Interacción entre discursos en una situación de práctica matemática

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Interacción entre discursos en una
situación de práctica matemática escolar
NÚRIA PLANAS Y MEQUÈ EDO
Universitat Autònoma de Barcelona
Resumen
En este artículo exploramos la noción de práctica educativa teniendo en cuenta cambios en el discurso del profesor y en los discursos de los alumnos a raíz de la interacción entre unos y otros en un aula de matemáticas.
Partimos de las teorías socioculturales del habla (Elbers, 2003; Seedhouse, 2004) para el análisis de parte de
una sesión de clase con un grupo de alumnos de 15 y 16 años de Barcelona. Identificamos cambios en los discursos públicos por medio de la detección de cambios en las pautas comunicativas. Nuestros datos muestran que,
ante un mismo discurso público del profesor del aula, los alumnos reaccionan de formas distintas de modo que la
demanda o la realización efectiva de cambios no se asume por igual. De acuerdo con nuestro posicionamiento teórico, estas diferencias no tienen que ver tanto con los alumnos concretos como con las diferencias en los contextos de
relación y en las expectativas que el grupo clase tiene sobre cada uno de sus miembros.
Palabras clave: Interacción social, educación matemática, práctica escolar, discurso.
Interaction between discourses during
mathematics school practice
Abstract
The notion of educational practice is explored from the perspective of the teacher’s discourse and the students’
discourses when interacting with each other in the mathematics classroom. Sociocultural theories of human talk
(Elbers, 2003; Seedhouse, 2004) serve as framework for analysing part of a classroom session with a group
of 15 and 16 year-old students in Barcelona, Spain. Changes in public discourses are identified by detecting
changes in communication patterns. Our data show that students react in different ways to the teacher’s same
public discourse, i.e., demands or effective implementation of change are not assumed the same way. According
to our theoretical positioning, these differences are not so much related to the characteristics of each specific
student, but to differences in the classroom social context and in the expectations that the group as a whole has
on each of its members.
Keywords: Social interaction, mathematics education, school practice, discourse.
Correspondencia con las autoras: Nuria Planas. Facultad de Ciencias de la Educación. Dpto. de Didáctica de la
Matemática y las Ciencias Experimentales. Universitat Autónoma de Barcelona. D-140, E-G5. Bellaterra,
08193, Barcelona. E-mail: [email protected]
Original recibido: Julio, 2008. Aceptado: Septiembre, 2008.
© 2008 Fundación Infancia y Aprendizaje, ISSN: 1135-6405
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Introducción
Investigaciones recientes en educación matemática han estudiado pautas de
interacción y discurso en el aula. Algunos trabajos han relacionado estas pautas
con el desarrollo de formas de pensamiento matemático (Elbers, 2003; Wood,
Williams y McNeal, 2006). Otros trabajos se han centrado en la influencia que
el discurso y las formas de participación en el aula tienen en la construcción de
identidades matemáticas (Chronaki, 2005; Planas, 2007). Un tercer grupo de
trabajos ha dado prioridad al estudio de la práctica educativa del profesor desde
la perspectiva de los aspectos interaccionales y discursivos que influyen en ella
(Ball y Bass, 2000; Brown y Renshaw, 2000). Este artículo se sitúa dentro del
tercer grupo en cuanto a la temática de estudio y dentro del segundo grupo en
cuanto al posicionamiento sociocultural. El objetivo principal es explorar la práctica educativa teniendo en cuenta cambios en el discurso del profesor y en los discursos de los
alumnos a raíz de la interacción entre unos y otros en el aula de matemáticas. Se supone
que los enunciados producidos públicamente en el aula ejercen un papel regulador de los discursos particulares de los participantes, pudiéndose llegar a modificar en parte estos discursos y, como consecuencia, algunas de las prácticas.
El posicionamiento sociocultural en educación matemática asume la existencia de una fuerte conexión entre la práctica matemática y el contexto en el cual
ésta se desarrolla (Civil, 2002; Planas y Civil, 2008), siendo el discurso un aspecto determinante del contexto (Gutstein, 2003; Sfard, 2001). Desde este posicionamiento, la práctica educativa tiene carácter discursivo. Por una parte, las oportunidades individuales de aprendizaje matemático vienen condicionadas por los
contenidos matemáticos y no matemáticos del discurso del aula. Y por otra,
estos contenidos condicionan características, posibilidades y limitaciones de la
práctica educativa en su conjunto. Aunque las conexiones entre discurso y práctica educativa han sido señaladas por planteamientos teóricos muy variados
(Wal-Pastoor, 2005), se trata de un tema cuyos mecanismos no han sido suficientemente descritos en el ámbito de la educación matemática (Stephan, Cobb
y Gravemeijer, 2003) ni en relación con los sucesos del aula de matemáticas
(Hiebert, Morris y Glass, 2003). En este artículo, el análisis de parte de una
transcripción de una sesión de clase ha de contribuir a comprender mejor cómo
los enunciados de un aula de matemáticas regulan los discursos de profesor y
alumnos, y cómo por medio de estos enunciados se gestan cambios en algunas
prácticas.
Marco teórico
La fundamentación teórica se basa en dos marcos conceptuales que han de
contribuir a describir e interpretar relaciones entre discursos individuales de un
aula. El primer marco se ha usado para conceptualizar la noción de pauta comunicativa. El segundo marco gira en torno a la noción más global de discurso
desde la perspectiva de los procesos sociales desarrollados en el micro contexto
del aula. Este marco se ha usado para explorar de qué modo ciertas interacciones
entre discursos –que identificamos por medio de la interacción entre sujetos–
producen cambios en pautas comunicativas previamente establecidas por uno o
más participantes.
Pautas comunicativas y cambio
El aula de matemáticas es una compleja red de modos de interacción entre
personas y entre grupos. En las interacciones se produce un intercambio de contenidos matemáticos y no matemáticos condicionado por las intenciones comu-
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nicativas de estas personas y grupos (Engeström, Engeström y Kerosuo, 2003).
Estas intenciones, a su vez, se forjan en un contexto de posiciones sociales y procesos de intercambio más amplios. Las posiciones sociales, o la situación de unas
personas respecto de otras, influyen en los mensajes que se emiten y en cómo se
emiten y, especialmente, en las formas de comportamiento esperadas en cada
participante en función de su singularidad, sus grupos de pertenencia, sus actuaciones, etcétera. Del profesor, se espera que ponga en práctica comportamientos
propios de su posición, que variarán según la cultura escolar y la cultura de aula
que se estén construyendo. En una cierta cultura de aula, clarificar conceptos,
sintetizar ideas o evaluar razonamientos pueden ser comportamientos asociados
al discurso del profesor, mientras que los actos de revisar errores, plantear dudas
o construir argumentos pueden asociarse a los discursos esperados de los alumnos. Los comportamientos finalmente adoptados pueden entenderse como pautas comunicativas por medio de las cuales profesor y alumnos construyen el discurso del aula (Font y Planas, 2008).
En este trabajo, se define pauta comunicativa como un mensaje verbal recurrente y compartido entre varios interlocutores con una intención vinculada al
desarrollo de una práctica. La demanda o la realización efectiva de una pauta
comunicativa es el producto de procesos sociales donde se gesta la necesidad de
plantear y poner en práctica dicha pauta. Estos procesos sociales son formas de
interacción donde profesor y alumnos desempeñan sus posiciones y donde asumen o se enfrentan a comportamientos propios y ajenos. Hasta llegar a hacer
efectiva una pauta, pueden desarrollarse procesos sociales de tipos muy distintos.
Ciertas interacciones pueden obstaculizar la realización de una pauta y, al mismo
tiempo, otras interacciones pueden estar facilitándola (Planas, 2005). En general, las pautas comunicativas son el resultado de relaciones entre interacciones
con contenidos total o parcialmente confrontados, defendidos por personas o
grupos con perspectivas distintas (Mercer, 2001). De acuerdo con esto, cuando
un participante del aula interviene clarificando un concepto, hay que pensar que
hace efectiva una pauta tras una secuencia de interacciones donde ha prevalecido
la necesidad de ‘clarificar’ por delante de otras necesidades como cambiar de
tema o avanzar. Por su parte, ‘clarificar’ condiciona la activación de procesos
sociales que facilitan la realización de otras pautas que consiguen prevalecer, y así
sucesivamente.
En este artículo se supone que es posible identificar cambios en las pautas
comunicativas del aula. A pesar de que el discurso del aula tiene características
que le confieren un cierto carácter rígido, se muestra en parte flexible y cambiante si atendemos a los procesos sociales y a las posibilidades de evolución de estos
procesos.
Discurso y procesos sociales
Los procesos sociales son secuencias de interacciones que llevan hasta la realización de pautas comunicativas. Estos procesos trascienden las interacciones concretas entre personas para configurar el discurso, que es un escenario social donde
se entrelazan procesos gestados en distintos contextos de prácticas –el aula, la
escuela, la familia, el grupo de amigos, etcétera (Gee, 1999)–. De la misma
manera que la realización de una pauta no tiene sentido si no es con referencia a
otras pautas anteriores y posteriores en el tiempo, los procesos sociales de un aula
tampoco se hallan aislados de otros procesos del mismo tipo que se desarrollan
fuera de ella. Desde el punto de vista del análisis de pautas comunicativas en un
aula hay, por tanto, al menos tres aspectos a considerar: 1) las posiciones sociales
de los participantes, que están coordinadas entre ellas; 2) los procesos sociales
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desarrollados dentro del aula, que se concretan en interacciones entre participantes; y 3) los procesos sociales desarrollados fuera del aula, que condicionan posiciones y procesos sociales internos. En este trabajo, tomamos el aula como un
micro contexto y llevamos a cabo un análisis discursivo centrado en el segundo
aspecto.
Seedhouse (2004) interpreta el discurso como un escenario social dinámico
donde las posiciones y relaciones entre personas cambian por la influencia de
unas sobre las otras. Este autor distingue entre discursos producidos por personas
con identidades sociales concretas –el discurso de un profesor, el de un alumno,
el de un alumno no inmigrante, etcétera– y discursos producidos por entornos
de prácticas –el discurso de una comunidad de vecinos, el de un aula, el de un
aula bilingüe, etcétera–. En este último caso, se hallan presentes relaciones interpersonales de cooperación, acomodación, asimilación, conflicto, obstrucción y
competición, entre otras, aunque no en todos los discursos estas relaciones se
acentúan por igual (Iedema y Scheeres, 2003). Se trata de relaciones constituyentes de procesos sociales desde donde tienen lugar interacciones y pautas comunicativas específicas. El discurso es, por tanto, un escenario donde se desarrollan
procesos sociales que llevan a modos de comportamiento que, a su vez, posibilitan la realización de pautas comunicativas. Estos procesos sociales no determinan
de forma unívoca las pautas comunicativas pero facilitan u obstaculizan unas
antes que otras. Por ejemplo, un discurso de aula donde predominan procesos de
obstrucción difícilmente promoverá pautas basadas en la coordinación de objetivos, el respeto de turnos de palabra o la validación de puntos de vista alternativos.
Para conocer qué ocurre en un aula y cómo se comportan sus miembros, hay
que adentrarse en el discurso de este contexto (Brown y Renshaw, 2000). A pesar
de que el macro contexto proyecta expectativas de comportamiento en alumnos
y profesores, los comportamientos se (re)construyen por medio de procesos sociales del aula y deben interpretarse, en primer lugar, desde el micro contexto. En
Civil y Planas (2004) y en Edo, Planas y Deulofeu (en prensa), se argumenta que
los procesos del aula tienen una cierta autonomía respecto a los comportamientos
esperados en la cultura. Por ejemplo, en un aula de matemáticas se tiende a esperar que el profesor ostente el principio de autoridad en base a su conocimiento de
la materia; se piensa, además, que él es quien sabe más matemáticas, aún cuando
pueda haber alumnos con mayor dominio de algunas destrezas de tipo matemático. En un aula de ciencias sociales, se tiende a esperar que un alumno inmigrante conozca mejor la geografía de su país que el profesor. Las expectativas se
hacen efectivas si los procesos sociales del aula lo permiten, en tanto que estos
procesos regulan los comportamientos y la influencia de la cultura en ellos. El
discurso de un aula puede promover procesos de cooperación que muestren que,
en contra de lo esperado, un alumno marroquí visualiza un objeto geométrico
mejor que el profesor y que, sin embargo, desconoce la geografía del Atlas. Esta
concepción del discurso permite estudiar procesos sociales del aula sin incluir
datos del macro contexto.
Metodología
Para este estudio se han usado datos de un aula de 4º curso de secundaria obligatoria (15-16 años) en Barcelona. Estos datos se usaron con otros fines de análisis en Planas (2001). De entre las sesiones de clase grabadas en vídeo y transcritas
en aquella ocasión, para este monográfico se ha seleccionado parte de una sesión
de 50 minutos donde la discusión en torno a la práctica matemática incluye a
varios alumnos y donde la interacción verbal de éstos con el profesor es frecuente.
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La parte analizada corresponde a la fase final de puesta común después del trabajo en grupos. La sesión se dedica a la resolución de un problema de contexto real
no basado en rutinas (ver Figura 1). El problema trata el tema de la distribución
de los recursos del planeta y forma parte de una unidad didáctica centrada en el
trabajo de porcentajes. El profesor orienta durante el trabajo en grupos e interviene de un modo más directivo en la discusión conjunta, cuando los portavoces
exponen las estrategias desarrolladas. Los alumnos están acostumbrados a pensar
enunciados que sugieren problemáticas reales y, en general, muestran interés.
También están acostumbrados a dedicar tiempo a la comprensión de los enunciados, a clarificar términos antes de intentar resolver los problemas y a colaborar
con sus compañeros. Esta cultura se plantea en un aula con un grupo estable de
18 alumnos. La ratio es baja en toda la escuela debido a la clasificación como centro de atención educativa preferente por las condiciones socioeconómicas precarias de la mayoría de familias, muchas de ellas de origen inmigrante. Aunque la
realidad multicultural del aula es un rasgo de importancia en la configuración de
discursos, aquí exploramos formas de expresión de los discursos sin detenernos a
considerar aspectos críticos de tipo sociolingüístico.
FIGURA 1
Enunciado del problema1
El 20% de la población mundial dispone del 80% de los recursos del planeta. Esto significa que la
riqueza del mundo está repartida muy desigualmente. De promedio, ¿cuántas veces son más poderosos los
ricos que los pobres?
1
Enunciado basado en un problema extraído de F. Corbalán (1995). La matemática aplicada a la
vida cotidiana. Barcelona: Graó.
Procedimiento de análisis
En primer lugar se recupera la transcripción literal del fragmento seleccionado y el vídeo de la sesión. La transcripción se completa con pausas y elementos
paralingüísticos (señales corporales, gestos y otros significados no expresados
verbalmente). Las tablas I y II reproducen parte de la transcripción en una versión abreviada. El análisis posterior parte de una mirada conjunta a los datos de
la transcripción, del vídeo de aula y a las notas de campo que la primera autora
recogió durante la observación no participante de la sesión. El estudio integrado
de transcripción, vídeo y notas de campo permite interpretar las intervenciones
de los participantes sin obviar el micro contexto social de referencia dado por lo
que ocurre en el aula. Los detalles sobre este tipo de análisis se encuentran en Planas (2006), donde se argumenta la necesidad de recurrir al material audiovisual
en todos los momentos del procedimiento de un análisis discursivo. En Planas
(2004a, 2004b) se presentaron las bases del procedimiento de análisis.
El estudio de la interacción entre discursos se hace operativo por medio del
estudio de cambios en los discursos públicos de los participantes del aula. Se
supone que hay dos grandes grupos de discursos individuales en el aula, el del
profesor y el de los alumnos, diferenciados entre sí en base a la dualidad socialmente establecida entre enseñar y aprender. Para la identificación de cambios en
los discursos, se buscan cambios en las pautas comunicativas. Se asume que la
identificación de pautas y de cambios en ellas ha de venir facilitado por la identificación de procesos sociales de conflicto entre dos o más participantes. El proceso de conflicto es una forma de relación social donde las personas discrepan en
cuanto a algunos significados, pudiendo mantenerse el conflicto, reducirse o
superarse tras la participación activa de las distintas partes. En particular, se buscan formas de relación social donde una de las partes sea el profesor y se entiende
5
Clarificar términos
Reconocimiento de la
dificultad de comprensión
de la expresión ‘ser más
poderoso que’ por parte de
algunos alumnos,
pidiéndose un intercambio
de significados entre
alumnos y ayuda al profesor;
éste no da una respuesta
directa y, en su lugar, deriva
la discusión hacia un tema
aritmético sobre la
resolución del problema.
A2 Vale, hay ricos que ganan más y ricos que ganan menos, pero nosotros tenemos
que pensar en un rico que sea más poderoso que un pobre.
P ¿Cómo pensamos el problema?
A5 Un rico es el 80% más poderoso que un pobre.
P ¿Y eso qué significa?
A5 Los ricos son un promedio de cuatro veces más poderosos que los pobres.
P ¿Estáis de acuerdo?
A2 ¿En qué? Esto de que uno es más poderoso que otro, no está claro. Lo de ser más
poderoso no solo tiene que ver con el dinero. Nosotros hemos pensado que en el
mundo hay un millón de personas y que todo el dinero es un millón de euros.
¿Cómo tenemos en cuenta lo que no es dinero?
A5 ¿Yo puedo ser poderoso sin tener dinero?
A2 ¡Pues claro!
A5 Pero los recursos del planeta se refieren a dinero.
P ¿Qué opináis?
A1 ¿Lo hacemos pensando en un millón de euros?
A4 Yo prefiero no inventarme los números.
A1 Podemos poner una cantidad mayor pero esto no tiene importancia.
A2 Estos números no son importantes, estamos hablando de las unidades.
A5 ¿La unidad son euros? ¿Ser más poderoso es tener más euros?
P Vamos a ir por partes. Me he fijado que muchos de vosotros habéis dividido 80
entre 20. Primero hay que aclarar esto y luego pasamos a lo siguiente.
A5 Luego no nos vamos a acordar de lo siguiente.
P Un poco de orden es necesario.
A5 Entonces, ¿ser más poderoso es tener más dinero?
P A eso vamos luego, ahora hay que aclarar el 80 entre 20.
A5 Sale 4, que es muy poco... si fuera 40...
P No entiendo por qué habéis añadido un 0 al 4 en algunos cuadernos.
A5 ¿No está bien así?
Revisar cálculos
Interrupción de las
intervenciones centradas en
demandas de clarificación
de términos para reconducir
la sesión de modo que se
reconsidere revisar cálculos
erróneos que el profesor ha
visto en algunos cuadernos,
justificándose la
interrupción como el
resultado de una ordenación
de prioridades para lograr
avanzar en la resolución del
problema.
Pautas del profesor
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[A5] Revisar cálculos
Aceptación sin resistencia de
la necesidad de sustituir el
tema planteado por alumnos
acerca de la clarificación de
parte del enunciado del
problema por la revisión de
cálculos erróneos detectados
por el profesor, dando
muestras de interés por la
explicación de los errores y
esperando que se retome el
tema interrumpido.
Pautas de alumnos
Subtranscripción –Conflicto en torno a la expresión ‘ser más poderoso que’
6
TABLA I
Pautas asociadas a una subtranscripción
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Pautas de alumnos
Clarificar términos
Reconocimiento de la
dificultad de comprensión del
término ‘promedio’ por parte
de algunos alumnos, pidiendo
uno de ellos ayuda, primero a
un compañero y después al
profesor; las demandas de
ayuda se asumen por parte de
otros alumnos; el profesor no
da una respuesta directa y, en
su lugar, explora y evalúa
conocimientos.
A6 [a A2, en voz alta] ¿Esto del promedio qué significa?
A2 Es una media, quiere decir que no tienes que buscarlo exacto, tienes que hacer una
media y quedarte con lo que te sale.
P ¿Eso significa hacer una media?
A6 ¿Qué es un promedio, profe?
P ¿Tú qué crees?
A3 Lo de que sea exacto o no quiere decir que lo estás haciendo aproximado, pero no
tiene nada que ver con la media. Son números aproximados, ¿no?
A2 Promedio y media son sinónimos. Vamos a otra cosa.
P ¿Siempre?
A3 Lo que nos interesa es saber qué significa promedio aquí. ¿Lo que queramos?
P ¿Qué quieres decir?
A3 Pues eso, si significa lo que queramos, que miremos un rico y miremos un pobre
como si fueran un promedio.
P Creo que nos estamos liando un poco...
A6 Si nos dices lo que es un promedio ya no nos vamos a liar tanto.
A4 ¿Qué es un promedio?
P Yo estoy convencido de que sabéis lo que es un promedio, que podéis encontrar
ejemplos para explicar lo que significa. Cuando decimos que una persona gana de
promedio 600 euros cada mes, ¿qué queremos decir?
A3 ¡Eso es lo que estamos preguntando!
A6 Por lo menos nos lo puedes decir un poco.
P Bueno, esta noción es de verdad muy importante. Si una persona gana 600 euros de
promedio cada mes, habrá meses que ganará 650, otros 580, otros 590... no siempre gana
lo mismo, pero su sueldo se aproxima a 600 euros. Con los ricos y los pobres pasa algo
parecido. No se trata de saber cuánto más tiene un rico que un pobre de una manera
exacta, sino de dar una cifra aproximada que se entienda como un resultado aproximado.
A4 ¿Lo ves, profe? Hay que saber lo que es un promedio. ¿Tienes más ejemplos?
A2 Pero un promedio es algo exacto, ¿no? ¿Tienes más ejemplos?
Clarificar términos
Aceptación sin resistencia de las
demandas de alumnos en torno
a la explicación y
ejemplificación del término
matemático de promedio,
haciendo hincapié en la
importancia de la noción y
recurriendo a la estrategia de
particularización ya introducida
para elaborar ejemplos que
ayuden a delimitan una
definición bajo la supervisión
del profesor.
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Explorar conocimientos
Reacción inicial a las demandas
de algunos alumnos evitando
explicar el término matemático
requerido, poniendo de relieve
las dificultades en la
comprensión del término y
pidiendo el esfuerzo de los
alumnos para avanzar en el
establecimiento de un
significado preciso sin una
intervención excesiva del
profesor.
Pautas del profesor
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Subtranscripción –Conflicto en torno al término ‘promedio’
TABLA II
Pautas asociadas a una subtranscripción
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que, en algunos casos, la participación activa puede llevar a modificar los significados que han contribuido a que se originara el conflicto. Desde la detección de
procesos de conflicto hasta la identificación de cambios en los discursos públicos
de los participantes, los pasos del procedimiento de análisis son los siguientes:
1) Identificar partes de la transcripción donde se ponga de manifiesto un proceso de conflicto entre participantes, siendo el profesor una de las partes.
2) Fragmentar la transcripción en tantas subtranscripciones como procesos de
conflicto se hayan identificado.
3) Para cada subtranscripción, distinguir los enunciados del discurso del aula
en función del participante que los haya producido.
4) Dentro de cada subtranscripción y de cada grupo de enunciados, identificar
la(s) pauta(s) comunicativa(s) dominante(s) en cuanto a la práctica matemática (e.g., clarificación de términos, inclusión de rutinas, comparación de
métodos, etcétera).
5) Para cada pauta, asignar como código la intención de quien(es) la sostiene(n) y elaborar una breve descripción de dicho código a partir de la interpretación de los participantes directamente implicados.
6) Dentro del grupo de pautas dadas por enunciados del profesor / de alumnos, buscar cambios relacionados con la asunción de pautas requeridas por
enunciados de alumnos / del profesor.
Para cada subtranscripción, se elabora una tabla de triple entrada a fin de
visualizar simultáneamente la codificación de pautas dominantes en los discursos. Aunque una misma subtranscripción contiene varias pautas, el análisis se
centra en aquella(s) con una presencia más recurrente y con una relación más
directa con el proceso de conflicto en tanto que reacción o respuesta a él. Para
este artículo se ha seleccionado el análisis aplicado a dos subtranscripciones. En
una de ellas, hay discursos de alumnos que parecen provocar cambios en el discurso público del profesor. En la otra, el discurso del profesor parece provocar
cambios en el discurso público de un alumno. En otras subtranscripciones de la
misma sesión se observa que el profesor no modifica el sentido de sus intervenciones a pesar de las demandas de alumnos que solicitan cambios. También se
han encontrado procesos de conflicto donde el profesor recomienda cambios en
ciertas pautas y, sin embargo, los alumnos se resisten. En general, la variedad de
casuísticas pone de relieve que el estudio de la interacción entre discursos no
puede reducirse a una caracterización de interacciones tipo.
Resultados
De entre todos los procesos de conflicto que se identifican, dos de ellos dan
lugar a cambios significativos en algunos de los discursos públicos. Son significativos en tanto que se refieren a modificaciones en pautas comunicativas relacionadas con la práctica matemática. En ambos casos, se trata de procesos de conflicto generados a partir de diferencias en las expectativas en cuanto al desarrollo
de esta práctica (ver Tablas I y II). El conflicto se retroalimenta desde las dos partes implicadas hasta que el profesor y/o algún alumno acceden a modificar expectativas por medio de la sustitución de unas pautas comunicativas por otras. Los
cambios van acompañados de muestras de acomodación que no suponen necesariamente la superación o reducción del conflicto. Otra particularidad común
tiene que ver con la naturaleza de los procesos de conflicto. Los conflictos se dan
simultáneamente junto a procesos de colaboración entre los participantes que
difieren en las expectativas de actuación en torno a la práctica matemática. La
colaboración, derivada de asumir la resolución del problema como una tarea conjunta, suaviza las experiencias de conflicto puesto que los participantes no tratan
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de excluirse mutuamente pero, por otra parte, no impide que el conflicto se
manifieste de forma explícita.
Los cambios analizados son comparables si tenemos en cuenta la perspectiva
de quién(es) contribuyen a que se produzcan. Tanto el cambio en el discurso del
profesor como el cambio en el discurso del alumno están directamente relacionados con la influencia en ellos de otros discursos expresados en el aula. En ambos
casos las pautas que pasan a asumirse como propias han de entenderse como temporales. El profesor, por ejemplo, sustituye una pauta inicial por otra sugerida
por alumnos que, sin embargo, será abandonada más tarde por todos ellos, aun
cuando todavía parece ser necesaria. En las dos subtranscripciones se observa
que, ante un mismo discurso del profesor, los alumnos se posicionan de formas
distintas de modo que la demanda o la realización efectiva de cambios no se
asume por igual. De acuerdo con nuestro posicionamiento teórico, las diferencias
no tienen que ver tanto con los alumnos concretos como con las diferencias en los
contextos de relación y en las expectativas que el grupo clase tiene sobre cada
uno de sus miembros.
Cambios en el discurso de un alumno
Poco después de iniciarse la fase de discusión conjunta y tal como muestra la
tabla I, surge una duda acerca del significado que debe atribuirse a la expresión
‘ser más poderoso que’ (ver Figura 1). A1, A2, A4 y A5 insisten en la necesidad de
clarificar la expresión para poder avanzar en la resolución del problema. A2 relaciona la clarificación de ‘ser más poderoso que’ con la validación de la estrategia
basada en la concreción del número de habitantes y la cantidad de dinero del planeta. Para esta alumna, pensar el problema tomando la particularización de un
millón de personas y un millón de euros tiene sentido si los recursos del planeta
pueden reducirse a euros. Si ‘ser más poderoso que’ incluye otras variables y no
hay una única unidad de medida para la riqueza, la aproximación de su grupo no
es válida en tanto que no permite una particularización sencilla. El grupo de A2,
por tanto, relaciona la discusión en torno a una expresión no matemática con
avances en la resolución del problema. El conflicto radica en que el profesor no
establece esta asociación ni da la misma importancia que los alumnos a la clarificación de la expresión cuya discusión, paradójicamente, sugiere él cuando pregunta “¿Y eso qué significa?”. El profesor está interesado en la división de 80
entre 40, pero los alumnos piden que antes se expliquen las unidades asignadas a
estas cantidades.
El profesor hace prevalecer la revisión de cálculos como pauta comunicativa
dominante. Para ello, propone reconducir las intervenciones hasta revisar cálculos erróneos que ha visto en cuadernos de alumnos durante la fase anterior de trabajo en grupos. Por medio de un argumento basado en la necesidad de establecer
un orden, consigue que los alumnos dejen de insistir en sus demandas de clarificación en espera de que sus dudas sean retomadas más tarde. A5 pasa de reclamar
el significado de ‘ser más poderoso que’ a mostrar interés por la división de 80
entre 40. El proceso de sustitución de una pauta introducida por alumnos (clarificar una expresión) por otra introducida por el profesor (revisar cálculos) debe
entenderse como un proceso bilateral donde intervienen de forma activa todas las
partes. En un primer momento, el profesor no rechaza la clarificación de términos, de modo que hay un tiempo para que los alumnos expresen expectativas.
Cuando el profesor propone el cambio en la pauta inicial, los alumnos contribuyen a este cambio al dejar de insistir en sus demandas. Algunos incluso asumen
como necesaria la tarea de revisión de cálculos e intervienen en el establecimiento de una nueva pauta. El profesor, por su parte, contribuye a que el cambio apa-
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rezca como el resultado de una negociación: si los alumnos acceden a revisar los
cálculos erróneos, después se explicará la expresión que reclaman.
En este fragmento, se produce un aprendizaje sobre qué pautas deben anteponerse en el discurso global del aula. La socialización efectiva de los alumnos tiene
que ver con el aprendizaje de estas pautas. Cuando A5 muestra interés por el
resultado de la división de 80 entre 40, está aprendiendo a comportarse como
alumno en un aula donde el ‘buen’ aprendiz de matemáticas debe aceptar el
orden de tareas establecido por el profesor. La aceptación de una pauta introducida por el profesor contribuye al desarrollo de una socialización efectiva que, en
este caso, aparece junto a una obstaculización del proceso de aprendizaje matemático. A pesar de que la socialización se justifica en términos de aprendizaje
matemático (si se establece un orden adecuado, se podrán revisar las estrategias
erróneas basadas en el establecimiento de una relación aritmética directa entre
las cantidades del enunciado), se está facilitando un aprendizaje mientras se interrumpe otro también vinculado a la actividad matemática, cuyo proceso ya se
había iniciado y que, además, había sido demandado por iniciativa de los alumnos (si se clarifica el enunciado del problema, se podrá valorar la adecuación de
las estrategias desarrolladas). Estamos, por tanto, ante un ejemplo de interacción
entre discursos donde se confrontan los objetivos de socialización en el aula y de
aprendizaje matemático.
Cambios en el discurso del profesor
Tras haber sido rechazada la división de 80 entre 40 y tal como muestra la
tabla II, surge una duda acerca del significado del término promedio. A diferencia de lo ocurrido en el episodio anterior, el profesor accede a comentar este término. Se produce un esfuerzo común con el objetivo de clarificar lo que significa
promedio en el contexto del problema. El conflicto inicial, derivado de la actitud
no interventora del profesor frente a demandas de clarificación por parte de
alumnos, se supera cuando se da respuesta a estas demandas. La pauta inicialmente sostenida por el profesor es de exploración de conocimientos. Se evita
explicar el término promedio, se atiende a las dificultades de comprensión y se
pide el esfuerzo unilateral de los alumnos. Poco más tarde, esta pauta se sustituye
por la de clarificación de términos, explicándose y ejemplificándose la noción de
promedio tras la insistencia de algunos alumnos. El profesor, sin embargo, hace
una reinterpretación de la pauta de clarificación esperada por los alumnos y la
aplica parcialmente. A3, A4 y A6 reclaman una definición de promedio y, en su
lugar, se da una explicación basada en ejemplos. A pesar de la reinterpretación,
los alumnos asumen que el profesor ha accedido a dar una cantidad de información suficiente.
Cuando otros alumnos piden que se explique el significado del término promedio, A2 cuestiona la necesidad de dedicar tiempo a explicarlo y pide celeridad
en la discusión. Esta respuesta contrasta con la de sus compañeros, que insisten
en pedir una clarificación del término. El profesor está expuesto a los discursos
particulares de los distintos alumnos, de modo que podría haber tomado como
referencia el discurso de A2 que, en esta ocasión, tiene aspectos en común con el
suyo propio. Sin embargo, opta por atender demandas de discursos que le exigen
modificaciones. Las notas de campo indican que, durante la fase de trabajo en
grupos, A2 ha expresado dificultades de comprensión de la noción de promedio.
De ahí que el discurso de A2 pueda interpretarse como el resultado de una acción
recíproca respecto a comportamientos previos del profesor donde éste se ha mostrado reticente a clarificar la expresión ‘ser más poderoso que’. Todos los participantes de este episodio se enfrentan al dilema de tener que escoger entre dos pau-
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tas (‘clarificar’ o ‘explorar’). Al resolver este dilema, no solo se posicionan ante las
prácticas sino que también lo hacen ante las personas que sostienen cada una de
las opciones. El profesor accede a explicar el significado de promedio al mismo
tiempo que se distancia discursivamente de A2 y se acerca a otros alumnos.
Cuando A2 escucha las explicaciones sobre la noción de promedio, surgidas
tras un cambio en el discurso del profesor, reconoce no comprender bien esta
noción y se une a sus compañeros en la demanda de más ejemplos. Aunque la
respuesta de A2 no puede atribuirse solo a una situación de acción-reacción ante
la respuesta del profesor a las demandas de A3, A4 y A6, es razonable pensar que el
cambio en el discurso del profesor influye en la adecuación de A2 a la nueva pauta
dominante. La secuencia de cambios en el discurso del profesor aparece en más
subtranscripciones. Una mirada conjunta a las dos subtranscripciones ejemplificadas sugiere otras variaciones. El profesor no accede a clarificar el significado de
‘ser más poderoso que’ y, sin embargo, minutos más tarde accede a explicar el
significado de promedio. La interacción entre discursos debe interpretarse, por
tanto, en un escenario social de cambios donde los comportamientos esperados
están sujetos a una variabilidad de difícil caracterización. Desde la perspectiva de
la práctica educativa, la variabilidad de los cambios en el discurso del profesor
muestra una situación compleja donde el discurso global del aula ha de construirse de forma simultánea a las variaciones producidas dentro de este discurso
particular. Las variaciones, no siempre previsibles, en el discurso del profesor
también se dan en los discursos de los alumnos, aunque unas y otras no siguen
necesariamente relaciones de causa-efecto.
Reflexiones finales
Los discursos de los participantes están relacionados entre sí por la realización
recíproca de pautas comunicativas. Esta relación parece estar influenciada por la
naturaleza en torno a los objetos que se discuten. En los trabajos sobre discurso se
acostumbra a mencionar la importancia de los sujetos y, en general, se presta
poca atención al papel de los objetos. Nuestros datos sugieren la necesidad de
incorporar los objetos en el estudio de la interacción entre discursos. Los datos
muestran un discurso del profesor asociado a dos procesos aparentemente contradictorios, de mantenimiento y de modificación de una pauta de clarificación.
Aunque la pauta inicial es la misma, el objeto en torno al cual se pide la clarificación es distinto en cada caso. En el primer episodio, el profesor insiste en que se
explore la expresión ‘ser más poderoso que’, a pesar de que algunos alumnos
reclaman que se explique. En el segundo episodio, el profesor accede a explicar el
término promedio porque considera que esta noción matemática debe ser aprendida correctamente. Desde el discurso del profesor se establece una distinción,
que puede ser inconsciente, entre explicar ‘lo matemático’ y explicar ‘lo cotidiano’. Se da prioridad a explicar un objeto del ámbito matemático y se deja que los
alumnos concreten el significado de un objeto del ámbito de la experiencia.
La interacción entre discursos del aula parece estar condicionada por los valores asignados a los objetos en torno a los que se desarrollan procesos sociales de
conflicto. Esta interacción se ha de analizar no solo en razón de las diferencias en
las pautas promovidas, sino también en razón de las diferencias en los valores
concedidos a los objetos referidos por estos discursos. En el contexto del artículo,
los objetos son una noción (‘promedio’) y una expresión (‘ser más poderoso que’).
Si el profesor da mayor valor a la clarificación de un término por el hecho de estar
vinculado al lenguaje matemático, el alumno ha de aprender a reconocer el valor
dado y contrastarlo con su propio discurso. Desde el discurso del profesor se usa
el valor dado al término promedio como base para la argumentación de un cam-
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bio en la pauta inicial. Se argumenta que es importante clarificar nociones matemáticas y se recomienda a los alumnos que hagan un esfuerzo en este sentido. En
el discurso del profesor, el valor de importancia dado a la noción matemática de
promedio (“Esta noción es de verdad muy importante”) va acompañado de la
menor importancia dada a ‘ser más poderoso que’ (“A eso vamos luego”). En los
discursos de algunos alumnos, sin embargo, no hay evidencias de esta diferenciación. Los procesos de conflicto pueden ser interpretados, por tanto, como el
resultado de discrepancias entre valores expresados por el discurso dominante del
profesor y por discursos de alumnos. No sabemos hasta qué punto los cambios
documentados modifican valores. Los valores son elementos muy arraigados de
los discursos que no se sustituyen fácilmente. Cuando A2 deja de insistir en que
se explique qué significa ‘ser más poderoso que’, se está acomodando a las
demandas que supone al discurso del profesor pero, de ahí, no se deduce que
haya rebajado el valor de ‘clarificar expresiones del lenguaje cotidiano en el aula
de matemáticas’. Igualmente, cuando el profesor accede a ejemplificar la noción
de promedio después de haber dedicado poco tiempo a la pauta de exploración,
está ajustándose a demandas de alumnos pero no modifica necesariamente el
valor de ‘explorar en el aula de matemáticas’.
Esta primera hipótesis acerca del papel de los objetos en los cambios en los
discursos del aula requiere una mayor elaboración y más datos. Será necesario
percibir diferencias en el valor dado a objetos matemáticos y no matemáticos en
más sesiones de clase y en más aulas. En cualquier caso, los datos aportados ilustran la posibilidad de cambios en las pautas comunicativas a raíz de las interacciones entre alumnos y profesor. Tales cambios confirman la práctica educativa
como un lugar flexible y en evolución hacia la construcción de un discurso
común, con distintas formas de aproximación y de contribución de cada participante a este discurso.
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