Análisis Numérico I (75.12-95.04

Análisis Numérico I (75.12-95.04-95.13)
Profesora responsable: Miryam Sassano
Bibliografı́a
Burden R.L., Faires J.D. Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoamericano 1985.
Chapra S., Canale R.Métodos Numéricos para Ingenieros, Mac Graw Hill 1985
Kincaid D., Cheney W. Análisis Numérico: las matemáticas del cálculo cientı́fico, Addison Wesley, 1994.
Zill, D. G. (2007). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamericana
Mathews, J. H., Fink, D. K., Métodos Numéricos con Matlab, Tercera Edición, Editorial Prentice Hall, 2000.
Nakamura, S., Análisis Numérico y Visualización Gráfica con Matlab, Prentice Hall, 1997
i
Índice general
Guı́a I: Teorı́a de Errores
1
Guı́a II: Ecuaciones no lineales
4
Guı́a III: Interpolación
7
Guı́a IV: Ajuste-Cuadrados Mı́nimos
10
Guı́a V: Sistemas de ecuaciones lineales
12
Guı́a VI: Sistemas de ecuaciones no lineales
16
Guı́a VII: Diferenciación e Integración numérica
17
Guı́a VIII: Ecuaciones Diferenciales
20
Guı́a IX: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y problemas de valores de contorno
21
ii
Guı́a I: Teorı́a de Errores
Teorı́a de Errores
1. Si a y b son los valores que tienen dos magnitudes y ā y b̄ son los valores medidos de dichas magnitudes, obtener
para cada una de ellas:
a) El error absoluto, el error relativo y una cota para el error relativo.
b) Obtener el er(a+b) con estos datos:a = 2, ā = 2.01, b = 3 y b̄ = 3.02.
c) Calcular el er(a−b) con los datos de b.
d ) Obtener el er(a.b) cuando a = 2, ā = 2.02, b = 1 y b̄ = 1.6 . Redondear los resultados con 2 decimales.
2. Si el resultado de medir cierta longitud con una regla graduada en milı́metros es x̄ = 3cm. Dar una cota para el
error absoluto de y dar una cota para el error relativo de x.
3. Suponga que el resultado de una operación dió: x̄ = 0.2489, |ex | = 0.610−4
a) ¿Es posible afirmar que que tiene t = 4 decimales significativos o correctos? Justifique la respuesta.
b) ¿Es posible afirmar que tiene t = 3 decimales significativos o correctos? Justifique la respuesta. Si es ası́,
diga cómo se debe expresar.
4. Calcular con tres decimales correctos o significativos las siguientes expresiones:
a) 1.3134π
b) 0.3751 e
c) πe
5. Hallar cotas para los errores inherentes propagados ( absolutos y relativos ) en los siguientes cálculos, donde:
x = 2.00 , y = 3.00 y z = 4.00.
a) f = 3x + y − z
b)
xy
z
y
)
c) f = xsen( 40
6. Siendo x = 2.0 ± 0.1 , y = 3.0 ± 0.2 y z = 1.0 ± 0.1 hallar una cota para el error absoluto inherente propagado
de la siguiente expresión:
w=
2
xy
√ .
z
1
2
7. Calcular la expresión:
√
√
a) f = ( 2 − 1)6 utilizando para 2 el valor aproximado 1.4. Sustituir el valor aproximado en a) y en cada
una de las expresiones siguientes:
b) f =
√ 1
( 2−1)6
√
c) f = (3 − 2 2)3
d) f =
1√
(3−2 2)3
√
e) f = 99 − 70 2
f) f =
1 √
99−70 2
8. Se están realizando observaciones de un satélite para determinar su velocidad. En la primera observación la
distancia medida al satélite fue r = 30000 ± 10km. Cinco segundos más tarde se determina un aumento en la
distancia δr = 125.0 ± 0.5km y el cambio en la orientación resultó de δφ = 0.00750 ± 0.00002radianes. Hallar
la velocidad del satélite suponiendo que el mismo se mueve en lı́nea recta y a velocidad constante durante ese
intervalo de tiempo; indicar la precisión del resultado. Considerar exacto el lapso de 5 segundos.
9. Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral:
Z
I(a, b) =
0
1
e−bx
dx
a + x2
Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla:
a
b
I
0.39
0.34
1.425032
0.40
0.32
1.408845
0.40
0.34
1.398464
0.40
0.36
1.388198
0.41 0.34 1.372950
Se pretende estimar I(z, y), siendo y, z cantidades fı́sicas obtenidas de un proceso de medición: z = 0.400 ± 0.003
e y = 0.340 ± 0.005. Aproximar el número buscado y dar una cota para el error inherente propagado.
10. ¿Con cuántas cifras decimales se debe usar a
11. ¿Con cuántas cifras decimales se debe usar a
√
√
2 en la expresión z = (3 − 2 2)3 para que resulte |ez | ≤ 0.510−3 ?
√
√
2 en la expresión z = ( 2 − 1)6 para que resulte |ez | ≤ 0.510−3 ?
12. Calcular, si es posible, con tres decimales correctos el resultado de la siguiente expresión: x = aπ con a = 1.3134
correctamente redondeado y π = 3.14 redondeado a dos decimales. ¿Cuál debe ser el error de π para que se
cumpla la condición que |ex | ≤ 0.510−3 ?
13. Calcular, si es posible, con 4 decimales correctos el resultado de x = a.e con a = 1.37514, correctamente
redondeado y e = 2.718. ¿Cuál debe ser el error de e para que se cumpla la condición que la expresión del |ex |
sea menor o igual a la cota del error por redondeo del resultado en el ejercicio anterior?
3
14. Dibujar las gráficas de proceso, determinar la condición del problema y el término de estabilidad para los
siguientes casos:
a) u = a + a
b) v = 2a
c) u = a + a + a
d ) v = 3a
Suponer que a posee cierto error inherente y que los errores inherentes de 2 y 3 son nulos y pueden ser representados exactamente. Comparar los resultados y extraer conclusiones. Efectuar los cálculos con a = 0.6992 en
el sistema [G(10, 4, 1), red].
15. Demostrar con los siguientes ejemplos que en [G(10, 5, 1), red] no valen la ley asociativa ni la distributiva:
a) 0.98765 + 0.012424 − 0.0065432
b) (4.2832 − 4.2821)5.7632
16. Calcular u2 −v 2 en el sistema de numeración [G(10, 4, 1), red] con u = 43.221 y v = 43.11, utilizando los siguientes
algoritmos:
a) uu − vv
b) (u + v)(u − v)
Indicar cuál algoritmo es más conveniente y justificar.
17. Indicar cuál de los siguientes algoritmos es más estable para calcular la menor raı́z de la ecuación:
x2 − 2x + a = 0
a) η1 = 1 − a; η2 =
b) η1 = 1 − a; η2 =
√
√
0<a1
η1 ; x = η3 = 1 − η2 ;
η1 ; η3 = 1 − η2 ; x = η4 =
a
η3
18. Preguntas Teóricas.
a) Identificar y describir las principales fuentes de errores.
b) Indicar qué significa que un algoritmo es menos estable que otro. Ejemplificar.
c) Indicar como harı́a para determinar la influencia de los errores de redondeo sobre los resultados de un
algoritmo utilizando la computadora.
d ) Pretendemos evaluar:
S(x) =
∞
X
xn
n!
n=0
Hallar estimaciones de los errores de truncamiento, de los inherentes propagados y de los de redondeo
propagados al efectuar los cálculos.
Guı́a II: Ecuaciones no lineales
Ecuaciones no lineales
1. Dada la función f (x) = ex (sen(x) + cos(x) − 2x − 2), hallar una de las raı́ces en el intervalo [−2.5; −0.5] por el
método de la bisección, trabajando con 5 (cinco) decimales, con una tolerancia de 10−5 . Informar la cantidad de
iteraciones que son necesarias para obtener la tolerancia indicada.
2. Las siguientes ecuaciones tienen una raı́z en el intervalo (0; 1, 6). Determinarlas con un error menor que 0.02 por
el método de la bisección.
a) x.cos(x) = ln(x).
b) 2.x − e−x = 0.
c) e−2x = 1 − x.
3. Sea f (x) =
x2
4
− sen(x), se desea encontrar la primer raı́z positiva de f (x).
a) Hallar un intervalo de partida para utilizar el método de la bisección.
b) Estimar el número de aproximaciones necesarias para hallar la raı́z con una tolerancia para el error absoluto
de 0.02. Calcular la raı́z.
c) Si la tolerancia de 0.02 es sobre el error relativo, ¿cuántas aproximaciones se requieren?
d ) Sabiendo que la raı́z buscada a 5 decimales es α = 1.93375 obtener conclusiones sobre la performance del
método.
4. Aplicar el método del punto fijo para encontrar la mejor aproximación de la raı́z de la función
intervalo I = [1.5; 2] con 6 decimales y tolerancia de 10
−6
x2
4
− sen(x) en el
. ¿Cuántas iteraciones se necesitan? Hacer gráficos de
g(x), la función identidad y los sucesivos términos de la sucesión generada.
x
5. La ecuación e 4 = x tiene dos raı́ces reales.
a) Verificar que sólo una de ellas puede obtenerse con el método de punto fijo en la forma xk+1 = e
xk
4
. Explicar
porqué no puede obtenerse la otra raı́z de esta manera.
b) Obtener una aproximación a la raı́z que sı́ puede obtenerse con ese esquema iterativo con un error menor
que 10−3 . Representar gráficamente la marcha hacia el punto atractor verificando que es en escalera.
6. ¿Tiene raı́ces la función f (x) =
√
x−4−1
x2 −25 ?
Fundamentar.
4
5
7. Se desea hallar la primera raı́z positiva de la ecuación x = cos(x) con el método de Newton Raphson.
a) Plantee el método iterativo correspondiente para el problema, usando el método de punto fijo.
b) Estudie las propiedades de convergencia del método propuesto. Encuentre explı́citamente un intervalo de
convergencia.
c) Encuentre el cero buscado con una tolerancia para el error relativo de 10−10 .
8. Estudiar la convergencia del método de Newton Raphson aplicado a la ecuación x2 − 1 = 0. Elegir como valor
inicial x0 = 2 y calcular aproximaciones de la raı́z con precisión sucesivamente creciente.
9. Determinar la raı́z no nula de la ecuación x = 1 − e−2x , usando el método de Newton Raphson con 4 decimales
significativos. Verificar las condiciones de convergencia del método en el intervalo elegido.
10. Determinar la raı́z de la ecuación xln(x) − 1 = 0, usando el método de Newton Raphson con 5 decimales
significativos.
11. Aplicar el método de Newton Raphson para determinar una raı́z compleja de la ecuación x2 + 1 = 0; comenzar
las iteraciones con x0 = 1 + i.
12. Sea la ecuación f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 20 = 0.
a) Aplicar el método de Newton Raphson con x0 = 1, 5. Detener el proceso cuando se obtengan 2 decimales
significativos correctos.
b) Aplicar el método de Newton Raphson para el caso de raı́ces múltiples y las mismas condiciones del punto
a.
13. Hallar la raı́z negativa de la función f (x) = x2 − x − 2, utilizando el método de Newton Raphson y aritmética
de 4 digitos. Estimar el error que se comete entre dos iteraciones consecutivas.
14. Considerar la ecuación ex = sen(x).
a) Verificar que esta ecuación tiene infinitas soluciones reales negativas. ¿Qué puede concluirse de la distancia
entre soluciones consecutivas muy alejadas de x = 0?
b) Usando el método de Newton obtenga aproximaciones con error menor que 10−6 para las tres raı́ces más
cercanas a x = 0.
15. Se desea hallar la raı́z negativa de la función f (x) = x3 −1, 9x2 −1, 05x+2, 745 con 6 dı́gitos de precisión. Utilizar
el método de Newton Raphson, partir de x0 = −1 y no superar las 10 iteraciones, verificar que la convergencia
es lineal.
16. Aplicar el método de la secante para hallar la raı́z no nula de f (x) =
x2
4
− sen(x) con una tolerancia del 0.1 %.
17. Usando el método de Newton Raphson, hallar la raı́z negativa de f (x) = 3x2 − 3. Luego comparar con los
otros métodos: bisección, régula falsi , secante y punto fijo. ¿Cual método es mejor? Trabajar con 4 decimales y
redondeo, con tolerancia de 10−4 .
18. La función f (x) = sen(x) −
1√
2 x
tiene 2 ceros en el intervalo [0; 2]. Uno es x = 0, se desea hallar el otro. Para
ello se utiliza un método de punto fijo basado en la función de iteración g(x) = x − f (x). Las figuras muestran
g y g 0 en el intervalo [0; 2].
a) Hallar, un intervalo que contenga al cero buscado como único cero de f (x).
6
b) Mostrar que en dicho intervalo el método propuesto converge.
c) Hallar el cero con una tolerancia del 1 % para el error relativo entre dos pasos consecutivos.
d ) Hallar el orden de convergencia del método y la constante asintótica del error.
19. Dada la profundidad h y el perı́odo T de una ola, su longitud de onda l surge de la relación de dispersión
ω 2 = g.k.tangh(k.h), donde ω =
de onda. Conociendo g =
9.8 sm2
2.π
T
es la pulsación, g es la aceleración de la gravedad y k =
2.π
l
es el número
y h = 4m, se desea calcular cual es la longitud de onda correspondiente a un ola
con T = 5seg.
a) Utilizar el método de punto fijo para calcular la solución.
b) Utilizar el método de Newton Raphson para calcular la solución con 4 dı́gitos de precisión.
c) Partir del resultado obtenido en a).
20. Para un tiro oblicuo considerando el amortiguamiento viscoso del aire (fuerza resistente de módulo proporcional
a la primera potencia de la velocidad) el alcance L satisface:
AL + Bln(1 − CL) = 0
Determinar el alcance L (con error relativo menor al 1 %) para los siguientes casos:
a) A = 2; B = 10; C = 0.1.
b) A = 4; B = 10; C = 0.1.
Guı́a III: Interpolación
Interpolación
1. Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula de Lagrange:
x 0 1 2 4
y
1
1
2
5
2. Hallar los valores de
√
1, 01 y
√
1, 28 a partir de la siguiente tabla, por interpolación de Lagrange y de Newton
con tres dı́gitos significativos.
x
1, 00
1, 05
1, 10
√
x 1, 00000 1, 02470 1, 04881
1, 15
1, 20
1, 25
1, 30
1, 07238
1, 09544
1, 11803
1, 14017
3. Calcular f (3) utilizando la formula de Newton, dada la siguiente tabla:
x
1 2 4
5
f (x)
0
2
12
21
a) Tomar los puntos 1,2 y 4 luego los puntos 2,4 y 5.
b) Repetir a pero usando el polinomio de Lagrange.
c) Aproximar por un polinomio de grado 3.
4. Calcular f (0) utilizando la formula de Newton, dada la siguiente tabla:
x
0, 1
0, 2
0, 4
0, 8
f (x) 64987 62055 56074 43609
Notar que la formula de interpolación se utiliza para extrapolar.
5. Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos utilizando la formula de Newton:
x
1
1, 25 1, 50 1, 75 2, 00
y
5, 10
5.79
6.53
7.45
8.46
6. Hallar un polinomio Q de grado 3 tal que: Q(0) = 0, Q0 (0) = 1, Q(1) = 3, Q0 (1) = 6.
7. Se conocen los siguientes datos acerca de la función f (x): f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 5, f 0 (0) = 0 y f 0 (2) = 4.
a) Hallar el polinomio interpolante que verifica esos datos mediante el método de Hermite.
b) Hallar la función Spline de orden 2 que verifica esas condiciones.
7
8
8. Aproximar f (x) = sen(ex − 2) en x = 0.9 con los siguientes datos:
x
f (x)
f 0 (x)
0.8
0.22363362
2.1691753
1.0
0.65809197
2.0466965
9. Hallar el polinomio interpolante de grado 2 para f (x) =
1
x
por medio de la formula de Lagrange, utilizando los
nodos: x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4. Graficar la curva y su aproximación. Analizar los errores para x = 0.5 y x = 31 .
10. Un coche que viaja en una carretera recta es cronometrado en algunos puntos. Los datos obtenidos se dan en
la siguiente tabla. Utilice un polinomio de Hermite para predecir la posción del coche y su velocidad cuando
t = 10 segundos.
T iempo (seg)
0
3
5
8
13
Distancia (m)
0
67, 5
114, 9
186, 9
297, 9
V elocidad (m/s)
22, 5
23, 1
24
22, 2
21, 6
11. Se desea hallar una funcion polinómica para aproximar a la función f (x) = ex cos(x), en el intervalo [0; 2]
a) Tabular f (x) en los nodos x = 0, 0.5, 1 y 2 y hallar el polinomio interpolante por el metodo de Newton,
trabajar con 5 dı́gitos.
b) Agregar el nodo x = 1.5 para hallar una expresion aproximada para el error. Utilizarla para estimar el error
en x = 0.1, 0.3, 1.2, y 1.7.
c) Comparar los errores estimados en el punto anterior con los valores correctos, calculados como diferencia
entre el valor correcto de f (x) y el obtenido por medio del polinomio interpolante.
12. Se tiene la función f (x) = ex , de la cual se proveen los siguientes valores:
x
0
0.5
1
2
f (x)
1
1, 64872
2, 71828
7, 38906
a) Estimar f (0.25) utilizando interpolación de Lagrange con los nodos x0 = 0.0 y x1 = 0.5.
b) Estimar f (0.75) utilizando interpolación de Lagrange con los nodos x0 = 0.5 y x1 = 1.0.
c) Estimar f (0.25) y f (0.75) utilizando interpolación de Lagrange con los nodos x0 = 0.0, x1 = 0.5 y x2 = 2.0.
d ) Estimar los errores de truncamiento de los cálculos realizados en los punto a), b) y c) en base a la formula:
f (x) = f ∗ (x) +
f (n+1) (ε)
(x − x0 ) . . . (x − xn )
(n + 1)!
e) Compararlos con los valores exactos calculados a partir de los valores reales de la función f (0.25) = 1.28403
y f (0.75) = 2.11700.
f ) Indicar qué aproximaciones resultaron más precisas y por qué.
13. Se desea hallar una función de interpolación polinómica para aproximar la función sen2 (x) en el intervalo [0; π]
a) Construir un polinomio de Hermite en los nodos: 0, π2 y π trabajar con cuatro decimales. Estimar el error
cometido en la construcción del polinomio.
b) Estimar el error cometido en 0.2, 0.5 y 1 utilizando el punto extra: 5 π4 en la tabla de interpolación de
Hermite.
9
14. Se desea interpolar una Spline cúbica para una función tabulada en 4 nodos. Explicar cuántas son las incógnitas
y cuáles las ecuaciones que completan el planteo del problema.
15. Construya el trazador cubico libre con los siguientes datos:
a)
b)
x
f (x)
8.3
17.56492
8.6
18.50515
x
f (x)
0.1
−0.62049958
0.2
−0.28398668
0.3
0.00660095
0.4
0.24842440
16. Los datos del ejercicio anterior se generaron usando las siguientes funciones. Utilice los trazadores cúbicos con0
struidos en el ejercicio anterior a fin de aproximar f (x) y f (x). Calcule el error.
0
a) f (x) = x.ln(x), aproxime f (8.4) y f (8.4).
0
b) f (x) = x.cos(x) − 2x2 + 3x − 1, aproxime f (0.25) y f (0.25).
17. Un trazador cubico sujeto S de la función f está definido en el intervalo [1; 3] por:
(
S0 (x) = 3(x − 1) + 2(x − 1)2 − (x − 1)3
si 1 ≤ x ≤ 2
S=
2
3
S1 (x) = a + b(x − 2) + c(x − 2) + d(x − 2) si 2 ≤ x ≤ 3
0
0
Dadas f (1) = f (3), encontrar a, b, c y d.
18. Un trazador cubico natural S está definido por:
(
S0 (x) = 1 + B(x − 1) − D(x − 1)3
si 1 ≤ x ≤ 2
S=
3
2
3
S1 (x) = 1 + b(x − 2) − 4 (x − 2) + d(x − 2) si 2 ≤ x ≤ 3
Si S interpola los datos (1; 1), (2; 1) y (3; 0) obtener: B, D, b y d.
Guı́a IV: Ajuste-Cuadrados Mı́nimos
Ajuste-Cuadrados Mı́nimos
1. Aproximar los datos con un polinomio de grado 2, por cuadrados mı́nimos y graficar la solución:
x
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
y
1.0000
1.2840
1.6487
2.1170
2, 7183
a) Calcular los errores para cada dato de la tabla.
b) Calcular el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2, en los nodos 0, 0.5 y 1.
c) Graficar la solución y calcular los errores para cada dato de la tabla.
d ) Comparar los resultados obtenidos y determinar cual solución aproxima mejor a la curva en el intervalo
[0; 1].
e) Comparar los resultados obtenidos con la función f (x) = ex en los puntos: 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9,
calcular los errores y obtener conclusiones.
2. Determinar las lı́neas rectas que aproximan la curva y = ex , según los siguientes métodos, comparar los resultados
y calcular los errores en x = 1. Utilizar 3 decimales y redondeo.
a) Cuadrados mı́nimos sobre la siguiente tabla:
xi
−1
−0.5
0
0.5
1
yi
0, 368
0, 607
1
1, 649
2, 718
b) Tomando la lı́nea tangente a y = ex en el punto medio del intervalo [0; 1], es decir, la aproximación de
Taylor de primer orden.
c) Tomando la lı́nea tangente a y = ex en el punto medio del intervalo [−1; 1], es decir, la aproximación de
Taylor de primer orden.
3. Se tiene la siguiente tabla de datos:
x
6
8
10 12 14 16
y
3.8
3.7
4.0
3.9
4.3
4.2
18
20
22
24
4.2
4.4
4.5
4.5
a) Encontrar una función lineal que aproxime estos datos por cuadrados mı́nimos. Utilizar esta curva para
suavizar los datos.
b) Repetir el punto anterior con una función cuadrática.
c) Comparar los resultados.
10
11
4. Obtener una formula del tipo: f (x) = a.emx a partir de los siguientes datos:
x
1
2
3
4
y
7
11
17
27
5. Dada la siguiente colección de datos, elegir una curva de aproximación y analizar los errores respecto de los
valores dados:
x 1.00 1.25
y
5.10
5.79
1.50
1.75
2.0
6.53
7.45
8.46
6. Construir las aproximaciones indicadas, calcular los errores y obtener conclusiones:
a) Aproximación polinómica de grado 1.
b) Aproximación polinómica de grado 2.
c) Aproximación polinómica de grado 3.
d ) Aproximación de la forma: b.eax .
e) Aproximación de la forma: b.xa .
Para las siguientes tablas:
i)
ii)
x
4.0
4.2
4.5
4.7
5.1
5.5
5.9
6.3
6.8
7.1
y
102.56
113.18
130.11
142.05
167.53
195.14
224.87
256.73
299.50
326.72
x
0.2
0.3
0.6
0.9
1.1
1.3
1.4
1.6
y
0.050446
0.098426
0.332770
0.726600
1.097200
1.569700
1.848700
2.501500
7. Para 5
t −2
instantes
−1
0
de
1
tiempo
2
se
observaron
los
siguientes
valores
de
un
parámetro
fı́sico:
u u−2 u−1 u0 u1 u2
Mostrar que, si los datos se ajustan por una parábola φ(t), la aproximación en t=0 es:
φ(0) =
1
(−3u−2 + 12u−1 + 17u0 + 12u1 − 3u2 )
35
8. Hallar el polinomio aproximante de segundo grado para la función: f (x) = sen(π.x) en el intervalo [0; 1]. Graficar
la función y su aproximación.
9. El nivel de agua en el Mar del Norte está determinado principalmente por la marea llamada
M 2, cuyo perı́odo es de aproximadamente 12 horas. Se han realizado las siguientes mediciones:
t (horas)
0
2
4
6
8
10
H(t) (m)
1, 0
1, 6
1, 4
0, 6
0, 2
0, 8
a) Ajustar la serie de mediciones usando el método de los cuadrados mı́nimos y la función:
H ∗ (t) = h0 + a1 sen(
2.π.t
)
12
b) Calcular errores que permitan estimar la precisión de la aproximación realizada en a).
c) Utilizar ahora la función:
2.π.t
2.π.t
) + a2 cos(
)
12
12
Repetir b) para la nueva función aproximante. Comparar y obtener conclusiones.
H ∗ (t) = h0 + a1 sen(
Guı́a V: Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
1. Resolver el sistema A.x = b utilizando eliminación

1 2

1 4
A=
1 8

1 16
de Gauss sin pivoteo, donde:

 
3
4
2
 

 
9 16 
 , b =  10 

 44 
27 64 
 
190
81 256
2. Calcular la inversa de la matriz A resolviendo el sistema A.X = I, utilizando eliminación de Gauss, siendo I la
matriz identidad y X la matriz inversa de A.

2

A=
1
4

1
2
2

3

1
2
3. Dada la siguiente descomposición LU de la matriz A efectuada utilizando pivoteo parcial:




 
1
0 0
4 1 0
2




 





L = −0.5 1 0 , U = 0 2.5 1 p = 3

0.5 0.2 1
0 0 8
1
a) Resolver el sistema de ecuaciones A.x = b, siendo:
b = (1 − 2 7)t
b) Obtener la matriz A y verificar la solución obtenida en a).
4. Considerar la matriz A definida según:
ai,j =
1
i+j−1
1 ≤ i; j ≤ 4
Considerar el sistema Ax = b donde:
b = (0.58333 0.21667 0.11666 0.07381)t
Resolver el sistema utilizando eliminación de Gauss con pivoteo parcial operando con 5 decimales. Investigar las
caracterı́sticas de la matriz y obtener conclusiones.
12
13
5. Dada la matriz A del problema anterior y
b = (2.66666 1.50000 1.06666 0.83334)t
Resolver Ax = b aplicando la descomposición LU de A, trabajando con 5 decimales y redondeo. Obtener
conclusiones.
6. Sea el sistema de ecuaciones lineales:
"
0.003153
−0.009413
−15.28
#
.
45.6
" #
x
y
"
=
14.98
#
−44.75
a) Obtener la solución numérica utilizando dos algoritmos: eliminación de Gauss con pivoteo parcial y eliminación de Gauss con pivoteo total.
b) Estimar el número de condición de la matriz de los coeficientes.
c) En base a los resultados obtenidos en los puntos a) y b), indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son
correctas y por qué:
1) El primer algoritmo está mal condicionado.
2) El segundo algoritmo está mal condicionado.
3) El problema está mal condicionado.
7. Describir como se simplifica el algoritmo del método de eliminación de Gauss para el caso particular en que la
matriz de coeficientes es simétrica definida positiva.
8. Dado el siguientes sistema de ecuaciones lineales donde la matriz A es no singular:
# " #
" #
"
a11 a12
x
b1
.
=
a21 a22
y
b2
a) Establecer cuándo el método de Jacobi diverge.
b) Demostrar que si el método de Jacobi converge, entonces el método de Gauss Seidel lo hace más rápido.
9. Sea el sistema de ecuaciones lineales:
"
0.01235
−2.387
5.462
0.008406
#
.
" #
x
y
"
=
1.37
#
10.85
a) Resolverlo por el metodo de Jacobi. Efectuar las modificaciones necesarias para garantizar la convergencia.
Trabajar con 5 decimales y redondeo.
b) Explicar la convergencia o no de los algoritmos del punto a) en términos de la norma de la matriz de
iteración.
10. Resolver el siguiente sistema utilizando el metodo de Gauss-Seidel, iterando hasta que la máxima diferencia entre
dos valores sucesivos de x, y o z sea menor que 0.02. Indicar si esto último significa que la solución obtenida
está en un intervalo de radio 0.02 alrededor de la solución exacta.



 10x + 2y + 6z = 28
x + 10y + 4z = 7


 2x − 7y − 10z = −17
14
11. Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Gauss-Seidel:


a+d=2



 a + 4b − d = 4

a+c=2




c+d=2
12. Considerar el sistema poco denso de ecuaciones:


2a − b = 1



 −a + 2b − c = 1

−b + 2c − d = 1




−c + 2d = 1
Mostrar que el sistema permanece poco denso cuando se lleva a la forma triangular utilizando el método de
eliminación de Gauss. Hallar la solución por Gauss y luego por Gauss-Seidel.
13. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:




3.21x + 0.943y + 1.02z = 2.3
0.745x − 1.29z = 0.74


 0.875x − 2.54y + 0.247z = 3.39
a) Efectuar las modificaciones necesarias para poder garantizar la convergencia utilizando el método de GaussSeidel.
b) Resolverlo iterando hasta obtener una precisión de 3 dı́gitos significativos, sin exceder un máximo de 5
iteraciones.
c) Determinar como influye un error absoluto de 0.01 en el primer coeficiente de la primera ecuación sobre los
valores calculados de x, y y z.
14. Dado el sistema A.x = b, construir un algoritmo que halle el vector solución mediante el método de Gauss-Seidel.
15. Sea el siguiente sistema:




5x + 4z = 1
3x + 6y = 1.20


 9y + 10z = 0.8
¿Qué método usarı́a para resolverlo y por qué?
16. El siguiente código en Octave implementa la aproximación a la solución de un sistema de 5 ecuaciones lineales
con 5 incógnitas con un método iterativo:
e = 1; x = zeros(1,5); y = zeros(1,5)
k = 0; s =10−3
while e > s
y(1) = (5 + x(2))/10
y(2) = (4 + x(1) + x(3))/10
y(3) = (4 + x(2) + x(4))/10
y(4) = (4 + x(3) + x(5))/10
y(5) = (5 + x(4))/10
15
f=abs(y(1)-x(1))
for i =2:5
if abs(y(i)-x(i))>f
f=abs(y(i)-x(i))
end
end
e=f
x=y
k = k +1
end
a) ¿Cuál es el sistema de ecuaciones y cuál el método iterativo? Justifique su respuesta.
b) ¿Cuál es el criterio de parada y como está implementado? ¿Cuáles son los significados de las variables e y
k? Nota: zeros(n,m) genera una matriz nula de n filas por m columnas.
17. El siguiente código implementa una aproximación a la solución de un sistema de ecuaciones lineales:
xn1=1;xn2=1;xn3=0;xn4=0
i=0;e=1
tol=0.01
while (e > tol)
i=i+1;x1=xn1; x2=xn2; x3=xn3;x4=xn4
xn1=(13 - x2 + x3 - x4)/4
xn2=(-8 - x1 + x3 + 2 x4)/(-5)
xn3=(-2 - 2* x1 + x2 - 2 x4)/(-6)
xn4=(-5 - x1 + x2 - x3)/(8)
e=max([abs(xn1-x1) abs(xn2-x2) abs(xn3-x3) abs(xn4-x4)])
end
a) Escriba el sistema de ecuaciones lineales. ¿Qué método está implementado? ¿Será convergente el procedimiento? Explique.
b) Modifique algunas lı́neas del código para que quede implementado el otro tipo de método iterativo presentado
en este curso. Haga dos pasos de este otro método con su calculadora y presente su respuesta en una tabla
redondeando a dos decimales pero operando con toda la precisión de su calculadora.
Guı́a VI: Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de ecuaciones no lineales
1. Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:
(
f (x, y) = x2 + y 2 − 4
g(x, y) = x.y − 1
=0
=0
Resolverlo por el método de Newton con:(x0 y 0 )t = (2 0)t
2. Resolver el siguiente sistema usando el método de Newton, trabajar con 4 decimales y redondeo partiendo de:
(x0 y 0 )t = (0.3 0)t
(
2
1.021 xy = −4.953
5.040x.y = 0.05440
3. Resolver el siguiente sistema usando el método de Newton, trabajar con 4 decimales y redondeo partiendo de:
(x0 y 0 )t = (1 − 2)t
(
3.11x.(y − 1) = −8.73
0.749x + 121y = −2.08
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales por el método de Newton trabajando con tres dı́gitos
significativos, partiendo de la aproximación: (x0 y 0 )t = (1 − 3)t .
(
x2 y 2 = 11.20
x + y = −1.83
5. Repetir el ejercicio anterior usando el método del descenso más rápido.
~ (0) = (1 − 1 3). Realizar
6. Resolver el siguiente sistema no lineal usando el método de Newton, partiendo de: X
tres iteraciones



 x1 x2 x3 = 4.188
x1 + x2 + x3 = 3.677


 x + 1.258x = 0
1
2
7. Resolver el siguiente sistema usando el método de Newton, hasta obtener una precisión tal que ||ek+1 || < 10−6
(tomar la norma infinito), ek+1 es el error absoluto entre dos iteraciones consecutivas.

1


 3x − cos(y.z) − 2 = 0
x2 − 81(y + 0.1)2 + sen(z) + 1.06 = 0


 e−xy + 20z + 10π−3 = 0
3
16
Guı́a VII: Diferenciación e Integración numérica
Diferenciación e Integración numérica
1. Usar las fórmulas de diferencia progresiva y de diferencia regresiva para determinar las aproximaciones con que
se completan las siguientes tablas:
a)
b)
x
f (x)
0.5
0.4794
0.6
0.5646
0.7
0.6442
x
f (x)
0.0
0.00000
0.2
0.74140
0.4
1.3718
0
f (x)
0
f (x)
2. Los datos del ejercicio 1) se tomaron de las siguientes funciones. Calcular los errores reales y obtener una cota
para el error:
a) f (x) = sen(x)
b) f (x) = ex − 2x2 + 3x − 1
3. Se tiene la siguiente tabla de valores para la función seno:
x
sen(x)
0.920
0.79560
0.950
0.81342
1.00
0.84147
a) Estimar el valor de la derivada de la función en x = 1 utilizando dos aproximaciones en diferencias en atraso
y luego obtener un valor más preciso por extrapolación de Richardson.
b) Construir una fórmula de aproximación en diferencias de segundo orden para la derivada en x = 1, y
utilizarla para hallar un nuevo valor.
c) Discutir sobre la precisión de los valores hallados en los puntos anteriores. Estimar el error de truncamiento
y compararlo con el valor exacto de ese error, obtenido por diferencia con el valor de cos(1).
17
18
4. Calcular la siguiente integral utilizando las formulas del trapecio y de Simpson con pasos h =
π
4
y h =
π
2,
respectivamente:
I=
π
2
Z
2π
e(2−
sen(x)
)
2
dx
0
Obtener conclusiones sobre la precisión obtenida.
5. Integrar la función f (x) =
√
x entre los argumentos 1.00 y 1.30, según las formulas del trapecio y de Simpson.
Obtener conclusiones sobre la precisión obtenida.
6. Integrar la función f (x) = sen(x) entre 0 y
x
0
π
12
sen(x)
0.0000
0.2587
π
2
a partir de la siguiente tabla:
π
6
π
4
π
3
5π
2
π
2
0.5000
0.7071
0.8660
0.9659
1.0000
Usar el método del trapecio y el método de Simpson. Comparar los resultados con el valor exacto.
entre 0 y 0.8 por el método de Romberg con 5 dı́gitos significativos.
7. Integrar la función f (x) = sen(x)
x
R2
8. Evaluar la integral I = 1 dx
x mediante el método de Romberg hasta obtener 4 dı́gitos de precisión.
R3
9. Hallar una fórmula de cuadratura para la integral I = 0 f (x)dx utilizando 4 nodos equiespaciados e interpolación
polinomial sobre el intervalo. Utilizar el método de los coeficientes indeterminados. Si M es una cota superior
para |f (0)IV |, hallar una estimación del error por truncamiento en términos de M .
R5
10. Evaluar la integral: I = 1 ln(x)dx utilizando la fórmula de Simpson con un error no mayor a 0.01. Sabiendo
que la regla de Simpson aplicada a un intervalo genérico (xi−1 ; xi+1 ) es:
Z xi+1
h5
h
f (x)dx = [f (xi−1) + 4f (xi ) + f (xi+1 )] − f IV ()
3
90
xi−1
Donde xi−1 < < xi+1 se pide:
a) Obtener una expresión para acotar el error de truncamiento global sobre todo el intervalo de integración.
b) Utilizando la expresión hallada en el punto anterior, determinar un paso h que garantice la cota de error
establecida y efectuar el cálculo utilizando este valor de h.
c) Comparar el resultado de la integración numérica con el valor exacto de la integral y verificar que la
diferencia está acotada por el error estimado.
Rπ
11. Evaluar la integral: I = 0 ln(2 − cos(x))dx
a) Utilizar el método de Romberg comenzando con el paso h =
π
2.
Trabajar con 5 decimales de precisión.
Afinar el paso de cálculo no más de 2 veces.
b) Calcular la influencia de los errores en los valores del integrando sobre los valores obtenidos por la Regla
del Trapecio.
c) El valor exacto de la integral es:
√
πln(1 +
3
) = 1.959759164
2
Dar una explicación de la alta precisión obtenida con la Regla del Trapecio.
12. Integrar usando la regla del trapecio la función f (x) =
1
x
entre 2 y 5 con un incremento h de 0.2. Repetir usando
el método de Romberg para las filas que usted crea necesarias y que acerquen con un error relativo menor a 10−6
el resultado con respecto al valor analı́tico de la integral.
19
13. Repetir el ejercicio anterior para la función f (x) = ex − x2 entre 3 y 6.
14. Integrar por la regla de los trapecios compuesta la función f (x) = sen(x) + e2x con x en el intervalo [0.80, 2].
Hacerlo con n = 6. Repetir el ejercicio usando la regla de Simpson 1/3. Comparar errores.
15. Integrar mediante la regla de Simpson 1/3 compuesta la función del ejercicio 12, comparar con el resultado
analı́tico. Usar h = 0.5.
16. Integrar mediante la regla de Simpson 1/3 compuesta la función f (x) = 2x2 + 5x entre 1 y 2.5 con incremento
h de 0.05. Comparar con el valor exacto.
Guı́a VIII: Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
1. Resolver usando el metodo de Euler, el siguiente problema de valores iniciales :
(
dy
2
dt = y − t + 1 0 ≤ t ≤ 2
y(0) = 0.5
Hacer una tabla comparando los valores en las iteraciones. Usar h = 0.2 y h = 0.1. Obtener la solución para
t = 0.6.
2. Ídem con el método de Runge Kutta del punto medio.
3. Ídem con el método de Runge Kutta de orden 4.
4. Resolver usando el método de Runge Kutta de orden 4 el siguiente problema de valores iniciales:
(
dy
2
t
0≤t≤2
dt = (t + 1) − 0.5e
y(0) = 0.5
Con los pasos del ejercicio 1.
5. Resolver usando el método de Euler y Runge Kutta del punto medio los siguientes problemas de valores iniciales:
a)
(
dy
dt
= (t + 1)3 − 0.4et 1 ≤ t ≤ 2
y(1) = 0.2
b)
(
dy
dt
= t2 − 0.5ln(t) 0 ≤ t ≤ 2
y(1) = 0.2
c)
(
dy
dt
=
10t2
t+4
0≤t≤2
y(1) = 0.2
6. Responder: ¿Qué hecho justifica el uso de métodos multipasos respecto a los de un solo paso como los hasta ahora
empleados?
7. Resolver por el método de Adams Bashforth el problema del punto 4.
8. Resolver por el método de Adams Moulton el problema del punto 4.
9. Comparar en una tabla los resultados obtenidos al resolver el 4, con los métodos usados en dicho ejercicio y en
los ejercicios 7 y 8. Sacar conclusiones.
20
Guı́a IX: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y problemas de
valores de contorno
Ecuaciones diferenciales de segundo orden y problemas de valores de contorno
1. Considerar el siguiente problema de valores iniciales:
 00


 y (t) + sen(y(t)) = 0
y(0) = 2


 y 0 (0) = 0
Realizar dos pasos del método de Euler con h = 0.1.
2. Considerar el siguiente PVI:
 00
0


 y (t) = −0.2y (t) + t
y(0) = 0


 y 0 (0) = 0
Realizar dos pasos del método de Euler con h = 0.1.
3. Considerar el siguiente problema de valores iniciales:
 00

 y (t) = f (t) t ∈ [0; T ]

y(0) = 0


 y 0 (0) = 0
La función f (t) viene dada en la siguiente tabla de valores:
tk
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f (tk )
1.0
1.0
2.0
2.0
0.0
0.0
a) Obtener el sistema de ecuaciones en diferencias que resulta cuando se utiliza el método de Euler para
aproximar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente al problema de
valor inicial considerado.
b) Obtener la aproximación a y(tk ) con ese método para k tomando los valores de 0 a 6 si se elige el paso
h = 0.1. Presentar una tabla redondeando los resultados a dos decimales pero operando en su calculadora
con la máxima precisión.
4. Resolver el siguiente problema de valores de contorno utilizando diferencias finitas:
 00

 x (t) = x + 4et t ∈ [0; 0.5]

x(0) = 1


 x(0.5) = 2e0.5
21
22
5. Se tiene el siguiente problema con valores de contorno:

0
00
−(x )2


t ∈ [1; 6.0]
 x (t) = x
x(1) = 4


 x(6.0) = 6.0
0
a) Hallar la función φ que expresa a x(6) en función de x (1).
√
(Sugerencia: La solución general de la ecuación de segundo orden es x(t) = A. B + t)
0
b) Con el valor obtenido para x (1) en el ı́tem a) hallar una aproximación de la solución exacta de x(t) usando
como paso h = 1.
6. Resolver el siguiente problema por el método del disparo, usando el paso h que crea conveniente:
 00
2 0
2


 x (t) + 2.(1 − t )x (t) + x = 1 t ∈ [−1; 1]
0
x (1) = 0


 x(2) = 1
7. Sea el siguiente problema:
 00


 x (t) + x(t) = 0 t ∈ [0; 1]
0
x (1) = 0


 x(0) = 1
Resolver el problema para un paso de cálculo h =
1
2
y h = 31 .
8. Obtener una aproximación de la curva que debe tener una cuerda para que una bolilla se desplace desde el punto
de coordenadas (1; 7) hasta el punto (0; 1) en el menor tiempo posible. Se propone plantear dicho problema fı́sico
en la forma del siguiente problema de valores en la frontera:
 00


 x (t) = x(t) t ∈ [0; 1]
x( 1) = 7


 x(0) = 1