08231. Cálculo de Probabilidades y Estadıstica. Segunda

08231. Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica. Segunda prueba.
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Problema 1. Un semáforo instalado en un cruce señala alternativamente
verde y rojo durante intervalos de medio minuto y un minuto respectivamente. Si un vehı́culo llega al cruce en un instante elegido al azar, determinar la
distribución de su tiempo de espera en el cruce, ası́ como sus caracterı́sticas
más notables. Discutir las hipótesis del modelo.
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Problema 2. La duración en minutos de las conversaciones telefónicas en un
locutorio es, en principio, una variable aleatoria con distribución exponencial
de media 5minutos. Sin embargo, como los pasos del contador se producen
cada tres minutos, una cuarta parte de los usuarios prolonga su llamada
hasta el siguiente paso del contador. Determinar
a) La función de distribución de la duración de las llamadas y la probabilidad de que una llamada dure menos de 4 minutos; exactamente 6
minutos; menos de 9 minutos en el caso de un cliente que lleva ya 5
minutos hablando.
b) La duración media de las llamadas y su mediana.
c) Expresar la parte continua y discreta de la distribución.
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Problema 3. La duración (en horas) de las lámparas no defectuosa de una
cierta marca es una variable aleatoria con densidad de la forma k/x3 para
x > 30. Sin embargo, un 10 % de las lámparas son defectuosas y pueden
entonces fundirse en cualquier instante anterior a 30 horas. Determinar
a) La distribución de la duración de una lámpara elegida al azar, su media
y su desviación tı́pica.
b) La distribución del tiempo de funcionamiento de un aparato que necesita tres lámparas iguales; su media y su desviación tı́pica.
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Problema 4. Obtener en cada caso la densidad de Y :
a) Y = sin X donde X tiene distribución exponencial de parámetro λ.
b) Y = X n siendo n un entero y X con densidad f .
c) Y =
X
si X es uniforme en (0,1).
1+X
d) Y = log |X − 1/3| si X es uniforme en (0,1).
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Problema 5. Se escoje un punto al azar, de coordenadas enteras, en el
triángulo limitado por las rectas y = x, y = 0 y y = 2n − x. Determinar
a) La distribución marginal de las coordenadas X e Y del punto elegido.
b) La distribución de cada coordenada condicionada por la otra.
c) La distribución de X si se sabe que 2Y + X = 2n.
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Problema 6. Se eligen dos puntos al azar e independientemente, cada uno
en uno de dos lados adyacentes de un cuadrado de lado 1. Determinar la
distribución del área del triángulo obtenido. Hallar su media y su desviación
tı́pica.
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Problema 7. Se toman dos puntos al azar e independientemente en el
intervalo (0,1). Calcular la probabilidad de que se pueda formar un triángulo
con los tres segmentos que se obtienen. Supuesto que se puede formar un
triángulo calcular su área media y la desviación tı́pica del área.
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Problema 8. Se elige un punto P al azar en el interior del cuadrado [0, a]2 .
a) Determinar la distribución de la distancia, D, de P al perı́metro del
cuadrado. Calcular su media.
b) Determinar la distribución de D condicionada por la abcisa, X, del
punto P . Obtener la curva de regresión de D sobre X.
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Problema 9. Se elige un punto P al azar en el interior del cuadrado [−1, 1]2 .
a) Determinar la distribución de la distancia, d, de P al origen. Calcular
su media.
b) Determinar la distribución de d condicionada por la abcisa, X, del
punto P . Obtener la curva de regresión de d sobre X.
Nota:
Z
dy
=
cos3 y
½
¾
sin y
1 + sin y
+ log
/2
cos2 y
cos y
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Problema 10. La variable aleatoria bidimensional (X, Y ) es tal que:
X tiene distribución exponencial de parámetro λ
supuesto que X = x, Y tiene distribución exponencial de parámetro
x.
Determinar:
a) La distribución de Y , su media y su mediana.
b) La curva de regresión de X sobre Y .
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Problema 11. La variable aleatoria bidimensional (X, Y ) es tal que:
X tiene distribución uniforme en (0, a)
supuesto que X = x, Y tiene distribución exponencial de parámetro
x.
a) Determinar la distribución de Y y su media.
b) Probar que X y XY son independientes.
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Problema 12. Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes y exponenX1
ciales de parámetro λ. Probar que X1 + X2 y
son independientes.
X1 + X2
Probar que también mı́n(X1 , X2 ) y X2 − X1 son independientes.
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Problema 13. Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional con función
de distribución

0





 0
F (x, y) =
x/2



y/2



1
si
si
si
si
si
x ≤ 0 ó y ≤ 0
0<x<1y0<y<1
0<x<1yy≥1
0<y<1yx≥1
y≥1yx≥1
Determinar la marginal de X y la condicionada de Y por X. Hallar el coeficiente de correlación de X e Y .
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Problema 14. Se toman números al azar e independientemente en el intervalo (0,1) hasta que la suma supera 1. Calcular la distribución del número
de elecciones precisas y su media. Calcular el valor esperado de la suma
obtenida.
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Problema 15. Sean X0 , X1 , . . . , Xn , . . . variables aleatorias independientes
con distribución continua F . Sea N el primer subı́ndice tal que XN > X0 .
Determinar la distribución de N y de XN .