u v u + v u -v u

TEMA 9. VECTORES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES
Página 158
Págs. 158 a 169
Página 161
1. Obtenemos los siguientes vectores:
4. La representación es la siguiente:
!
"
)
!
!#$#"
!
!#%#"
"
%"
!
!
"
(
­2 x − 3 = −9
;
5. a) ®
¯4 = 6 − y
&!
'!
Página 159
2. u = (2, 0)
v = (0, 3)
x = (3, 3) = a u + b v → a = 3 / 2, b = 1
y = (3, 6) = a u + b v → a = 3 / 2, b = 2
z = (3, 1) = a u + b v → a = 3 / 2, b = 1 / 3
3. u = (1, 0)
x = −3, y = 2
­4 − 5x = −11
b) ®
;
¯− 6 = 2 x + y
x = 3, y = −12
9
6. a) (7, 7)
b) (−8, −5)
c) (−3, −1)
d) (16, 17)
e) (−10, 3)
f) (28, 22)
7. u = (a , b)
a) a = 11, b = 6 → u = (11, 6)
v = (0, 2)
b) a = −7, b = 18 → u = (−7, 18)
a = (3, 4) = k u + h v → k = 3, h = 2
c) a = 9, b = 14 → u = (9, 14)
b = (4, 1) = k u + h v → k = 4, h = 1 / 2
d) a = −11, b = −6 → u = (−11, −6)
c = (3, −4) = k u + h v → k = 3, h = −2
Página 162
Piensa y contesta
• Suponiendo que sea k el número no nulo:
u = −
h
h
h
v → u1 = − v 1 , u2 = − v 2
k
k
k
Por lo tanto, los dos vectores tienen la misma
dirección.
8. u ⋅ v = 3 ⋅ 8 ⋅ cos 60 = 12
9. proy v u = 5 ⋅ cos 45 = 3,54
10. Si tienen el mismo sentido, sí, si no, es −6 porque
cos 0 = 1 y cos 180 = −1
11. Si tienen el mismo sentido, 1.
Si tienen sentidos opuestos, −1.
9-9
© VICENS VIVES
Página 160
TEMA 9. VECTORES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES
Págs.158 a 169
Página 163
Por lo tanto:
12. a) 2 ⋅ 3 + (−3) ⋅ 4 = −6
b) 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 4 = 19
­8x − 3y = 0
→
® 2
2
¯x + 3 = 45
c) (2, −3) ⋅ (−7, −4) = 2 ⋅ (−7) + (−3) ⋅ (−4) = −2
Dos soluciones:
d) (3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 4) ⋅ (8, −12) = 19 ⋅ (8, −12) = (152,
, −228)
x = −6, y = −16
x = 6, y = 16
e) (2, −3) ⋅ (4, 8) = 2 ⋅ 4 + (−3) ⋅ 8 = −16
f) (4, −6) ⋅ (9, 12) = 4 ⋅ 9 + (−6) ⋅ 12 = −36
13. u ⋅ v = 2 ⋅ 6 + (−3) ⋅ 4 = 0 →
Página 167
→ Forman un ángulo de 90°
1. Módulo: longitud del vector
14. u ⋅ v = 2x − 12 = 4 → x = 8
Dirección: recta en la que se apoya
u ⋅ v = 2x − 12 = 0 → x = 6
9
Sentido: orientación que tiene el vector en la recta
Página 164
2. Cuando se puede escribir w = a u + b v donde a y b
son números reales. Actividad personal.
Piensa y contesta
3. Deben ser no nulos y tener diferente dirección.
•
ku =
(ku 1 )2 + (ku 2 )2
(
)
= k 2 u 12 + u 22 =
= k u 12 + u 22 = k u
5. Son los números reales con los que se escribe como
combinación lineal de los vectores de la base.
12 + 2 2 = 5
15. a)
( )
22 + 4 2
b)
16. a) u = 5 2 +
2
= 36 = 6
( 11)
2
6. Suma → se suman las componentes
= 36 = 6 →
b) v = 12 2 + 16 2 = 400 = 20 →
§ 12 16 · § 3 4 ·
§ 3 4·
→ ¨ , ¸ = ¨ , ¸ y ¨ − ,− ¸
20
20
5
5
©
¹ ©
¹
© 5 5¹
( )
−10 + 0
( )
30 + 56
© VICENS VIVES
b) cos u , v =
18. 0 =
9-10
8x − 3y
45 ⋅ v
10 ⋅ 10
74 ⋅10
=
=
−1
10
= −0,316 → 108,43°
86
74 ⋅10
Producto por un número real → se multiplican las
dos componentes por el número.
7. Es el producto de los módulos de los vectores y el
coseno del ángulo que forman. Es 0 cuando son
perpendiculares.
§ 5 11 · § 5
·
¸ y ¨ − ,− 11 ¸
→¨ ,
¨6 6 ¸ ¨ 6
6 ¸¹
©
¹ ©
17. a) cos u , v =
4. Base ortogonal es aquella en la que los vectores que
la forman son perpendiculares. Base ortonormal es
aquella en la que, además de ser perpendiculares,
tienen módulo 1.
= 0,9997 → 1,33°
El producto escalar verifica la propiedad conmutativa,
distributiva respecto de la suma y para cualquier
( ) ( )
8. Es el producto del módulo de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él. Si el ángulo que forman
los vectores es obtuso, es negativo, si es agudo,
positivo.
9. u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2
Entonces:
=
( ) ( )
número real k, k u ⋅ v = k u ⋅ v = u ⋅ k v = u ⋅ v k.
u ⋅ u = u1 ⋅ u1 + u2 ⋅ u2 = u
Por otra parte:
2
TEMA 9. VECTORES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES
( )
( )
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos u , v → cos u , v =
=
u⋅v
u⋅v
Págs. 158 a 169
=
!#$#"
"
"
u 1 ⋅ v1 + u 2 ⋅ v 2
!
u 12 + u 22 ⋅ v 12 + v 22
%&"
10. Sí, si tienen el mismo sentido. Si el sentido es
opuesto, el módulo es la diferencia entre módulos.
2
u + v = ( u + v) 1 ⋅ ( u + v) 1 + ( u + v) 2 ⋅ ( u + v) 2 =
= (u 1 + v 1 ) ⋅ (u 1 + v 1 ) + (u 2 + v 2 ) ⋅ (u 2 + v 2 ) =
= u 1 ⋅ u 1 + v1 ⋅ v1 + 2 ⋅ u 1 ⋅ v1 +
2
,!
%'#*!#$#"+
2
+ u 2 ⋅ u 2 + v2 ⋅ v2 + 2 ⋅ u 2 ⋅ v2 = u + v +
2
!
2
+ 2 ⋅ u ⋅ v = u + v ± 2 ⋅ u ⋅ v donde el signo será
positivo si los vectores tienen el mismo sentido, pues
cos 0 = 1, y negativo si tienen sentidos opuestos, pues
cos 180 = −1.
14. Los vectores son los siguientes:
9
Por lo tanto:
u + v = u + v si tienen el mismo sentido.
"
(
!
!
u + v = u − v si tienen sentido opuesto.
!
11. Las sumas son las siguientes:
!
)
!
"
!#$#"
15. u = (3, 0)
"#$#!
v = (0, 3)
!
"
x = (2, −4)
y = (3, 2)
z = (6, 1)
12. Las sumas son las siguientes:
w = (3, −2)
"
Por lo tanto:
!
"
*!#$#"+#$#(
13. Las representaciones son las siguientes:
*"#$#(+#$#!
(
!
x =
2
4
u− v
3
3
y =u +
© VICENS VIVES
(
2
v
3
z = 2u +
1
v
3
9-11
TEMA 9. VECTORES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES
w =u −
2
v
3
u y v forman una base y, por lo tanto, cualquier
vector podría expresarse como combinación lineal de
ellos.
Págs.158 a 169
d) (17, 15)
19. a) (−1, 9)
b) (33, −24)
c) (21, −21)
d) (−4, 15)
Página 168
16. u = (2, 0)
v = (0, 1)
x = (1, −3)
y = (4, 1)
z = (6, 2)
w = (−3, 0)
s = (−2, 2)
t = (0, 3)
9
Por lo tanto:
x =
1
u − 3v
2
­2 = a + b
b) ®
→ a = 3, b = −1 → r = 3 u − 1 v
¯7 = 2a − b
­1 = a + b
c) ®
→ a = −1, b = 2 → s = − u + 2 v
¯− 4 = 2a − b
21. No pueden ser iguales.
22. a)
b)
3x − 3
6
=
→ x = −8
9
−2
6 3x
=
→ 108 = 3x2 → 3x2 − 108 = 0 → x = ±6
x 18
23. a) 2,4
y = 2u + v
b) 5 ⋅ 2 ⋅ 0,5 = 5
z = 3u + 2 v
c) 8 ⋅ 3 ⋅
w =−
3
u
2
s = − u + 2v
t = 3v
§1
·
17. x = ¨ ,−3 ¸
2
©
¹
y = (2, 1)
z = (3, 2)
§ 3 ·
w = ¨ − ,0 ¸
© 2 ¹
s = (−1, 2)
© VICENS VIVES
­5 = a + b
20. a) ®
→ a = 2, b = 3 → w = 2 u + 3 v
¯1 = 2a − b
t = (0, 3)
18. a) (−7, −12)
b) (−10, −14)
c) (0, 11)
9-12
3
= 12 3
2
24. 3 ⋅ 5 ⋅ 0,2588 = 3,882
25. a) 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 6 = 24
b) 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 = 1
c) 3 ⋅ 5 − 6 ⋅ 3 = −3
d) (2, 3) ⋅ (8, 3) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 3 = 25
e) (4, 6) ⋅ (15, −9) = 4 ⋅ 15 − 6 ⋅ 9 = 6
f) 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 13
26. a)
25 + 144 = 169 = 13
b)
1+1 = 2
c)
3 +1 = 4 = 2
d)
2+2 = 4 =2
e)
225 + 64 = 289 = 17
f)
2+7 = 9 =3
27. u = 8 + 1 = 9 = 3
TEMA 9. VECTORES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES
El vector es, por ejemplo:
Págs. 158 a 169
( )
u §¨ 2 2 1 ·¸
,
=
3 ¨© 3 3 ¸¹
cos u , v =
( )
35. a) cos u ,⋅v =
El vector es, por ejemplo:
u §¨ 2 2 2 2 ·¸ §¨ 2
2 ·¸
,−
,−
.
=
=
¨
¸
¨
4 © 4
4 ¹ © 2
2 ¸¹
5 34
− 12 + 20
( )
b) cos u , v =
27 34
→
170
=−
52 29
8
=
1.508
=
4 377
→
377
12 − 7
58 17
=
5
986
=
5 986
→
986
El ángulo es 80,84°.
100 / 2 2 = 25 = 5 , un vector es:
36. a) (1, −3) ⋅ (10, 16) = 1 ⋅ 10 − 3 ⋅ 16 = −38
b) (1, −3) ⋅ (−25, −28) = −1 ⋅ 25 + 3 ⋅ 28 = 59
u § 6 8·
= ¨ − , ¸ = (− 3,4 )
2 © 2 2¹
c) u = 1 + 9 = 10
30. u = 81 + 144 = 225 = 15
−
− 27
El ángulo es 78,11°.
29. u = 36 + 64 = 100 = 10
Los vectores son
5 34
=
El ángulo es 157,83°.
28. u = 8 + 8 = 16 = 4
Como
− 12 − 15
v + w = 100 + 256 = 356 = 2 89
Por lo tanto:
u § 9 12 · § 3 4 ·
= ¨ , ¸= ¨ , ¸ y
15 ©15 15 ¹ © 5 5 ¹
u § 3 4·
= ¨ − ,− ¸
15 © 5 5 ¹
(
)
cos u , v + w =
− 38
10 ⋅ 2 89
− 38
=
2 890
=
− 19 890
890
9
→ 129,56°
31. Un vector perpendicular a u es v = (4, 3).
d) v − w = (8, 8)
(
)
u ⋅ v − w = 1 ⋅ 8 − 3 ⋅ 8 = −16
v = 16 + 9 = 25 = 5
v − w = 64 + 64 = 128 = 8 2
Los vectores que buscamos son
v § 4 3·
=¨ , ¸ y
5 © 5 5¹
v § 4 3·
− = ¨ − ,− ¸ .
5 © 5 5¹
(
)
cos u , v − w =
− 16
10 ⋅ 8 2
=
− 16
8 20
=
− 20
→
10
→ 116,57°
( )
v + (u + w ) =
e) v + u + w = (11, 13)
32. Serán perpendiculares cuando el producto escalar sea
0:
121 + 169 = 290
u ⋅ v = −6 + a (a + 1) = 0;
a2 + a − 6 = 0 →
Página 169
→ a1 = 2, a2 = −3
v
=
37. a) u ⋅ v = 0
− 6 + 18
3 + 81
34. u = 9 + 25 = 34
v = 16 + 9 = 25 = 5
=
12
84
12
84
=
2 21
7
4 + 3 (x − 1) = 0 → x = −1 / 3
b)
1 x −1
=
→ 3 = 4 (x − 1) → x = 7 / 4
4
3
© VICENS VIVES
33. proy v u =
u⋅v
c) u = 1 + ( x − 1) 2
v = 16 + 9 = 25 = 5
9-13
TEMA 9. VECTORES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES
Págs.158 a 169
§1 4 ·
El vector es w = ¨ ,− ¸ .
© 5 15 ¹
u ⋅ v = 4 + 3 (x − 1)
cos 60 = 0,5
Tenemos la ecuación:
0,5 =
4 + 3( x − 1)
5 1 + ( x − 1) 2
43. u ⋅ v = 0 → 2a − 3b = 0 → a =
;
v = 20 →
3b
2
2 2 + b 2 = 20 → 4 + b2 = 20 → b =
2,5 1 + ( x − 1) 2 = 4 + 3(x − 1);
= ±4 → a = ±6
6,25 [1 + (x − 1)2] = 9x2 + 6x + 1;
Hay dos soluciones:
12,5 + 6,25x2 − 12,5x = 9x2 + 6x + 1;
u 1 = (6, −3), v 1 = (2, 4)
2
2,75x + 18,5x + 1 = 0 → x1 = 0,573, x2 = −7,300
Si sustituimos las soluciones en la ecuación
original, observamos que x2 no es válida.
38. Calcularemos en primer lugar el ángulo que
determinan los vectores:
( )
cos u , v =
9
44. El trabajo W, que se expresa en Julios, es el producto
escalar entre la fuerza ejercida y el desplazamiento,
por lo tanto:
56
56
=
= 0,861538 → 30,51°
5 ⋅ 13 65
Por lo tanto, el área del triángulo determinado por los
vectores, la mitad de la del paralelogramo, es:
S’’ =
u 2 = (−6, −3), v 2 = (2, −4)
1
1
u ⋅ v ⋅ sen 30,51 = ⋅ 5 ⋅13 ⋅ 0,50769 = 16,5
2
2
El área que buscamos es S = 2S’’ = 33.
S = b ⋅ h = v ⋅ h = 13 ⋅
33
= 33
13
W = 15 ⋅ 20 ⋅ cos 30 = 15 ⋅ 20 ⋅
(
46. W = 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 11 N × m
Autoevaluación
1. u = (0, 3)
( )
u ⋅ (v ⋅ w ) = u ⋅ (v ⋅ w + v ⋅ w )
v = (2, 0)
No tiene la propiedad asociativa.
z = (6,5, 1)
39. u ⋅ v ⋅ w = (u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2) ⋅ w
1
1
2
x = (4, 3)
y = (−3, 3)
2
Por lo tanto:
40. a) Número ⋅ Vector = Vector
x = u +2 v
b) Número ⋅ Número = Número
y= u−
41. Los vectores tienen módulo 4 cm y forman un ángulo
de 180 − 30 − 45 = 105°:
u ⋅ v = 4 ⋅ 4 ⋅ cos 105 = −4,14
42. Sea w = (a, b):
© VICENS VIVES
Por una parte:
3b
v ⋅ w = 0 → 4a + 3b = 0 → a = −
4
z=
9-14
3
v
2
1
7
u+ v
3
2
2. a) (18, −27)
b) (−10,7)
3. Sean a y b las componentes:
w = a u + b v → a = 0, b = 2
Por otra parte:
w ⋅ u = 1→ −
)
45. F1 + F2 + F3 = i + − 2 + 3 j
3b
4
1
⋅ 1 − 3b = 1 → b = − → a =
4
15
5
4.
[(u ⋅ v)⋅ w − (w ⋅ v)⋅ u ]⋅ v =
3
= 150 3 J
2
TEMA 9. VECTORES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES
[( ) ( ) ] (( ) )
− ((v ⋅ w ) ⋅ u ) ⋅ v = (u ⋅ v ) ⋅ (w ⋅ v ) − (v ⋅ w ) ⋅ (u ⋅ v ) =
= (u ⋅ v ) ⋅ (v ⋅ w ) − (v ⋅ w ) ⋅ (u ⋅ v ) =
= (u ⋅ v ) ⋅ (v ⋅ w ) − (u ⋅ v ) ⋅ (v ⋅ w ) = 0
= u⋅v ⋅w − v⋅w ⋅u ⋅v= u⋅v ⋅w ⋅v−
(
2
=2 2
2
)(
6. Calculamos 3u − 2 v ⋅ w − 5v
)
c) cos 120 =
−5 + 12( x − 1)
1 + ( x − 1) 2 25 + 144
−0,5 1 + ( x − 1) 2 25 + 144 = −5 + 12 (x − 1);
84,5 + 42,25x2 − 84,5x = 289 − 408x + 144x2;
101,75x2 − 323,5x + 204,5 = 0;
x1 = 2,31; x2 = 0,87
Si comprobamos en la ecuación original,
observamos que x1 no es una solución válida.
10. Sea u = (a, b) el vector que buscamos:
3u − 2 v = (−6, 1)
w − 5v = (3, 13)
5 = a 2 + b 2 → a = ± 25 − b 2
Por lo tanto:
Por otra parte: v =
(3u − 2v)⋅ (w − 5v) = −18 + 13 = −5
7. u = 50 + 50 = 100 = 10
§ 5 2 − 50 · §
·
u
¸ = ¨− 2 , 2 ¸
− = −¨
,
¨ 10
10 ¸¹ ¨© 2 2 ¸¹
u
©
13 17
± 3 25 − b 2 − 2b = 2,5 ⋅ 13 ;
9
± 3 25 − b 2 = 2,5 ⋅ 13 + 2b ;
9 (25 − b2) = 81,25 + 36,06b + 4b2;
b1 es solución de la ecuación cuando tomamos a
positivo y b2 es la solución de la ecuación cuando
tomamos a negativo.
v = 1 + 16 = 17
−3+8
Finalmente, se debe verificar:
13b2 + 36,06b − 143,75 = 0 → b1 = 2,22, b2 = −4,99
8. u = 9 + 4 = 13
( )
9 + 4 = 13
§¨ ± 25 − b 2 , b ·¸ ⋅ (3,−2) = 5 ⋅ 13 ⋅ cos 60;
©
¹
El vector que buscamos es:
cos u , v =
;
=
5
221
=
5 221
→
221
El ángulo es 70,35°.
9. a) −5 + 12 (x − 1) = 0 → x = 17 / 12
1
x −1
=
→ 12 = −5 (x − 1) → x = −7 / 5
b)
− 5 12
b1 = 2,22 → a1 = 4,48
b2 = −4,99 → a2 = −0,32
Las soluciones son:
u 1 = (4,48;2,22)
u 2 = (− 0,32;−4,99)
© VICENS VIVES
5. 4 ⋅ cos 135 = 4
Págs. 158 a 169
9-15