Gestión de Portafolios

Contenido
Introducción
Optimización
Análisis de media-varianza de Markowitz
Muestreo
Black - Litterman
Gestión de Portafolios
Universidad de los Andes y Quantil
Noviembre 10 de 2010
Optimización
Universidad de los Andes y Quantil
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Introducción
Optimización
Análisis de media-varianza de Markowitz
Muestreo
Black - Litterman
1
Introducción
2
Optimización
3
Análisis de media-varianza de Markowitz
4
Muestreo
5
Black - Litterman
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Introducción
Optimización
Análisis de media-varianza de Markowitz
Muestreo
Black - Litterman
Introducción
Sea Lt (λ, Xt ) el proceso de pérdidas de un portafolio
λ = (λ1 , ...λd ) de d instrumentos financieros y Xt ∈ R p un
vector aleatorio de factores de riesgo.
Recordemos que Lt+1 (λ, Xt+1 ) denota la pérdida entre t y
t + 1 y λ es conocido en t.
Optimización
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Introducción
Sea Λ ⊂ R d el conjunto de portafolio admisibles. Por ejemplo:
1
Sea q = (q1 , ...qd ) el vector de precios en t de cada
instrumento
y V la riqueza disponible. Entonces
d
P
Λ = λ ∈ R d : λ i qi = V .
2
Cuando
no se permiten
ventas descubiertas:
Λ = λ ∈ R d : λi ≥ 0 .
i=1
Introducción
Sea β ∈ R un nivel de tolerancia (exposición máxima al
riesgo).
Denotemos por % una medida de riesgo cualquier. Es decir,
dados Lt (λ, Xt ) y FXt+1 o FXt+1 pFt , la distribución no
condicional o condicional de Xt , %(Lt+1 (λ, Xt+1 )) ∈ R es una
medida del riesgo del portafolio λ. Por ejemplo % puede ser
VaRt,α o ESt,α .
Sea Rt (λ, Xt ) una función de beneficios para un inversionista
(por ejemplo, el retorno de un portafolio con posiciones λ).
Rt (λ, Xt ) denota los beneficios entre t − 1 y t.
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Optimización
Análisis de media-varianza de Markowitz
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Optimización
El problema general de optimización es:
máxEt [Rt+1 (λ, Xt+1 )]
λ∈Λ
s.a
%(L(λ, Xt+1 )) ≤ β
Et es el valor esperado con respecto a FXt+1 pFt .
Veamos como enmarcamos en este contexto la teorı́a de
media-varianza de Markowitz.
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Optimización
Análisis de media-varianza de Markowitz
Muestreo
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Optimización: Análisis de media-varianza de Markowitz
Example (Análisis de media-varianza de Markovitz)
Sea Rt (w , Xt ) el retorno de un portafolio de d instrumentos
financieros, β = σ 2 la volatilidad máxima que el inversionista
está dispuesto a tolerar, Xt ∼ N(µt+1 , Σt+1 ) y consideremos el
problema de selección de óptima de portafolios:
h
i
T
máx Et w Xt+1
w ∈R d
s.a
w T Σt+1 w
≤ σ2
wT 1 = 1
Obsérvese que no hemos restringido las ventas descubiertas..
Optimización
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Optimización: Análisis de media-varianza de Markovitz
Example
Alternativamente el problema se puede plantear como un problema
de minimización (problema dual):
mı́n w T Σt+1 w
w ∈R d
s.a
T
w µt+1 ≥ µ
wT 1 = 1
donde µ es el retorno esperado máximo que se puede alcanzar en el
anterior problema.
Optimización: Análisis de media-varianza de Markowitz
La solución a este problemas es:
w=
BΣ−1 1 − AΣ−1 µ + µ(C Σ−1 µ − AΣ−1 1)
D
donde A = 1T Σ−1 µ, B = µT Σ−1 µ, C = 1T Σ−1 1 y
D = BC − A2 y
σ2 =
B − 2µA + µ2 C
D
Optimización: Análisis de media-varianza de Markowitz
Observaciones I:
Para el modelo básico de correlación condicional, Riskmetrics,
Varianza - Covarianza con:
1
2
Con distribuciones arbitrarias de z (no necesariamente
normal).
Medidas de riesgo basadas tales como VaR, ES, volatilidada.
El problema de selección óptima de portafolios es equivalente
al problema tradicional de Markowitz.
Optimización: Análisis de media-varianza de Markowitz
Observaciones II:
Los portafolios óptimos son usualmente muy concentrados.
La frontera y portafolio de eficiencia es muy sensible a la
estimación del retorno esperado.
Son modelos puramente estadı́sticos no incorporan las
expectativas de los expertos.
Soluciones: Muestreo (resampling ) y métodos Bayesianos.
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Muestreo
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Muestreo
Técnica debida a Michaud. Está patentada en los Estados
Unidos para el caso lineal - cuadrático presentado en estas
notas (análisis de Markowitz)
El problema general es:
máxEt [u(Rt+1 (λ, Xt+1 ))]
λ∈Λ
s.a
%(L(λ, Xt+1 )) ≤ β
Supongamos que esta distribución se puede parametrizar por
un vector θ ∈ R k . Denotamos esta distribución de los factores
de riesgo por F θ .
Optimización
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Muestreo
Para hacer explı́cito el problema del inversionista de los
parámetros del modelo estadı́stico de los factores, reescribimos
el problema como:
θ
máxEt [u(Rt+1 (λ, Xt+1
)) | θ]
λ∈Λ
s.a
θ
%(L(λ, Xt+1
)) ≤ β
θ
donde Xt+1
significa que las distribución de factores de riesgo
depende los parámetros θ y el valor esperado se calcula
utilizando la distribución de los factores que depende de los
parámetros θ.
Muestreo
El algoritmo ahora es el siguiente:
1
2
Estime los parámetros θb0 de la distribución F θ utilizando
cualquier metodologı́a estadı́stica
apropiada.
Esta estimación
hace uso de una muestra x10 , ...., xn0 de los factores de riesgo.
El superı́ndice “0” se refiere a que estos son los datos reales
observados θb0 denota los parámetros estimados usando la
muestra observada. Simule una muestra x11 , ...., xn1 utilizando la distribución F θ0 .
Reestime los
parámetros de F utilizando la muestra
x11 , ...., xn1 . Denotamos estos parámetors por θb1 y por F θ1 la
distribución estimada.
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Black - Litterman
Para cada simulación i = 0, 1, 2, ...el problema
θi
máxEt [u(Rt+1 (λ, Xt+1
)) | θi ]
λ∈Λ
s.a
θi
%(L(λ, Xt+1
)) ≤ β
denotamos la solución por λi
Definimos la solución óptima de Michaud λm al problema
general de selección óptima de portafolios como:
N
λm =
1 X
λi
N +1
i=0
Optimización
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Análisis Bayesiano
¿Por qué el análisis Bayesiano?
1
En ocasiones se tiene disponible información inicial sobre los
parámetros de una distribución.
2
El concepto de incertidumbre se identifica con el concepto de
probabilidad..
3
Permite condicionar a los datos.
4
Es una teorı́a exacta y no asintótica.
5
Está basada en la teorı́a de la decisión y en ese sentido es muy
coherente.
6
Operacionalmente, siempre se sabe que hay que hacer.
Análisis Bayesiano
El análisis Bayesiano parte de una interpretación distinta del
concepto de probabilidad.
El teorema de Bayes es el pilar fundamental de la teorı́a:
P(A p B) =
P(B p A)P(A)
P(B)
Análisis Bayesiano: Marco general
Espacio de parámetros y datos observados.
1
Un espacio de parámetros Θ que caracterizan la distribución de los
datos obeservados.
2
Un conjunto de datos observados {x1 , ..., xn }.
Análisis Bayesiano: Marco general
Prior y verosimilitud (o distribución muestral):
1
Sea f (θ) la distribución inicial que representa nuestra incertidumbre
sobre los parámetros de inetrés. Ésta se denomian la prior sobre los
parámetros.
2
En la teorı́a Bayesian no existe un parámetro verdadero que
determina la verdadera distribución de los datos.
3
f (x | θ) es la distribución condicional o verosimilitud, dado los
datos, de la variable aleatoria de interés X .
Análisis Bayesiano: Marco general
Posterior: El objetivo final de la estadı́stica Bayesiana es calcular la
posterior, f (θ p x).
Ésta refleja cómo, una vez observados los datos, nuestro
conocimiento o expectativa sobre los parámetros cambia.
La regla de Bayes implica que:
f (θ p x) =
f (x p θ)f (θ)
f (x)
donde f (x) es la distribución marginal de la variable aleatoria X (o
distribución marginal de los datos):
f (x) = f (x p θ)f (θ)dθ
Análisis Bayesiano: Estimador
Definimos el estimador de Bayes:
Z
2
b
θB (x) = arg mı́n
θ0 − θ f (θ0 p x)dθ0 .
θ∈Θ
En este caso existe una función L(θ0 , θ) = (θ0 − θ)2 que representa
la perdida de escoger el parámetro θ0 cuando el parámetro es θ. La
solución este problema es:
Z
b
θB (x) = E [θ | x] = θ0 f (θ0 p x)dθ0
Análisis Bayesiano
Considremos el problema general parametrizado por un vector
θ∈Θ:
θ
máxEt [u(Rt+1 (λ, Xt+1
)) | θ]
λ∈Λ
s.a
θ
%(L(λ, Xt+1
)) ≤ β
por simplicidad vamos a reescribir este problema como:
θ
máx Et [U(λ, Xt+1
)) | θ]
λ∈Λθ
Análisis Bayesiano
La idea general es en vez de utilizar θb un estimador clásico para
resolver este problema, se utiliza un estimador Bayesiano, θbB .
La motivación es que el estimador Bayesiano, promedia sobre todos
los parámetros que son consiententes con los datos observadosx.
La solución propuesta anteriormente se denomina el equivalente
clásico Bayesiano del problema de optimización:
θbB
máx Et [U(λ, Xt+1
)) | θbB ]
λ∈Λθb
B
Análisis Bayesiano
Sea fX la distribución estimada de los factores de riesgo.
Sea V una variable aleatoria que refleja las expectativas que del
mercado, los facotores de riesgo, tiene un experto.
Estas expectativas pueden ser sólo sobre algunos factores de riesgo
o combinación de ellos.
Modelamos estas expectativas como la distribución de la variable
aleatoria V | g (x) donde g mapea los factores de riesgo en la
información que determina las expectativas del inversionista.
El problema del inversionista es combinar su conocimiento objetivo
del mercado con las expectativas del experto.
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Black - Litterman
Usando la regla de Bayes:
fX |v (x | v ) = R
fV |g (x) (v | x)fX (x)
fV |g (x) (v | x)fX (x)dx
El problema de selección óptima de portafolio de Black - Litterman
es:
máx Et [U(λ, Xt+1 )) | v ]
λ∈Λv
Optimización
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Black - Litterman
Supongamos que X ∼ N(µ, Σ), g (X ) = PX donde
una
P es
1
T
matriz y V | Px ∼ N(Px, Ω), donde Ω = c − 1 PΣP , c un
escalar positivo.
Obsérvese que PΣP T significa que el experto evalua la
incertidumbre de g (X ) utilizando la distribución estimada de los
factores de riesgo.
El factor c1 − 1 lo que hace es disminuirla o aumentarla
proporcionalmente de forma subjetiva.
Si c → 0 el experto no tiene mucha confianza en su expectativa.
Black - Litterman
Ahora supongamos que el experto tiene expectativas V = v . Este
es el modelo de Black y Litterman original y se puede demostrar
que:
X | v ∼ N(µBL , ΣBL )
donde:
µBL (v , Ω) = µ + ΣP T (PΣP T + Ω)−1 (v − Pµ)
ΣBL = Σ − ΣP T (PΣP T + Ω)−1 PΣ.
Obsérvese que en este caso particular ΣBL no depende de v .