)( )( )( )( )( xgyxa dx dy xa dx yd xa dx yd xa = + + + + 2 = n )( xa

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Programa de Matemática
Cálculo II
GUÍA Nº 04
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
Recordamos que una EDO lineal de orden n en general puede escribirse como:
dny
d n 1 y
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1  ...  a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)
dx
dx
dx
Si n  2 y las funciones a2 ( x) , a1 ( x) y a0 ( x) son constantes, estamos en
presencia de una EDO lineal de segundo orden, que será homogénea si
g ( x)  0 y no homogénea en caso contrario.
EDO Lineal de Segundo Orden Homogénea
Una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes
constantes, es una ecuación de la forma:
ay' 'by'cy  0
donde a , b y c son constantes reales, cuya solución es:
y  c1 y1  c2 y2
con c1 y c2 constantes reales
Esta ecuación diferencial tiene asociada la siguiente ecuación de segundo
grado (ecuación característica):
am 2  bm  c  0
b 
, con   b 2  4ac
2a
2
Si   0 , la ecuación am  bm  c  0 tendrá a m1 como única solución real,
cuyas soluciones vienen dada por la fórmula m 
por lo tanto,
y1  e m1x ; y2  x  e m1x
Si   0 , la ecuación am 2  bm  c  0 tendrá a m1 y m2 como soluciones
reales, por lo tanto,
y1  e m1x ; y2  e m2 x
Si   0 , la ecuación am 2  bm  c  0 tendrá soluciones complejas. La
ecuación ay' 'by'cy  0 si tendrá solución, las que NO serán tratadas en esta
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asignatura.
A) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de
segundo orden con coeficientes constantes:
1)
4)
y' ' y'6 y  0
y' '12 y'36 y  0
2)
5)
y' '2 y' y  0
y' '3 y'2 y  0
3)
6)
y' '5 y  0
y' '12 y'32 y  0
B) En cada caso, determine una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución
7)
y( x)  c1e2 x  c2e2 x
8)
y( x)  c1e 3 x  c2 xe 3 x
9)
y( x)  c1  c2 e 6 x
C) Resolver el problema de valores iniciales
10)
11)
12)
y' ' y'2 y  0 ; y(0)  1; y' (0)  4
y' '6 y'7 y  0 ; y(0)  0 ; y' (0)  4
y' '3 y'10 y  0 ; y(0)  1; y' (0)  10
D) En el aterrizaje de algunos aviones y en algunas pruebas automovilísticas se
utiliza el frenado por medio de “paracaídas” horizontales. Sin considerar otro tipo
de frenos (ni el roce), desde que se despliega este dispositivo, el movimiento
viene descrito por la ecuación diferencial
d 2 z k dz
  0
dt 2 m dt
Donde m es la masa total de vehículo, z (t ) su desplazamiento horizontal en el
instante t , t  0 es el instante en que se abre el paracaídas y k la constante de
amortiguamiento del paracaídas.
13) Durante el aterrizaje de un avión de 1.000 kg de masa el paracaídas
horizontal se abre cuando la velocidad es de z ' (0)  50 m s , en z (0)  0 , y con
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un valor de k  50 . Determine una función para el desplazamiento z (t ) y la
distancia aproximada que recorre hasta detenerse.
Variación de parámetros
Una EDO lineal NO homogénea de segundo orden con coeficientes constantes,
es una ecuación de la forma:
ay' 'by'cy  h( x)
Si y  c1 y1  c2 y2 es la solución de la ecuación ay' 'by'cy  0 , entonces la
solución general de la ecuación no homogénea será:
y  c1 y1  c2 y2  c3 y1  c4 y2
con c1 y c 2 constantes reales, y
c3   
h( x ) y 2
 dx
y1 y ' 2  y 2 y '1
y
c4  
h( x) y1
 dx
y1 y ' 2  y 2 y '1
D) Utilizando el método de variación de parámetros, resolver las siguientes
ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con
coeficientes constantes
14)
y' '4 y  e3 x
15) 4 y' '4 y' y  e x 2
E) La caída de un paracaidista viene descrita por la ecuación diferencial
w d2y
dy
k
w
2
g dt
dt
Donde w es el peso del paracaidista, y es su altura en el instante t , g la
aceleración de la gravedad, y k la constante de amortiguamiento del paracaídas.
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16) Si un paracaídas se abre a 2.000 pies, y(0)  2.000 , y en ese instante la
velocidad es y' (0)  100 pies s , para un paracaidista que pese 160 libras, y
k  8 . Determine una función para la altura y que dependa de la variable t .
Otras aplicaciones
F) La desviación y (t ) de un automóvil con respecto a sus ruedas, gracias a la
d2y
dy

q
 ky  mg .
dt
dt 2
Donde m es la masa del vehículo, q es la constante de frenado viscoso, k es la
constante de resorte del amortiguador y g la constante de gravedad.
amortiguación, sometido a un “lomo de toro” abrupto: m
G) En un circuito RLC serie, excitado con un voltaje V (t ) , la corriente responde a
la ecuación
d 2i
di 1
L 2  R  i  V ' (t )
dt C
dt
Más ejercicios puedes encontrar en
Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning
Ecuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney - Prentice Hall
Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning
Editores
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Soluciones
1) y( x)  c1e3 x  c2e 2 x
2) y( x)  c1e x  c2 xe x
3) y( x)  c1e 5 x  c2e 5 x
4) y( x)  c1e6 x  c2 xe6 x
5) y( x)  c1e x  c2e2 x
6) y( x)  c1e8 x  c2e4 x
7) y' '4 y  0
8) y' '6 y'9 y  0
9) y' '6 y'  0
5 2x 2 x
e  e
3
3
1 x 1 7 x
y ( x)  e  e
2
2
12
5
y ( x )  e5 x  e  2 x
7
7
z (t )  1.000  1.000e0,05t ; 1.000 metros
1
y( x)  c1e 2 x  c2e2 x  e3 x
5
1
x 2
x 2
y( x)  c1e
 c2 xe
 x 2e  x 2
8
1,6t
y(t )  1.950  50e
 20t
10) y ( x) 
11)
12)
13)
14)
15)
16)
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