Tarea 6 - Cinvestav

Tarea 6
Resuelva 5 de los 10 problemas propuestos.
1. Gas ideal bidimensional de fermiones.
Se trata de estudiar un gas compuesto de N fermiones no interactuantes
(N 1) de masa m y espı́n 1/2 que pueden moverse libremente sobre la
superficie S.
(a) Encuntre la relación funcional del potencial quı́mico µ con N , S y la
temperatura T .
(b) Por el momento considere que se cumple la aproximación de temperatura cero.
(i ) Calcule el potencial quı́mico µ0 y la temperatura de Fermi TF ≡
µ0 /k.
(ii ) ¿Cuál es la velocidad máxima de una partı́cula del gas?. ¿Qué
condición debe cumplir la densidad artificial de partı́culas N/S
para que sean válidas las ecuaciones no relativistas aquı́ usadas?. Evalúe numéricamente dicha condición para electrones,
estimando el número de partı́culas por Å2 . Estime el orden de
magnitud de la temperatura de Fermi correspondiente.
(iii ) Calcule la energı́a E0 del gas. Si Tcl es la temperatura de un
gas ideal bidimensional clásico de N átomos y energı́a E0 , calcule
la razón Tcl /TF .
(c) Ahora considere una temperatura distinta de cero.
F
(i ) Utilizando
la relación entre el factor de Fermi N λ y la derivada
∂ ln ξλF /∂ελ , siendo ξλF la gran suma de estados del estado
único (λ), exprese el potencial quı́mico µ como función de µ0 y
T . Bosqueje la curva representativa de µ como función de T para
N/S constante. Muestre que µ tiende a µ0 conforme T se acerca
a cero.
(ii ) Demuestre la relación
J = −E
entre el potencial gran canónico J y la energı́a E del gas, ası́
como la ecuación
CS =
TF
1
2E
− Nk
,
T
T 1 − e−TF /T
donde CS representa la capacidad calorı́fica a superficie S y
número de partı́culas N constantes.
(iii ) Encuentre el comportamiento de la capacidad calorı́fica CS en
la región T TF .
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2. Gas ideal bidimensional de bosones.
Se trata de estudiar un gas compuesto de N bosones no interactuantes
(N 1) de masa m y espı́n cero que pueden moverse libremente sobre la
superficie S.
(a) Encuntre la relación funcional del potencial quı́mico µ con N , S y la
temperatura T bajo la hipótesis de que se trata de un gas “normal”.
(i ) Muestre que la integral en la relación anterior diverge conforme
µ va a cero. De esto obtenga que, independientemente de los
valores que tomen N/S y T , existe un valor de µ que cumple con
la relación. Concluya de esto que en dos dimensiones no existe
el fenómeno de la condensación de Bose.
B
(ii ) Utilizando
el factor de Bose N λ y la derivada
la relación entre
B
B
∂ ln ξλ /∂ελ , siendo ξλ la gran suma de estados del estado
único (λ), exprese el potencial quı́mico µ como función de T y
N/S. Bosqueje la curva representativa de la fugacidad eβµ como
función de T y compare con la curva correspondiente de un gas
tridimensional de bosones libres.
(iii ) Sea
2π~2 N
T0 ≡
.
mk S
Muestre que se deben esperar efectos cuánticos para T . T0 ,
cuando la longitud de onda térmica
Λ≡
2π~2
mkT
1/2
sea aproximádamente igual a la distancia promedio entre partı́culas
vecinas.
(iv ) Calcule numéricamente T0 para 4 He. Obtenga el número de
ocupación promedio para el estado base con T = 1◦ K. ¿Acaso es
de orden macroscópico, como en tres dimensiones?.
(b) Demuestre la relación
J = −E
entre el potencial gran canónico J y la energı́a E del gas, ası́ como
la ecuación
T0
1
2E
− Nk
CS =
,
T
/T
0
T
T e
−1
donde CS representa la capacidad calorı́fica por superficie S y el
número de partı́culas N es constante.
(c) Obtenga expresiones aproximadas para la energı́a E y para la capacidad calorı́fica CS en las regiones T T0 y T T0 .
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3. Gas ideal de bosones con grados de libertad internos.
En un recipiente de volumen V se encuentra un gas ideal de N bosones
libres que poseen grados de libertad internos. Por simplicidad supondremos que cada partı́cula posee un estado exitado de energı́a positiva ε1
(la energı́a del estado base se escoge igual a cero).
(a) Obtenga la expresión para el número de partı́culas en el estado base
como función de la temperatura y del potencial quı́mico, ası́ como
para el número de partı́culas que se encuentran en el estado exitado.
Escriba la condición para la temperatura crı́tica TB de la condensación de Bose.
(b) Suponiendo que ε1 kTB muestre que TB está dada por la fórmula
h
i
TB = TB0 1 − 0.255e−ε1 /kTB ,
donde TB0 es la temperatura crı́tica obtenida sin considerar los grados
de libertad internos. Recuerde que
√
Z ∞ √
x
π
dx
=
2.612
.
x
e −1
2
0
(c) ¿Es necesario considerar la estructura interna del 4 He al estudiar su
transición a la superfluidez?.
4. Bosones efectivos.
En un recipiente de volumen V se encuentran N partı́culas de espı́n 1/2
y masa m a la temperatura T . Ellas pueden aparearse y formar nuevas
partı́culas: “pares” de espı́n cero. La energı́a de unión de un par es −ε0
(ε0 > 0). A continuación se desprecia cualquier estructura interna, con
excepción del espı́n, y se supone que las partı́culas y los pares forman dos
gases ideales que no interactúan entre si.
(a) En equilibrio, ¿qué relación hay entre el potencial quı́mico de las
partı́culas aisladas y el potencial quı́mico de los pares?.
(b) Muestre que los pares son capaces de condensar en el estado base
(condensación de Bose) y calcule la temperatura de condensación Tc
(suponga que kTc ε0 ).
5. Equilibrio entre materia y radiación.
Una molécula A puede absorber un fotón de frecuencia ω y alcanzar de
tal forma un estado exitado interno A∗ . Al inverso, la molécula A∗ puede
desactivarse emitiendo un fotón de energı́a ~ω. Se cumple la reacción
A∗ A + fotón ω.
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(a) Suponga que A y A∗ son moléculas distintas. En equilibrio, ¿qué
relación existe entre los potenciales quı́micos µA y µA∗ ?.
(b) Se encierran N0 moléculas del tipo A en un recipiente a baja temperatura T0 ( ~ω/k). Posteriormente se calienta el recipiente hasta
alcanzar la temperatura T T0 . Suponiendo que ambos tipos de
moléculas se comportan como gases ideales, obtenga los números
NA (T ) y NA∗ (T ) de las distintas moléculas en equilibrio.
6. Radiación de cuerpo negro.
La temperatura de la superficie del sol es T0 = 5500◦ K. La tierra obtiene
su energı́a del sol. Suponiendo que tanto la tierra como el sol se comportan
como cuerpos negros, estime la temperatura de la tierra. El radio del sol
es RS = 7 × 108 m, el de la tierra RT = 6.4 × 106 m y la distancia tierra-sol
d = 1.5 × 1011 m.
7. Electrones en metales.
Un troso de metal de volumen V consta de un gas de N electrones, ası́ como
de iones positivos que compensan la carga negativa de los electrones y que
prácticamente no se mueven. Si Ze es la carga de un ión y a la distancia
promedio entre un electrón y el ión más cercano, la energı́a potencial
de un electrón en el campo de los iones es del orden de −Ze2 /4πε0 a. La
magnitud de la energı́a debido a la interacción de Coulomb entre electrones
es del mismo orden de magnitud.
(a) Estime la energı́a potencial del gas de electrones y compárela con su
energı́a cinética. De esto deduzca que la aproximación de gas ideal
es mejor entre mayor sea la densidad de electrones N/V .
(b) En metales tı́picos, ¿se puede despreciar la energı́a potencial en comparación con la cinética?.
8. Electrones en metales.
La energı́a de Fermi (potencial quı́mico de los electrones a temperatura
cero) del aluminio es µ0 = 11.7eV. Muestre que a 900◦ K se tiene |µ − µ0 | /µ0 <
10−4 . ¿A qué temperatura se tendrı́a |µ − µ0 | /µ0 ' 10−3 ?. El punto de
fusión del aluminio es a los 933◦ K y el de evaporación a los 2740◦ K.
9. Orden de magnitud de las estrellas de neutrones.
Una vez que una estrella ha agotado su combustible nuclear se colapsa
bajo la influencia de la fuerza gravitacional. Si su masa es mayor que el
lı́mite de Chandrasekhar, la presión del gas degenerado de electrones no
alcanza para detener el proceso. El colapso continúa hasta que la estrella
se convierte en un hoyo negro. Sin embargo, puede ocurrir que el calentamiento que acompaña al colapso conduzca a una explosión, formándose
una supernova; la estrella expulsa materia hacia el exterior y la masa
restante puede resultar menor que el lı́mite de Chandrasekhar. En tal
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caso, la estrella está demasiado comprimida como para estabilizarse como
enana blanca, por lo que se convierte en una estrella de neutrones.
(a) Para la diferencia de masas mn − mp entre el neutrón y el protón se
tiene
(mn − mp ) c2 ' 1.3MeV.
(i ) Calcule la densidad ρ que debe alcanzarse para que la energı́a de
Fermi de los electrones supere dicho valor.
(ii ) Suponga que los protones y neutrones de la estrella prácticamente
se encuentran en reposo (¿cómo puede uno asegurarse de que
dicha hipótesis se cumple?). En cuanto la densidad arriba calculada sea alcanzada, es posible que ocurra la reacción
e− + p −→ n + ν,
y los neutrinos abandonan la estrella. Muestre que la descomposición de los neutrones según
n −→ p + e− + ν
es bloqueada por el Principio de Pauli (aplicado a los electrones).
(b) El proceso descrito conduce a la formación de un gas degenerado de
neutrones; la presión cuántica de dicho gas es la que principalmente
estabiliza a la estrella.
(i ) Muestre que los órdenes de magnitud correspondientes pueden
obtenerse de las ecuaciones para enanas blancas, si la masa m
del electrón se sustituye por la del neutrón mn .
(ii ) Deduzca de esto que la masa lı́mite M0 prácticamente permanece igual, pero el radio de una estrella de neutrones es unas
1000 veces menor que el de una enana blanca de la misma masa.
Estime el orden de magnitud de la densidad de una estrella de
neutrones.
10. Orden de magnitud de la radiación de fondo.
(a) Muestre que el número total de fotones de un cuerpo negro es, como
la entropı́a, proporcional a T 3 . Estime el número de fotones por volumen en la radiación cósmica a 3◦ K (utilice Γ(3)ζ(3) = 2×1.202 · · · ).
(b) ¿De qué tamaño es la longitud de onda correspondiente al máximo
de la distribución de Planck para T = 3◦ K?.
(c) Las primeras mediciones de la radiación de fondo fueron hechas para
longitudes de onda entre 1cm y aproximadamente 75cm. Compare las
predicciones de la Ley de Planck con la fórmula de Rayleigh-Jeans en
esta región. En su opinión, ¿permitı́an estas primeras mediciones la
conclusión de que la radiación cósmica se distribuı́a como la radiación
de cuerpo negro?.
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Problemas tomados de Éléments de Physique Statistique de Bernard Diu,
Claudine Guthmann, Danielle Lederer y Bernard Roulet (Hermann Éditeurs
1989).
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