FaCEN_UNCa/Curso de Ingreso - Matemática

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO DE INGRESO
MATEMÁTICA
2015
CARRERAS:
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROFESORADO EN FÍSICA
LICENCIATURA EN QUÍMICA
PROFESORADO EN QUÍMICA
TÉCNICO QUÍMICO UNIVERSITARIO
DOCENTE RESPONSABLE:
LIC. MELINA BORDCOCH
AUXILIARES:
LIC. DAVID H. LUCERO
LIC. PABLO N. KONVERSKI
PROF. JULIA CABEZA
PROF. EDUARDO ZARATE
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2015
TEMA 1: UNIDADES DE MEDICION
MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.
UNIDADES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL.
Tanto la Física como la Química son ciencias naturales o experimentales. De manera
inevitable surge la necesidad de medir. Los experimentos requieren mediciones y los resultados
de esas mediciones suelen describirse con números acompañados de la unidad correcta. Las
mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observadores puedan
duplicar en distintos lugares. El sistema empleado por los científicos e ingenieros de todo el
mundo es el sistema métrico, conocido desde 1960 por su nombre oficial: Sistema Internacional
(SI). La siguiente tabla nos muestra las unidades fundamentales de SI:
Tabla 1: unidades fundamentales del SI
MAGNITUD
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad de la corriente eléctrica
Temperatura termodinámica
Cantidad de materia
Intensidad luminosa
Angulo plano
Angulo solido
NOMBRE
SIMBOLO
Metro
m
Kilogramo
kg
Segundo
s
Ampere
A
Kelvin
K
Mol
mol
Candela
cd
Radián
rad
estereorradián
sr
Para algunas magnitudes existen otras unidades que no pertenecen al SI. En países
anglosajones, por ejemplo, la longitud se mide en yardas o también en millas, la masa en onzas,
la temperatura en grados Fahrenheit (°F), entre otras. Las que cobran mayor importancia en
nuestra cotidianeidad son minutos (min), horas (h), días para medir el tiempo; grados (°),
minutos (´) y segundos (´´) para medir ángulos. Las equivalencias con las unidades del SI son:
1h  60 min
1min  60s
180   rad
1  60'
1'  60' '
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
¿Cuántos segundos hay en 27 minutos?
¿Cuántos segundos hay en 1:15 hora?
¿Cuántos segundos hay en 1,35 horas?
¿Cuántas horas contienen 100.000 segundos?
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Solución: resolveremos utilizando Regla de Tres Simple (RTS).
1. El dato está en minutos y la incógnita en segundos, por lo tanto, la RTS estará
encabezada por la equivalencia entre minutos y segundos:
1 min ----------- 60 s
27 min --------- X s
Y resolvemos la incógnita X
X
27 min  60s
 1620s
1min
2. El dato 1:15 hora puede considerarse por separado, por un lado 1h y por el otro 15 min.
Así, tendremos dos RTS distintas, la primera estará encabezada por la equivalencia
entre horas y segundos y la segunda por la equivalencia entre minutos y segundos:
1 h ----------- 3600 s
No es necesario resolver.
1 min ----------- 60 s
15 min --------- X s
Resolviendo la incógnita X
X
15 min  60s
 900s
1min
Por último, sumamos los dos resultados obtenidos:
1:15h=3600s + 900s = 4500 s
que es el resultado buscado.
3. El dato está en horas y la incógnita en segundos, por lo tanto, la RTS estará encabezada
por la equivalencia entre horas y segundos:
1 h ----------- 3600 s
1,35 h ------- X s
Resolviendo la incógnita X
X
1,35h  3600s
 4860s
1h
que es la solución buscada.
4. El dato está en segundos y la incógnita en horas, por lo tanto, la RTS estará encabezada
por la equivalencia entre horas y segundos:
1 h ----------- 3600 s
X h ----------- 100.000 s
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Resolviendo la incógnita X
X
1h  100000s
 27,77h
3600s
que es la solución buscada.
Ejemplos:
1. ¿A cuántos radianes equivalen 90°? ¿ y 130°?
2. Un ángulo de
3
rad, ¿a cuántos grados equivale? ¿Y uno de 1 rad?
2
Solución: utilizaremos RTS en cada caso.
1. 180° ----------  rad
X
90  rad 
 rad
180
2
X
130  rad 13

rad  0,72rad
180
18
X
3rad  180
 270
2
X
1rad  180
 57,3
rad
90° ---------- X rad
180° ----------  rad
130° ---------- X
2. 180° ----------  rad
X ----------
3
rad
2
180° ----------  rad
X ---------- 1 rad
Se entiende por unidad fundamental a aquella unidad que no se compone de otras
unidades en oposición a la unidad derivada, que es aquella que se construye a partir de la
combinación de unidades fundamentales. Por ejemplo, al calcular velocidad es necesario
obtener el cociente:
velocidad 
longitud
.
tiempo
Por observación de la Tabla 1 la unidad de velocidad en el SI es:
[v ] 
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m
.
s
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Por lo tanto, para calcular la velocidad es necesario conocer el cociente entre la
distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrer esa distancia. Como consecuencia la
unidad de velocidad es unidad de longitud dividida en unidad de tiempo. Así, es claro que la
velocidad es una magnitud derivada y la longitud y el tiempo son magnitudes fundamentales.
Otro ejemplo de magnitudes derivadas muy utilizadas en la vida cotidiana son las
unidades de área y de volumen, como se detalla a continuación:
area  longitud  longitud  (longitud )2
volumen  longitud  longitud  longitud  (longitud )3
De esta manera se evidencia que en el SI las unidades de área y longitud son:
[ A]  m2
[V ]  m3
Sin embargo, en ocasiones suelen utilizarse otras unidades de área y volumen como
hectárea (ha) y litro (l) que guardan una equivalencia con el SI:
1ha  100m2
1m3  1000l
PREFIJOS DE UNIDADES.
Ya definidas las unidades fundamentales es fácil introducir unidades más grandes y más
pequeñas para las mismas cantidades físicas. En el sistema métrico estas nuevas unidades se
relacionan con las unidades fundamentales por medio de múltiplos de 10 ó 1/10. Así, 1km son
1000 m y 1 cm son 1/100 m. Es común expresar estos múltiplos en notación exponencial:
1km  1000m  1 103 m  103 m
1cm 
1
m  1 10 2 m  10 2 m
100
Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al nombre de
la unidad fundamental. Por ejemplo, el prefijo “kilo” siempre indicará una cantidad 1000 veces
mayor, así:
1km  103 m
1kg  103 g
1kW  103W
y el prefijo “centi” indica una cantidad 100 veces menor, así:
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1cm  102 m
1cg  102 g
1cl  102 l
Observe que el prefijo “kilo” está representado por la letra o símbolo “k” en el lado
izquierdo de la igualdad y es sustituido por 103 en el lado derecho de la misma. De la misma
manera, el prefijo “centi” se representa con el símbolo “c” y es sustituido por 102 . La siguiente
tabla detalla los prefijos estándar del SI, el factor que representa y el símbolo que utiliza:
Tabla 2: prefijos estándar en el SI
FACTOR PREFIJO SIMBOLO
exa
E
1018
1015
1012
109
106
103
102
10
peta
tera
P
T
giga
mega
kilo
hecto
deca
G
M
k
h
da
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
d
c
m

n
p
f
a
CONVERSION DE LONGITUD, AREA Y VOLUMEN EN EL SISTEMA METRICO.
USO DEL FACTOR DE CONVERSION.
Una vez que se han introducido los prefijos, es importante conocer el pasaje de unidades
de áreas y volúmenes. Como ya se vio en la Tabla 2, los múltiplos y submúltiplos de las
longitudes son:
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Por ejemplo, si se requiere conocer cuántos mm hay en 12,5 dam hacemos
12,5 10 10 10 10mm  125000mm
12,5 10000mm  125000mm
multiplicamos cuatro veces por 10, ya que hay 4 lugares entre el múltiplo dam y el submúltiplo
mm. Pero dado que 10 10 10 10  10000 , multiplicar 4 veces por 10 es igual a multiplicar
una sola vez por 10.000; de manera equivalente movemos la coma 4 lugares hacia la derecha.
¿Qué significado tiene el factor 10.000? Básicamente dice que en 1 dam se tienen 10.000 mm.
Si, en cambio, se requiere conocer cuántos km hay en 50000 cm hacemos
50000 :10 :10 :10 :10 :10km  0,5km
50000 : 100000km  0,5km
Es decir, dividimos 5 veces en 10 ya que existen 5 lugares entre el submúltiplo cm y el múltiplo
km. Pero dado que
1 1 1 1 1
1
    
: 100000 ,
10 10 10 10 10 100000
dividir 5 veces en 10 es igual a dividir una sola vez por 100.000 lo cual implica que para
resolver se debe mover la coma 5 lugares hacia la izquierda. Aquí, el factor 100.000 significa
que en 1km se tienen 100.000 cm.
De manera similar se trabaja con los múltiplos y submúltiplos de las áreas y volúmenes.
En el caso de las áreas se tiene
donde se aprecia claramente que en lugar de multiplicar (dividir) por 10 cada vez que se pasa de
un múltiplo a otro menor (mayor) se multiplica (divide) por 100. En el caso de los múltiplos y
submúltiplos de volumen se tiene
donde se ve que el factor de conversión entre un múltiplo y otro es de 1000.
Ejemplos:
1. Determine cuántos m2 tiene 23,45 km2.
2. Calcule cuantos m3 se tienen en 150.000 mm3.
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Solución:
1. El valor se da en km2 y debemos calcular en m2. Como existen 3 lugares entre km2 y m2
debemos multiplicar 3 veces 23,45 por 100, o directamente una sola vez por 1.000.000.
Así:
23,45 1.000.000m2  23450000m2
que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000 implica que existen
1.000.000 de m2 en 1 km2.
2. El valor se da en mm3 y debemos calcular en m3. Como existen 3 lugares entre mm3 y
m3 debemos dividir 3 veces 150.000 en 1000 o una sola vez en 1.000.000.000. Así:
150.000 :1.000.000.000m3  0,00015m3
que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000.000 implica que existen
1.000.000.000 de mm3 en 1 m3.
Si presta suficiente atención, verá que en los ejemplos anteriores la unidad original
desaparece tanto del lado izquierdo como del derecho de la igualdad. Esto se ve más claramente
si procedemos de la siguiente manera:
1.000.000m2
23,45km 
 23450000m2
2
1km
2
150000mm3 
Los factores
1m3
 0,00015m3
1000000000mm3
1.000.000m 2
1m3
y
se denominan factor de conversión y
1000000000mm3
1km2
se utilizan para obtener equivalencias entre unidades distintas de manera directa. Tal vez los
ejemplos expuestos anteriormente no sean el mejor reflejo de lo útil que resulta el factor de
conversión ya que el mismo resultado puede obtenerse simplemente moviendo la coma el
número adecuado de veces en el sentido correcto. Vea el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1. Una partícula se desplaza con una velocidad constante igual a v  5
m
. exprese esta
s
velocidad en km/s, m/h y km/h.
Solución:
1. Se utilizará el factor de conversión en cada caso,
5
m 1km
km

 0,005
s 1000m
s
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m 3600s
m

 18000
s
1h
h
m 1km 3600s
km


 18
s 1000m
1h
h
NOTACION CIENTIFICA.
Resulta conveniente y cómodo el uso de la notación científica cuando los resultados de
las mediciones son números muy pequeños o muy grandes. Cuando se usa la notación científica,
el resultado se escribe como un número comprendido entre cero y nueve multiplicado por la
potencia de diez correspondiente. Siga con atención los siguientes ejemplos:
Ejemplos:
1. El diámetro del planeta Tierra es de 12.800km. Exprese el resultado en metros.
2. Los glóbulos rojos humanos tienen un diámetro aproximado de 0,000008 m. Exprese el
resultado en notación científica.
Solución:
1. Como ya se analizó anteriormente, para expresar esta cantidad en metros simplemente
corremos la coma 3 lugares hacia la derecha,
12.800 km = 12.800.000 m
Para expresar el resultado en notación científica, elegimos el número entre 0 y 9
correspondiente, en este caso: 1,28
Para pasar de 12.800.000 a 1,28 hemos movido la coma 7 lugares hacia la izquierda.
Esto significa que para pasar de 1,28 a 12.800.000 tenemos que multiplicar por
10000000 ó de manera equivalente por 107.
Por lo tanto,
12.800.000 m = 1,28 107 m
Es la expresión correcta en notación científica del diámetro del planeta Tierra.
2. En este segundo ejemplo el número adecuado es 8. Ahora bien, para pasar de 8 a
0,000008 tenemos que dividir 8 por 1.000.000. Escribiendo esta división como fracción
8
es más sencillo advertir que:
1000000
8
8
m  6 m  8  10 6 m
1000000
10
Esta es la expresión en notación científica buscada.
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EJERCITACION
1. Use Regla de Tres Simple para resolver:
a. Si 1 mol de urea tiene una masa de 60 g ¿Cuál es la masa de 0,35 moles?
b. Si 1 mol contiene 6,022 x 1023 moléculas ¿Cuántas moléculas contienen 0,35
moles?
c. ¿Cuál es la masa de una molécula de urea? (vea el ejercicio a.)
d. Si un mol de superfosfato tiene una masa de 194 g ¿Cuántos moles hay en 75,8
g?
e. ¿Cuál es la masa de 0,71 moles de superfosfato? (vea el ejercicio d.)
f. Si 1 mol de cualquier gas en CNTP ocupa un volumen de 22,4 l ¿Cuántos moles
hay en 120 l?
g. ¿Qué volumen ocupan 3,65 moles de cierto gas en CNTP? (Vea el ejercicio f.)
h. Un cierto gas tiene una masa molar de 8 g ¿Cuál es la masa de 1000 l?
2. Resuelva utilizando factor de conversión:
a. 3000 seg a min
b. 3,45 horas a min
c. 5,17 horas a seg
d. 760 seg a horas
e. 655 min a horas
f. 3000 m2 a hm2
g. 6,35 107 mm2 a m2
h. 5000 cm3 a m3
i. 750 mm3 a dm3
j. 3,550 m3 a cm3
3. Resuelva utilizando el factor de conversión adecuado.
a.
b.
c.
d.
e.
50 m/s a km/h
340 m/s a km/h (velocidad del sonido)
3 x 108 m/s a km/h (velocidad de la luz)
1,55 km/h a m/s
35 km/s a km/h y a m/s
4. Pase a notación científica las siguientes mediciones y expréselas apropiadamente
empleando los prefijos adecuados (Tabla 2):
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
298.000 m
7.600 m
0,000067 m
0,0654 g
43.000.000 g
0,00000065 m
0,00000005 s
0,00000255 s
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i.
j.
k.
l.
m.
n.
13.500.000 km
0,000456 ms
20.000 ton
0,00000799 mm
0,00012 m
355.000.000 g
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TEMA 2: ECUACIONES
Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son
iguales. Por ejemplo,
538
es una ecuación. Pero no es una ecuación muy interesante, simplemente expresa un hecho
aritmético. La mayor parte de las ecuaciones que estudiamos en álgebra contienen variables. En
esta sección se analizarán dos tipos de ecuaciones, lineales y cuadráticas y los distintos métodos
de resolución.
ECUACIONES LINEALES
El tipo más simple de ecuación es la ecuación lineal, o de primer grado, es equivalente
a una ecuación de la forma
ax  b  0
donde a y b representan números reales con a  0 y x es la incógnita que hay que
determinar. Por ejemplo:
4 x  7  19
las letra x representa la variable. La ecuación anterior se resuelve de la siguiente manera:
4 x  7  (7)  19  (7)
4 x  12
1
1
4 x.  12.
4
4
x3
Sumar a ambos lados del igual
7
Multiplicar a ambos lados por
1
4
La solución es x  3 . Para verificar esto se sustituye x  3 en la ecuación original y
comprobamos que este valor hace verdadera la ecuación:
x3

4(3)  7  19
19  19
Otro ejemplo de ecuación lineal:
Sí se satisface
7 x  4  3x  8
Dado que la variable aparece a ambos lados, en este caso debe llevarse los términos que
contienen la incógnita a un lado del signo igual y aquellos términos independientes al otro,
7 x  4  4  3x  8  4
7 x  3x  12
7 x  3x  3x  12  3x
4 x  12
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Sumar
4
Restar
3x
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1
1
4 x.  12.
4
4
x3
Multiplicar por
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1
4
Para verificar la respuesta se sustituye x  3 en la ecuación original (verifique usted
mismo/a, se obtiene 17 a ambos lados del igual).
En el siguiente ejemplo se resolverá una ecuación que no parece lineal, pero que se
simplifica a una lineal que es equivalente:
x
2x  1

x  1 2x  3
x
2x  1
( x  1)(2 x  3) 
( x  1)(2 x  3)
x 1
2x  3
Multiplicar por el producto de
los denominadores
x(2 x  3)  (2 x  1)( x  1)
Simplificar la expresión
2 x 2  3x  2 x 2  3x  1
Aplicar propiedad distributiva
2 x 2  3x  2 x 2  2 x 2  3x  1  2 x 2
Restar 2x
2
 3x  3 x  1
 3x  3x  3x  1  3x
 6x  1
Restar 3 x
Multiplicar por 
1
6
x
1
6
Ejercicio 1. Verifique la respuesta del ejemplo anterior.
Ejercicio 2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego, verifique su respuesta.
3x  12  0
2 x  2  5  3x
3x
6x  5

x  1 2x  1
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Las ecuaciones cuadráticas son de segundo grado, es decir, incluye un término con la
variable elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática es equivalente a una de la forma:
ax 2  bx  c  0
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donde a, b y c son números reales con a  0 .
Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, es decir, la ecuación se satisface
para dos valores de la variable. Al resolver se aplican algunos de los casos de factoreo, como
por ejemplo, binomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, factor común y el método de
Baskara. El siguiente ejercicio servirá a modo de recordatorio de cada uno de ellos.
Ejercicio 3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Luego, verifique su respuesta.
x 2  5x  24
x2  5  0
x2  4x  0
( x  4)2  5
EJERCITACIÓN
(Haga caso omiso a la numeración de los ejercicios)
5 – 16. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego verifique su respuesta.
17 – 35. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas.
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TEMA 3: EXPRESIONES FRACCIONARIAS
El cociente de dos expresiones algebraicas se conoce como expresión fraccionaria. Un
tipo común de expresión fraccionaria ocurre cuando tanto el numerador como el denominador
son polinomios. Esto se conoce como expresión racional. Por ejemplo,
4 x3  2 x  5
x3
es una expresión racional cuyo denominador es cero cuando___________________________.
Como la división por cero no está definida, al tratar con esta expresión, implícitamente
suponemos que____________________.
En la simplificación de las expresiones racionales se factoriza tanto el numerador como
el denominador y se utiliza la siguiente propiedad de las fracciones:
AC A

BC B
donde es posible simplificar los factores comunes del numerador y del denominador. Por
ejemplo:
x2  1

x2  x  2
x 2  1  ( x  1)( x  1)
Factorizar el numerador
x 2  x  2  ( x  1)( x  2)
Factorizar el denominador
x2  1
( x  1)( x  1)

2
x  x  2 ( x  1)( x  2)
Sustituir en la expresión original
x2  1
( x  1)

2
x  x  2 ( x  2)
Simplificar factores comunes
Ejercicio 2. Reduzca las expresiones fraccionarias mediante simplificación.
25 x 2  4

10 x 2  4 x
x2  4x  4

x2  4
Si una fracción tiene un denominador de la forma a  b x es posible racionalizar el
denominador multiplicando el numerador y el denominador por el radical conjugado
a  b x . Esto es útil gracias a la definición de diferencias de cuadrados, en este caso se tiene
que
a  b x  a  b x   a
2
 b2 x
donde se ha eliminado la raíz cuadrada en la expresión del lado derecho. Un ejemplo concreto
es el siguiente:
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1
1 1 x 1 x

.

1 x
1 x 1 x 1 x
donde se ha eliminado la raíz cuadrada del denominador. El proceso de racionalización también
puede llevarse a cabo en el numerador, como se verá en el siguiente ejercicio.
Ejercicio 7. Racionalice las siguientes expresiones:
1
1  2x

1  2x

3
No se debe aplicar propiedades de la multiplicación a la suma. Muchos errores en
álgebra provienen de hacer esto. La tabla siguiente muestra la propiedad correspondiente a la
multiplicación y el ERROR que se comete al aplicar esa misma propiedad a la suma. Lea
atentamente y sea cauteloso en el momento de resolver futuros ejercicios.
Ejercicio 3. Dé valores a las constantes a y b en la tabla anterior y verifique la igualdad y la
no igualdad en cada una de las propiedades.
EJERCITACIÓN
33 -44. En los primeros cinco ejercicios aplique factorización en el numerador y denominador
para simplificar la expresión racional. En los ejercicios restantes, racionalice el numerador o el
denominador, según corresponda.
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TEMA 4: TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS
Un ángulo consta de tres partes: un rayo inicial, un rayo terminal y
un vértice (el punto de intersección de los rayos), como muestra la
figura. Un rayo está en posición normal si su rayo inicial coincide
con el semieje positivo de x y su vértice está en el origen.
Utilizamos letras griegas minúsculas para nombrar ángulos o
representar sus medidas. Los ángulos comprendidos entre 0 y 90 se
denominan agudos y los ángulos comprendidos entre 90 y 180 se
llaman obtusos. Los ángulos positivos se miden en el sentido
antihorario y los negativos en el sentido horario.
Ejercicio 1. Grafique un ángulo de 0 , 90 , 180 , 45 y 135 . Asigne “agudo”, “obtuso”,
“recto” y “llano” según corresponda.
Ejercicio 2. Grafique un ángulo de 45 negativo. ¿Cuál es su medida tomada en el sentido
positivo? Haga lo mismo con un ángulo de 90 negativo.
Además de grados, los ángulos pueden medirse en otra unidad denominada radianes.
La medida en radianes se define como: la longitud del arco del sector sostenido por el ángulo.
Dado que el perímetro de un círculo es 2r , el de un círculo unidad (es decir, de radio 1) es
2 . Esto implica que la medida en radianes de un ángulo que mide 360 es 2 . En otras
palabras 360  2 radianes , o bien, dividiendo ambos miembros de la igualdad en 2 se tiene
180   rad Es conveniente conocer las conversiones de los ángulos más usuales, para ello,
resuelva el siguiente ejercicio.
Ejercicio 3. Complete la siguiente tabla. En la primera columna aparecen los ángulos medidos
en grados. Complete la segunda columna con los respectivos valores medidos en radianes
utilizando sólo fracciones de , no utilice decimales. Por último, represente en la tercera
columna el ángulo de cada fila como la porción de la circunferencia trigonométrica
correspondiente, sombreando dicha región.
JAMÁS olvide estos valores y estas gráficas. NUNCA!!!
GRADOS RADIANES (EN
FRACCIONES DE )
PORCIÓN
DE
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA
LA
0°
30°
45°
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60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
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TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo
recto se denomina hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
Ejercicio 4: Dibuje un triángulo rectángulo, señale apropiadamente el ángulo recto y denomine
“h” a la hipotenusa y c1 y c2 a cada cateto.
En todo triángulo rectángulo “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”. Es decir,
h2  (c1)2  (c2)2
A esta relación se la llama Teorema de Pitágoras.
Ejercicio 5: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la
hipotenusa? Represente gráficamente.
Ejercicio 6. Dado el triángulo de la figura, calcule la longitud del lado restante según los lados
que se dan como dato.
a) c1  4,5 y h  9
b) c2  6 y h  12
Ejercicio 7. Diga si los siguientes triángulos son
rectángulos.
a) c1  6 , c2  8 y h  10
b) c1  9 , c2  5 y h  11
Ejercicio 8. Proponga un ejemplo de triángulo
rectángulo distinto a los enunciados hasta aquí.
a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está
constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo significa
determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre
ellos.
Dado cualquier triángulo rectángulo se puede considerar las siguientes razones entre los
lados del mismo:
c1 c2 c1
,
y
h h
c2
Estas razones no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las
llama razones trigonométricas. Sea uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, las razones
trigonométricas se definen de la siguiente manera:
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sen 
cateto opuesto
hipotenusa
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JAMÁS OLVIDE ESTAS
EXPRESIONES!!!
cos 
tg 
cateto adyacente
hipotenusa
cateto opuesto
cateto adyacente
A continuación se muestra un triángulo rectángulo con todos sus lados asignados y un
ángulo señalado.
Las razones trigonométricas para el triángulo de la figura anterior son:
sen 
c.o. c1

h
h
cos 
c.a. c2

h
h
tg 
c.o. c1

c.a. c2.
Ejercicio 9: Suponga el triángulo rectángulo c1  6 , c2  8 y h  10 ,
calcule las tres razones trigonométricas para los ángulos  y  . Repita
el ejercicio para el triángulo rectángulo c1  3 , c2  4 y h  5 .
Las razones trigonométricas facilitan la resolución de un triángulo rectángulo. En los
ejercicios anteriores, por ejemplo, es posible calcular el valor de los ángulos en cuestión, ya que
conocemos todos sus lados. En el caso en que c1  6 , c2  8 y h  10 ,
sen 
c1 6
  0,6
h 10
entonces
  arcsin( 0,6)  36,87
y podría obtenerse el mismo valor de  usando cualquier razón trigonométrica. De la misma
manera,
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sen 
c2 8
  0,8
h 10
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  arcsin( 0,8)  53,13 .
entonces
Usando el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas es posible resolver los
triángulos en base a muy pocos datos. Por ejemplo, para resolver el triángulo c1  3 , c2  6
calculamos,
h  32  62  45  6,71
tg 
c1 3
  0,5
c2 6
  arctg (0,5)  26,56
tg 
c2 6
 2
c1 3
  arctg (2)  63,44
También podemos considerar el siguiente ejemplo c1  4   50 hacemos,
tg 
c1
c2
entonces
c2 
c1
4

 3,35
tg tg (50)
h  3,352  42  5,22
    90  180
entonces
    90
y por lo tanto
  90    90  50  40 .
Ejercicio 10. Resuelva los siguientes triángulos: c1  5 y   30 ; c2  3,5 y   45 .
Retornemos ahora a la circunferencia de radio uno, denominada circunferencia
trigonométrica. Se marca un ángulo arbitrario en ella, por ejemplo  de la siguiente figura,
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El rayo terminal interseca la circunferencia en el punto A. Proyectando ese punto sobre
el eje x se marca el punto B. De esta manera, se ha determinado un triángulo rectángulo.
Conociendo que el radio de esta circunferencia es 1, las razones trigonométricas del ángulo 
son:
b b
 b
h 1
b sin 
tg  
a cos 
cos  
sin  
a a
 a
h 1
De esta manera se ha obtenido un resultado sumamente útil en trigonometría y es la posibilidad
de escribir la tangente de un ángulo en términos del seno y el coseno de ese mismo ángulo, es
decir:
tg 
sin 
cos 
RECORDAR SIEMPRE!!!
Esta identidad es válida para cualquier valor de la hipotenusa, no necesariamente 1, como se usó
aquí. Debe recordar esta identidad, será de mucha utilidad en los cursos oficiales de la carrera
que eligió seguir.
Ahora bien, dado que tenemos una expresión para los catetos del triángulo rectángulo inscripto
en la circunferencia trigonométrica anterior, se escribe a continuación el Teorema de Pitágoras
para dicho triángulo:
a 2  b2  h2
(cos  )2  (sin  )2  12
cos 2   sin 2   1
RECORDAR SIEMPRE!!!
RECUERDE siempre esta expresión, es una IDENTIDAD esencial y se utilizará en cualquier
curso de Matemática, del Cálculo al Álgebra, incluso cuando estudie los números complejos.
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Ejercicio 11. Demuestre que la identidad tg 
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sin 
sigue siendo válida para cualquier valor
cos 
arbitrario del radio de la circunferencia (hipotenusa).
Observe que los catetos del triángulo inscripto en la circunferencia trigonométrica son
iguales a las razones trigonométricas. Dicho al revés, las razones trigonométricas de dicho
rectángulo están representadas por los catetos del mismo. Es posible inferir que para cada
triángulo rectángulo inscripto en una circunferencia trigonométrica existe una manera
geométrica de representar las razones trigonométricas, que se muestran en la siguiente figura:
Ejercicio 12: Trace un ángulo  obtuso en una circunferencia trigonométrica (radio 1, es decir,
hipotenusa 1). Represente el seno y el coseno del ángulo  (remarque esos segmentos).
Determine el signo de cada uno. Repita el ejercicio para un ángulo cuyo rayo terminal caiga en
el tercer cuadrante y para uno cuyo rayo terminal caiga en el cuarto cuadrante.
Ejercicio 13. Con los resultados del Ejercicio 12., complete la siguiente tabla.
R. T. /
Cuadrante
I
II
III
IV
sen
cos 
tg
Ejercicio 14. Complete la siguiente tabla. En los casos en que el resultado de la razón
trigonométrica sea un número irracional, deberá escribirlo en forma completa y en forma
decimal conservando tres cifras decimales. Utilice el teorema de Pitágoras cuando así lo precise.
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JAMÁS OLVIDE ESTOS VALORES, TENGALOS SIEMPRE A MANO.
NO PUEDE OLVIDAR NI EL VALOR, NI EL SIGNO!!!
ANGULO
(RADIANES)
SENO
SEGMENTO DE LA
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA
COSENO
SEGMENTO DE LA
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA
TANGENTE
0

6

4

3

2
2
3
3
4
5
6

7
6
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
11
6
2
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EJERCITACIÓN
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