk, Bellgrove, Wrafter, Mattingley & Cunnington, 2010
El Modelo de Código Triple de procesamiento numérico propone que los números
pueden ser representados mentalmente en un sistema visual, un sistema verbal y una
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representación de cantidad no verbal, que dependen de diferentes sustratos neurales
(Dehaene, 1992; Holloway, & Ansari, 2009; Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005).
Para explicar la relación número–espacio es necesario retomar la información sobre el
sistema de cantidad que proporciona una representación semántica del tamaño y la
distancia de las relaciones entre los números; se cree que esta función se encuentra en
la corteza parietal, y podría ser crucial para la mediación de las interacciones
observadas entre las representaciones numéricas y espaciales (Hubbard, Piazza, Pinel,
& Dehaene, 2005).
Las implicaciones de la relación numéricoespacial para el presente estudio se centran
en la importancia de contribuir al desarrollo de habilidades de representación gráfica en
niños y niñas. Los inicios del aprendizaje de las matemáticas deben estar llenos de
juegos de contar, juegos con ábacos, pizarrones, material visible para el aprendizaje de
la línea numérica mental (por ejemplo una serpiente numerada que rodee el aula y
ayude a identificar los números, posiciones, aproximaciones y distancias, que los
docentes usarán permanentemente). Se puede apreciar el éxito del sistema de
Singapur, el cual implementa precisamente estos conceptos visuales y gráficos en su
enseñanza de matemáticas en los primeros años.
Figura 24. Ejemplos del sistema de Singapur
Fuente: Ejemplos de “Singpore Math” http://www.singaporemath.com
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El dibujo en educación inicial debe ser visto como una herramienta de trabajo en el
aula, que permite desarrollar las tres dimensiones (altura, ancho y profundidad), el
tamaño, la distancia entre objetos, la proporción, entre otras características que tienen
relación directa con el futuro aprendizaje de las matemáticas. Los niños y niñas
necesitan desarrollar con eficiencia las conexiones entre lo escrito, lo verbal y la
aproximación numérica, ejercicio que se automatiza con años de práctica y aprendizaje.
El desarrollo de las habilidades gráficas se debe, inicialmente, a la profunda conexión
que existe entre las representaciones de los números y el espacio. La recta numérica
mental, la posición de los números y el colocar objetos en diferentes sets proporcionan
una representación semántica del tamaño y la distancia que contribuyen al desarrollo
de habilidades gráficas. Por ejemplo, ejercicios para niños y niñas que incluyan dibujar
y hacer gráficas sencillas, hacer manualidades que incluyan alineamiento de fideos,
fríjoles, diferenciar tamaños, agrupar y organizar sets de objetos, entre otras
actividades, mejora la habilidad de refinar el sistema simbólico en el cerebro.
Junto con el desarrollo del aprendizaje de las habilidades gráficas se debe ejercitar la
identificación de figuras en 2D y 3D, primero de igual tamaño y orientación, luego en
figuras de distintos tamaños y en orden aleatorio, así como la construcción de figuras o
dibujos utilizando formas conocidas como triángulos, cuadrados, etc. Para iniciar el
aprendizaje de problemas matemáticos, ya se habrán realizado ejercicios de
ordenamiento y comparación de objetos, gráficas sencillas, visualización de datos, y
relación entre los datos y sus representaciones gráficas en, por ejemplo, gráficos de
barras o pastel.
El desarrollo de las habilidades gráficas es un ejemplo de los aprendizajes empleados
en todos los niveles de educación; las pruebas de ingreso a la universidad, por ejemplo,
cuentan con ejercicios de identificación espacial (figuras tridimensionales y
bidimensionales que se deben armar mentalmente, o escoger la figura que se arma con
una maqueta plana, entre otros ejercicios).
Resumen revisión de la literatura
Tabla 3. Resumen de la revisión de literatura
Habilidad 1
Habilidad física de
ver números y
palabras.
Problema
El niño no logra ver
la pizarra desde su
asiento.
Estudios
Dehaene, 2009, 2011; Hasson, Levy, Behrmann,
Hendler, & Malach, 2002; Grill-Spector, Sayres, &
Ress, 2006; Tsao, Freiwald, Tootell, &
Livingstone, 2006; Pascalis, de Haan, & Nelson,
2002; Pastalis, Scott, Kelly, Shannon, Nicholson,
Coleman, & Nelson, 2005; ; Shuwuari, Albert, &
Johnson, 2007; Sigman & Gilbert, 2000; Sigman,
Pan, Yang, Stern, Silbersweig, & Gilbert, 2005.
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Fuente imagen: Universidad de La Coruña,
Facultad Ciencias de la Salud
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Habilidad 2
Habilidad en el
manejo de las
funciones
ejecutivas y
habilidades de
pensamiento de
orden superior.
Problema
Estudios
El niño tiene una falta de una
o más de estas destrezas:
Clements, Sarama, Unlu & Layzer,
2012; Dehaene, 1997, 2011; Diamond,
2013; Meltzer, Sales & Barzialli, 2007;
Moran & Gardner, 2007; Posner, 2007;
Puebla 2009; Posner, Sheese, Odludas
& Tang (2006).
FEs centrales:
-Flexibilidad Cognitiva: incluye
el cambio de perspectiva y ver
situaciones, problemas, etc.
con otros ojos, alimentado por
información nueva y diferente;
-Control Inhibitorio: que
incluye el autocontrol y la
disciplina; y
-Memoria de Trabajo:
mantiene la información en la
mente y trabaja con ella.
FEs de orden superior:
Fuente imagen: Posner, Sheese,
Odludas & Tang (2006).
-Atención selectiva: que
permite focalizar la atención a
pesar de las distracciones;
-Disciplina: iniciar una
actividad y permanecer en
ella hasta terminarla; y
-Autocontrol o
autorregulación: inhibirse a
actuar impulsivamente y
considerar las reacciones o
respuestas.
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Habilidad 3
Habilidad de
generalizar en un
mismo concepto
diferentes
símbolos que
representan una
misma idea (el
código triple).
Problema
Estudios
El niño no domina
una o más de las
siguientes:
Ansari, 2007, 2008, 2010; Bach, Richardson,
Brandeis, Martin y Brem, 2011; Binder, Frost,
Hammake, Bellgowan, Springer, Kaufman, &
Possing, 2000; Bynner & Parson, 1997;
-Habilidad de
Campbell, 1994; Coch, et al., 2007; Cohen
visualizar el código
Kadhosh, Cohen Kadosh, Kass, Henik &
arábigo
Goebel, 2007; Coltheart, Rastle, Perry,
Langdon, & Ziegel, 2001; Dehaene &
-Habilidad analógica Changeux, 1993; Dehaene, 2009, 2010;
de cantidad o de
Dehaene, Piazza, Pinel & Cohen, 2003;
código de magnitud Dejerine, 1892; Duncan, Dowsett, Classens,
Magnuson, Huston, Klebanov, et al., 2007;
-Habilidad de código Geschwind, 1965; Harm & Seigdenberg, 2004;
verbal
Jobard, Crivello, & Tzourio-Mazoyer, 2003;
Kotz, Cappa, von Cramon, & Friederich, 2002;
Libertus, Woldorff, & Brannon, 2007; Perry,
Ziegel, & Zorzi, 2007; Piazza, 2010; Piazza,
Izard, Pinel, Le Bihan, & Dehaene,2004;
Piazza, Pinel, LeBihan & Dehaene, 2007,
2009, 2011; Rodríguez, 2011; TokuhamaEspinosa, 2011; van Atteveldt, Formisano,
Goebel, & Blomert, 2004; Vandenberghe,
Norbre, & Price, 2002; Verguts & Fias, 2008.
Fuente: Arsalidou & Taylor (2011)
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Habilidad 4
Habilidad de
estimar o
aproximar
cantidades.
Problema
Imprecisión en la
estimación de
cantidades.
Estudios
Ansari, 2008; Brannon, 2006; Dehaene, 2010,
2011; Heim, Amunts, Drai, Eickhoff, Hautvast
& Grodzinsky, 2012; Piazza, Izard, Pinel, Le
Bihan, & Dehaene, 2004; Pica, Lemer, Izard,
& Dehaene, 2004.
Fuente imagen: Heim, Amunts, Drai,
Eickhoff, Hautvast & Grodzinsky, 2012
Habilidad 5
Habilidad de
retener
información en la
memoria.
Problema
Dificultades con
uno o más de los
sistemas de
memoria (corta, de
trabajo, o de largo
plazo).
Estudios
Atkinson & Shiffrin, 1968; Baddeley, 2001,
2003; Devlin, 2010; Huitt, 2003; LeFevre,
DeStefano, Coleman & Shanahan, 2005;
Levine, 2001; Miller, 1956; TokuhamaEspinosa, 2011.
Fuente: http://iescarin.educa.aragon.es
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Habilidad 6
Problema
Habilidad para
almacenar y utilizar
procedimientos.
Dificultad en recordar
secuencias
matemáticas.
Fuente: Kaufmann, Vogel, Wood, Kremser,
Schocke, Zimmerhackl & Koten, 2008
Habilidad 7
Habilidad de
almacenar
conceptos y
utilizarlos
correctamente.
Problema
Inhabilidad de
aplicar, recordar y
usar en forma
correcta fórmulas o
reglas matemáticas.
Estudios
Ashcraft, 1992; Dehaene, & Cohen, 1995;
Campbell & Graham, 1985; Hitch, 1978;
Kaufmann, Vogel, Wood, Kremser, Schocke,
Zimmerhackl & Koten, 2008; LeFevre, Bizanz, &
MrKonjic, 1988; Levine, 2002; Shannon, 1984;
Logie, Gilhooly, & Wynn, 1994; Piazza, Pinel, Le
Bihan, Dehaene, 2007; Winkelman & Schmidt,
1974.
Fuente: Kaufmann, Vogel, Wood, Kremser, Schocke,
Zimmerhackl & Koten, 2008
Estudios
Ashcraft & Krause, 2007; Appolonio, et al., 1994;
Binder, et al., 1999; Campbell & Xue, 2001;
Dehaene, 2010; 2011; Dehaene & Cohen, 1995;
Gobel & Rushworth, 2004; Hamann & Ashcraft,
1986; Kotz, et al., 2002; Le Corre & Carey, 2006;
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LeFevre, DeStefano, Coleman, y Shanahan,
2005; LeFevre, Sadesky, & Bisanz, 1996; Nieder,
2005; Roland & Frieberg, 1985; Siegler &
Shrager, 1984; Vandhenberghe, Price, Wise,
Josephs, & Frackwiak, 1996; Zbrodoff & Logan,
2005.
Fuente: Hanakawa, Honda, Okada, Fukuyama /
Shibasaki, 2003
Habilidad 8
Problema
Habilidades gráficoespaciales
La inhabilidad de
representar
conceptos
matemáticos en forma
gráfica, visual o
espacial (ej., expresar
2+2=4 en un dibujo).
Estudios
Butterworth, 1999; Dehaene, 1992, 1997, 2010;
Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005; Singh,
1997.
Fuente: Silk, Bellgrove, Wrafter, Attingley & Cunnington,
2010
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En el nuevo campo de la Ciencia de MCE se tendrán mayores investigaciones y
hallazgos, apoyados en la tecnología de scanner cerebral, de manera que lo que se ha
presentado aquí no debe considerarse como definitivo. Se ha detectado que al
momento de complementar la observación de un comportamiento con escaneo del
cerebro (como el proceso de aprendizaje de matemática, por ejemplo), se pueden
aclarar mitos y malas concepciones, como por ejemplo que existen lóbulos cerebrales
dedicados a la matemática, o sitios del cerebro únicamente para el procesamiento de la
matemática.
El sentido numérico utiliza la línea numérica mental que permite desarrollar relaciones
espaciales numéricas. Las relaciones espaciales numéricas desarrolladas en el cerebro
a través de la línea numérica mental son los andamiajes previos que permiten nuevos
aprendizajes en la matemática. El desarrollo cerebral basado en las redes neuronales
primitivas, perfeccionadas a lo largo del tiempo y a través de la continua educación del
ser humano, contribuye al reciclaje de los circuitos evolutivamente más antiguos,
reforzando aquellos que tienen valor de supervivencia, transmitiéndose a los genes de
las futuras generaciones.
Por ejemplo, los conceptos de número y de aritmética tienden a expandirse a más
circuitos cerebrales partiendo desde la visión, con el reconocimiento de objetos
antiguos, hasta los movimientos espaciales. Niños y niñas emplean estos circuitos
neuronales con el fin de ampliar sus conocimientos y aprender (con la guía del
maestro), utilizando su intuición o sentido numérico para cumplir los objetivos de
aprendizaje (Dehaene, 2010; 2011).
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ANÁLISIS
La presente investigación fue predefinida como bibliográfica y documental. A
continuación se explica la conexión entre las diferentes fuentes de literatura, con la
esperanza de entender el proceso completo del aprendizaje de las matemáticas en los
primeros años de edad. Este análisis está seguido por conclusiones y comparaciones
de procesos existentes, intervenciones posibles y recomendaciones de futuros estudios.
Bases del aprendizaje futuro de las matemáticas
La pregunta central de la presente investigación se refiere a la adquisición del
pensamiento inicial numérico como factor de influencia en el aprendizaje de la
matemática. A lo largo de este estudio se ha establecido que la conceptualización del
pensamiento inicial numérico incluye por lo menos tres conceptos básicos en las
edades tempranas: el sentido numérico, el desarrollo de una línea numérica mental, y el
desarrollo del sistema numérico aproximado y refinado con la introducción de símbolos.
Al lograr estos tres aspectos generales, se pueden dominar las siguientes subáreas:
procesamiento secuencial y operaciones; geometría y espacio; medición; patrones; y
representación gráfica.
La facultad primitiva del sentido numérico
Entre las bases del aprendizaje de la matemática se encuentra la del sentido numérico,
una facultad primitiva que le permite distinguir a niños y niñas la diferencia entre dos
sets con diferente número de objetos. El sentido numérico no es lo mismo que contar y
tiene dos etapas: primaria y secundaria.
La forma primaria es preverbal y su desarrollo es sin intervención o sin instrucción
escolarizada. El sentido numérico primario influye de manera directa en el aprendizaje
de las matemáticas; por ejemplo, los niños y niñas que han sido estimulados desde los
primeros meses de vida en la diferenciación sobre cantidad de objetos cotidianos tienen
mejores posibilidades de aprender matemáticas con mayor facilidad.
El sentido numérico secundario es verbal, se desarrolla a través de la enseñanza
(escolaridad) y permite comprender la cantidad y los símbolos de los números. La etapa
secundaria del sentido numérico influye en el aprendizaje de las matemáticas ya que
cimenta la comprensión de la noción de cantidad, la secuencia de numeración (primero
uno, luego dos, etc.) y la relación de una cantidad con sus símbolos, ya sean números
arábigos, sets de objetos o las palabras que identifican dichos números (3, ●●●, tres).
Los estudios incluidos en la revisión de la literatura evidencian que los problemas
asociados al fracaso en el aprendizaje de las matemáticas se deben a un inadecuado
desarrollo del sentido numérico.
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Orden, ubicación y procesos numéricos: la línea numérica mental
La línea numérica mental es otro de los recursos que emplea el sentido numérico para
dar una “posición” al número dentro del cerebro, permitiendo acomodar los números,
codificarlos y ayudar a intuir la distancia entre ellos. Una línea numérica mental es un
instrumento desarrollado con el sentido numérico, para permitir relacionar los números
con la cantidad a la que representan. Comprender y utilizar adecuadamente la línea
numérica mental contribuye al aprendizaje de las matemáticas, al permitir enlazar las
diferentes representaciones de cantidad (ya sean números del código arábigo, palabras
que designen el número o un set de objetos) con un símbolo que ayuda a reconocer
dicha cantidad. La línea numérica mental es una de las bases más importantes para
que niños y niñas puedan desarrollar los aprendizajes futuros en matemáticas. La línea
numérica mental debe convertirse en una de las herramientas físicas para que los
maestros ayuden a los estudiantes a comprender las relaciones de aumento o
disminución de cantidad.
La línea numérica mental puede utilizarse en la práctica docente de forma lúdica. Por
ejemplo, con regletas creadas por los estudiantes o colocando una línea numérica a
manera de serpiente a lo largo del aula, y que el docente utilizará al realizar cualquier
ejercicio de identificación y operación matemática que permita a los estudiantes grabar
en su mente al número y la cantidad encontrada.
En la práctica en el aula debe reforzarse el uso de la línea mental como un ejercicio
visual; por ejemplo, colocándola en lugares estratégicos para que los niños y niñas la
observen al momento de realizar identificación de números y operaciones. La línea
numérica mental es un instrumento para el docente al que puede apelar continuamente,
contribuyendo al paso de lo concreto (contando objetos tangibles) a lo abstracto
(observando que el número de objetos tiene una posición dentro de la línea numérica).
La línea numérica mental permite el desarrollo del área de medida en niños y niñas de
0-3 años de edad que pueden reconocer la medida de los objetos con preguntas de
más grande, más pequeño, más largo o más corto, más o menos pesado, es decir,
utilizando los atributos de los objetos y aplicándolos a situaciones prácticas (armar
puentes largos o cortos, torres más anchas, etc.).
En niños y niñas de 3-6 años de edad se van introduciendo los conceptos de unidad y
las herramientas de medición, por ejemplo las reglas y los centímetros para medir
diferentes objetos. Los ejercicios de medida permiten desarrollar varias áreas del
aprendizaje. Por ejemplo, en el aspecto verbal se va manejando un mayor vocabulario
de atributos, relacionándolo con significado (mi papá es alto, mi mamá es pequeña,
etc.). También se utiliza la comparación entre objetos permitiendo el desarrollo de
conceptos que serán almacenados en la memoria.
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Estimación mental: el sistema del número aproximado
La habilidad para estimar o aproximar cantidades es heredada del pasado evolutivo. El
sistema del número aproximado es un sistema con el que los niños y niñas se
encuentran equipados, y que la educación puede utilizar, ya que es uno de los
instrumentos junto con la línea numérica mental con que cuenta el sentido numérico
para desarrollar un buen aprendizaje de las matemáticas.
El sistema de número aproximado permite intuir o deducir la cantidad de objetos en un
set determinado. Por ejemplo, los niños y niñas menores de tres años de edad pueden
identificar si un set de cinco objetos es más grande o más pequeño que un set de tres.
Contribuir al desarrollo del número aproximado en niños y niñas facilitará el aprendizaje
de las matemáticas, haciendo por ejemplo ejercicios con material concreto o con hojas
impresas comparando las cantidades de objetos, pidiendo que armen sets de objetos
donde las instrucciones especifiquen si los sets son más grandes o más pequeños, o
adicionando o quitando elementos a los sets armados para que los estudiantes
comprendan el aumento o la disminución, la suma o la resta.
Cimentar el sistema del número aproximado en los primeros grados de primaria
contribuye a un mejor aprendizaje de las matemáticas en niveles superiores. Es así que
el currículo de países del Primer Mundo promueve la enseñanza de la aproximación
como método inicial para la resolución de problemas. Antes de realizar una operación
por escrito se pide pensarla y aproximar la respuesta, contribuyendo a desarrollar las
áreas de medición, números y operaciones, visualización y análisis de datos. El sistema
de aproximación contribuye además a la comprensión de la cantidad.
Ya se ha visto que, si bien no es la única habilidad necesaria para el desarrollo de las
matemáticas, los niños y niñas con dificultades de aprendizaje de por vida en
matemáticas (que no hayan sido por impedimentos sensoriales o cognitivos) es porque
muestran alteraciones en el sistema de número aproximado.
El paso del entendimiento de un número aproximado a un número exacto es un acto
que depende de la educación. Contribuir a este aprendizaje requiere ayuda en las
rutinas de conteo. Desde el inicio de la escolaridad es necesario contar todo lo que se
encuentre en el ambiente. La estimulación visual, auditiva, la manipulación de objetos,
el juego de contar al caminar, enumerar al realizar actividades con los niños y niñas,
como por ejemplo al guardar los objetos, al ordenar, al ayudar a identificar sets con
diferente número de objetos, son actividades que contribuyen al desarrollo de la
aproximación. La transición desde la aproximación hacia la construcción de un número
exacto (con su símbolo), se fortalece con la ayuda de una rutina de conteo. Entender la
importancia de la aproximación y la habilidad de juzgar cantidades permite utilizarla en
el aula como estrategia de enseñanza de operaciones formales.
El procesamiento matemático utiliza el ya mencionado sistema de aproximación, que
contribuye al aprendizaje de la matemática sentando las bases para la comprensión de
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la cantidad y su posterior relación con los símbolos que representan los números
arábigos. El sistema de aproximación se desarrolla a través de ejercicios de conteo,
donde se vaya aumentando poco a poco más elementos u objetos para que los
estudiantes identifiquen si hay más o menos.
El uso del vocabulario de atributos de cantidad contribuye a desarrollar la habilidad de
la aproximación. Por ello, el docente puede aprovechar cualquier actividad en la que
utilice las expresiones relacionadas con la cantidad (mucho, poco). En estudiantes que
ya dominan la comprensión de cantidad es posible utilizar la aproximación para la
resolución de problemas, como por ejemplo al proponer problemas que puedan realizar
mentalmente descomponiendo los datos (120x16 es igual a 120x10 + 120x5 + 120),
utilizando las operaciones más conocidas para encontrar el resultado antes de escribirlo
o realizar la operación completa.
Subáreas
Además de estas tres áreas fundamentales, existen subáreas importantes para
diferentes aspectos de las matemáticas que ya se habían nombrado: procesamiento
secuencial y operaciones; geometría y espacio; medición; patrones; y representación
gráfica de datos. Estas subáreas están resumidas a continuación.
Procesamiento y operaciones
Para poder añadir, restar y seguir en el aprendizaje de operaciones más complejas, un
niño tiene primero que entender el orden secuencial y los procesos de las operaciones.
Por ejemplo, entender cantidades y operaciones de suma y resta se aprende a través
del conteo (contar añadiendo objetos), una secuencia básica en matemáticas. El
aprendizaje de las matemáticas se ve favorecido cuando al ingresar a la escuela se
utilizan los conocimientos previos en niños y niñas (como el sentido numérico que debe
ser firme antes de los tres años de edad). Por ello es importante la estimulación en el
hogar (o en centros de cuidado diario) para la comprensión de las diferencias de
cantidad en grupos de objetos, la relación de la cantidad de objetos con el número
arábigo que los representa, y la secuencia que sigue al aumentar los objetos. De tal
manera, que la planificación del aula debe contar con actividades que permitan
desarrollar habilidades relacionadas con el entendimiento de los números y las
secuencias.
El procesamiento numérico o la manera en que procesamos los números y las posibles
operaciones que los involucran influye en el aprendizaje de las matemáticas en
diferentes aspectos. El procesamiento numérico es una actividad que se emplea a lo
largo de la vida, por ello su aprendizaje y desarrollo forma parte del currículo. La
actividad de procesar números y cantidades es tan importante que nos permite guiar el
comportamiento y la toma de decisiones. El procesamiento numérico como parte de las
bases para el aprendizaje de la matemática involucra el desarrollo de las funciones
ejecutivas, conformada por atención, disciplina y autocontrol.
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El desarrollo de las funciones ejecutivas en niños y niñas es un trabajo conjunto entre el
hogar y la escuela. Los docentes conocen el tiempo que logran cautivar la atención de
sus estudiantes (desde 3 hasta 15 minutos, dependiendo de la edad); aumentar ese
tiempo es un ejercicio de constancia y de planificación. La atención se mantiene
planificando anticipadamente actividades interesantes, motivadoras y participativas. Por
ejemplo, para niños y niñas de preescolar, la manipulación, el diseño y el juego de
inventar historias sobre los objetos identificando y nombrando las figuras geométricas
permite aumentar los tiempos de concentración y desarrollar el área de geometría y
espacio.
La disciplina es un hábito que permite a los estudiantes (de todas las edades y a lo
largo de toda la vida) iniciar una tarea y terminarla. En el aprendizaje de la matemática,
la disciplina es de suma importancia y puede desarrollarse desde las edades más
tempranas. Algunos ejercicios para el desarrollo de la disciplina pueden ser la
clasificación de objetos; por ejemplo, pedir a los niños y niñas que separen cuentas de
colores en diferentes envases. Este ejercicio permite mantenerlos atentos para escoger
los colores (una sola actividad) y concentrados, para no confundirse. Promueve
asimismo la constancia y la disciplina porque implica terminar la actividad. La disciplina
se desarrolla gracias al autocontrol. Para fortalecer el autocontrol, los docentes deben
presentar reglas claras en todas las actividades que piensen realizar, y reforzarlas si no
las están cumpliendo. En el ejemplo anterior, los niños y niñas se mantienen en un solo
espacio, conversando, pero en la actividad de escoger no se levantan a pasear hasta
acabar de separar las cuentas, llevando la actividad hasta el final.
El procesamiento de operaciones y secuencias ordenadas involucra circuitos
neuronales muy complejos en el cerebro. Levine (2001) ha mostrado que entender el
orden de procesos está relacionado con conceptos temporales, porque es muy
probable que el tiempo sea una de las cosas menos flexibles en el orden mental. Como
los niños menores de cinco años rara vez entienden el tiempo, el entrenamiento de la
comprensión de operaciones es una proceso que demora años en concretarse dentro
del espectro de destrezas de un niño. Para facilitar este proceso, un docente tiene que
tomar en consideración que está involucrando no solo el sentido numérico, la línea
mental de números y los sistemas, sino también circuitos relacionados con el tiempo
para lograr el orden correcto.
Geometría y espacio
Los seres humanos comienzan la vida conociendo el mundo a través del movimiento. El
espacio y la autoconceptualización dentro del espacio es uno de los primeros
aprendizajes adquiridos por un infante en su proceso de acercar objetos o personas. Un
aspecto fundamental en habilidades matemáticas nace del poder entender el espacio
alrededor de uno. Desde edades tempranas, los niños aprenden sobre formas, sus
diferentes posiciones, relaciones espaciales y las distintas figuras que pueden surgir al
utilizarlas. El aprendizaje de las matemáticas comprende manejar las figuras
geométricas, las formas y la ubicación espacial.
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Por ello, cuando en la escuela primaria se realizan ejercicios que pretenden desarrollar
habilidades espaciales, (por ejemplo, los trabajos dados por los docentes en dibujo y
arte les permiten identificar si los estudiantes han logrado entender las diferencias de
dos y tres dimensiones, el tamaño y proporción de los objetos) se contribuye a mejorar
las destrezas que permiten el logro en matemáticas. Las destrezas aprendidas por
medio del dibujo servirán para armar objetos, diseñar y comprender mapas de
ubicación y, posteriormente, resolver problemas que incluyan gráficos en el plano
cartesiano.
Los circuitos neuronales relacionados con el entendimiento del espacio son complejos
porque las diferentes partes del cuerpo se relacionan con diferentes comprensiones del
espacio, y están representadas en diferentes circuitos neuronales en el cerebro. Por
ejemplo, el sentido del tacto al presionar un objeto puede ser no solo un indicador de
temperatura y forma, sino también de peso y volumen. Al tocar algo con la mano,
diferentes redes neuronales reaccionan en el cerebro, que si se tocara con los labios o
con los pies. En el entendimiento de las formas geométricas no solo hay una relación
con el tamaño y el volumen, sino que también involucra un entendimiento de relaciones
semánticas y conceptuales. Comprender que un cubo es un cubo, independientemente
de su color o tamaño, es un reto para muchos niños pequeños porque les falta poder
esquematizar “cubo” a más dimensiones.
Para ayudar a un niño a desarrollar destrezas de espacio y geometría, un docente debe
entender que el uso de una variedad de materiales es uno de los mejores aliados en
este proceso. Mostrar un cubo en una o dos formas no es igual de eficiente que mostrar
un cubo en 10 o 20 formas; y mostrar no es igual que pedirle al niño hacerlo él mismo.
Y pedir que el niño dibuje esto debe ser seguido de experiencias tridimensionales de las
mismas formas (como ver una pelota o un dado). Cada uno de estos pasos tiene que
ser ejecutado en el orden (constructivismo) y en la edad apropiada (etapas de
desarrollo) correctos.
Medición
Muy ligado a la posibilidad de estimar cantidades y su relación a objetos similares es la
capacidad de medir o contar unidades. La medida es un indicador del tamaño de los
objetos y las distancias. Para un buen aprendizaje de las matemáticas, los niños y niñas
aprenden inicialmente a reconocer las diferencias de medida a través de los atributos
de los objetos (tamaño, peso, cantidad, tiempo, espacio, distancias, entre otros). Al
avanzar en este aprendizaje, los atributos de los objetos son reemplazados por las
diferentes unidades de medida.
Una actividad común en las aulas es medir la estatura de los niños. Esto puede ayudar
en forma significativa, porque el entendimiento del espacio más cercano a un niño es su
propio cuerpo. Medir el tamaño del pie, de la mano, la distancia entre los ojos, así como
otras partes del cuerpo sirve para relacionar algo conocido (el cuerpo) con algo nuevo
(el concepto de medición).
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De igual forma, el docente puede pedir a los estudiantes contar el número de letras de
sus nombres y compararlos con los de los compañeros (¿quién tiene el nombre más
largo?). En el recreo, el docente puede combinar medición con ejercicio físico. ¿Cuánto
(qué distancia) saltó Pepito? ¿cuántos goles marcó María? ¿quién pesa más en la
clase? O en un ejercicio de clase se puede pedir a los estudiantes que calculen cuánto
tiempo se demoran en llegar a la escuela (no necesariamente por reloj, sino una
estimación de su propio reloj interno).
Además de las actividades obvias, hay otras actividades que introducen conceptos más
avanzados en matemáticas que deben ser considerados en las clases de niños
preescolares. Por ejemplo, la clase puede cocinar algo entre todos y medir cantidades y
volumen (aunque las fracciones y el volumen son más complejos, la introducción
temprana de estos conceptos es importante en la escolaridad de los niños). Se puede
combinar la práctica de medición en casi toda actividad. Por ejemplo, en la clase de
música se puede introducir el concepto de ondas de sonido midiendo su longitud.
La medición es una función compleja en el cerebro porque, así como la geometría, tiene
varias dimensiones. Poder medir una distancia es diferente en el cerebro a medir peso
o tiempo. Esto significa que en el aula, el profesor tiene que trabajar varias dimensiones
a la vez para poder dominar esta subárea de la medida. Si el docente genera
actividades que trabajen cada subdominio de medición (tamaño, peso, cantidad,
tiempo, espacio, distancia, volumen, ondas), se puede asegurar una buena base de
conceptos matemáticos.
Entender la medición y los aprendizajes asociados contribuye a encaminar a los
estudiantes a comprender la resolución de problemas matemáticos, así como las
diferentes vías de resolución de ejercicios desde el nivel más simple de aritmética hasta
el cálculo (en niveles superiores).
Patrones
El cerebro humano está preprogramado para identificar patrones y novedades porque
éstos ayudan en la sobrevivencia. Al entender cómo algo es parecido o diferente es
fundamental en el aprendizaje del entorno. Los patrones representan la forma lúdica de
aprender la secuencia. Seguir patrones es una tarea que aparenta simpleza pero en
realidad contribuye al desarrollo de diferentes habilidades en niños y niñas. Identificar y
continuar con patrones de repetición es un ejercicio que puede realizarse con material
concreto inicialmente, ya que contribuye a entender cómo un número aumenta al
aumentar la cantidad de objetos que lo representa. Los ejercicios con patrones permiten
adentrar al estudiante a las generalizaciones.
Por lo tanto, el manejo de patrones favorecerá el aprendizaje de las matemáticas
porque ayuda a entender cómo aumenta y disminuye la cantidad, y porque a través de
ellas se pueden generalizar conceptos para todas las cantidades: por ejemplo, cuando
se suma cero a cualquier cantidad, seguirá siendo la misma cantidad. Los docentes
pueden emplear la enseñanza de patrones como un juego con sus estudiantes a través
de material concreto y luego con ejercicios escritos.
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En la clase, las actividades de clasificación y categorización son importantes para
desarrollar destrezas de identificación de patrones. Un ejercicio fácil de diseñar y que
es clave en el desarrollo de procesos matemáticos en el futuro, se relaciona con un
ejercicio de pensamiento crítico que pide que grupos pequeños de niños clasifiquen
animales. Puesto que hay diversas maneras de clasificar animales (con cola o no; los
que comen carne o no; los que vuelan/nadan o no; los que viven en la selva/finca/casa
o no; los que son pequeños o grandes, entre otras opciones) los niños tienen que
justificar su selección frente a sus compañeros. Al articular el racionamiento por su
categorización, el niño está desarrollando la metacognición sobre su propio proceso de
pensar.
Después de la clasificación, el docente puede preguntar a los niños sobre los patrones
identificados. Por ejemplo, ¿hay algo especial de los dientes de los animales que
comen carne? ¿Qué tienen todos los animales que pueden volar? El proceso de
clasificar y generalizar características fortalece el hábito de observación de los niños y
estimula su proceso de reconocer patrones. Una vez dominado este ejercicio básico, el
docente puede hacer la misma cosa con formas y símbolos (ej.: ¿Qué patrón hay en las
características de los triángulos? ¿Qué tienen en común todos los números menores de
10?).
Al dominar la clasificación y patrones en objetos diarios, formas y algunos símbolos, el
docente puede trabajar en patrones menos tangibles, como patrones de
comportamiento. Esto ayuda a un niño a empezar a identificar “lo normal” (el patrón) de
lo diferente (la novedad).
Los circuitos neuronales en el cerebro relacionados con patrones están muy
relacionados con el sistema de memoria: no se puede identificar patrones si no se
recuerda lo que es normal de lo que es diferente. Al fortalecer el reconocimiento de
patrones, el docente está estimulando sistemas de memoria. Esta estimulación sirve no
solo para el reconcomiendo de patrones, sino para otros atributos relacionados con las
funciones ejecutivas.
Representación gráfica de datos
La visualización y análisis de datos se encarga de distribuir los datos obtenidos en una
representación numérica como barras y gráficos que permiten contar el número de
unidades de cada grupo. Visualizar los datos de un problema a través de
representaciones numéricas contribuye al aprendizaje de la matemática, orientando a
niños y niñas a organizar, seleccionar y asociar datos para solucionar problemas
planteados.
Además, la visualización y análisis de datos contribuyen a desarrollar procesos
inductivos y deductivos que se utilizarán en la resolución de problemas a lo largo de
toda la escolaridad y estudios universitarios. La enseñanza de las matemáticas debe
ejercitar a los estudiantes desde los primeros años en la comprensión de las pistas que
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entregan los datos en tablas, barras de gráficos estadísticos y gráficos de unión y
dispersión de puntos.
Una de las primeras introducciones al concepto de representación gráfica viene con el
entendimiento del sistema numérico y su representación simbólica. Como se mencionó
en la descripción del Modelo de Código Triple, es la habilidad de generalizar un mismo
concepto con diferentes símbolos. Reconocer que 3 es equivalente a “tres” o
equivalente a ●●● es una habilidad básica para el aprendizaje de las matemáticas. Al
dibujar “2+2=4” en la forma “+ = ” el niño empieza a entender que el
mismo concepto (“dos” en este caso) puede tener varias representaciones a través de
dibujos, objetos u otras formas. El docente que toma el tiempo de ofrecer varios
ejemplos de la representación del mismo concepto numérico en varias formas, fortalece
las posibilidades de éxito en el campo matemático en el futuro. Por ejemplo, el docente
no solo debe enseñar “2+2=4” y “+ = ”, sino que debe pedir que los niños
muestren su propio gráfico del mismo concepto. Esto puede tomar la forma de dos
frutas más dos frutas, y un dibujo de su familia (dos adultos, dos niños), o de autos,
perros, o cualquier otro objeto. Para reforzar esto, el docente puede cambiar los
materiales e introducir plastilina, “palitos” o pintura, y pedir que el niño muestre el
mismo concepto a través de otros medios. Al repetir la enseñanza a través de
diferentes modalidades, el docente está fortaleciendo diferentes redes neurales en el
cerebro, lo cual facilita la recolección en el futuro.
El sistema gráfico en el cerebro es difícil de identificar porque involucra tantas
diferentes áreas del cerebro dependiendo del medio usado y el concepto tratado. La
clave en la enseñanza de representación gráfica está, otra vez, en la variedad de
formas que puede tomar. Entre más alta la cantidad de veces con la mayor variedad de
medios que un docente puede introducir la conceptualización de 2+2=4, mejor.
El planteamiento y la resolución de problemas en matemáticas encuentran una
herramienta de trabajo muy útil en la representación gráfica. Inicialmente, los niños y
niñas aprenden las nociones de tamaño, profundidad, perspectiva y dimensión
dibujando su entorno; por ejemplo, al realizar el retrato familiar, el papá suele ser el más
grande, la mamá un poco más pequeña, pero más grande que el niño o niña y sus
hermanos. Las nociones utilizadas y entendidas por medio del dibujo son la base que
permiten desarrollar habilidades gráficas en niveles superiores.
Las habilidades gráficas utilizadas a nivel superior sirven para plantear y resolver, y
facilitan el aprendizaje de la matemática, si es que los estudiantes ya las manejan y
comprenden. Además, las habilidades gráficas contribuyen al aprendizaje de las
matemáticas al relacionar las representaciones gráficas de los números y las
cantidades que los representan.
Los docentes pueden contribuir al desarrollo de esta habilidad a través de ejercicios de
cotejar el número con la cantidad que la represente por medio de diferentes objetos,
utilizar una línea numérica física (puede ser en el piso o alrededor del aula) para ubicar
objetos de forma correspondiente (en el 2 colocar dos objetos), proporcionar a niños y
niñas plantillas con cada número dibujado en la mayor parte de la hoja para repasarlo
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con diferentes colores, utilizando el resto de la hoja para graficar la cantidad (con
objetos y marcando los bloques que representan el número), y escribir el número en
letras. Ejercicios como estos involucran habilidades gráficas, creatividad, identificación
de cantidad, e identificación de número en código alfabético (Tobar, 2013).
Consideraciones globales en el aprendizaje
Además de estas subáreas de matemática, cabe recalcar la importancia de algunos
aspectos que están relacionados a todo tipo de aprendizaje. Se ha dicho que los dos
procesos importantes para todo aprendizaje son: atención y memoria (TokuhamaEspinosa, 2011).
La atención es un ejercicio que debe ser desarrollado por los docentes. En la práctica,
los maestros conocen cuál es el tiempo de atención de sus estudiantes. Los estudios
refieren que el rango de atención es entre 10 y 20 minutos, por lo que en el aula la
atención se desarrolla al cambiar el enfoque de la persona, tópico o espacio físico en
ese mismo rango de tiempo (de 10-20 minutos) (Tokuhama-Espinosa, 2012). Asimismo,
el profesor debe tratar de crear ambientes de aprendizaje que tengan orden lógico,
sentido y significado en la vida de los estudiantes.
La atención se focaliza en aquello que es interesante, importante y tiene valor de
supervivencia, personal o emocional, para quien recibe la información. También el
docente debe recordar el Efecto de Primacía, aquel que evidencia que los estudiantes
recuerdan mejor lo que sucede primero y al final de la clase, y recuerdan menos lo que
sucede a la mitad (Tokuhama-Espinosa, 2012). Los docentes deben utilizar los
momentos de mayor atención al principio y final de la clase, dando la información más
importante y/o en retroalimentar lo aprendido antes, dejando los momentos de la mitad
de la clase para realizar actividades enfocadas en los alumnos y mantener su atención
(Tokuhama-Espinosa, 2012).
Cabe recalcar que si bien es cierto que la memoria y la atención son habilidades
fundamentales para el aprendizaje en general, desarrollar la memoria sin razonamiento
y sin pensamiento crítico es simple repetición de contenidos y no aprendizaje. El
aprendizaje de la matemática requiere el almacenaje de una gran cantidad de
contenidos conceptuales, procedimientos y estrategias de resolución de problemas que
deben ir acompañados de ejercicios para aprender a razonar, juzgar información y
enlazar los conceptos con los problemas planteados.
Por otro lado, seleccionar la estrategia más adecuada, y tal vez la más simple, para
resolver un problema depende del razonamiento que tenga el estudiante, de su
habilidad de juzgar los datos que le han proporcionado, y de la capacidad de unir sus
conocimientos para resolverlo. Por ejemplo, los docentes pueden presentar situaciones
cotidianas de manejo de dinero (tienda, mercado para los más pequeños y mercado de
acciones y bolsa de valores para los más grandes) para enseñar bajo una situación real
las diferentes operaciones matemáticas, ganancia, pérdida, inversión, entre otros
conceptos. Actividades como la sugerida pueden aprovecharse para incluir tanto
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contenidos curriculares como destrezas y habilidades como razonamiento y
pensamiento crítico.
Tanto la habilidad de retener información en la memoria como el almacenamiento de
información y procedimientos de conceptos para el aprendizaje de la matemática, son
habilidades basadas en la dupla atención y memoria. Estas habilidades que utiliza la
memoria son importantes para el presente estudio debido a que el almacenamiento de
información, desde las etapas iniciales, permite realizar los enlaces teórico-prácticos
que la matemática demanda. La información almacenada en los sistemas de memoria
es necesaria para el desarrollo del sentido numérico y del Modelo de Código Triple
inicialmente.
La memoria de trabajo es importante para aprender y tiene un papel crucial en el
aprendizaje de los números (en sus distintas representaciones), y en el
almacenamiento de conceptos, procedimientos, ideas y su recuperación. La memoria
debe ejercitarse en todas las edades. Para contribuir a su desarrollo en niños pequeños
se pueden promover ejercicios de conteo al caminar que permiten grabarse los
nombres de los números, ejercicios de patrones que permitan visualizar el patrón
mentalmente y escoger cómo continúa, tareas de repetición como con la canción un
tren va cargado de…., juegos de memoria con cartillas, o aprendizaje de trabalenguas
que pueden incluir números.
Este tipo de ejercicios contribuyen también al desarrollo de las áreas conceptuales de
números y operaciones, patrones y álgebra. El aprendizaje de las matemáticas utiliza la
memoria para la resolución de problemas y para el cálculo de operaciones; así, los
estudiantes recuperan la información almacenada y escogen la mejor para cada una
entre las estrategias de solución que tienen en la memoria.
El factor docente
Este estudio se enfoca en los procesos mentales durante el aprendizaje de las
matemáticas, pero el aprendizaje de todos estos procesos depende de la calidad y
conocimiento del docente. El aprendizaje de las matemáticas es un complejo sistema
compuesto por los factores expuestos en la revisión de la literatura y el análisis del
presente estado del arte. Para enseñar matemáticas, el docente debe dominar los
contenidos de la materia y atender cada factor específicamente; dejar de lado
cualquiera de ellos repercutirá en un aprendizaje inadecuado de las matemáticas,
pudiendo inhabilitar al estudiante de adquirir contenidos más avanzados.
Adicionalmente, la habilidad del docente para enseñar, motivar y detectar posibles
problemas en la adquisición de los aprendizajes influye en el logro de los estudiantes.
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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Respuestas a las preguntas de investigación
El presente estado del arte se había planteado tres preguntas de investigación que
permitan aclarar la edad en que se alcanza el procesamiento matemático, si existe una
sola manera de medirlo, y si es posible realizar recomendaciones sobre intervenciones
que contribuyan al aprendizaje de la matemática desde la mirada de la ciencia de MCE.
De la investigación realizada se desprende lo siguiente.
¿Hay una edad para alcanzar el procesamiento matemático?
La adquisición del procesamiento matemático no está condicionada a una edad
determinada. A pesar de ello, la ciencia de MCE presenta evidencia sobre varios
aspectos importantes que influyen en la identificación de períodos más efectivos para el
aprendizaje de la matemática y sus diferentes procesos, y la importancia de las edades
preescolares (0 a 6 años).
La etapa preverbal del niño que corresponde al sentido numérico primario y que ocurre
en la mayoría de los niños entre 0-3 años, parece ser fundamental en la construcción
de conocimientos matemáticos. En esta etapa el niño define su comprensión de la
cantidad con una correlación verbal de la misma.
El desarrollo del sistema del sentido numérico secundario entre 3-6 años en la etapa
verbal también parece ser importante para futuros aprendizajes en el campo
matemático. Se puede decir que, aunque las destrezas matemáticas son naturales en
los seres humanos (Butterworth, 1999), es la plasticidad cerebral o la capacidad del
cerebro de modificarse a través de la estimulación recibida, lo que permite la
construcción de conexiones cerebrales para fortalecer los fundamentos matemáticos en
los niños pequeños. El sistema numérico aproximado, refinado con la introducción de
símbolos se desarrolla en esta etapa, y el proceso puede ser mejorado por un docente
experimentado a través de una variedad y selección de actividades apropiadas.
Aunque parece que el cerebro está por disposición evolutiva listo para la
conceptualización de aspectos básicos de matemáticas a esta edad, no se puede surgir
sin la guía específica de un docente o un cuidador. La enseñanza explícita de
conceptos como el procesamiento y las operaciones, la geometría y el espacio, la
medición, los patrones y la representación gráfica de los datos, son necesarios a esta
edad.
La estimulación permanente (dentro y fuera de la escuela), así como la exposición a
niños y niñas desde las edades más tempranas a situaciones de aprendizaje que les
permitan el desarrollo de estos sistemas matemáticos, ayudarán a formar el andamiaje
necesario para los futuros aprendizajes.
66
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
Rivera Bilbao
Ya se había precisado en el presente estudio que la transición desde la aproximación
hasta la construcción de un número exacto (con su símbolo), ocurre lentamente desde
los dos años y medio hasta los cuatro años (Dehaene, 2010) con ayuda de una rutina
de conteo.
Figura 25. Bloques de Cuisenaire Rods y la correspondencia de colores
Fuente: Gattegno & Cuisenaire, 1954, Numbers in colours
Luego de acostumbrar a niños y niñas a jugar con el material, armar casas, mapas en la
mesa, caminos, entre otras actividades, los docentes pueden realizar ejercicios de
aproximación comparando el tamaño de los diferentes bloques (Gattegno & Cuisenaire,
1954).
Este tipo de ejercicios son parte de la rutina de aprendizaje de aprestamiento a la
matemática, y depende de cada niño y niña el tiempo que necesite para interiorizar la
mecánica del juego de comparación y relación de cada bloque con un número. Los
ejercicios con el material cuisenaire rods se trabajan paralelamente a las tareas de
reconocimiento del modelo de código triple.
Es común que los niños logren memorizar una serie sin comprender la serie. Por
ejemplo, niños y niñas pueden memorizar las palabras que representan los números, es
decir uno, dos, tres, etc., sin saber lo que la palabra significa ni qué cantidad
representa. Se debe enseñar entonces que el número arábigo 1 representa una
cantidad determinada. Además, el docente debe incluir el razonamiento y a pensar de
manera crítica. Por ejemplo, al realizar ejercicios de aproximación con material concreto
como el cuisenaire rods, puede presentar situaciones que lleven a inferir (¿será que
tres amarillos entran en uno café?), lo cual llevaría más allá en la enseñanza de la
matemática.
67
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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Rivera Bilbao
El aprendizaje de las matemáticas es un proceso continuo que puede iniciarse desde
los primeros meses de vida, (mientras más pronto mejor), desarrollándose tanto en
centros de cuidado diario y estimulación temprana y en la escuela, como con los padres
y madres de familia, con instrumentos cotidianos y accesibles, creando vínculos de
relación, de afecto y aprendizaje.
La literatura no demuestra estudios indicando o sugiriendo un periodo crítico para el
aprendizaje de matemáticas. Se puede ver por los estudios de desarrollo cognitivo de
Piaget y Vygotsky que hay etapas sensibles para ciertos aspectos del lenguaje, pero no
existen iguales indicaciones para las matemáticas. Lo que sí se puede confirmar es que
el desarrollo de destrezas y prácticas en conceptos matemáticos de un niño en los
primeros seis años de vida depende mucho de la calidad de contacto que él o ella
tendrá en contextos escolares. Los niños que tengan mayor contacto con materiales
didácticos y actividades que varíen la presentación de conceptos y los diferentes
niveles de profundidad tales como el orden, la forma y los símbolos de matemáticas,
tendrán más éxito que los niños que no tengan ese contacto.
¿Es posible medir el procesamiento inicial matemático?
En ciencia es posible medirlo todo, pero en procesos mentales esto se complica por la
falta de tecnología que permita la visualización del cerebro en el momento del
aprendizaje sin un costo elevado. No obstante, es posible establecer ciertos parámetros
de medida en todo proceso de aprendizaje. Para medir las habilidades de aprendizaje
en los estudiantes se deben tomar en cuenta las diferencias individuales y su ritmo de
aprendizaje que implican, en tests previos y posteriores del individuo.
En el caso concreto del procesamiento inicial matemático es posible que se pueda
medir el logro de las competencias propuestas en cada área de contenido definidas
para su aprendizaje, a través de las cinco subáreas básicas del aprendizaje de
conceptos. La tabla 4 ilustra un ejemplo de ello.
Tabla 4. Áreas de contenido para el aprendizaje de las matemáticas y su posible
medición
Aprendiendo caminos y enseñando estrategias en matemáticas tempranas
Ejemplos de logro típicos de 3-6 años y enseñanza de estrategias para promoverlas
La base de investigación para dibujar una imagen para el desarrollo matemático para niños varía considerablemente de un área
de las matemáticas a otra. Esbozar un camino de aprendizaje, por otra parte, no quiere decir que podamos predecir con
confianza que un niño de una determinada edad desarrollará sus habilidades en esa secuencia. Variación en el desarrollo es la
norma, no la excepción. Sin embargo, los niños tienden a seguir secuencias similares o rutas de aprendizaje a medida que van
creciendo. Este gráfico ilustra en cada área algunas de las cosas que muchos niños saben y hacen –de forma temprana y
tardía– en el grupo de edad 3-6. Estos son simplemente dos puntos a lo largo del itinerario de aprendizaje que pueden tener
muchos pasos intermedios. Para cada área de contenido, las estrategias de enseñanza muestran algunas de las muchas
acciones del profesor que promueven el aprendizaje, cuando se utilizan dentro de un contexto del aula que recoge las
recomendaciones establecidas en esta declaración de posición. En general, son estrategias útiles con pequeñas adaptaciones, a
lo largo de todos los rangos de edad.
68
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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Contenido
del área
Ejemplos típicos de conocimiento y
habilidad
Desde los 3 años
Contar un grupo de uno
a cuatro elementos e
iniciar el entendimiento
de la última palabra de
conteo: “cuántos”
Muestra de estrategias
de enseñanza
Ejemplo de indicadores
aceptables para medir
la competencia
Modelos de conteo de
pequeños grupos de
elementos y guiar a los
niños y niñas a contar en
toda situación diaria,
enfatizando el uso de una
palabra de conteo para
cada objeto, por ejemplo:
El niño o niña recita los
números inicialmente del
uno al cuatro, y
posteriormente del uno al
diez.
Hasta los 6 años
Contar y producir
(descontar)
grupos de objetos
mayores a 100
usando grupos de
10.
♥
♥
♥
“uno…dos…tres…”
Modelos de conteo de 10
en 10 (ejemplo: 10, 20,
30…. o 14, 24, 34…).
Número y
operación
El niño o niña señala los
números que le pide el
maestro en la línea
numérica en orden
secuencial.
El niño o niña es capaz
de retener en la memoria
la cantidad que
representa cada número.
El niño o niña es capaz
de identificar las
relaciones de la cantidad
con los símbolos que la
representan.
El niño o niña es capaz
de identificar la posición
de los números en la
línea numérica.
El niño o niña es capaz
de memorizar la posición
de los números en la
línea numérica mental.
El niño o niña es capaz
de realizar
comparaciones entre los
números.
Rápidamente “mirar” y
etiquetar grupos de uno
a tres elementos con un
número.
Rápidamente
“mirar” y etiquetar
con el número
correcto
colecciones con
“patrones”
(ejemplo:
dominós) y sin
patrones de por lo
Se da a niños y niñas un
breve vistazo (un par de
segundos) de un pequeño
grupo de artículos y se
les pregunta cuántos hay.
El niño o niña es capaz
de identificar un grupo de
objetos, inicialmente de
hasta cuatro objetos, y
posteriormente de hasta
diez objetos.
El niño o niña es capaz
de relacionar un set de
69
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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menos seis
elementos.
objetos determinado con
el símbolo arábigo que le
corresponde.
El niño o niña es capaz
de recontar siguiendo al
maestro.
El niño o niña es capaz
de recontar solo.
Sumas y restas no
verbales cuando son
pocos elementos. Por
ejemplo, cuando se tiene
un balón y se coloca otro
dentro de una caja, se
espera que la caja
contenga dos balones.
Sumas y restas
usando el
recuento basado
en estrategias
como contar
(añadiendo 3 a 5,
dice "cinco. . .,
seis, siete, ocho
"), cuando los
números y los
totales no van
más allá de 10.
Contar a niños y niñas
historias reales que
involucren números y
problemas con números.
Realizar preguntas de
“cuántos hay” (por
ejemplo, ¿cuántos
dejamos?, ¿cuántos hay
ahora?, ¿con cuántos
iniciamos?, ¿cuántos
añadimos?).
Mostrar a los niños y
niñas el uso de objetos,
dedos, conteo,
adivinanza, y revisando la
solución de los problemas
planteados.
El niño o niña es capaz
de identificar y reconocer
el aumento y disminución
de objetos en un set.
El niño o niña es capaz
de hacer y reconocer un
set de hasta diez objetos.
El niño o niña comprende
y utiliza los adverbios de
cantidad (cuántos, pocos,
muchos).
El niño o niña resuelve
problemas relacionando
diferentes objetos con los
números arábigos, en
sets de hasta diez
elementos.
El niño o niña utiliza
objetos para la resolución
de problemas
matemáticos.
El niño o niña soluciona
problemas matemáticos
utilizando el conteo.
Inicia con unir y nombrar
figuras 2D y 3D, primero
del mismo tamaño y
orientación, luego figuras
de diferente tamaño y
orientación (por ejemplo
un triángulo grande al
lado de uno pequeño).
Geometría y
Reconocer y
nombrar una
variedad de
figuras en 2D y
3D (por ejemplo:
cuadriláteros,
trapezoides,
rombos,
hexágonos,
esferas, cubos.)
Presentar y etiquetar una
amplia variedad de
formas (por ejemplo,
triángulos delgados y
gordos, rectángulos,
prismas) que se
encuentran en una
variedad de posiciones
(por ejemplo, un
cuadrado o un triángulo
El niño o niña identifica
las figuras geométricas.
El niño o niña diferencia
el tamaño y la forma entre
las figuras geométricas.
El niño o niña identifica
posiciones y la ubicación
de sí mismo y de los
70
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
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en cualquier
orientación.
espacio
Describir las
características
básicas de las
formas (por
ejemplo, número
de lados o
ángulos).
Usar formas separadas
para crear una figura:
Describir la localización
de objetos con palabras
que indiquen lugar
espacial, es decir, debajo
y detrás. Construir
mapas simples pero con
significado utilizando
juguetes como casas,
autos y árboles.
Reconocer y etiquetar
medidas de los objetos
(Necesito una cadena
larga; ¿está pesada?).
Empiezar a comparar y
clasificar de acuerdo con
estos atributos:
Medición
más /menos,
pesado/ligero.
(Este bloque es
demasiado corto para ser
Hacer una figura
combinando
formas.
Construir, dibujar
y seguir mapas
simples de
lugares
conocidos, tanto
en la clase como
en el patio de
juegos.
Llevar a cabo
diversos procesos
y unidades para la
medición y
comenzar a
anotar diferentes
resultados de un
método u otro
(por ejemplo,
¿qué sucede
cuando no
usamos la misma
unidad
de pie en una esquina, un
cilindro "de pie arriba" u
horizontal).
Involucrar a los niños en
la construcción de
formas, hablando de sus
características.
Animar a niños y niñas a
realizar dibujos o modelos
de objetos familiares
usando figuras de
bloques, formas de papel
u otros materiales.
Animar a los niños y
niñas a hacer y hablar
sobre modelos armados
con bloques y otros
juguetes parecidos.
objetos.
El niño o niña reconoce
las diferentes figuras
geométricas contenidas
en un dibujo o modelo
armado.
El niño o niña utiliza
figuras geométricas para
diseñar objetos familiares.
El niño o niña arma
modelos con bloques y
figuras geométricas.
El niño o niña es capaz
de ubicar y colocar
objetos en diferentes
puntos.
Retar a niños y niñas a
marcar un camino desde
la mesa hasta el basurero
con cinta adhesiva, luego
dibujar un mapa del
camino añadiendo dibujos
y objetos que aparezcan
a lo largo del camino,
como un borrador o una
mesa.
El niño o niña es capaz
de orientarse en relación
a objetos.
Utilizar la comparación de
palabras para modelar y
discutir sobre las
medidas: (éste se siente
más pesado que el
bloque. Me pregunto si
esta torre es más alta que
el escritorio).
El niño o niña identifica
los atributos de medida
de diferentes objetos.
Usar y crear situaciones
que enfoquen la atención
de los niños y niñas al
problema de medida
El niño o niñas es capaz
de caminar a lo largo y
ancho de espacios
delimitados.
El niño o niña establece
las relaciones espaciales
entre objetos y personas.
El niño o niña identifica
las unidades de medida
aprendidas.
El niño o niña utiliza
apropiadamente los
instrumentos de medida.
El niño o niña mide
diferentes objetos con los
71
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
Rivera Bilbao
el puente).
estándar?).
Hacer uso de
herramientas de
medición no
estándar o utilizar
herramientas
convencionales
tales como una
taza o formas no
estándar (por
ejemplo, tres
reglas de largo).
Notar y copiar simples
patrones de repetición,
como una pared de
bloques como largo,
corto, largo, corto, largo,
corto….
Patrones /
álgebra
Ordenar los objetos,
contarlos y comparar los
grupos formados.
Visualización
y análisis de
datos
Ayudar a hacer gráficas
sencillas (por ejemplo, un
pictograma formado
como cada niño y niña
coloca su propia foto en
la fila indicando su
preferencia, probando
galletas o pretzels).
Notar y discutir
patrones
aritméticos (por
ejemplo, sumar 1
a todo número,
dando resultado
el siguiente
número cardinal).
Organizar y
visualizar datos a
lo largo de una
representación
numérica, como
barras de gráficos
y contar el
número de cada
grupo.
utilizando dos unidades
diferentes ( por ejemplo:
haciendo filas de cuatro
pares de zapatos en el
patio, primero usando los
zapatos de la profesora y
luego de los niños y
niñas).
instrumentos de medida.
Proponer modelos y
discutir patrones (por
ejemplo, ¿qué falta? ¿por
qué? ¿Crees que es un
patrón? (Necesito uno
azul en el siguiente).
El niño o niña identifica y
completa patrones con
objetos concretos y en
hojas de trabajo.
Involucrar a los niños en
la búsqueda del color y
formar patrones en el
ambiente de clase,
patrones numéricos y
calendarios gráficos (por
ejemplo, con los mismos
números de 1-100),
patrones en aritmética
(por ejemplo, reconocer el
cero cuando se añade a
un número, la suma es
siempre ese número).
Invitar a niños y niñas a
ordenar y organizar
colecciones de objetos de
diferentes materiales por
color, tamaño, forma, etc.
Preguntarles cuál de los
grupos tiene más o
menos objetos.
Utilizar la palabra “no”
como parte del lenguaje
que ayude a los niños a
analizar los datos (por
ejemplo, todos estos
objetos son rojos y estos
El niño o niña utiliza
atributos de medida para
comparar diferentes
objetos.
El niño o niña utiliza el
aprendizaje de la medida
de objetos y distancias
entre los objetos en la
resolución de problemas
de la vida diaria.
El niño o niña crea
patrones con objetos y en
hojas de trabajo.
El niño o niña arma
patrones con objetos
concretos.
El niño o niña relaciona
patrones para encontrar
generalizaciones.
El niño o niña es capaz
de clasificar objetos para
contarlos.
El niño o niña es capaz
de contar un set de
objetos.
El niño o niña compara
sets de objetos.
El niño o niña dibuja
pictogramas de patrones
o series de hasta 10
objetos.
72
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
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no son rojos).
Funciona hacer con los
niños y niñas sencillos
resúmenes numéricos
tales como tablas y
gráficos de barras,
comparando las partes de
los datos.
Fuente: Indicadores generados por la autora. Basado en imagen original descargada de
oldweb.naeyc.org/about/positions/pdf/mathchart.pdf (traducido por autora) combinado con UNICEFMinisterio de Educación de Venezuela, Educación Inicial Procesos Matemáticos, (2005), Imagen original
descargada de http://www.unicef.org/venezuela/spanish/educini6.pdf.
El procesamiento matemático se puede medir atendiendo las diferentes subáreas
básicas del aprendizaje de las matemáticas, tal como sugiere cada intervención en el
presente estado del arte. Medir el aprendizaje de las matemáticas en niños y niñas de
primer grado y/o en cursos preparatorios para el primer grado debe realizarse de
manera continua. La continuidad en la medición permite corregir debilidades y reforzar
conocimientos sobre la marcha, sin llegar a perjudicar el aprendizaje de conceptos más
complejos.
Se recomienda que la medición para el aprendizaje de las matemáticas basada en las
subáreas de aprendizaje se haga de manera conjunta, es decir, los ejercicios y
problemas planteados deben tratar de medir más de un área a la vez. Por ejemplo, un
instrumento de medición puede contener: (a) identificación oral de números donde se
pueda interactuar con niños y niñas para que digan el nombre del número que el
docente señala, o digan el número que el docente señala, o digan el número cuando se
señala un set de objetos; (b) identificación escrita de números donde se realicen los
mismos ejercicios pero equiparando las respuestas de la hoja de ejercicios; (c)
identificación de patrones donde deben continuar y crear patrones (Tobar, 2013). Con el
tipo de ejercicios descritos en este párrafo se logra medir las subáreas de número y
operación, patrones y medida.
El planteamiento de problemas como sistema de medida para niños y niñas de primer
año de educación básica puede realizarse involucrando material tangible y
complementando con ejercicios propuestos por alguno de los programas sugeridos en
el presente estado del arte. Por ejemplo, se puede medir la comprensión de la
aproximación planteando preguntas mientras se utiliza el material cuisenaire rods, y
realizar preguntas que permitan identificar, seleccionar e inferir a través del uso del
material.
¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a mejorar el
pensamiento inicial matemático?
73
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
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Hay algunos programas de intervención sobre la enseñanza de matemáticas en edades
tempranas que merece ser considerado por el gobierno de Costa Rica, porque han sido
probados en otros contextos con éxito. A continuación una breve lista con algunos de
los más conocidos que han aplicado las guías de MCE en su construcción.
Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart
Building Blocks, desarrollado por Sarama y Clements en 2003 y modificado en 2007; el
proyecto de Pre-K Mathematics Curriculum, desarrollado por Klein y colegas en 2002; y
Rightstart (Griffin, Case & Stiegler, 1994) muestran muchos logros. Building Blocks
ayuda a los niños a extender y “matematizar” actividades en su vida diaria a través de
bloques, canciones y rompecabezas, que pueden ser apoyadas por la tecnología
(computadoras en el aula y a veces en las casas). Un atractivo de este programa es
que está disponible en español. Los niños de 3 y 4 años aprenden destrezas de
“precontar”, contar números pequeños, producir números pequeños, y contar y producir
simultáneamente (Sarama, Clements, Starkey, Klein & Wakeley, 2008).
En el modelo de Sarama y Clements se tratan los siguientes temas: (a) cantidad,
enumeración (símbolos); (b) contar en forma verbal y después con objetos; (c)
comparar, ordenar y evaluar; (d) aritmética (estrategias de adición y resta); (e)
comprensión de la aritmética en términos de secuencia, orden de símbolos, etc.; (f)
pensamiento espacial; (g) formas; (h) composición y descomposición de formas; (i)
geometría y medición; (j) geometría y área, volumen y ángulo; y (k) procesos
matemáticos.
También se toman en cuenta aspectos socioemocionales, con capacitación a los
docentes en aspectos de cognición, afecto y equidad (Clements & Samara, 2009). Se
ha demostrado que los programas que incluyen estos pasos son exitosos para mejorar
destrezas matemáticas en los niños (Sarama, Clements, Starkey, Klein & Wakeley,
2008). Los ejercicios presentados por el programa Building Blocks, Pre-K Mathematics,
Rightstart pueden trabajarse en línea; además proporcionan hojas de trabajo con
ejercicios que se enfocan en las cinco subáreas básicas del aprendizaje.
Herramientas de la mente (Tools of the Mind)
Tools of the Mind o “Herramientas de la Mente” es un plan de estudios para preescolar
y kindergarten desarrollado por Bodrova y Leong (2007) sobre la base de las teorías de
Vygotsky (Diamond, 2011). Las teorías de Vygotsky destacaron la importancia del juego
de simulación social para el desarrollo temprano de las funciones ejecutivas. Mientras el
juego de ficción se desarrolla, los niños y niñas deben inhibir su carácter y adecuarlo a
su rol dentro del juego, recordar sus propios roles y los de los otros, y ajustarse con
flexibilidad a cómo sus amigos improvisan (Diamond, 2011).
El juego de roles ejercita las tres principales funciones ejecutivas: flexibilidad cognitiva,
control inhibitorio y memoria de trabajo fundamentales como herramientas para todo
aprendizaje (Diamond, 2011).
74
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
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Bodrova y Leong (2007) inicialmente implementaron el uso de las herramientas de
simulación como complemento a los programas ya existentes, encontrando que los
niños y niñas mejoraron el uso de las funciones ejecutivas a medida que avanzaban en
el uso de las herramientas. También se identificó que los beneficios no se
generalizaban, por lo que fue necesario presentarlas como parte de las actividades que
se realizaban todo el día en la escuela, y por lo tanto se entrelazaron a todas las
actividades académicas (Diamond, 2011).
Por ejemplo, los juegos encontrados en el programa Herramientas de la mente utiliza la
imaginación dentro del juego permitiendo crear ambientes, escenarios y situaciones,
haciendo que los niños y niñas adopten personajes que deben permanecer en un rol,
determinado por ellos mismos. El personaje que escogen debe ejercer su autocontrol
sabiendo de antemano que hay cosas que pueden o no pueden hacer. El programa
permite realizar trabajos en línea, y con ayuda de la tecnología utilizar los recursos que
proporciona para utilizarlos dentro del aula.
La carrera del número (The Number Race)
Gracias a la investigación sobre los circuitos neuronales involucrados en el
procesamiento matemático, Anna Wilson y Stanislas Dehaene han desarrollado un
programa para prevenir e intervenir en la discalculia, permitiendo desarrollar el sentido
numérico en niños y niñas. Al experimentar con el programa a lo largo de casi una
década, se ha encontrado que The Number Race sirve no solo para la población con
discalculia, sino que ayuda a niños sin problemas de matemática porque estimula la
revisión de conceptos básicos a través del juego.
Es un programa de software diseñado para la rehabilitación de la discalculia en niños y
niñas desde los cuatro hasta los ocho años, según su página web (Wilson, Dehaene,
Pinel, Revkin, Cohen & Cohen, 2006). “También puede ser útil para enseñar el sentido
numérico en preescolares sin discapacidades específicas de aprendizaje” (The Number
Race, 2012; Wilson, Dehaene, Pinel, Revkin, Cohen & Cohen, 2006)). A diferencia de
otras intervenciones, este software está disponible en código abierto en sus diferentes
versiones, inglés, francés y español. Los resultados preliminares de una investigación
realizada en el año 2006, aunque efectuada en una población pequeña, mostraron
resultados muy positivos.
El software proporcionado permite entrenar a niños y niñas en tareas de comparación
numérica de forma lúdica y entretenida, utilizando problemas que están adaptados al
nivel de rendimiento de cada uno. El programa emplea un espacio de aprendizaje
multidimensional con tres niveles de dificultad: distancia numérica, plazo de respuesta y
complejidad conceptual (de procesamiento de numerosidad no simbólica a operaciones
simbólicas cada vez más complejas) (Tokuhama-Espinosa, 2011).
El programa se basa en cuatro ideas que se ocupan de las subáreas básicas del
aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, en un escenario del programa colocan un
camión que tiene una línea numérica mental que debe ser llenada con naranjas (cada
75
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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espacio representa un número) evidenciando la relación entre el número o símbolo
arábigo y la cantidad de naranjas colocadas en la línea numérica (The Number Race,
2012). En un segundo ejercicio, los niños y niñas pueden utilizar un serrucho para
cortar los diferentes grupos de naranjas y completar la línea numérica contenida en el
camión sin que falten o sobren espacios (The Number Race, 2012).
El objetivo general del programa es aumentar el sentido numérico, es decir, ayudar a
los estudiantes a entender la representación de cantidad, y desarrollar un mejor
esquema mental de las relaciones numéricas. En segundo lugar, el programa está
diseñado para "consolidar los vínculos entre las representaciones del número" (The
Number Race, 2012, p. 3), es decir, ayudar a los estudiantes a aclarar las
representaciones simbólicas de números y cantidades. En tercer lugar, el diseño ayuda
a los estudiantes a conceptualizar y mejorar la "aritmética automática", es decir, a ser
más fluidos en la suma y la resta, y de esta manera consolidar su comprensión
conceptual de los valores numéricos. Por último, el cuarto elemento clave es aumentar
al máximo la motivación del estudiante para utilizarlo. El programa fue diseñado en
torno a una serie de juegos para mantener la atención y motivación del estudiante,
proporcionando un refuerzo positivo constante (esto se consigue mediante un algoritmo
que adapta continuamente la dificultad de la tarea para mantener el desempeño
correcto en un 75%).
Figura 26. The Number Race
Fuente: The Number Race (2012), descargado de http://www.thenumberrace.com/nr/home.php
Tal vez una de las razones por las que The Number Race parece tener tanto éxito se
debe al carácter limitado de la intervención. El programa no trata de cubrirlo todo para
76
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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todos los estudiantes de matemáticas, sino que se centra principalmente en ayudar a
los niños pequeños a superar la discalculia (Wilson, Dehaene, Pinel, Revkin, Cohen &
Cohen, 2006). Parte de su éxito es que gusta mucho y los niños y niñas se enganchan
en el juego fácilmente. El diseño del software se basa en la premisa de que "la
discalculia se debe a un déficit básico en el sentido del número o de la relación entre el
sentido numérico y las representaciones simbólicas de los números", por lo que la
intervención se limita a este déficit. Parece que "menos es más", en el sentido de que el
programa se enfoca en una población específica, y esta precisión ha dado excelentes
resultados (Tokuhama-Espinosa, 2011).
Hay pocas intervenciones en matemática que están respaldadas en evidencia de la
ciencia de MCE, pero está demostrado que son superiores a otras opciones disponibles
para padres y maestros.
Diferentes estudios evidencian las ventajas del uso del programa The Number Race,
entre ellos se encuentran: un estudio realizado en Francia (Wilson, Dehaene, Dubois, &
Fayol, 2009), con niños y niñas de bajo nivel socioeconómico ha reportado resultados
positivos en cuanto al desarrollo del sentido numérico. Los niños y niñas mejoraron en
la vinculación de las representaciones simbólicas con las no simbólicas. Otra
investigación (Butterworth & Laurillard, 2010) da cuenta que la intervención con el
programa The Number Race proporcionó a los estudiantes herramientas para
desarrollar el sentido numérico.
La intervención al utilizar el programa The Number Race es puntual y contribuye al
desarrollo del sentido numérico a través de la comprensión de la línea numérica mental
para la resolución de problemas. Además permite el desarrollo de la aproximación,
trabajando las subáreas básicas de aprendizaje como las de número, operaciones y
medición. Un atractivo del programa es que está disponible gratuitamente y en español.
Los mundos del número (The Number Worlds)
Es un programa interactivo para iniciar el aprendizaje de las matemáticas en los
primeros cuatro años de educación (incluido prekínder), enfocado en la enseñanza del
conocimiento del número y del sentido numérico que incluye la línea numérica mental.
El programa se basa en tres grandes ideas provenientes de la investigación sobre el
desarrollo cognitivo (Griffin, 2004): (a) los números representan cantidades, no son
solamente símbolos (Griffin, 2004); (b) los símbolos de números escritos (1, 2, 3, etc.) y
los símbolos de números en letras (uno, dos, tres, etc.) son formas diferentes de
representar las cantidades (Griffin, 2004); (c) las cantidades representadas por los
símbolos tienen relaciones inherentes entre sí (7 es mayor que 5), y es esta
característica de las cantidades la que nos permite utilizar representaciones simbólicas
de números para resolver problemas (ordenar, contar, agrupar en conjuntos, entre
otros) (Griffin, 2004).
Los tres conceptos trabajados por el programa The Number Worlds constituyen las
habilidades necesarias para desarrollar el sentido numérico. Case, Griffin y Siegler
77
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
Tokuhama-Espinosa
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(1994), autoras del programa The Number Worlds, encontraron que niños y niñas que
tienen el sentido numérico bien desarrollado son capaces de tener éxito en el inicio del
aprendizaje de las matemáticas y los procesos que implican (Connell, 2012). Por el
contrario, los niños y niñas que no tienen un buen desarrollo del sentido numérico
corren un riesgo mucho mayor de no poder adelantar en el aprendizaje de las
matemáticas y empezar a verla como una materia difícil (Connell, 2012).
Case y sus colegas demostraron que cualquier niño o docente que comprenda el juego
puede utilizarlo si tiene el acceso a un programa de aprendizaje bien diseñado, en el
que la intervención sea focalizada, que ofrezca oportunidades para explorar y debatir
los conceptos clave, establecer conexiones entre diferentes conceptos y desarrollar su
comprensión a un ritmo adecuado y tras una adecuada secuencia conceptual y de
desarrollo (Connell, 2012; Griffin, 2004).
El plan de estudios contiene 25 actividades que se organizan en cinco subdestrezas,
definidas con base en la investigación sobre la adquisición del sentido numérico, así
como las normas pertinentes del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).
Las subdestrezas se enlistan a continuación.





Conceptos de números: conectar nombres de los números y sus cantidades. Esta
destreza permite el desarrollo de la subárea básica del aprendizaje de números y
operaciones.
Relaciones de los números: desarrollar un sentido de los números enteros y sus
relaciones a través de diferentes representaciones ("uno", 1, una tortuga, etc.). Esta
destreza tiene relación con la subárea básica del aprendizaje de números y
operaciones.
Número de pedido: comprender la posición relativa y magnitud de los números
enteros. Iniciar el cálculo. Esta destreza permite el desarrollo del sentido numérico,
la comprensión del concepto de línea numérica mental y de la aproximación, y
además se relaciona con el desarrollo de la subárea básica del aprendizaje de
números y operaciones.
Comprensión del número: entender los números ordinales y cardinales y sus
conexiones. Esta destreza permite el desarrollo de la subárea básica del aprendizaje
de números y operaciones, patrones y álgebra, medición, y es un inicio para la
visualización y análisis de datos.
Conteo: contar comprendiendo y reconocer "cuántos" hay en grupos de diferentes
objetos. Esta destreza permite desarrollar la subárea básica del aprendizaje de
números y operaciones, patrones y álgebra, medición, geometría y espacio.
Dicho programa aplica cinco principios instruccionales básicos: (a) sigue el desarrollo
natural de las secuencias; (b) introduce representaciones verbales y simbólicas en
contextos espaciales; (c) usa una gran variedad y cantidad de
problemas/representaciones para fortalecer la comprensión; (d) provee múltiples
oportunidades para la exploración y la apropiación; (e) provee muchas oportunidades
para dialogar sobre los contenidos, y a la vez hacer ejercicios de matemáticas (Connell,
2012; Griffin, 2004).
78
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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Iniciar el proceso de aprendizaje de la matemática reforzando el sentido numérico
contribuye a mejorar el logro de los niños y niñas en la adquisición de operaciones y
razonamientos más complejos. Los programas presentados en la presente revisión
bibliográfica se emplean para desarrollar las bases del aprendizaje de las matemáticas:
el sentido numérico y el entendimiento de la línea matemática mental.
Resumen de las posibles intervenciones
Las intervenciones sugeridas en el presente estado del arte cuentan con actividades
que permiten el desarrollo de las subáreas básicas para el aprendizaje de la
matemática explicadas en la revisión de la literatura. Cada intervención tiene sus
virtudes y permite desarrollar subáreas determinadas.
Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart, Tools of the Mind, The Number Race y
The Number Worlds coinciden en aportar al desarrollo del sentido numérico, el uso de
la línea numérica mental y la aproximación como herramienta básica para la
comprensión de la relación número-cantidad. Además coinciden en reforzar las
subáreas básicas de aprendizaje de la matemática de número, operaciones y medición.
El programa The Number Worlds tiene la particularidad de contribuir al desarrollo de las
funciones ejecutivas, factor de suma importancia para cualquier aprendizaje.
Presentando actividades que conectan a niños y niñas con una realidad creada e
invitándolos a participar a través de ciertas reglas, produce ganas de permanecer
jugando por largos periodos.
Building Blocks, Pre-K Mathematics y Rightstart contribuyen al desarrollo de las cinco
subáreas básicas de aprendizaje de las matemáticas a través de diferentes actividades
lúdicas que pueden bajarse para trabajar en el aula o que pueden utilizarse con el
apoyo de la computadora.
Limitaciones del estudio
Hay por lo menos cuatro limitaciones importantes que es necesario resaltar en estas
conclusiones.
Primero, las limitaciones propias de un estudio bibliográfico radican en la imposibilidad
de contrastar los hallazgos de la ciencia, en este caso MCE, con la realidad de la
educación costarricense a través de experimentación.
Segundo, el contexto de este estudio ha sido de perspectiva macro en términos de
conceptos sobre el cerebro sin tomar en cuenta el contexto de Costa Rica. Por ejemplo,
si bien es cierto que al momento se cuentan con datos sobre la deserción escolar, no
existe aparentemente una investigación que permita corroborar o refutar los hallazgos
con evidencia presentados en el presente documento en la realidad de Costa Rica.
Aunque las investigaciones utilizadas en el presente documento proceden de científicos
79
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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europeos y de otros países del primer mundo, la información proporcionada contribuye
a despejar dudas conceptuales que pueden ser confirmadas con investigación del aula.
Tercero, a lo largo de los meses de esta investigación se ha publicado más información
en este campo. Las investigaciones sobre el cerebro y las matemáticas continua
expandiéndose, y esto significa que casi a diario hay más fuentes que agregar. Una
limitación de este trabajo es que solo seleccionó los estudios más importantes en el
área y que la lista de referencias no fue exhaustiva.
Cuarto, dicho estudio fue elaborado por una equipo de educadores, con consultas
a expertos en neurociencia y psicología. Esto significa que lo encontrado puede tener
sesgos del campo educativo, aunque la revisión de la literatura tomó en cuenta la
mayoría de las fuentes directamente de las neurociencias. Se esforzó en realizar una
perspectiva de MCE a lo largo del estudio, pero puede haber una tendencia a analizar
los datos con lente de educador.
Recomendaciones para futuros estudios
Luego de la investigación bibliográfica sobre los procesos involucrados en el
aprendizaje de las matemáticas, y siendo evidente la importancia del desarrollo
temprano y eficiente del sistema de representación simbólico y no simbólico, es
pertinente plantear una futura investigación que permita contrastar el nuevo currículo de
matemáticas de Costa Rica con la información proporcionada por la ciencia de Mente,
Cerebro y Educación. Posteriormente, sería importante hacer un estudio de campo para
ver qué está pasando en las clases en Costa Rica para confirmar la buena aplicación
de los conceptos recomendados.
1. Se recomienda que los próximos pasos deban incluir una revisión de los cambios
curriculares, metodológicos e intervenciones puntuales ya ocurridos al momento en
Costa Rica, e identificar si encuentran respaldo en la ciencia de Mente, Cerebro y
Educación.
2. Se sugiere la investigación en el aula sobre la práctica docente para el
aprestamiento de la enseñanza de matemáticas a nivel inicial para identificar si la
práctica docente se encuentra orientada por los procesos descritos en el presente
estado del arte.
3. Se recomienda una actualización de datos anuales debido a los cambios continuos
en neurociencias.
4. Se recomienda una evaluación externa de este estudio por parte de neurocientíficos.
Resumen final
La ciencia de MCE explica los procesos de aprendizaje de la matemática uniendo
criterios de tres ramas de la ciencia: Psicología, Neurociencias y Educación. Los
aportes y hallazgos de MCE han permitido entender las redes y circuitos neuronales
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ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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involucrados en el aprendizaje de las matemáticas, evidenciado la importancia de los
procesos de aprendizaje de la lectura y el lenguaje como parte del andamiaje necesario
para un buen desarrollo del procesamiento matemático y numérico. Los estudios e
investigaciones incorporados en el presente estado del arte están basados en evidencia
científica y describen los circuitos neuronales que intervienen en varios de esos
procesos.
La ciencia de MCE ha servido para alimentar y sustentar propuestas realizadas en
áreas tales como economía, educación y salud, como por ejemplo el desarrollo infantil
temprano. Desde la intervención en las áreas de salud a partir del inicio de la vida,
pasando por la importancia de la interacción sociofamiliar de los niños y niñas, hasta la
identificación de programas de intervención acordes a sus necesidades, estas prácticas
son parte de los cimientos que los estudiantes requieren para desarrollar procesos de
aprendizaje efectivos para la lectura, las matemáticas y la vida escolar en general.
Resumen de los circuitos neuronales relacionados con la matemática
Se han identificado más de tres docenas de circuitos neuronales distintos involucrados
en los procesos matemáticos. Entre los circuitos neuronales descritos en el presente
estudio se encuentran: el Modelo de Código Triple que implica el aprendizaje del código
verbal (arábigo y de cantidad), y el reconocimiento de símbolos (ya sean letras o
números) en la comprensión del significado de palabras, así como de los procesos
involucrados en el aprendizaje del lenguaje y la lectura. Hay por lo menos 38 diferentes
circuitos neuronales relacionados con las siguientes destrezas. Algunos de ellos
pueden imponerse uno sobre el otro, y todos deben estar desarrollados en su propio
tiempo para asegurar buenas bases en matemáticas:
MATEMÁTICAS
1.
CANTIDAD
a. Discriminar la cantidad
b. Poder contar
c. Estimar o aproximar cantidades
d. Procesar cantidades
e. Comparar valores
2.
MEDICIÓN
a. Estimación
i.
Estimar líneas numéricas
ii.
Desarrollar el sistema numérico aproximado y refinado
3.
SÍMBOLOS
a. Poder relacionar un símbolo con un valor
i.
Habilidad de visualizar el código arábigo
ii.
Habilidad analógica de cantidad o de código de magnitud
iii.
Habilidad de código verbal
b. Reconocer símbolos
c. Sistemas simbólicos:
i.
Ej.: verificar la hora en el reloj
ii.
Ej.: usar una regla
iii.
Ej.: usar un peso
81
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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d.
4.
ORDEN
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Procesamiento simbólico
Entender que el último número indica el total del set
Entender la transformación de sets de números
Entender el orden fijo de cada número en el acto de contar (ej. 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.)
Agrupación de (sets) de números
Relaciones de los números:
Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente
i.
Operaciones
Reconocer patrones
5.
FORMAS
a. Geometría
6.
ESPACIO
7.
HABILIDADES GRÁFICAS
a. Visualización
b. Análisis de datos
c. Conceptualización de datos en varias formas y medios
RELACIONADAS CON EL APRENDIZAJE EN GENERAL
1.
HABILIDAD FÍSICA DE VER NÚMEROS Y PALABRAS
2.
HABILIDAD DE UTILIZAR FUNCIONES EJECUTIVAS Y HABILIDADES DE PENSAMIENTO DE
ORDEN SUPERIOR
a. Metacognición
b. Toma de decisiones
c. Planificación
d. Autorregulación y autodisciplina
e. Autocontrol o autorregulación
f. Flexibilidad cognitiva
g. Control inhibitorio
3.
ATENCIÓN
a. Alerta (para llamar la atención de un estímulo)
b. Sustento (para mantenerse enfocado)
c. Funciones ejecutivas
d. Selectiva
4.
MEMORIA
a. largo plazo
i.
memoria implícita o procedimental (habilidades senso-motoras) y
ii.
la declarativa (detalles autobiográficos, hechos, semántica).
b. memoria de trabajo
c. memoria de corto plazo
5.
MOTIVACIÓN
82
ESTADO DEL ARTE SOBRE PENSAMIENTO INICIAL MATEMÁTICO
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Las matemáticas tienen un rol importante en los logros de aprendizaje y
conceptualización del entorno de un niño. El verdadero entendimiento del mundo
depende de una adecuada manera de ordenar, estimar y procesar la realidad alrededor.
Desgraciadamente, las matemáticas no han sido apreciadas por su alcance e
importancia, y más bien han sido criticadas como una materia escolar “lejos de la
realidad de los niños”, cuando se puede advertir que el mundo está conformado de
conceptos matemáticos. Se espera que una mejor apreciación de la complejidad del
conjunto de habilidades de las matemáticas ayuden a los docentes a valorar su rol en el
desarrollo del pensamiento en general de un niño. Al apreciar los aportes de MCE en el
análisis de procesos de enseñanza, queda la esperanza de desagregar procesos a
unidades más manejables para que los docentes puedan alcanzar logros en los niños
de Costa Rica y otras partes del mundo.
83
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