Universidad Nacional de Salta 1º Cuat

Universidad Nacional de Salta
Sede Regional Oran
Carrera: TEU - TUP
Cátedra: A.L.G.A
2º Cuatr. 2015
TRABAJO PRACTICO Nº: 7
Vectores- Producto escalar vectorial y mixto
3
2
1.- Para los siguientes vectores de R y R :
u  ( 3,  4 ) , v  (1, 2 ) , w  (  2, 4 ) ,
x  ( 0, 0,1 ) y  (  2,1, 0 )
Se pide representarlos de manera gráfica, así como el resultado de las operaciones indicadas:
i) - 2 u
ii) 3 v
iii)  2 w  v
iv) v  u
v) 2 u  3v  2 w vi)  2 x
vii)
x y
viiii)
x  3y
Producto escalar o interno (producto punto), es una función que asocia a dos vectores u y v de un espacio vectorial V, un escalar k y se
denota por:
 u , v  k o u  v  k donde k  R y u , v  V
Esta función verifica
 u , v, w  V
kR
y
las siguientes propiedades:
 u , v   v, u  (conmutativa)
ii)  u  w, v   u , v    w, v  (linealidad)
iii)  k u , v  k  u , v 
(homogeneidad)
iv)  u , u   0 y  u , u   0  u  0
i)
Un espacio vectorial V con producto interno es llamado espacio euclídeo.
2.-a) Determine cuales de las siguientes expresiones definen un producto interno siendo u , v  R 2 .
u, v  3 u1v1  2 u 2 v2
i)
ii)
u, v  u1v1  u 2 v2
b) Para el producto interno anterior calcule la norma del vector w (
w   u, u
siendo
 2 
w    .
  3
¿ el resultado coincide si usamos el producto interno habitual?
 1
3.- a) Hallar la norma de u = 
 2
b)
;

; 0  ¿es un versor ?
2 
1
¿Es unitario el vector ( 1, 1, 1 ) ?
c) Halle x tal que u = ( 2x, -x, 20 x ) sea unitario.
d) Halle k para que la norma de u = ( 2 k, -k , 3 k ) sea
14 .
Para definir el ángulo entre dos vectores es necesario, estudiar la desigualdad de Cauchy Schwarz:
 u, v  R n :  u, v   u . v
4.- Para el producto interno usual de
v  (  3, 0 )
A partir de
cos 
y
x  ( 2, 0,1 )
 u, v   u . v
 u, v 
u .v
Dados dos vectores
u
5.- Dados los vectores
e
R 2 y R 3 verificar
y  ( 3,1,1 ) .
la desigualdad de Cauchy-Schwartz con los vectores
puede probarse que existe un ángulo único
y
0 
y
v
 , tal que para los vectores u
.
no nulos , estos son ortogonales ( o perpendiculares) si
u  ( 2,  1,3 ) , v  ( 4, 2,2 ) y w  ( 1,2, x)
a) Hallar el ángulo que forman u y v
b) Obtener el valor de x para que u y
w formen un ángulo de 60°
u  (1, 0,0 ) y v  (1,1,0 )
a) Hallar la proyección de u sobre v , así como el ángulo que forman u y v
b)Encontrar el vector ( x, y, z )  (0,0,0) que sea combinación lineal de u
y que sea ortogonal a ( 1, 0,0 )
6.- Dados los vectores
y
v
u, v  0
y
v
u  ( 0, 4 ) ,
no nulos, verifica:
7.- Dados u = ( 8,-3, 0 ) , v= ( 2, k,-1 ) encuentre:
i)
Al menos un vector ortogonal a u , de norma 1.
ii)
El valor de k para que u y v sean ortogonales.
u  i  2 j , v 3 i  j y los vectores x  i  j  k
i) Verificar que u  v es la diagonal del paralelogramo de lados u y v .
ii) Hallar e interpretar gráficamente proyv u.
iii) Hallar proy y x y proy x y .
8.- Para los vectores
e
y  j 2 k
:
Base ortonormal ( b.o.n.) es una base que contiene vectores ortogonales y de norma 1 cada uno. Es posible transformar cualquier base
de
Rn
en una b.o.n. utilizando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, que consiste en dado un conjunto de vectores
independiente
u1 , u2 ,..., uk  en R n encontrar un conjunto ortonormal v1 , v2 ,..., vk  de R n tal que :
i : 1  i  k , v`i  u1  u1 , v1 v1  u1 , v2 v2 ...  u1 , vi 1 vi 1
vi 
y cada
vi `
vi `
9.- Use el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, para hallar una b.o.n.
i)
(2,3), (1,4)
ii)
(2,0,0), (5,1,0), (1,1,1)
Producto vectorial o producto cruz
10.-Dados u = 5 i –3 j +2 k y v = i – 4 j + 5 k
a) encuentre u x v y v x u .
b) Halle un vector ortonormal a u y v simultáneamente.
u  v  (3a,0,4a ) y a  R  a  0 determinar
a)  (u  v) b)v  u c)(5u )  (2v) d )(u  v)  i
11.- Considerando que
12.- En cada caso encontrar vectores que satisfagan las condiciones:
a) Tenga norma
2
y sea perpendicular a
u
b)Tenga norma 1 y sea perpendicular al vector

2 , 2 ,0

 y a v
u  a 2 , a 2 ,0
3 ,0, 3

 y al eje x (siendo a >0)
13.- Calcular el área del paralelogramo de vértices A ( 2, 1, 4 ), B ( 1, 3, -2 ) y C ( 3, -1, 6 )
14.-Encuentre el área del triángulo determinado por los vértices: A( 1,2, 0), B(2,0,3) y C(0,4,3).
15.- Hallar el volumen del paralelepípedo cuyos aristas están dadas por :
u = ( 1, 2, 3 ) , v = ( -2, -3, 5 ) y w = ( 3,- 1,4 )
v1  (  2 ,1, k ) , v2  ( 3, 0,4 )
i) Un vector ortonormal a v 2 y v3 .
16.- Dados los vectores
ii) Todos los vectores ortogonales a
iii) El valor de
k
de modo que
v1
v3
y
v3  (  2,1,3 )
hallar:
.
resulte ortogonal a
v2
.
R 3 u  ( 2,1,1 ) , v  (  3, 0,1) y w  (3, 0,2 ) verificar las siguientes propiedades:
i) u  (v  w)  (u  v)  w
ii) u  (v  w)  (u  v)  (u  w) iii) u  (u  v)  v  (u  v)  0
17.- Para los vectores de
18.-Encontrar el valor de
a R
para que los vectores
u  (1,1,3) v  (2, a,1)
paralelepípedo de 7 unidades cúbicas de volumen.
**************************************
y w  (3,2,5)
determinen
un