Ejercicios Opcionales - Pontificia Universidad Católica de Chile

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Fı́sica
Mecánica Clásica I - FIZ0121
Ejercicios Opcionales
Profesor: Sascha Wallentowitz
Ayudante: Cristóbal Armaza Bascur ([email protected])
Problema 1. Dos bolitas se mueven en dirección opuesta siguiendo la trayectoria de una circunferencia,
con velocidad angular ω, como muestra la figura. En t = 0 ambas se encuentran en ~r = l~ey , en donde l
es el radio de la circunferencia. Encuentre la velocidad relativa entre ambas bolitas y la distancia entre
ellas como función del tiempo.
Problema 2. (Espiral Logarı́tmica) Una partı́cula se mueve en un espiral de la forma r = r0 exp(kθ),
r0 y k constantes, de tal forma que su rapidez es también constante, igual a v0 .
a) Obtenga la velocidad ~v en términos de r y θ.
b) Obtenga la aceleración ~a en términos de r y θ.
c) Demuestre que en todo instante la velocidad es perpendicular a la aceleración.
d) Encuentre θ y θ̇ como función del tiempo.
Problema 3. (Cicloide) Un neumático rueda en lı́nea recta sin resbalar. Su centro se mueve con
velocidad constante V . Una pequeña piedra inicialmente en el suelo, sobre la recta en la cual se mueve
la llanta, se incrusta en ésta en t = 0. Encuentre la posición, velocidad y aceleración de la piedra como
función del tiempo.
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Problema 4. Un bloque se masa M1 se encuentra atado a otro bloque de masa M2 como muestra la
figura, a una distancia inicial d del borde.
a)¿Cuál es la aceleración de M1 ?.
b) Supongamos que el hilo se corta justo cuando M1 llega al borde de la mesa, de tal forma que
al abandonar la misma, éste posee cierta velocidad horizontal, y sólo horizontal. ¿Qué distancia
horizontal respecto de la mesa alcanza M1 , si la gravedad actúa hacia abajo? La altura de la mesa
es h. Para evitar ambiguedades, suponga que M1 arrasa con la polea, sin afectar su movimiento.
Problema 5. Una masa m se une a dos cuerdas de largo l, como muestra la figura. La barra, y por
ende m, comienza a girar con velocidad angular ω constante, de tal forma que las cuerdas hacen un
ángulo de 45 grados respecto a la barra. La gravedad actúa directamente hacia abajo. Encuentre la
fuerza transmitida en cada cuerda.
Problema 6. Considere el sistema formado por las masa M1 , M2 , y las poleas de masa despreciable
que muestra la figura. Obtenga la aceleración de ambas masas y las fuerzas en ambas cuerdas.
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Problema 7 . Considere el sistema de la figura abajo. El coeficiente de fricción entre las masas y las
superficies horizontales es µ. Asuma que M1 y M2 deslizan. La gravedad apunta hacia abajo. Encuentre
la fuerza transmitida en la cuerda. Para ello, primero escoja las coordenadas, y luego realiza un diagrama
de cuerpo libre para cada masa, cuidando el sentido de las fuerzas en cada eje.
Problema 8.
Las masas A y B se mueven sin roce sobre la mesa. Ambas se encuentran atadas a una cuerda sin
masa que pasa por una polea de masa despreciable, la cual a su vez se encuentra atada al cuerpo C
por otra cuerda sin masa. Encuentre la aceleración de cada masa. Verifique los casos lı́mites MA = 0, y
MA = MB = MC .
Problema 9. El disco m de la figura gira en un cı́rculo de radio r sin roce con la mesa. La cuerda es
intextensible y de masa despreciable. Encuentre la rapidez v con que el disco debe girar para que M no
suba ni baje.
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Problema 10. Suponga una masa m colgada al techo por medio de un resorte. A esta masa se le
fija un nuevo resorte, y en el otro extremo se fija una nueva masa m. Considere que el movimiento es
sólamente vertical. Ignore fricción pero no olvide la gravedad. Encuentre las ecuaciones de movimiento
y resuélvalas.
Problema 11. Resuelva el movimiento de un péndulo simple en presencia de un fluido de viscosidad η
Problema 12. Considere un sistema formado por dos péndulos, ambos de masa m y largo `, en
donde usamos un resorte de constante k para unir ambas masas. Suponga que estamos en un régimen
de pequeñas oscilaciones, de tal forma que el resorte sólo produce movimiento horizontal. Suponga
también que la separación entre los extremos superiores de las cuerdas es x0 , y este mismo valor es el
largo natural del resorte. Encuentre las ecuaciones de movimiento y obsérvelas. Use su intuición para
describir el movimiento de cada masa, sin resolver las ecuaciones. Resuélvalas si desea.
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Problema 13. Obtenga la ecuación de movimiento del oscilador armónico de la figura, distinguiendo
los distintos tipos de amortiguamiento, si el lı́quido en el que se sumerge ejerce una fuerza de Stokes con
coeficiente de roce η. Resuélvala para las condiciones iniciales x(0) = x0 , ẋ0 = 0. No olvide el peso de la
masa. Ignore, en cambio, el peso del resorte.
Problema 14. Considere el movimiento oscilatorio de una masa m conectada a un resorte de constante
elástica k. Por el otro lado actúa un forzamiento dado por la ecuación F (t) = F0 cos t, con F0 constante.
Plantee la ecuación de movimiento y resuélvala usando como condiciones iniciales x(0) = x0 , v(0) = 0.
Problema 15. La masa de la figura se encuentra confinada a moverse en un aro de radio R, atada,
como muestra la figura, a un resorte de constante k. Determine la velocidad con que llega la masa de la
figura al punto más bajo del resorte, si ésta parte desde el punto más alto. No olvide la gravedad.
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Problema 16. Un pequeño bloque de masa m parte desde el reposo en el circuito que muestra la
figura. Si el loop es perfectamente circular, y de radio R, encuentre la altura mı́nima z necesaria para
que el bloque no caiga en el punto máximo del loop.
Problema 17. El bloque de masa m de la figura cae desde el reposo sobre una esfera de radio R.
Encuentre la distancia x para la cual el bloque pierde contacto con la superficie de la esfera.
Problema 18. Teeter Toy. Considere el juguete de la figura. La particularidad de este juguete es
que si se le desplaza un cierto ángulo θ de su posición de equlibrio, éste vuelve a dicha posición. Como
usted ya debe saber, el punto de equilibrio representa entonces un punto estable. Demuestre que esto es
posible sólo si ambas masas se encuentran a menor altura que el punto de contacto entre el tope y la
base. Esto es, hay equilibrio estable sólo si l cos α > L, siendo l el largo de uno de los brazos, L el largo
del tope del juguete, y α el ángulo entre estos dos.
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Problema 19.
Una particula de masa m se mueve en un plano, sobre una parábola de ecuación y = x2 . En t = 0,
se encuentra en el punto (1, 1), moviéndose hacia el origen con rapidez v0 . La partı́cula se encuentra
confinada a moverse sobre esta curva, y sobre élla actuan dos fuerzas:
F~1 = −Ar3~er
F~2 = B(y 2~ex − x2~ey )
Encuentre la rapidez con que la partı́cula llega al origen. Para esto use lo que ya sabe sobre trabajo y
energı́a, si es que puede aplicarse.
Problema 20. Considere la fuerza
F~ = 3Ax2 y 5 eaz ~ex + 5Ax3 y 4 eaz ~ey + aAx3 y 5 eaz ~ez
Demuestre que es una fuerza conservativa y calcule el potencial que la genera.
Problema 21. Cuando tomamos en cuenta el achatamiento de la Tierra en los polos, es posible
demostrar que el potencial gravitatorio de una masa m a una distancia r del centro de ésta viene dado
por la ecuación
!
2
Re
GMe m
−4
2
1 − 5,4 × 10
(3 cos θ − 1)
U (~r) = −
r
r
en donde θ está medido desde el polo.
Muestre que existe una fuerza tangencial sobre m. Demuestre que esta fuerza se anula en los polos y en
la lı́nea ecuatorial.
Hint:
∇f =
∂f
1 ∂f
1 ∂f
~er +
~eθ +
~eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
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Problema 22.
La partı́cula A de masa m de la figura tiene rapidez inicial v0 . Después de chocar con la partı́cula B
de masa 2m, inicialmente en reposo, las partı́culas siguen la trayectoria que se muestra. Encuentre θ, el
ángulo que sigue la partı́cula A en el sistema de referencia del laboratorio.
Problema 23.
Muestre que en una colisión elástica entre dos partı́culas de masas m1 y m2 las velocidades medidas en
el sistema del centro de masas permanecen constantes en magnitud.
Problema 24. Gran desafı́o
Parte del desarrollo de la pregunta anterior, seguramente le servirá para darse cuenta que la relación
entre los momentos lineales finales de ambas parı́culas en el sistema centro de masa es, en general,
MUCHO más simple que en el sistema del laboratorio. El esquema siguiente muestra la relación entre
las velocidades en este sistema,
en donde Θ es conocido como ángulo de Scattering, y este ángulo depende directamente de la fuerza
de interacción entre las partı́culas (e inversamente, midiendo el ángulo uno puede ser capaz de obtener
algunas propiedades de la fuerza de interacción).
Muestre que en un choque elástico entre una partı́cula de masa m inicialmente con rapidez v0 , y una
masa M en reposo, para el cual el ángulo de Scattering resulta ser Θ, la rapidez final de m en el sistema
del LABORATORIO está dada por
vf =
1/2
v0
m2 + M 2 + 2mM cos Θ
m+M
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Problema 25.
Considere una masa M colgada de una varilla rı́gida, de masa despreciable y de largo L, que puede girar
libremente en torno al punto O de la figura. En el instante t = 0 la masa M explota y una parte de masa
M/2 sale disparada con velocidad v en una dirección θ respecto a la horizontal. Encuentre la energı́a
cinética de la parte que quedó adosada a la varilla, inmediatamente después de la explosión.
Problema 26.
Considere dos partı́culas de masa m unidas por una barra de masa despreciable y de largo L. Una
tercera partı́cula, también de masa m, colisiona con las anteriores, quedando adosada a la partı́cula 2
(figura). Si la rapidez inicial de la partı́cula inciedente era v0 , y esta incide como se muestra en la figura,
determine la posición de la masa 1 como función del tiempo.
Problema 27.
Considere una varilla rı́gida, pero de masa despreciable, cuyo largo es L y que tiene dos masas m, una
adosada en uno de los extremos, y la otra al centro (ver figura). La varilla puede girar libremente en
el plano vertical alrededor de un eje que pasa por el extremo en que no tiene una masa adosada. Todo
el sistema se encuetnra en un campo gravitacional constante ~g = −g~ez . Suponga que este sistema se
encuentra en reposo en su posición de equilibrio inestable. Como debe esperar, una leve perturbación
hace que el sistema comience a caer, girando en torno al punto fijo.
a) Encuentre la velocidad angular y la aceleración angular de la varilla cuando forma un ángulo θ
con la vertical.
b) Encuentre la fuerza que la varilla ejerce sobre el eje cuando la varilla pasa por la horizontal (i.e.,
cuando θ = π/2).
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Problema 28.
Cosidere un bloque de masa 9 kg ligado a dos resortes idénticos de largo natural 3 m y de constante
21.25 N/m. El bloque está sobre una mesa rugosa en reposo y los dos resortes están sujetos a la mesa.
Una bala de 1 kg con una velocidad de 50 m/s golpea el bloque y se incrusta en él. El sistema se mueve
una distancia de 4 m. Se pide encontrar el coeficiente de roce de la mesa. Encuentre también la energı́a
perdida en el proceso.
Problema 29.
Sobre una plataforma lisa sin roce, se colocan en lı́nea recta 99 bloques (sı́, 99) de igual volumen, y
de masas 2m, 3m, ... 99m, 100m, separados entre sı́ por una distancia a (figura). Desde la izquierda
incide un bloque de masa m con velocidad inicial v0 . Los choques que se producen son completamente
elásticos. Calcule
a) la velocidad final del bloque de masa 2m inmediatamente después el primer, segundo y tercer
choque que sufre. ¿Existe una relación para el n-ésimo choque?
b) Luego de un perı́odo prolongado se ve que todos los bloques han abandonado la plataforma.
¿Cuántos cayeron al lado izquierdo, y cuántos al lado derecho?
Problema 30.
En este problema vamos a derivar la ecuación que gobierna el movimiento de un cohete impulsado por
la expulsión de material. Para analizar el movimiento, vamos a igualar la fuerza externa F~ a la variación
de momentum que sufre el cohete. La tarea entonces, consiste en determinar esta variación. Para ello
considere el cohete a un tiempo t. Entre t y t + dt una masa ∆m ha sido expulsada, con velocidad ~u
relativa al cohete1 , generalmente opuesta a la velocidad del cohete (vea la figura para inspirarse).
Obtenga el cambio en el momentum del cohete, haga ∆t → 0 y demuestre que
dM
d~v
− ~u
F~ = M
dt
dt
en donde ~v es la velocidad del cohete, y M es su masa.
Use esta ecuación para demostrar que si la fuerza externa es el peso del cohete, entonces
M0
vf = u ln
− gtf
Mf
y de aquı́ concluya el por qué de lo expectacular de los despegues de cohetes reales.
1 Esta magnitud es conocida, y es determinada analizando la ingenierı́a de la cámara, además de las propiedades del material
expulsado. Es importante tener en cuenta que ésta es independiente de la velocidad del cohete.
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Problema 31.
Considere el problema de alcanzar con una nave sin propulsión un planeta distante desde la Tierra. Si
usted viera el planeta con un telescopio, verı́a un disco de radio R, siendo este radio el radio del planeta.
Si no hubiese gravedad, para asegurar un impacto sobre el planeta la sección eficaz de disparo tendrı́a
que ser igual al area del disco, A = πR2 . Como existe gravedad, el planeta tiende a atraer la nave, con lo
que la sección eficaz es mayor que la sección geométrica (ver figura). El problema consiste en encontrar
esta sección eficaz, si el planeta tiene masa M y radio R.
Problema 32. Demuestre la tercera ley de Kepler:
“El cuadrado del perı́odo de revolución T de un planeta alrededor del Sol ees proporcional al cubo del
semieje mayor, siendo la constante de proporcionalidad, aproximadamente igual para todos los planetas.”
Para ello recuerde la segunda ley de Kepler:
“El radio vector del Sol a un planeta barre areas iguales en tiempos iguales.”
Problema 33. Un cometa de masa αm choca se dirige (“cae”) radialmente hacia el Sol. Observaciones
astronómicas permiten establecer que la energı́a mecánica total del cometa es nula, es decir, E = 0. El
cometa se estrella contra Venus, cuya masa es m. Supongamos además que la trayectoria de Venus es
circular, de radio R0 . A consecuencia del choque, el cometa y Venus forman un solo astro.
a) Calcule la velocidad v0 y el perı́odo de Venus antes de la colisión.
b) Calcule la energı́a mecánica de Venus antes de colisionar con el cometa.
c) Calcule la velocidad radial y el momento angular del conjunto inmediatamente después del
choque.
d) Determine la energı́a mecánica total del conjunto, y exprésela como función de m, v0 y α.
e) Demuestre que la órbita del conjunto es una elipse, y calcule su semieje mayor.
f) Determine si el año para los venusianos se ha acortado o alargado a causa del impacto.
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