SEGUNDO NIVEL TERCERA COMUNICACIÓN Estimados

SEGUNDO NIVEL TERCERA COMUNICACIÓN
Estimados profesores, esta es nuestra última comunicación de este año, a partir
de ahora la idea es que nuestros estudiantes se vayan preparando para aceptar el
desafío que implica tener que rendir un examen. Situación que, al menos,
presenta dos serias situaciones de conflicto: por un lado poder interpretar los
enunciados de las situaciones que les proponen los problemas y por el otro
organizar todos esos saberes que poseen y que se deberían poner en juego para
hallar las mejores soluciones posibles.
Por ello, nos gustaría compartir con ustedes estas palabras de Monereo y Pozo:
“Nacemos pues con unos recursos de serie, propios de nuestra especie y que
marcan un espacio de desarrollo a partir de las propias restricciones que
establecen. Esas restricciones no sólo instituyen límites al desarrollo sino también
posibilidades, opciones de desarrollo. En realidad, sabemos algo más sobre
nuestros límites que sobre nuestras potencialidades. En el ámbito cognitivo,
sabemos por ejemplo que nuestra memoria inmediata tiene una capacidad
limitada para retener al mismo tiempo un número excesivo de datos, aunque no
sabemos, sin embargo, cuál es la capacidad de almacenamiento de nuestra
memoria a largo”. Pero está en cada uno de nosotros poder potenciar esa
memoria y hacer que tenga el máximo rendimiento posible.
También cobra una importancia muy grande el poder contextualizar las situaciones
problemáticas que se presenten ya que ello provoca el poder vincular entre sí
distintos conceptos, propiedades y relaciones, interpretar el medio hostil que se
presenta conflictivo y construir núcleos cognitivos que conduzcan a dar respuestas
adecuadas.
No queremos dejar de lado la creatividad que siempre ponen de manifiesto
nuestros estudiantes y que le dan ciertas características de frescura y
espontaneidad a la tarea que realizan.
Por último, les queremos decir que nos encantaría que tanto ustedes como sus
estudiantes nos visiten el 23 de octubre ya sea para rendir su examen (en forma
individual o grupal) y también se presenten en la categoría Trabajo Colaborativo.
Ahora los invitamos a resolver algunos problemas:
1)
ABC es un triángulo equilátero de 8 cm de lado.
C
La recta r es paralela al lado AB.
r
A
¿A qué distancia de
se debe trazar la recta para
que el triángulo quede dividido en dos figuras de
B
igual perímetro?
2) En la fabricación de cierto tipo de tornillos se descubre que aparece un cierto
número de ellos con algunos defectos. Se han estudiado 200 lotes de 500 tornillos
cada uno y se registraron mediante la siguiente tabla el número de tornillos
defectuosos:
Número de
1
2
3
4
5
6
7
8
5
15
38
42
49
32
17
2
tornillos
defectuosos
Número de
lotes
En función de esa información se pide: a) determinar si alguno de los lotes no
tiene tornillos defectuosos, b) calcular la mediana y la desviación típica, c) si se
mezclaran los tornillos de todos los lotes dentro de una bolsa, ¿será muy baja la
probabilidad de extraer 4 tornillos y que estos sean todos defectuosos?
3) ¿Para qué números naturales n se verifica que 3 n + 5n sea divisible por
3n-1 + 5n-1?
4)
Se
sabe
que
x1
y
x2
son
las
dos
raíces
del
polinomio
P(x) = 3x2 + 3bx + b2 – 1. ¿Será verdadero que P( x 3 ) =P( x 3 ) ?
1
2
5) En el interior de un cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero al que
llamaremos ABE. Designaremos con la letra P al punto de intersección de las
rectas AC y BE. Luego ubicamos al punto simétrico de P respecto de la recta DC.
A este último punto lo vamos a llamar F. Ahora debemos demostrar que: a) el
triángulo CEF es equilátero, b) el triángulo DEF es rectángulo e isósceles, c) el
triángulo PDF es equilátero.
6) ¿Cuántos números enteros, desde el 1 al 2015, tienen un comportamiento tal
que al elevarlos a la potencia trigésima terminan en 1?
7) ¿Cuántas ternas a, b, c de números reales satisfacen el sistema
a(a  b  c )  26

b(a  b  c )  27 ?
c(a  b  c )  28

8) La intensidad de la luz que proviene de una fuente lumínica es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que media hasta dicha fuente. Si la fuente
está colocada a 15m, ¿cuál será la intensidad de la luz, si se sabe que la
intensidad es de 225 candelas para una fuente que está a 5m de distancia? ¿Cuál
es la representación gráfica de la relación entre la intensidad de la luz y la
distancia de la fuente?
9) La sugerencia para generar claves de seguridad que sean difíciles es que se
combinen letras de nuestro alfabeto mayúsculas y minúsculas y también cifras de
nuestro sistema decimal. Supongamos que decido usar el conjunto de letras y
números ABCpqr135. El código que me piden tiene 9 posiciones y no permite la
repetición de números ni letras. Con el conjunto elegido, ¿en cuál de estos casos
tengo la menor probabilidad de que me descubran la clave: a) la clave empieza y
termina con una letra mayúscula, b) la clave empieza con el número 5, c) los
números aparecen en los extremos y la posición central de la clave?
10) Se sabe que el número A es múltiplo de 6 y es de la forma 5aaaa. El número
B es de la forma b4bbb y es divisible por 9. ¿Cuál es valor de la suma A + B?
11) ¿Cuál será el conjunto solución de la inecuación
27 - x 2
 0?
x3
12) A Gerardo le dieron para aprobar el tercer trimestre el siguiente problema:
“Determinar el dominio de la función
1
log(x  )
2
f(x) 
”. Si lo resuelve bien,
2
x x2
aprueba el trimestre, si lo resuelve mal, tendrá que rendir examen en diciembre. Él
afirma que el conjunto pedido es el de los números reales mayores que 0,5. ¿Les
parece que aprobará el trimestre? En caso de que no haya resuelto bien el
problema, ¿cómo lo podemos ayudar para que llegue a la respuesta correcta?
13) Un fabricante determina que, para un determinado producto, la ecuación de
Demanda es
p  200
 x  0 , en donde p es el precio unitario (en cientos de $) y
2
x es el número de unidades. También determinó que la función de Costo para el
mismo producto es C(x)  0,5 x 2  50x  200.
¿Qué cantidad deberá producir y comercializar para que su ganancia sea
máxima? ¿cuál es esa ganancia máxima?
14) Se sabe que si se multiplica el número a por 4, su logaritmo en cierta base b
aumenta en 4 unidades.¿ Cuál será el logaritmo en base b de los números 32 y
128?
15) Cada uno de los brazos de un compás mide 8,5 cm; si abrimos el compás
hasta formar un ángulo de 60º, ¿cuánto medirá la superficie del círculo que se
podrá trazar con esa abertura del compás? ¿y si la abertura fuera de 30º?
Respuestas:
1)
3
2) a) Todos los lotes tienen tornillos con defectos, b) mediana 5 y la desviación
típica, aproximadamente, es 11,86, c) sí, es muy baja, ya que la probobildad de
esa extracción arroja un número muy “chico”.
3) únicamente n = 1
4) Sí, es verdadero.
6) 403
28 
 26
 26 28 
7) Sólo dos ternas (a,b,c):  9 , 3, 9  y   9 ,  3,  9 
8) 25cd
9) La opción c
10) 139332
11) (-∞,-3√3) U (3√3,+∞)
12) No le va a ir bien con la nota del trimestre, el conjunto correcto está dado por
el intervalo (1,+∞)
13) x = 30 y G(30)= $205000
14) logb(32) = 10 y logb(128) = 14
15) Aproximadamente 226,98cm2 y 60,82cm2