Page 1 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Primer Cuatrimestre

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Primer Cuatrimestre (recuperación) / 2 julio 2012
1. Una bola de billar, de masa m y radio R, tras ser lanzada (golpeada), adquiere
una velocidad de traslación v y una velocidad de rotación de retroceso ω
v
ω
(efecto de retroceso), tal como se ilustra en la figura. Como consecuencia de su
rozamiento con el tapete, al cabo de un cierto recorrido, el movimiento de la
bola se transforma en una rodadura. Sean µs µk los coeficientes de rozamiento
estático y cinético. a) Calcular la velocidad del punto A de la bola en contacto
con el tapete b) ¿De que tipo de rozamiento se trata? Considerando constante y
suficiente la fuerza de rozamiento, determinar su módulo y su sentido. c) Determinar la aceleración angular
αy la aceleración a del centro de la bola. d) Calcular la aceleración del punto A. Dato: Momento de inercia
de la esfera =
2
mR 2
5
a) Calculamos la velocidad del punto A de contacto con el tapete

0

ω
0







v


v 
0






0


v  
0  0 
v R 



 












v A  v ωOA 
0

0

R

0
















0 
 0 

  0 

De modo que bola no presenta rodadura sobre el
tapete, ya que el punto de contacto con el tapete tiene
velocidad hacia adelante (no es el CIR), resbala.
b) y c) Se trata de rozamiento cinético, ya que la
velocidad del punto A no es nula.
Puesto que el punto A tiene una velocidad hacia
delante (hacia la derecha), la fuerza de rozamiento
estará dirigida hacia atrás (hacia la izquierda).
Aplicando las ecuaciones de la dinámica del sólido
rígido, teniendo que para el rozamiento cinético se
cumple f k N , tenemos:
a
ω
aA
f
v
α
vA
aA








mg macm  acm k g


f macm





 
f k mg
N mg
f k N k mg 





2



2
5
g
fR I  mR 2


k mg  mR   k


5


5
2 R


De modo que el tanto el movimiento de traslación como el de rotación se frenan (hasta que se
produce la rodadura).
d) La aceleración del punto A la obtenemos a partir de la del centro de masa:

a R
0 
0 

a
0 
R






 

dω 










2













aA a  OA ω ωOA 0 

0

R

0

0


R


















dt










 0  
 0   0 
0  


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
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2. Una partícula de masa m está situada en la cima de una semiesfera lisa, de radio R, que está apoyada por su
base sobre un plano horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio
comienza a deslizar sobre la superficie de la esfera. La posición de la partícula queda determinada en cada
instante por el ángulo  que forma el radio-vector correspondiente con la vertical. Determinar el valor del
ángulo para el cuál la partícula se despega de la semiesfera.
Conservación de la energía:
1
mgR mgR cos  mv2
2
 v2 2 gR(1 cos 
)
Componente radial de la ecuación del movimiento:
2
2
v
v
 N mg cos m
R
R
Sustituyendo en esta ecuación el valor de la velocidad,
tenemos
N mg cos 2mg (1cos ) mg (3cos 2)
mg cos N m
N
R
θ
mg
En el instante en que la partícula se despega de la semiesfera, la reacción normal será nula
(“se rompe la ligadura”), de modo que
3cos max 2  cos 
max 
2
 
max 48.2º
3
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3. Una caja de embalaje contiene una carga uniformemente distribuida y se encuentra en reposo sobre un plano
inclinado. La caja pesa 200 kg y tiene forma de paralelepípedo rectangular de 2 m de alto por 80 cm ×
80 cm de base. El coeficiente de rozamiento entre la caja y la plataforma vale 0.25. Cuando aumentamos
lenta y progresivamente el ángulo de inclinación del plano inclinado, ¿comenzará a deslizar o a volcar?
La caja tiende a deslizar plano abajo y a volcar respecto
de la arista A.
En la figura se representa el diagrama de fuerzas que
actúan sobre la caja en las condiciones críticas de vuelco,
cuando el ángulo del plano es 
. Como sobre la
vuelco
caja actúan justamente tres fuerzas, el equilibrio estático
de la misma exige que esas tres fuerzas sean concurrentes
en A.
Escribimos las Ecuaciones Cardinales de la Estática
correspondientes al movimiento de traslación de la caja,
que resolveremos teniendo en cuenta que f N ,
h
G
N
f
θ
b
A
mg
θ


mg sen  f
 mg sen  f 0

f

 
 tg  




N
 N mg cos 0
mg cos  N


De modo que la caja comenzará a deslizar plano abajo si tg 0.25 

desl 14º
La condición de equilibrio concerniente a la rotación (vuelco) de la caja, tomando momentos
en A, se reduce
A
 0 f 0 N 0 mg 0
puesto que las tres fuerzas son concurrentes en A, de modo que se reduce a una condición
geométrica que implica que
b
80
tg vuelco  
0.4 
h 200
vuelco 21.8º
Así pues, la caja comenzará a deslizar a partir de 14º y tan solo volcará a partir de los 21.8º.
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