Unidade 7

Educación secundaria
Dirección Xeral de Educación, Formación
para personas adultas
Profesional e Innovación Educativa
Ámbito científico tecnológico
Educación la distancia semipresencial
Módulo 3
Unidad didáctica 7
Funciones lineal y afín
Ecuaciones de primer grado
Cinemática
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Índice
1.
Introducción...............................................................................................................3
1.1
1.2
1.3
2.
Descripción de la unidad............................................................................................... 3
Conocimientos previos.................................................................................................. 3
Objetivos didácticos...................................................................................................... 3
Desarrollo...................................................................................................................4
2.1
Las funciones lineal y afín............................................................................................. 4
2.1.1
2.1.2
2.2
Ecuaciones de primer grado ......................................................................................... 8
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.3
Expresiones algebraicas ....................................................................................................................................8
Identidades y ecuaciones...................................................................................................................................8
Ecuaciones equivalentes..................................................................................................................................10
Resolución de la ecuación de primer grado.....................................................................................................11
Aplicación de las ecuaciones a la resolución de problemas ............................................................................12
Cinemática.................................................................................................................. 13
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.3.7
3.
Función lineal .....................................................................................................................................................4
Función afín........................................................................................................................................................6
Movimientos: sistemas de referencia ...............................................................................................................13
Posición de un móvil ........................................................................................................................................14
Velocidad media e instantánea ........................................................................................................................17
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU).............................................................................................................19
Aceleración.......................................................................................................................................................22
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)................................................................................23
Movimiento de caída libre ................................................................................................................................25
Resumen de contenidos .........................................................................................27
3.1
Actividades complementarias ..................................................................................... 28
4.
Ejercicios de autoevaluación .................................................................................31
5.
Solucionarios...........................................................................................................33
5.1
5.2
5.3
Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 33
Soluciones de las actividades complementarias ......................................................... 42
Soluciones de los ejercicios de autoevaluación .......................................................... 46
6.
Glosario....................................................................................................................48
7.
Bibliografía y recursos............................................................................................49
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1.
Introducción
1.1
Descripción de la unidad
Se analizan los movimientos uniforme y uniformemente acelerado, y se comprueba la necesidad de enseñar las representaciones de la recta lineal y afín, y de resolver ecuaciones
de primer grado (se dejan las de segundo grado para la unidad siguiente).
1.2
Conocimientos previos
Módulo 2
Unidades 3 y 4: expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado.
Unidad 8: representación gráfica de una función.
1.3
Objetivos didácticos
Identificar en la ecuación de una recta la pendiente y la ordenada en el origen.
Representar adecuadamente funciones lineales y afines.
Resolver correctamente las ecuaciones de primer grado.
Resolver problemas de los ámbitos científico y social mediante la formulación y la resolución de ecuaciones de primer grado.
Aceptar la imposibilidad de la existencia de movimientos absolutos, así como de la necesidad de los sistemas de referencia en la descripción de los movimientos.
Diferenciar el desplazamiento de un móvil y el espacio recorrido.
Clasificar movimientos según su trayectoria y su velocidad, con ejemplos de la vida cotidiana.
Confeccionar gráficas s/t y v/t, e interpretarlas adecuadamente.
Diferenciar velocidad de aceleración.
Calcular velocidades y espacios recorridos utilizando las ecuaciones de los movimientos uniforme y uniformemente acelerado, incluida la caída libre de los cuerpos.
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2.
Desarrollo
2.1
Las funciones lineal y afín
2.1.1 Función lineal
La función lineal, o función de proporcionalidad directa, tiene estas características:
Se expresa de forma y = m.x
Su gráfica es una línea recta.
El número m se llama pendiente.
La función es creciente si la pendiente es positiva (m > 0),
y decreciente si la pendiente es negativa (m < 0).
Nota: ya sabe que en matemáticas solemos usar las letras x e y para escribir las variables,
pero podemos también usar otras letras.
Como caso práctico, estudiaremos la función lineal y = 2x. Primero hacemos una pequeña tabla de valores y luego representamos la gráfica:
y = 2x
x
y
-3
-6
0
0
2
4
3
6
La gráfica de la función lineal
siempre pasa por el origen, es
decir, por el punto (0, 0).
La función representada es una función creciente, ya
que, al aumentar el valor de x, aumenta el valor de y. Fíjese en las flechas verdes: cuando x aumenta de 2 a 3, y
aumenta de 4 a 6.
Veamos otro ejemplo de función lineal: y = -3x.
y = -3x
x
y
-2
6
-1
3
0
0
1
-3
2
-6
La gráfica también pasa por el
origen (0,0), pero ahora la función
es decreciente: al aumentar el valor de x, disminuye el de y (flechas
verdes).
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Pendiente de una función
Fíjese en las gráficas de las funciones lineales que se representan a continuación:
y = 0,5 x
y = 2x
x
y
x
y
-4
-2
-3
-6
-2
-1
-1
-2
0
0
0
0
2
1
2
4
4
2
3
6
La gráfica de la función y = 2x (en color marrón) está más inclinada que la gráfica de la
función y = 0,5x (en rojo). La pendiente de la primera es 2, y la pendiente de la segunda es
menor, 0,5. Ya ve que cuanto mayor es la pendiente, mayor es la inclinación de la línea
recta (más inclinación = más próxima a la vertical).
La pendiente se puede determinar observando la gráfica, dividiendo el aumento de y
entre el aumento de x:
pendente =
∆y
∆x
Para la gráfica anterior, fíjese en las flechas verdes, que representan los aumentos de x e y:
Para la recta roja:
pendente =
∆y 2
= = 0,5
∆x 4
Y para la recta marrón:
pendente =
∆y 2
= =2
∆x 1
Estos valores coinciden con los que ya teníamos inicialmente. Este método gráfico para
determinar pendientes también vale para las funciones lineales decrecientes:
Ahora el aumento de x es positivo mientras que el au-
mento de y es negativo:
pendente =
∆y − 3
=
= −3
∆x
1
La pendiente es negativa, lo que corresponde a una función decreciente.
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Actividades propuestas
S1.
¿Cuáles de las siguientes funciones son lineales?
y=3x
S2.
y = -1/2 x
s=5t
y = -2x + 8
Clasifique en crecientes o decrecientes las funciones lineales siguientes:
y=8x
y = -4 t
y = 0,05 x
s = -3/2 t
S3.
Represente gráficamente la función lineal y = -1/2 x. ¿Cuál es su pendiente?
S4.
En una función de proporcionalidad directa, cuando x vale 3, y vale 12.
a) Escriba la expresión algebraica de la función.
b) Calcule la pendiente.
c) ¿Es creciente o decreciente?
2.1.2 Función afín
La función afín tiene la forma y = m x + n. Es muy parecida a la función lineal, pero no
es de proporcionalidad directa y su gráfica no pasa por el origen (0,0).
El número n se llama ordenada en el origen, porque la línea recta corta al eje OY (eje
de ordenadas) en el punto (0,n). Vemos como ejemplo la función afín y = 2x + 3:
y = 2x + 3
x
y
-3
-3
-2
-1
0
3
1
5
2
7
Esta función afín es creciente, la
pendiente vale 2 y la ordenada en el
origen vale 3.
La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme, s = v.t + so , que estudiaremos en esta
unidad en la parte de Física, es una función afín, donde la velocidad v es la pendiente de la
gráfica posición/tiempo.
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Actividades propuestas
S5.
Señale cuáles de las funciones siguientes son afines:
y = -2 x + 0.05
s=3t+1
y = 2 x3 + 7
S6.
Represente la función y = - x + 1. ¿Cuánto valen la pendiente y la ordenada en el
origen?
S7.
A partir de la gráfica, determine la ordenada en el origen, la pendiente y la expresión algebraica de la función afín.
S8.
La gráfica de una función afín pasa por los puntos de coordenadas (-2, -7) y (3,
8). Escriba la expresión de la función afín. ¿Cuál es su pendiente?
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2.2
Ecuaciones de primer grado
2.2.1 Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un grupo de números y letras unidos por los signos de las
operaciones aritméticas (suma, división, raíces, etc.). Veamos unos ejemplos:
Expresión escrita
Expresión algebraica
2x + x/2
El doble más la mitad de un número.
La raíz cuadrada de un número más 3.
x+ 3
El 20 % del precio P.
20
×P
100
El perímetro de un rectángulo de lados a y b.
2a + 2b
Valor numérico de una expresión algebraica
Es el número que resulta de substituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas. Ejemplos:
Expresión algebraica
Valor de las letras
Valor numérico
2x + 2y
x = 1; y = 4
10
a2 + b2
a = 3; b = 4
5
P = 400
80
20
×P
100
2.2.2 Identidades y ecuaciones
Una igualdad consta de dos expresiones algebraicas unidas por un signo "=". Ejemplo:
2x + 2y = 3z.
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de las letras.
x y x− y
Ejemplos: 3a + 2a=5a; − =
2 2
2
Una ecuación es una igualdad que solo es cierta para algún o algunos valores de las letras.
– 3x + 2 = 0 es una ecuación con una incógnita que se convierte en igualdad cuando
x= -2/3.
– 3x +2y = 1 es una ecuación con dos incógnitas que se convierte en igualdad cuando
x = 1 e y = -1.
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Actividad resuelta
Calcule si las siguientes igualdades algebraicas son identidad o ecuación:
5x - 2x = 3x
x2 - x - 6 = 0
x + 7 = 11
a) 5x - 2x = 3x es una identidad porque:
– Sustituyendo x por el valor x=1: 5·1 – 2·1 = 3·1 → 5 - 2 = 3 → 3 = 3
– Sustituyendo x por el valor x=-1: 5·(-1) – 2·(-1) = 3·(-1) → -5 + 2 = -3 → -3 = -3
– Sustituyendo x por el valor x=2: 5·2 – 2·2 = 3·2 → 10 - 4 = 6 → 6 = 6
– Para cualquier valor de x, se verifica la igualdad 5x - 2x = 3x.
b) x + 7 = 11 es una ecuación porque:
– Sustituyendo x por el valor x=2: 2 + 7 = 11 → 9 ≠ 11.
– Sustituyendo x por el valor x=4: 4 + 7 = 11 → 11 = 11.
– Si le damos otro valor a x distinto a 4, la igualdad no se cumple. Únicamente para el
valor x=4 se verifica la ecuación x + 7 = 11.
c) x2 - x - 6 = 0 es una ecuación porque:
– Sustituyendo x por el valor x=1: (1)2 - (1) - 6 = 1 -1 - 6 = -6 → -6 ≠ 0.
– Sustituyendo x por el valor x=3: 9 - 3 - 6 = 0.
– Sustituyendo x por el valor x=-2: (-2)2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0.
– Únicamente para los valores x = 3 y x = -2 se verifica la ecuación anterior; si tomamos otro valor distinto, la igualdad no se cumple.
Resolver una ecuación es encontrar el valor numérico de la incógnita o de las incógnitas
que hacen cierta la igualdad; a estos valores los denominamos soluciones de la ecuación. Ejemplos:
Ecuación
La solución es
Porque...
x+5=9
x=4
4+5=9
x - 3 = 2x + 1
x=-4
- 4 - 3 = 2(- 4) + 1- 7 = - 7
x2 = 16
x = 4; x = - 4
42 =16; (-4)2 = 16
Las soluciones convierten a las ecuaciones en identidades.
Actividad propuesta
S9.
¿Cuáles de los valores propuestos para la incógnita son soluciones de las ecuaciones x2 + x - 2 = 0 y
x x
+ = 3?
3 6
Ecuación
Valor propuesto 1
Valor propuesto 2
Valor propuesto 3
x2 + x - 2 = 0
x=3
x=-1
x=1
x=0
x=2
x=6
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2.2.3 Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes entre sí cuando tienen las mismas soluciones. Obtenemos
una ecuación equivalente a la original en estos casos:
Cuando se les suma o se les resta el mismo número (o expresión algebraica) a los dos
miembros de la ecuación.
Cuando se multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación por el mismo número
(distinto de cero) o por la misma expresión algebraica.
Ejemplo 1:
En la ecuación x + 5 = 9, les restamos 5 a los dos miembros: x +5 - 5 = 9 - 5 → x = 4
Fíjese en que lo que acabamos de hacer equivale a pasar el 5 que está sumando en el primer miembro, al segundo miembro pero restando.
Ejemplo 2:
En la ecuación 5x = 60, dividimos los dos miembros por 5:
Esto equivale a pasar el 5 que estaba multiplicando en el primer miembro, al segundo
miembro pero dividiendo.
Por lo tanto, los términos que están sumando (o restando) en el primer miembro los podemos pasar al segundo restando (o sumando); y los que están multiplicando (o dividiendo)
todo el primer miembro los podemos pasar dividiendo (o multiplicando) a todo el segundo
miembro. A esta técnica se le llama transposición de términos, y es muy útil para resolver
ecuaciones.
Actividad propuesta
S10.
Trasponga los términos que se indican:
Ecuación
Trasponer el:
2x + 7=2
7
2x = 5 + 7/3
2
4
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2.2.4 Resolución de la ecuación de primer grado
Una ecuación es de primer grado cuando la incógnita está elevada al exponente 1, es de
segundo grado cuando está elevada a 2, y así sucesivamente...
Ecuación
Grado de la ecuación
2x + 7= 6
Primer grado
3x2 - 5/2 = 7x
Segundo grado
x5 + 3x4 - x2 = 9
Quinto grado
Resolución
Es necesario seguir estos pasos, como vemos en el ejemplo del cuadro siguiente:
1. Eliminar paréntesis o hacer las operaciones que hay dentro de ellos.
2. Agrupar los términos con x en un miembro, y los demás en el otro.
3. Reducir términos semejantes.
4. Despejar x.
Resolver la ecuación 3(x - 5) - 5 = 4(x + 2) - 35
1. Eliminamos los paréntesis
3x - 15 - 5 = 4x + 8 - 35
2. Agrupamos términos
3x - 4x = 8 - 35 + 15 + 5
3. Reducimos términos
-x=-7
4. Despejamos x
x=
–7
=7
–1
Si hay denominadores numéricos, buscamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.):
x+ 2 x –1 x+ 5
17
–
–
= –
6
2
3
6
Resolver la ecuación
x + 2 x –1 x + 5
17
–
–
= –
6
2
3
6
1. m.c.m (2, 3, 6) = 6
2. Multiplicamos por 6 todos los términos
3. Hacemos operaciones
x + 2 – 3( x –1) – 2(x + 5) = –17
4. Eliminamos paréntesis
x + 2 - 3x + 3 - 2x - 10 = -17
5. Agrupamos términos
x - 3x - 2x = -17 - 2 - 3 + 10
6
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x+ 2
x –1
x+ 5
17
–6
–6
= 6×(– )
6
2
3
6
6. Reducimos términos
7. Despejamos x
- 4x = - 12
x=
–12
=3
–4
Actividades propuestas
S11.
Resuelva las ecuaciones siguientes:
a) 3x + 1 = 22
S12.
b) -(x - 5) + 3(x + 1) = - 2(x - 9) + 30
c) 3(3x + 1)-(x - 1)= 6(x + 10)
d) 4(x - 2) + 1 = 5(x + 1) - 3x
Resuelva las ecuaciones siguientes:
a) 3 x – 9 = x – 3
10
12
b) 5 ( 4 + x ) = 2 x + 1
4
3
c) x + 3 – x + 4 = x + 1
4
5
2
2.2.5 Aplicación de las ecuaciones a la resolución de problemas
Actividades propuestas
S13.
Las edades de dos hermanas suman 38 años. Sabemos que una de ellas tiene 8
años más que la otra. ¿Cuál es la edad de cada hermana?
S14.
Tres amigos tienen en total 900 euros. Uno de ellos tiene 50 euros más que el
otro, y este, el doble que el tercero. ¿Cuántos euros tiene cada amigo?
S15.
Por un pantalón más su IVA (16 %) he pagado 60,32 euros. ¿Cuánto cuesta el
pantalón sin el impuesto?
S16.
Pili tiene monedas de 50 céntimos. Las cambia por monedas de 1 euro y así tiene 80 monedas menos. ¿Cuánto dinero tiene Pili?
S17.
Adrián, Belén y Carlota ganaron 6.400 euros en la loto. Van a repartírselos de
modo que Belén se lleve 400 euros menos que Adrián, y 400 euros más que
Carlota. ¿Cuántos euros se lleva cada uno?
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2.3
Cinemática
La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin atender
sus causas (las fuerzas), limitándose al estudio de la trayectoria recorrida.
En el módulo 4 conoceremos la dinámica, que sí estudia las causas del movimiento de
los cuerpos, a través de las tres leyes de Newton. También estudiaremos la hidrostática,
que analiza las causas de equilibrio en los líquidos.
2.3.1 Movimientos: sistemas de referencia
Comenzamos aquí la descripción de los movimientos de los cuerpos desde el punto de vista físico-matemático. ¿Cómo sabemos si un cuerpo se mueve? Parece una pregunta sencilla, ¿no?
Imagínese en las siguientes situaciones: sentado/a en el aula o en su casa; de pie en la
parada, esperando el autobús; viajando en el autobús a 80 km/h. ¿En cuáles de estos casos
está usted en movimiento? Pues... ¡realmente no podemos contestar! ¿Absurdo? Pensemos
un poco más.
Estamos en clase. Si nos preguntan: ¿se mueve el encerado?, decimos que no, ya que lo
vemos parado. Y si nos preguntan: ¿se mueve la Tierra?, decimos que sí, porque sabemos
que da vueltas alrededor del Sol. Pero el encerado está en la Tierra, y si esta se mueve...
entonces el encerado también está en movimiento. Luego... ¿se mueve o no se mueve? Pues sí y no, o mejor, depende. Respecto de las paredes del aula, no se mueve; respecto del
Sol, sí que se mueve.
Sistema de referencia
Ya ve que para poder contestar bien a la pregunta de si un cuerpo se mueve o no, tenemos
que tomar otro como referencia. A este último se le llama sistema de referencia. No podemos saber si un cuerpo se mueve o si está en reposo sin compararlo con otro, así que el
movimiento es relativo: los cuerpos se mueven unos respecto de los otros. Es imposible
saber si hay algún objeto en reposo en el universo.
Actividades resueltas
Conteste ahora a las preguntas que nos hacíamos al principio: ¿Se mueve cuando...?
Está sentado/a en el aula o en casa.
Respecto del aula no, pero respecto del Sol o de la Luna sí, por ejemplo.
Está de pie en la parada esperando el autobús.
Igual que en el caso anterior.
Viaja en el autobús a 80 km/h.
Respecto de la carretera sí que nos movemos, pero respecto del resto
del autobús, no.
¿Se mueve el Sol?
Solución
Pues depende respecto de qué. Respecto de la Tierra, sí que se mueve; también se mueve respecto de
la galaxia (da vueltas lentamente alrededor de ella).
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Actividades propuestas
S18.
¿Cuál es el sistema de referencia en cada caso?
Un coche se mueve a 72 km/h.
Un avión vuela de Santiago a Barcelona.
Saturno se mueve alrededor del Sol.
Una mosca vuela de un lado a otro en la sala.
2.3.2 Posición de un móvil
Un móvil es cualquier cuerpo que se mueve. Un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición respecto de un sistema de referencia.
Trayectoria
Es la línea que describe el móvil en su movimiento. A veces la vemos por el rastro que dejan los cuerpos al moverse: el vapor creado por los aviones en el cielo, la huella de los caracoles, el rotulador en el encerado, los esquís en la nieve. La trayectoria puede ser rectilínea o curvilínea.
Posición
La posición de un cuerpo es el punto de la trayectoria en que está en un instante determinado. La podemos determinar de dos modos, especificando:
Coordenadas cartesianas (x, y) del punto en unos ejes de coordenadas:
El móvil está en la posi-
ción (7, 3.6)
Distancia (s) a la que está el móvil desde el origen de la trayectoria, medida sobre ella:
El móvil está en la posi-
ción s = 10 unidades
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En esta unidad utilizaremos exclusivamente la segunda forma de determinar la posición de
los móviles.
Espacio o distancia recorridos
El espacio recorrido es la longitud del trecho recorrido, medido sobre la trayectoria. Se
calcula restando la posición final menos la posición inicial del móvil:
Espacio recorrido = ∆s = s - so
∆s se lee incremento de s. La letra griega delta ∆ se usa para indicar la diferencia entre dos
valores, el final menos el inicial.
El espacio se mide en metros (en el sistema internacional); a veces se mide también en
kilómetros (1 km = 1.000 metros).
Desplazamiento
Es la distancia entre dos puntos de la trayectoria medida en línea recta (aunque la trayectoria sea curva).
En general el desplazamiento mide menos que el espacio recorrido, excepto que la trayectoria sea rectilínea; en este caso coinciden desplazamiento y espacio recorrido.
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Actividades propuestas
S19.
Indique las coordenadas del móvil en las posiciones A, B y C de la figura:
S20.
Indique la posición del automóvil en la carretera en las posiciones señaladas en
la figura:
S21.
La figura siguiente representa las posiciones de un móvil medidas sobre la trayectoria. Calcule las distancias recorridas entre los instantes que se indican:
t = 10 s y t = 40 s
t = 10 s y t = 30 s
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2.3.3 Velocidad media e instantánea
Velocidad media
Viajamos de Santiago a Ourense en coche. Recorremos 103 kilómetros y tardamos en total
dos horas. Calculamos la velocidad media del viaje dividiendo el espacio recorrido entre
el tiempo total tardado:
∆s s − s 0 103 km
v media =
=
=
= 51,5 km / h
∆t t − t 0
2h
¡Atención! En el tiempo t anterior tenemos que incluir también los tiempos en que el móvil ha estado parado (descansos, echar combustible, etc.).
Velocidad instantánea
Es la que tiene un móvil en cada momento. En el sistema internacional (SI) de unidades, el
oficial en la mayoría de los países, se mide en m/s, aunque en los coches suele medirse en
km/h, por razones prácticas; la velocidad instantánea (o simplemente, velocidad) viene
marcada en el velocímetro (la gente le llama cuentakilómetros, que no es lo mismo).
En la práctica medimos la velocidad (instantánea) calculando la velocidad media en un
intervalo de tiempo muy pequeño (una décima de segundo, por ejemplo). En las carreteras, los radares miden la velocidad de los vehículos mediante el efecto Doppler, que es el
cambio de frecuencia de una onda cuando es emitida por un cuerpo en movimiento (por
eso suena diferente la sirena de una ambulancia cuando se acerca y cuando se aleja de nosotros). Con el efecto Doppler también se miden las velocidades de las estrellas y de las
galaxias en el universo.
Cambio de km/h a m/s y viceversa
Lo hacemos utilizando factores de conversión. Un factor de conversión es una fracción
que expresa la equivalencia entre dos unidades que se desean transformar (recuerde: 1 km
= 1.000 m y 1 h = 3.600 s).
Pasar de 90 km/h a m/s.
Significa que en cada segundo recorremos 25 metros.
Pasar 10 m/s a km/h (es la velocidad de un atleta que corre los 100 m lisos).
Significa que en una hora recorrería 36 km, de ir siempre con la misma velocidad.
Pero es claro que en un viaje la velocidad no es siempre la misma: aceleramos, frenamos...
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Actividad resuelta
Recogemos en la tabla los tiempos y las distancias recorridas en un viaje entre Vigo y A
Coruña:
Hora
9.00 h
10.15 h
10.30 h
11.30 h
Posición (km)
0 km
85 km
85 km
158 km
¿Cuánto tiempo estuvimos realmente en marcha? ¿Cuánto tiempo estuvimos parados?
Solución
De 10:15 hasta las 10:30 h estuvimos parados, entonces estuvimos en movimiento 1:15h + 1 h= 2:15 h,
es decir, dos horas y cuarto. Estuvimos parados 15 minutos.
Calcule la velocidad media del viaje en km/h.
El tiempo total del viaje fue: 2 h y 15 minutos en movimiento+15 minutos parado = 2 h y 30 minutos= 2,5
horas
Solución
vmedia =
espazo 158km
km
=
= 63,2
tempo
2,5h
h
Actividad propuesta
S22.
Efectúe los siguientes cambios de unidades:
50 m/s a km/h.
120 km/h a m/s.
1997 semanas a segundos.
106 segundos a días.
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2.3.4 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Es el movimiento más sencillo. Un movimiento es rectilíneo si su trayectoria es una recta,
y es uniforme cuando su velocidad es siempre la misma, no varía durante el trayecto.
En el movimiento uniforme la velocidad media y la velocidad instantánea tienen el mismo valor, porque se recorren espacios iguales en tiempos iguales, así que:
v=
∆s s − s0
=
∆t t − t0
Esta es la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme.
Generalmente el tiempo inicial t0 es nulo por lo que t0= 0 y la fórmula queda:
v=
s − s0
t
Si queremos calcular el espacio, despejamos s de la fórmula anterior: s ⇒ s = s 0 + vt
Esta fórmula permite calcular las posiciones del móvil en cualquier momento. Si no se indica nada en contra, se puede suponer que en el instante inicial (t = 0) la posición inicial es
cero (so = 0) por lo que la ecuación para calcular la velocidad en un momento dado quedas
ría aún más sencilla: v =
t
Ejemplo 1. Un ciclista pasa por la posición s1 = 100 m cuando t = 0 s, y por la posición
s2 = 300 m cuando t = 22 s. Suponiendo que va siempre a la misma velocidad, calcule
su valor y el instante en el que pasará por la posición s = 1.000 m.
Solución:
– Calculamos su velocidad:
v=
∆s s − s0 300m − 100m
=
=
= 9,09m / s
∆t t − t0
22 s − 0
– Calculamos el instante en que pasará por la posición s = 1.000 m:
Tomamos como posición inicial la posición s1=100 m
v=
∆s s − s0
1000 − 100
900
=
⇒ 9,09m / s =
⇒ 9,09 =
∆t t − t0
t −0
t
Despejando de la ecuación el tiempo t: t =
900
= 99 s
9,09
Ejemplo 2. Un avión vuela a 900 km/h. ¿Cuánto tarda en recorrer 1.500 km? Solución:
Empleamos la fórmula s = so+ v t . Como so = 0 ⇒ s = v.t
Despejamos el tiempo y calculamos:
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Gráfica posición/tiempo de un MRU
Esta gráfica permite visualizar rápidamente muchas de las características de este tipo de
movimiento. Vemos cómo se hace en unos ejemplos:
Ejemplo 1. Un móvil está en el instante inicial en la posición 100 m. Se mueve con una
velocidad uniforme de 20 m/s. Dibuje su gráfica posición/tiempo (gráfica s/t).
Solución: escribimos primero la ecuación del movimiento y, a continuación, la tabla de
datos s/t, le damos valores al tiempo y calculamos s.
s = so+ v.t → s = 100 + 20.t
Tiempo (s)
0s
1s
2s
4s
7s
Posición (m)
100 m
120 m
140 m
180 m
240 m
Observamos que la gráfica resulta ser
una línea recta inclinada: es una función
lineal.
Cuanto mayor sea la velocidad del móvil, más inclinada es la línea recta de la gráfica.
Fíjese en el ejemplo siguiente:
Ejemplo 2. Un móvil A parte de la posición inicial so = 100 m, y se mueve a 20 m/s;
otro móvil B parte de el origen (so = 0) y lleva una velocidad constante de 40 m/s.
Construimos la gráfica s/t de ambos cuerpos en los mismos ejes de coordenadas.
Solución. Hacemos las tablas de datos posición/tiempo de los dos móviles:
– Móvil A. Ecuación del movimiento: s = 100 + 20.t
Tiempo (s)
0s
2s
4s
5s
6s
Posición (m)
100 m
140 m
180 m
200 m
220 m
– Móvil B. Ecuación del movimiento: s = 0 + 40.t
Tiempo (s)
0s
2s
4s
5s
6s
Posición (m)
0
80 m
160 m
200 m
240 m
Representamos ahora gráficamente los dos conjuntos de datos:
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Observaciones sobre la gráfica y los movimientos representados:
– a) La línea recta roja corresponde al móvil
con mayor velocidad.
– b) El punto de corte de las dos rectas nos
indica la posición y el tiempo en que B alcanza a A.
– c) El móvil B sale desde el origen persiguiendo al móvil A, que sale desde la posición 100 m; después de los 5 s, B va por
delante de A.
Actividad resuelta
Ponemos el cronómetro en marcha cuando pasamos por delante de la posición 30 m.
Caminamos a una velocidad constante de 1.1 m/s. Calcule y llene los huecos en la tabla
siguiente de datos posición/tiempo:
Posición
30 m
Tiempo
0s
52 m
1s
2s
8s
Como dice que camina a una velocidad constante, es un MRU, por lo que aplicamos la
ecuación ⇒ s = s 0 + vt . Con s0= 0 la ecuación queda ⇒ s = v.t
Sustituimos los distintos valores del tiempo:
Para t=1 ⇒s = v.t= 1,1·1=1,1 m
Para t=2 ⇒s=v.t= 1,1·2=2,2 m
Para t=3 ⇒s=v.t= 1,1·8=8,8 m
Para calcular el tiempo en el último cuadro, despejamos el tiempo de la ecuación s = v.t:
t=s/v= 52/1,1= 47,3 s.
Completamos ahora la tabla anterior:
Posición
30 m
1,1
2,2
8,8
52 m
Tiempo
0s
1s
2s
8s
47,3
Actividades propuestas
S23.
Caminamos de modo que avanzamos 4 km en una hora. Suponiendo la velocidad constante, calcule:
a) La velocidad.
b) El tiempo que tardamos en recorrer 10 km.
c) El espacio que recorremos en tres horas y media.
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S24.
La luz y las demás ondas electromagnéticas se mueven por el aire y por el vacío
a 300.000 km/s. Si los satélites de televisión están a 36.000 km de altura sobre
la Tierra:
a) ¿Cuánto tiempo tarda la señal en ir desde la emisora de TV hasta el satélite?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en ir la señal desde la emisora hasta la antena de su
casa?
S25.
El eco se produce cuando un sonido rebota contra una pared, una montaña, etc.
y vuelve a nosotros. Si escuchamos nuestro eco 3 s más tarde de dar un fuerte
grito, ¿a qué distancia estamos de la pared montañosa? Velocidad del sonido
=340 m/s.
S26.
Haga la gráfica s/t de un coche que en el instante inicial estaba en el punto kilométrico 30 km de la ruta Ourense-Lugo y se mueve con velocidad constante de
60 km/h.
S27.
Interprete cómo es el movimiento que se representa en cada gráfica:
2.3.5 Aceleración
Si dejamos caer un objeto, gravamos la caída y la vemos luego fotograma a fotograma a intervalos de 0,2 segundos, resulta lo siguiente:
Observamos que entre cada dos fotogramas consecutivos el cuerpo recorre cada vez más
espacio: se mueve cada vez más rápido, la velocidad va aumentando en la caída.
Los movimientos en los que la velocidad cambia se llaman acelerados. Se caracterizan por la
magnitud aceleración, que se calcula así:
a=
∆v v − v0
=
∆t t − t0
–
Por ejemplo, si un coche va inicialmente a una velocidad de 10 m/s y acelera hasta alcanzar una velocidad de 25 m/s en seis segundos, la aceleración vale:
Página 22 de 49
a=
∆v v − v0
=
=
∆t t − t0
25
m
m
m
− 10
15
s
s =
s = 2,5 m
s2
6s − 0
6s
Este resultado indica que cada segundo de tiempo la velocidad aumenta 2,5 m/s; fíjese en
la tabla siguiente cómo va cambiando la velocidad del móvil:
t (s)
0
1s
2s
3s
4s
...
v (m/s)
10 m/s
12.5 m/s
15.0 m/s
17.5 m/s
20.0 m/s
...
Cuando frenamos, la velocidad disminuye, y la aceleración es negativa. Si un ciclista reduce su velocidad de 10 m/s a 7 m/s en 6 segundos, su aceleración es:
m
m
m
7 − 10
−3
∆v v − v0
s =
s = −0,5 m
a=
=
= s
∆t t − t0
6s
6s
s2
Ya ve que la aceleración es negativa en los movimientos de frenada. Resumiendo:
a>0
El móvil va cada vez más rápido.
a=0
La velocidad no cambia, va siempre igual de rápido (movimiento uniforme).
a<0
El móvil va cada vez más despacio.
2.3.6 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Vamos a estudiar solo los movimientos en los que la aceleración es constante, que no
cambia con el tiempo; a este tipo de movimientos los llamamos uniformemente acelerados. La caída de una piedra es un ejemplo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
Despejamos v de la ecuación de la aceleración y obtenemos la ecuación de la velocidad:
Por lo tanto, la velocidad final es igual a la velocidad inicial más el producto de la aceleración por el tiempo que dura el recorrido.
¿Cómo podemos calcular el espacio recorrido por un móvil cuando tiene aceleración?
La deducción de la ecuación es algo larga, así que la damos sin demostración:
s0= espacio inicial en metros
v0=velocidad inicial en m/s
a=aceleración en m/s2
t= tiempo en segundos
¡Atención! La ecuación del movimiento uniforme, s = so + v.t, no se puede utilizar en los
movimientos acelerados ya que se obtienen resultados incorrectos.
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Movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado
Los movimientos de frenada son movimientos desacelerados. En ellos, la aceleración se
considera negativa, pues hace disminuir la velocidad, pero los cálculos se hacen con las
mismas ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. La velocidad final en este
tipo de movimiento es cero.
Actividades resueltas
Un móvil parte del reposo (v0 = 0) y acelera durante 10 s con una aceleración a = 4 m/s2.
¿Cuántos metros avanza?
Como no hay indicación en contra, tomamos s0 = 0
Solución
Una vagoneta de montaña rusa se mueve con una v0=0,20 m/s. Cae cuesta abajo con
una aceleración de 2,9 m/s2. ¿Qué velocidad tiene después de caer durante 3 s?
Solución
Un cuerpo se mueve desde una posición so = 2 m durante 4 s con una aceleración de 5
m/s2. Si la velocidad inicial era de 20 m/s, ¿cuál es su posición final?
Solución
El conductor de un vehículo tarda en parar 5 s después de frenar con una desaceleración de 3 m/s2. Calcule la velocidad inicial del automóvil antes de comenzar a frenar y el
espacio recorrido durante la frenada.
La desaceleración es una aceleración negativa, por lo que a = -3 m/s2.
La velocidad final es 0 m/s2.
Solución
v f = v0 + a.t ⇒ 0 = v0 + (−3)·5 ⇒ v 0 = 15m / s 2
1
1
s = s 0 + v0 ·t + ·a·t 2 = 0 + 15 ⋅ 5 + ⋅ (−3)·( 5) 2 = 75 − 37,5 = 37,5m
2
2
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Actividades propuestas
S28.
Una moto va a 70 km/h. Aumenta su velocidad hasta 30 m/s en 5 s. Calcule:
La aceleración
El espacio recorrido en esos cinco segundos.
S29.
Un cuerpo, partiendo del reposo, recorre 100 m en 8 segundos. ¿Cuál es su aceleración? ¿Cuánto vale la velocidad final?
S30.
¿Cuál es la aceleración de frenada de un motorista que circula a 80 km/h y para
la moto en 15 s? ¿Cuánto es el espacio recorrido en ese momento?
S31.
Un coche se mueve a 120 km/h con movimiento uniforme por la autopista. El
conductor ve que a 200 m hay un accidente que impide el paso y frena. La aceleración de frenada es de 6,5 m/s2. Teniendo en cuenta que el tiempo de reacción del conductor es de 0,75 segundos (en este tiempo no frena aún), ¿conseguirá detenerse antes de llegar al obstáculo?
S32.
Un tren entra en una estación a 90 km/h y frena con una aceleración a =-2,6
m/s2.
¿Por qué es negativo el signo de la aceleración?
¿Cuánto tiempo tarda en detenerse el tren?
¿Cuántos metros recorre en la frenada?
2.3.7 Movimiento de caída libre
La Tierra atrae a todos los cuerpos que hay alrededor de ella en dirección hacia su centro.
Los cuerpos caen "hacia abajo" (eso decimos nosotros), pero en realidad caen hacia el centro del planeta.
Cerca de la superficie terrestre todos los cuerpos caen con la misma aceleración,
que vale 9,8 m/s2. Con frecuencia a este valor se le llama aceleración de la gravedad g.
En la Luna, g = 1,6 m/s2.
En la caída libre, el cuerpo cae por su propio peso, por lo que la velocidad inicial, v0, es
cero. La gravedad aumenta progresivamente la velocidad del cuerpo. Este es un movimiento rectilíneo y acelerado, por lo que vamos a utilizar las fórmulas del MRUA. Veamos cómo se resuelven los problemas de caída libre con unos ejemplos:
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Actividades propuestas
Una maceta cae desde una terraza. Tarda cuatro segundos en romper contra el suelo.
Calculamos la velocidad con la que choca contra el suelo y la altura desde la que cayó.
a) Aunque no nos los dan, hay dos datos que conocemos: como la caída es libre, v0 =0.
La aceleración de caída es la gravedad, por lo que a = g = 9,8m/s2.
v f = v0 + a.t = 0 + 9,8 ⋅ 4 = 39,2 m/s
b) Consideramos s0 = 0 tomando como origen de espacios el lugar desde donde cae la
maceta.
s = 0 + 0⋅4 +
1
⋅ 9,8.4 2 = 78,4 m
2
Una saltadora de trampolín artístico se deja caer desde la plataforma de saltos, situada a
8 m sobre el agua de la piscina. Determinemos el tiempo que tarda en llegar al agua y la
velocidad de impacto contra el agua.
Actividad práctica
Deje caer con cuidado una piedra grande y otra pequeña al mismo tiempo, desde la misma
altura (sobre dos metros). ¿Cuál llega antes al suelo? ¡No lo diga, hágalo! Repita la experiencia dejando caer un libro y un trozo pequeño de papel separados uno de otro.
Deje caer de nuevo el libro y el papel, pero ahora con el papel justo encima del libro.
¿Qué efecto produce la atmósfera en los dos últimos casos? ¿Cuál sería el resultado de
hacer todo esto en la Luna?
Puede ver un vídeo de lo anterior en:
– http://www.youtube.com/watch?v=4mTsrRZEMwA. En el se comprueba la teoría de
Galileo que afirma que, en ausencia de atmósfera, los objetos caerán a la misma velocidad independientemente del valor de su masa.
Actividad propuesta
S33.
Un paracaidista se tira desde una altura de 1.000 m. El paracaídas no abre.
¿Con qué velocidad choca contra el suelo el desafortunado paracaidista?
La velocidad con la que realmente impacta contra el suelo, aunque mortal, es
mucho menor que la calculada. ¿Por qué?
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3.
Resumen de contenidos
Función lineal: es del tipo y = mx. El número m es la pendiente. La gráfica de la función lineal es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0). Cuanto mayor sea la pendiente, más inclinada ha de estar la recta en la gráfica.
Función afín: es del tipo y = mx + b. El parámetro m es la pendiente, y el parámetro b
es la ordenada en el origen (punto de corte de la recta con el eje OY).
Identidad: es una igualdad que es cierta siempre, para todos los valores de las letras que
contenga. Por ejemplo, 2x + 3x = 5x es una igualdad.
Ecuación: igualdad que solo es cierta para algunos valores de las letras. Por ejemplo:
2x + 3x = 100.
Ecuación de primer grado: ecuación en la que la incógnita x está elevada al exponente
1. Resolver la ecuación es determinar el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad.
Transposición de términos. Reglas básicas:
– Si el término está sumando en un miembro, pasará restando al otro miembro.
– Si está restando en un miembro, pasa sumando al otro.
– Si está multiplicando a todo el miembro, pasa al otro dividiéndolo.
– Si está dividiendo a todo un miembro, pasa al otro multiplicándolo.
Sistema de referencia: es imposible saber si un cuerpo se mueve o no. Lo más que podemos saber es si se mueve respecto de otro cuerpo que se llama sistema de referencia.
Posición de un móvil: la determinamos mediante las coordenadas (x, y) o con la distancia medida desde el origen de la trayectoria (s).
Espacio recorrido: es la longitud de la trayectoria recorrida.
Desplazamiento: distancia que hay entre los puntos de salida y de llegada medida en línea recta (no sobre la trayectoria, que puede ser curvilínea).
Velocidad media: se calcula dividiendo el espacio total recorrido entre el tiempo total
∆s s − s0
utilizado: vmedia =
=
∆t t − t0
Movimiento uniforme: en este movimiento la velocidad vale lo mismo todo el tiempo.
Su ecuación es s = so + v.t . No tiene aceleración.
Movimiento acelerado: la velocidad va aumentando (aceleración positiva) o disminuyendo (aceleración negativa). La aceleración se calcula con la fórmula:
∆v v − v0
a=
=
∆t t − t0
Las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado son:
Cerca de la Tierra los cuerpos caen con una aceleración de 9,8 m/s.
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3.1
Actividades complementarias
Función lineal y función afín
S34.
La función que permite calcular la temperatura en grados Fahrenheit a partir de
la temperatura en grados Celsius (grados centígrados) es: ºF = 32 + 1,8 ºC
a) ¿Qué tipo de función es?
b) ¿Cuál es su pendiente? ¿Y su ordenada en el origen?
c) En el verano, cuando estamos a 30 ºC, ¿cuánto marca un termómetro Fahrenheit?
S35.
En relación con la gráfica:
a) Determine la pendiente y la ordenada en el origen.
b) Escriba la expresión algebraica de la función.
c) ¿Para qué valor de x, y vale 15?
Ecuaciones
S36.
Resuelva las ecuaciones:
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S37.
Calcule qué número hay que sumarle a 37 para que dé 119.
Movimientos
S38.
Los datos de la tabla corresponden al avance de un ave por el aire:
Tiempo (s)
0
10
20
30
40
Espacio (m)
0
27
58
87
116
Calcule la distancia recorrida entre los instantes:
t = 10 s y t = 30 s
t = 20 s y t = 40 s
S39.
Tres corredores compiten en unos juegos olímpicos. El primero recorre 10 km en
27 min y 40 s, el segundo recorre los 100 m lisos en 9,88 s y el tercero recorre
1.500 m en 3 min 31 s. ¿Cuál de ellos es el más veloz?
S40.
Una persona camina por la playa sobre la arena seca. La gráfica s/t de su movimiento es la siguiente:
a) ¿Cuál es su velocidad?
b) ¿Cuánto tardará en recorrer 100 m?
c) Si ahora caminase por la arena mojada, ¿cómo sería la gráfica de su movimiento? Dibújela aproximadamente en los ejes anteriores.
S41.
Andrés ve salir a su hija Xiana de la casa hacia el colegio y se da cuenta de que
no lleva el bocadillo. Lo coge, sale corriendo hasta alcanzarla, se lo da y vuelve
a casa, más despacio.
a) ¿Cuál de las gráficas se ajusta al movimiento realizado?
b) Calcule la velocidad de Andrés en la ida y en la vuelta.
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S42.
Un motorista se mueve por una carretera con una velocidad constante de 89
km/h. Calcule cuántos metros recorre en 8 minutos.
S43.
Un móvil pasa por el origen de coordenadas en el instante inicial. Se mueve con
una velocidad constante de 20 m/s. Represente la gráfica posición/tiempo.
S44.
Un automóvil circula por una carretera. Cuando el reloj indica 5 min, se encuentra en la posición 30 km, y cuando indica 30 min, está en la posición 70 km. Calcule la velocidad media del automóvil en km/h y en m/s.
S45.
Otro automóvil que parte de la posición s0 = 5 m recorre una pista con una velocidad constante de 20 m/s.
Escriba la ecuación del movimiento y calcule la posición en el instante t = 10 s.
Represente la gráfica s/t del movimiento.
S46.
Un avión toma tierra con una velocidad inicial de 250 km/h. Recorre la pista y frena completamente en 30 s.
¿Cuál es la aceleración de la frenada?
¿Cuántos metros recorre en la pista?
S47.
Un móvil aumenta su velocidad desde 59,7 km/h hasta 80 km/h en 4,5 segundos. Calcule:
La aceleración.
El espacio recorrido en esos 4,5 segundos.
La velocidad que tendrá a los 8 s si sigue con la misma aceleración.
S48.
Un móvil parte del reposo (v0 = 0). La tabla siguiente recoge las posiciones en
diferentes instantes:
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
Posición (m)
0
2
8
18
32
Dibuje la gráfica posición/tiempo.
Calcule la aceleración del móvil, y su velocidad en el instante t = 8 s
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4.
Ejercicios de autoevaluación
1.
La función representada:
2.
La pendiente es 1
X
La pendiente es - 1
La pendiente es – 1/2
La pendiente es 1/2
y = - 2x - 1
y=-x+2
y = -x + 1
y=x+1
Calcule un número de modo que el doble de ese número más 17 sea igual a 47.
5.
Es una función afín.
La expresión algebraica de la función anterior es:
4.
Y
En la misma función:
3.
Es una función lineal.
11
15
6
-3
Una empresa tuvo beneficios de 10.300 euros, que reparte entre sus tres dueños. Uno tiene
el 30 % de la empresa, otro el 45 % y otro el resto. Las cantidades que les tocan a cada socio son:
3.500 euros, 4.100 euros y 2.700 euros.
3.100 euros, 4.625 euros, 2.575 euros.
3.090 euros, 4.635 euros y 2.575 EUR euros.
Otras cantidades distintas a las anteriores.
6. La solución de la ecuación
x – 2 3 – x 4x + 1
=
–
– 2 es:
3
2
6
0
2
-2
6
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7.
El desplazamiento y el espacio recorrido coinciden:
8.
En una caída libre.
En una trayectoria rectilínea.
En una trayectoria circular.
De una villa a otra hay una distancia de 35 km. Salimos en autobús de una de ellas con una
velocidad constante de 60 km/h. El tiempo que tardaremos en llegar a la otra villa es de:
9.
En una trayectoria curvilínea.
35 minutos.
60 minutos.
102,9 minutos.
210 minutos.
Dejamos caer sin velocidad inicial una piedra desde lo alto de la torre de Hércules (68 m).
Despreciando el rozamiento contra el aire, el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo
es:
2,7 s.
3,7 s.
4,7 s.
3,271 s.
10. Un coche deportivo arranca desde el reposo y alcanza los 100 km/h en 8 segundos. Su aceleración es:
3,20 m/s2.
9,8 m/s2.
2,15 m/s2.
3,47 m/s2.
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5.
Solucionarios
5.1
Soluciones de las actividades propuestas
S1.
y= 3x
y= -1/2 x
s= 5t
y= -2x+8
Lineal
Lineal
Lineal
No es lineal
y= 8x
y= -4t
y= 0,05x
s= -3/2 t
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
S2.
S3.
S4.
a) La función es de proporcionalidad directa, por lo tanto tiene que ser de la
forma y = m.x. Cuando x = 3, y = 12; sustituyendo estos valores podemos despejar la pendiente m:
La expresión algebraica de la función es y = 4x.
b) La pendiente es 4.
c) Como la pendiente es positiva, la función es creciente.
Página 33 de 49
S5.
y= -2x+0,05
s= 3t+1
y= 2x3+7
Afín
Afín
No es afín
S6.
S7.
S8.
La función afín es y = mx + b. No conocemos los parámetros m y b. Pero sabemos
que la gráfica pasa por los puntos (-2,-7) y (3,8); con esta información representamos la función:
Página 34 de 49
Con las flechas verdes dibujadas en la gráfica vemos que, cuando x aumenta cinco
unidades, el valor de y aumenta 15 unidades; con esto podemos calcular la pendiente de la función:
Entonces la función afín es y = 3x + b. Para determinar el valor de b tomamos uno
de los dos puntos por los que pasa la recta y sustituimos sus valores de x y de y en
la función. Por ejemplo, si cogemos el punto (3, 8) tenemos:
Entonces la expresión algebraica de la función es: y = 3x – 1. La pendiente es 3 y
la ordenada en el origen vale -1.
S9.
Ecuación
Valor propuesto 1
Valor propuesto 2
Valor propuesto 3
x2 + x - 2 = 0
No es solución
Sí es solución
Sí es solución
No es solución
No es solución
Sí es solución
S10.
S11.
Página 35 de 49
S12.
Para eliminar los denominadores, multiplicamos en cruz:
12(3 x − 9) = 10( x − 3) ⇒ 36 x − 108 = 10 x − 30 ⇒ 36 x − 10 x = 108 − 30 ⇒
26 x = 78 ⇒ x =
78
=3
26
b) Aquí también multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores:
20 + 5 x 2 x + 1
=
⇒ 3(20 + 5 x) = 4(2 x + 1) ⇒ 60 + 15 x = 8 x + 4 ⇒ 15 x − 8 x = 4 − 60 ⇒
4
3
− 56
7 x = −56 ⇒ x =
= −8
7
S13.
Edad de la hermana pequeña = x años.
Edad de la hermana mayor = x+8 años.
Formulamos la ecuación: x+8+x=38 ⇒ 2x+8=38 ⇒ 2x=38-8 ⇒ 2x=30 ⇒ x=15.
La hermana pequeña tiene 15 años y la mayor tiene 23 años.
S14.
Amigo 1 = x euros
Amigo 2 = (50 + x) euros
Amigo 3 = (
50 + x
) euros
2
50 + x
=900 ⇒ Operamos y reducimos a co2
50 + x
4 x 100 50 + x 1800
mún denominador ⇒ 2x+50+
=900 ⇒
+
+
=
⇒
2
2
2
2
2
Formulamos la ecuación: x+50+x+
4x+100+50+x=1800 ⇒ 5x = 1800 - 150⇒ 5x = 1650 ⇒ x= ⇒
El amigo 1 tiene 330 euros.
Página 36 de 49
1650
= 330 euros
5
El amigo 2 tiene 380 euros.
El amigo 3 tiene 190 euros.
S15.
La incógnita x es el precio del pantalón sin IVA.
x+
16 • x
60,32
= 52 euros
= 60,32 ⇒ x + 0,16x= 60,32 ⇒ 1,16x = 60,32 ⇒ x=
100
1,16
S16.
x = número de monedas que tiene Pili.
Formulamos la ecuación: 50x = (x-80).100 ⇒ 50x = 100x-8000 ⇒
50x – 100x = -8000 ⇒ -50x = -8000 ⇒ x=
− 8000
= + 160 monedas
− 50
S17.
Dinero de Belén= x
Dinero de Adrián= x+400
Dinero de Carlota= x-400
Formulamos la ecuación: x + (x+400) + (x-400) = 6400 ⇒ 3x = 6400 ⇒
x=
6400
= 2133,3 euros
3
Dinero de Belén = 2.133,3 euros
Dinero de Adrián = 2.533,3 euros
Dinero de Carlota= 1.733,3 euros
S18.
S19.
Posición del punto A: (30, 45).
Posición del punto B: (40, 27).
Posición del punto C: (50, 14).
S20.
SA = 1 km; SB = 3 km; SC = 4 km.
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S21.
S22.
a)
50m 1km 3600 s
km
•
•
= 180
s
1000m
1h
h
120km 1000m
1h
m
•
•
= 33,33
h
1km 3600 s
s
7días
24horas 3600 segundos
c) 1997 semanas •
•
•
= 1,2.109 s
1semana
1día
1hora
1min
1hora
1dia
d) 106 segundos •
•
•
= 11,57 dias
60 segundos 60 min 24horas
b)
S23.
S24.
S25.
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S26.
La ecuación del movimiento es s = so + v.t; sustituyendo los valores numéricos de
la posición inicial y la velocidad, tenemos s = 30 + 60.t. Hacemos una tabla de valores espacio-tiempo, dándole valores al tiempo y calculando las posiciones:
S27.
a) El cuerpo está parado en la posición s = 150 metros.
b) El cuerpo se mueve hacia el origen de coordenadas con velocidad constante.
c) Durante los tres primeros segundos el móvil avanza con velocidad constante.
El resto del tiempo está parado en la posición 150 metros.
S28.
S29.
S30.
80km 1000m
1h
m
•
•
= 22,22
h
1km
3600 s
s
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En un movimiento de frenada, la velocidad final es cero.
v f = v0 + a·t ⇒ 0 = 22,22 + a·15 ⇒ −22,22 = a·15 ⇒ a =
s = 0 + 22,22·15 +
− 22,22
= −1,48m / s 2
15
1
⋅ (−1,48)·(15) 2 = 333,3 − 166,65 = 166,65m
2
S31.
El espacio recorrido en este tiempo con movimiento rectilíneo uniformemente
desacelerado será:
s = 0 + 33,3 ⋅ 5,12 +
1
⋅ (−6,5)·( 5,12) 2 = 170,49 − 85,24 = 85,24m
2
El espacio total recorrido será: 24,98+85,24= 110,22 m
El coche parará antes de los 200 m y no chocará.
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S32.
S33.
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5.2
Soluciones de las actividades complementarias
S34.
a) Es una función afín
b) Pendiente = 1,8; ordenada en el origen = 32
c) F = 32 + 1,8·30 = 86 ºF.
S35.
S36.
S37.
Ecuación: 37 + x = 119; solución: x = 82.
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S38.
S39.
S40.
S41.
Página 43 de 49
S42.
S43.
S44.
S45.
Página 44 de 49
S46.
S47.
S48.
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5.3
Soluciones de los ejercicios de autoevaluación
1.
La función representada es:
2.
En la misma función:
3.
15
Las cantidades que le toca a cada socio son:
6.
Su expresión algebraica es y = - x + 2
El número es:
5.
La pendiente es - 1
La expresión algebraica de la función anterior es:
4.
Afín.
3.090 euros, 4.635 euros y 2.575 euros.
La solución de la ecuación es:
2
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7.
El desplazamiento y el espacio recorrido coinciden:
8.
En una trayectoria rectilínea.
El tiempo que tardaremos en llegar a la otra villa es de:
9.
En una caída libre.
35 minutos
El tiempo que tarda vale:
3,5 s
10. Su aceleración es:
3,47 m/s2
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6.
Glosario
E
Ecuación
Igualdad que solo es cierta para algunos valores de las letras.
G
Galaxia
Conjunto de estrellas que se mantienen próximas entre ellas por interacciones gravitatorias mutuas.
Suelen girar alrededor de su centro, en el que frecuentemente hay un agujero negro. El Sol está en
la galaxia llamada Vía Láctea.
Identidad
Igualdad que es cierta siempre para cualquier valor numérico de las letras.
Pendiente
Parámetro que mide la inclinación de una recta o de una curva. En la función afín y = mx + b, la
pendiente es el parámetro m.
Perímetro
Medida de la longitud del contorno de una figura geométrica.
Sistema de
Objeto que se toma como referencia para ver si otro cuerpo se mueve o no respecto de él.
I
P
S
referencia
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7.
Bibliografía y recursos
Bibliografía
Los contenidos de esta unidad se pueden ampliar en cualquier libro de texto de las últimas
ediciones de matemáticas y de física y química de 3º y 4º de ESO. A modo de ejemplo
proponemos los siguientes:
Matemáticas. Opción A. 4º ESO. Ed. Anaya.
Matemáticas 3º ESO. Obradoiro. Ed. Santillana.
Matemáticas 3º ESO. Ed. Oxford.
Matemáticas 2º ESO. Ed. Vicens-Vives.
Física y química 4º ESO. Ed. Vicens - Vives.
Física y química 4º ESO. Ed. SM.
Física y química 4º ESO. Ed. Rodeira.
Física y química 4º ESO. Ed. Santillana.
Física y química 4º ESO. Ed. Anaya.
Enlaces de Internet
A continuación recomendamos unas páginas para los contenidos de la unidad. Hay muchas páginas matemáticas sobre ecuaciones y con problemas resueltos del MRU y MRUA:
[http://matematicasies.com/?-Ecuaciones,6-]
Proyecto Descartes
[http://recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_ud.php]
[http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/ecuaciones_prim
er_grado/indice.htm]
Simulador del MRU y MRUA
[http://www.ing.uc.edu.ve/~vbarrios/fisica1/fisica1_tutoriales/1d1.htm]
[http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_cinematica.php]
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