Teoría de la Elasticidad
Anuncio
Elasticidad. Física y Mecánica de las Construcciones. A. Martín. Grupo F. ETSAM-UPM 1 L Agustin Martin Domingo 1. Una barra rígida de longitud L se mantiene en posición horizontal colgada por sus extremos de dos hilos verticales. Los hilos son del mismo material elástico y tienen igual sección, pero la longitud de uno de ellos es doble de la del otro. ¿En qué punto podrá cargarse verticalmente la barra sin que deje de mantenerse horizontal? 2. Los extremos de una varilla de acero de 8 mm de mediante sendas articulaciones a un punto fijo y ra que puede moverse en la dirección normal a lar el ángulo que gira la varilla y la tensión que do se aplica una fuerza F de 5 kN tal y como se ra. Módulo de elasticidad del acero E = 200 GPa. 3. 40 mm 40, 01 mm diámetro se unen a una deslizadela varilla. Calcuexperimenta cuanindica en la figu- F Un prisma recto de aluminio de 7 × 4 × 4 cm se sitúa entre dos paredes paralelas rígidas que distan 40,01 mm y se comprime tal como indica la figura. Representar gráficamente el acortamiento del prisma frente a la carga de compresión aplicada hasta un valor de 150 kN. E = 70 GPa. Coeficiente de Poisson: 0,3 70 mm 4. Un elemento prismático de dimensiones a, b, c con módulo de Young E, coeficiente de Poisson ν y coeficiente de dilatación cúbica αv se encuentra situado entre las placas rígidas de una prensa sin que inicialmente haya tensión sobre las caras. Si se produce un aumento de temperatura de 10◦ C y la separación entre placas de la prensa permanece invariable, calcúlense, despreciando la fricción entre el prisma y la prensa: (a) (b) b c Tensión sobre las caras de contacto con la prensa. Deformación unitaria en las caras laterales. E = 100 MPa; ν = 0,25; αv = 3 × 10−5 (◦ C)−1 . 5. Tres prismas de dos tipos de materiales A y B se encuentran sujetos a dos placas rígidas según se muestra en la fig. La sección conjunta de los prismas de tipo A es igual a la de tipo B. Si se incrementa la temperatura en ∆T y los coeficientes de dilatación lineales respectivos son αA y αB . Calcúlese: (a) El estado tensional en los prismas. (b) Deformaciones unitarias en las tres direcciones del prisma. z A B A y Datos: EA = 2EB ; νA = νB = ν. 6. El pilar de hormigón de un puente, de altura h = 16 m y sección variable, está sometido a una carga de compresión P = 500 toneladas. Determínese: (a) La ley de variación de las secciones transversales para que, teniendo en cuenta el peso propio del pilar, la tensión sea igual en todas las secciones e igual a la tensión admisible. (b) La variación de la altura del pilar. (c) El volumen del pilar. con los datos complementarios: Tensión admisible: σa = 20 kg/cm2 . Peso específico del pilar: γ = 2200 kg/m3. Módulo de elasticidad lineal (o de Young) del hormigón: E = 18 × 104 kg/cm2 . Coeficiente de Poisson del hormigón: 0,125. Elasticidad. Física y Mecánica de las Construcciones. A. Martín. Grupo F. ETSAM-UPM 2 7. Una barra uniforme de longitud L gira en un plano alrededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante ω. ¿Que alargamiento experimenta por efecto del giro, si está fabricada con material elástico de densidad ρ y módulo de Young E? L Agustin Martin Domingo ω 8. Una viga pretensada cuya sección transversal está compuesta por 120 cm2 de hormigón y 4 cm2 de acero se ha construido manteniendo las armaduras traccionadas a 1200 MPa hasta el endurecimiento del hormigón, y liberándolas después. ¿Que carga de compresión habrá que aplicar sobre la viga para que las armaduras no estén sometidas a tensión? ¿Que tensión soportaría el hormigón en ese caso? Módulos de elasticidad: Acero: 210 GPa, Hormigón: 35 GPa 9. En una vivienda se desea instalar un depósito cilíndrico de agua, construido con un fibrocemento cuya resistencia a tracción es de 4 MPa. Las dimensiones del depósito deben ser las siguientes: altura 2 m, diámetro ⊘ = 1,5 m. Ha de colocarse en disposición vertical y habitualmente estará lleno de agua hasta el borde. Calcular el espesor mínimo de la pared cilíndrica con un factor de seguridad de 1,25. 10. Un elemento elástico está compuesto de tres subelementos de dos materiales 1 y 2 en contacto entre sí (ver fig.). Sobre este elemento compuesto actúan, por mediación de placas rígidas, unas fuerzas de tracción de 32 · 103 N que se distribuyen uniformemente. Se pide: (a) Calcular el cociente σ/ǫ “módulo de Young efectivo” del elemento compuesto. (b) Calcular las tensiones de cada subelemento. 1 2 1 Datos: S1 = 4 cm2 , S2 = 8 cm2 , E1 = 130 GPa, E2 = 180 GPa. 11. 4 cm 6 cm Un prisma recto de 0,78 m2 de base está formado por tres capas distintas cuyos espesores y módulos cortantes respectivos son: 3, 6 y 4 cm, y 10, 35 y 20 GPa. Calcular el desplazamiento relativo entre las bases del prisma cuando una de ellas se mantiene fija y sobre la otra se aplica una fuerza cortante de 1,8 MN. 3 cm 12. El tensor de tensiones referido a un sistema de mostrada: 18 0 [τ ] = 0 −50 24 0 (a) (b) ejes xyz es el siguiente, obteniéndose nuevos ejes mediante la tabla 24 0 32 x y z x′ y ′ 3/5 0 0 1 4/5 0 z′ −4/5 0 3/5 Determinar los vectores tensión sobre cada uno de los nuevos planos coordenados en términos de las componentes referidas a los ejes antiguos. A continuación proyectar cada uno de los vectores obtenidos en el apartado (a) sobre los tres nuevos ejes de coordenadas y verificar que las nueve nuevas componentes que se obtienen para el tensor de tensiones son iguales a las que se obtienen mediante las fórmulas de transformación de un tensor de segundo orden bajo rotación de ejes. 13. Determinar las tensionesprincipales del tensor de tensiones con componentes rectangulares cartesianas dadas por la 1 0 0 matriz 0 3 −1 (MPa). 0 −1 3 (a) Obtener los cosenos directores de cada dirección principal, para un sistema orientado a derechas. (b) Calcular el invariante de primer orden (la traza) del tensor, utilizando las componentes principales y las originales, verificando que se obtiene el mismo resultado por los dos procedimientos. (c) Separar el tensor en suma de sus componentes hidrostáticas y desviadoras. (d) Obtener las tres componentes rectangulares del vector tensión actuando sobre un plano que pasa por ese punto y cuyo vector unitario normal es (2/3, -2/3, 1/3). (e) Obténgase la magnitud del vector tensión de (d), su componente en la dirección de la normal y el ángulo entre el vector tensión y la normal. Elasticidad. Física y Mecánica de las Construcciones. A. Martín. Grupo F. ETSAM-UPM y σn Agustin Martin Domingo 14. Un estado de tensión plana corresponde a una distribución de tensiones tal que, para una determinada dirección, normalmente designada por z, se anulan las tensiones normales y cortantes siguientes: σzz , τxz , τyz , τzx , τzy . Para este caso, (ver figura), determinar la tensión normal que actúa según un plano cuya dirección normal está inclinada 60◦ respecto del eje x. σxx = 35 kg/mm2; σyy = −7 kg/mm2 ; τxy = τyx = 2 kg/mm2 3 60◦ x 15. La matriz de las componentes cartesianas del tensor de tensiones en un punto es la siguiente: a 2 1 2 0 2 1 2 0 Escoger a para que exista un plano que contenga a ese punto y que esté libre de esfuerzos. Determinar la normal a dicho plano. 16. Si las componentes rectangulares de la tensión son las de la matriz siguiente, determinar el vector normal a un plano paralelo al eje z sobre el que el vector de esfuerzos sea tangente al plano (cortante puro). a 0 d 0 b e d e c 17. La fibra de un elemento de madera forma un ángulo de 15◦ con la vertical como se muestra en la figura. Determinar, para las tensiones aplicadas que se muestran en la figura: (a) Componente cortante del vector tensión a través del plano paralelo a la fibra. (b) Componente normal del vector tensión en el mismo plano. 250 MPa 15◦ 18. En unas pruebas elásticas se observa 10 0 descrito por el tensor [τ̂ ] = 0 20 0 0 que cuando un cierto material isótropo está sometido al estado de tensiones 0 0 (MPa), 0 2,5 0 0 el tensor de deformaciones correspondiente es [ǫ̂] = 0 8,75 0 × 10−5 . Determinar 0 0 −3,75 (a) (b) Módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del material. Variación de temperatura que debería producirse, manteniendo el mismo estado de tensiones, para que el volumen pase a ser el que había antes de aplicar las tensiones. (c) ¿Qué deformación elástica se producirá si se aplica una tensión cortante adicional τyz = 10 MPa? E Datos complementarios: αl = 10−5 ◦ C−1 , G = 2(1 + µ) 19. P2 P2 P1 P1 P2 P2 Un elemento estructural prismático de 30×30×5 cm3 soporta las cargas que se indican en la figura, esto es, P1 = 500 kg y P2 = 100 kg. Prescindiendo de las cargas debidas a su propio peso, calcular: (a) Las tensiones y las direcciones principales. (b) Cortante máximo (valor numérico, en MPa, y dirección) Datos: E = 70 GPa, Coeficiente de Poisson: 0,3 Elasticidad. Física y Mecánica de las Construcciones. A. Martín. Grupo F. ETSAM-UPM 4 20. A un pequeño cubo se le somete a una tracción de 200 kg/cm2 sobre las caras perpendiculares al eje x, a un esfuerzo cortante de 100 kg/cm2 paralelo al eje x de orientación positiva, sobre las caras perpendiculares al eje y, y viceversa, y además a un incremento de temperatura de 10◦ C. Determínese: (a) El tensor de deformaciones en un punto del cubo (el origen). (b) El ángulo girado por un segmento infinitesimal, situado sobre la diagonal del cubo que pasa por el origen. (c) Tensiones normal y tangencial sobre una sección cuyo vector normal es: √ 2 (~ux + ~uy ) ~n = 2 z Agustin Martin Domingo O y x Datos: E = 106 kg/cm2 ; Coeficiente de Poisson: 0,25; α = 3 αL = 3 · 10−5◦ C−1 21. Sobre una√de las caras de un cubo de un material elástico el vector tensión tiene por módulo 2 2·103 kg/cm2 y se encuentra en un plano perpendicular al eje y, formando un ángulo de 30◦ con el eje z (Véase la figura). Siendo nulas las tensiones sobre las caras perpendiculares al eje Oy, determínense: z 30◦ y O (a) El vector tensión sobre las caras de forma que el cubo esté en equilibrio. (Considerando que sobre las caras perpendiculares al eje Ox actúan únicamente las tensiones cortantes necesarias para que el cubo se encuentre en equilibrio). (b) Expresión, en los ejes dados, del tensor de deformaciones. (c) Dirección en la que el vector tensión tiene módulo mínimo. Datos: E = 2 · 106 kg/cm2, Coeficiente de Poisson: 0,25. x 22. Una barra prismática de sección cuadrada con una longitud L se encuentra fija al plano xy y sometida a tensiones en la dirección del eje Oz tales que: z ǫxx = ǫyy = −νǫzz ; ǫzz (z) = a 1 − L x y donde a es una constante positiva y ν el coeficiente de Poisson. Determinar: (a) Tensor de tensiones referido a los ejes dados. (b) Valor de las tensiones constantes de tracción en la dirección Oz que producirían el mismo alargamiento total que el estado de tensiones anterior. Datos:Módulo de Young: E = 2 · 106 kg/cm2 ; Coeficiente de Poisson: 0,25. 23. Se considera una ménsula de un material de peso específico γ, módulo de elasticidad E y coeficiente de Poisson ν de sección a × b y longitud l, ~ en el extremo según se muestra en la figura. sometida a un momento M Se pide: (a) (b) (c) z b ~ M l Tensor de tensiones. Tensor de deformaciones. Explicitar las hipótesis específicas que han utilizado para la resolución de los dos primeros apartados, justificándolas. 24. Se considera la viga biapoyada de longitud a y sección b × c que se muestra en la figura, sometida a una carga centrada y situada en el punto medio (la flecha es muy pequeña respecto a la longitud de la viga). En la hipótesis de que no pesa, se pide: (a) Tensor funcional de tensiones en toda la pieza. (b) Tensor de deformaciones en toda la pieza. (c) Explicitar, justificándolas, las hipótesis utilizadas. P d l a d c Elasticidad. Física y Mecánica de las Construcciones. A. Martín. Grupo F. ETSAM-UPM b 25. Se considera el pilar de la fig. de sección a × b y altura l, sometido a una carga centrada P que actúa a una altura h. El material tiene un peso específico γ, un módulo de Young E, un coeficiente de Poisson ν y un módulo de rigidez G. Se pide: (a) Tensor de tensiones en toda la pieza. (b) Tensor de deformaciones en toda la pieza. a Agustin Martin Domingo l 5 P~ h z b 26. Un pilar, de peso específico γ sirve de soporte a un tablero. El peso total de éste con su estructura es P y se reparte de forma uniforme en la parte superior del pilar. El centro de gravedad del conjunto tablero y estructura está situado a una distancia d del eje del pilar. Se pide: (a) Caracterizar el tensor de tensiones en un punto genérico de una sección del pilar. (b) Tensor de deformaciones Datos: dimensiones de la barra a, b, c, módulo de elasticidad E, coeficiente de Poisson µ. 27. Un elemento compuesto de dos prismas de materiales A y B se encuentra situado entre las placas rígidas de una prensa sin que inicialmente haya tensión sobre las caras (ver figura). Si se produce un aumento de temperatura de 10◦ C y la separación entre las placas de la prensa permanece invariable, calcular, despreciando el peso y la fricción de los prismas: (a) (b) (c) (d) d P c y a 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 x A B LA LB 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 x Relación entre las deformaciones unitarias longitudinales en la dirección x, ǫA /ǫB , para las dimensiones dadas. Razonar la respuesta. Tensiones longitudinales en los prismas A y B. Deformaciones en las caras transversales. Distancia que se desplaza la superficie de separación entre A y B. Datos: LA = 2LB = 2 cm; Módulo de Young EA = 2EB = 200 GPa, Coeficientes de dilatación lineal αB = 2αA = 10−5◦ C−1 , coeficientes de Poisson νA = νB = 0,25. 28. Un elemento elástico está compuesto de dos prismas de materiales A y B según se muestra en la figura. Sobre este elemento compuesto actúan, por mediación de placas rígidas, unas fuerzas de compresión de 30 · 103 N, que se distribuyen uniformemente. Despreciando el peso de los prismas, calcular: (a) (b) (c) F A B LA LB F Deformaciones unitarias ǫ longitudinales y transversales en A y en B Alargamientos longitudinales de A y B y variación de volumen de la pieza. Cociente σ/ǫ, con ǫ=∆L/L0 y σ = F/S y L0 = LA + LB . Datos: LA = LB = 5 cm, Módulo de Young EA = 2EB = 200 GPa, S = SA = SB = 10 cm2 , coeficientes de Poisson νA = νB = 0, 25. Elasticidad. Física y Mecánica de las Construcciones. A. Martín. Grupo F. ETSAM-UPM 6 Agustin Martin Domingo 29. Una pieza de madera, de sección transversal cuadrada de 5 × 5 cm2 tiene una junta encolada AB como se indica en la figura y está sometida a una fuerza de tracción P~ . Si las máximas tensiones de trabajo admisibles para la cola son respectivamente de σad = 7 MPa para la tensión de tracción máxima admisible y τad = 4,2 MPa para la tensión cortante máxima admisible, calcular: (a) Tensiones normales y cortantes (en función del ángulo Φ) en el plano AB que forma un ángulo Φ con el vertical según se muestra en la figura. (b) Si el rango admisible de ángulos es de 0 a 45 grados, calcular el ángulo óptimo Φ para que la junta tenga su máxima resistencia a la tracción P~ . (c) Fuerza de tracción máxima admisible en esas condiciones y Φ A x P~ P~ S S B 30. A una temperatura de 10◦ C, un cubo elástico de pequeñas dimensiones está sometido a un estado tensional que, referido a un sistema de coordenadas cartesiano, está dado por 2 1 0 σ = 1 1 1 MPa. 0 1 −1 Se introduce dicho cubo en un líquido a una profundidad de 100 m. Sabiendo que la densidad del líquido es de 1,05 · 103 kg/m3 y que en él existe un aumento de temperatura de 1◦ C por cada metro de profundidad, determinar: (a) El tensor de tensiones del cubo en el interior del líquido. (b) El tensor de deformaciones del cubo antes y después de introducirlo en el líquido. (c) La dilatación cúbica unitaria cuando está en el interior del líquido. (d) ¿Cuál es la componente de presión hidrostática antes y después de introducirlo en el líquido? Datos: Coeficiente de dilatación térmica lineal, αl = 10−6 ◦ C−1 , Aceleración de la gravedad: g ≃ 10 m/s2 , Módulo de elasticidad: E = 105 MPa, Coeficiente de Poisson, ν = 0,3. 31. Un pequeño cubo de un material elástico, homogéneo e isótropo, sufre una dilatación cúbica unitaria θ = 9 · 10−3 como consecuencia de un aumento de la temperatura de ∆T = 12◦ C, y a su vez experimenta una deformación tal que el ángulo entre las aristas dirigidas inicialmente según los ejes Oy y Oz diminuye en 12 · 10−3 radianes. Determinar: (a) El coeficiente de dilatación cubica y el coeficiente de dilatación lineal. (b) Expresión del tensor de deformaciones. (c) La presión hidrostática y el tensor de tensiones. (d) Las componentes tangencial y normal del vector tensión que actúa sobre la sección ABCD de la figura. Comente el resultado obtenido. Datos: Módulo de Young E = 50 GPa, Coeficiente de Poisson ν = 0,25, Módulo de E rigidez G = 2(1 + ν) z B A x C D y
