Solución de la ecuación de estado homogéneo

Solución de la ecuación de estado invariante con
el tiempo
Programa de la semana
I
Solución de las ecuaciones de estado para el caso
homogéneo
I
I
I
I
Matriz exponencial
Método de la transformada de Laplace para la solución
de las ecuaciones de estado en el caso homogéneo
I
I
I
I
I
I
Caso escalar
Caso matricial
Caso escalar
Caso matricial
Matriz de transición de estados
Propiedades de la matriz de transición de estados
Solución de ecuaciones de estado para el caso no homogéneo
Método de la transformada de Laplace para la solución de las
ecuaciones de estado del caso homogéneo
Solución para el caso escalar homogéneo
I
I
En este caso x es un escalar.
Problema
1. ẋ = ax .
I
Se propone usar como solución a un polinomio
2. x (t) = b0 + b1 t + b2 t 2 + · · · + bk t k + · · ·
I
Sustituyendo (2) en (1)
3. b1 + 2b2 t + · · · + kbk t k−1 + · · · =
ab0 + ab1 t + ab2 t 2 + · · · + abk t k + · · ·
Solución para el caso escalar homogéneo (2)
I
I
Para encontrar los coeficientes, se igualan independientemente
los términos de t k
b1 = ab0
b2 = 12 ab1 = 21 a2 b0
1
b3 = 13 ab2 = 2×3
a3 b0
..
.
1 k
bk = k1 abk−1 = k!
a b0
Nota: Ahora todos los coeficientes dependen de b0 .
Solución para el caso escalar homogéneo (3)
I
Para obtener b0 , se asume t = 0
4. x (0) = b0
I
Por lo tanto la solución está dada por
5. x (t) = 1 + at +
6. x (t) = e at x (0).
1 2 2
2! a t
+ ··· +
1 k k
k! a t
+ · · · x (0)
Solución para el caso matricial homogéneo
I
I
Ahora x es un vector.
Problema
7. ẋ = Ax.
I
Se propone usar como solución a un polinomio
8. x(t) = b0 + b1 t + b2 t 2 + · · · + bk t k + · · ·
I
Sustituyendo (8) en (7)
9. b1 + 2b2 t + · · · + kbk t k−1 + · · · =
Ab0 + Ab1 t + Ab2 t 2 + · · · + Abk t k + · · ·
Solución para el caso matricial homogéneo (2)
I
I
Para encontrar los coeficientes, se igualan independientemente
los términos de t k
b1 = Ab0
b2 = 12 Ab1 = 21 AAb0 = 12 A2 b0
1
b3 = 31 Ab2 = 2×3
A3 b0
..
.
1 k
bk = k1 Abk−1 = k!
A b0
Nota: Ahora todos los coeficientes dependen de b0 .
Solución para el caso matricial homogéneo (3)
I
Para obtener b0 , se asume t = 0
10. x(0) = b0
I
Por lo tanto la solución está dada por
11. x(t) = I + At +
12. x(t) = e At x(0).
1 2 2
2! A t
+ ··· +
1 k k
k! A t
+ · · · x(0)
Matriz exponencial
I
I
Sea A ∈ Rn×n
La matriz exponencial de A esta definida por
13. e At = limN→∞
I
I
PN
k=0
Ak t k
k!
La matriz exponencial de A converge absolutamente para todo
t finito.
Pregunta. ¿Converge para t → ∞?
Propiedades de la matriz exponencial
14. Teorema
d At
= Ae At = e At A
dt e
15. Teorema
e A(t+s) = e At e As
16. Corolario
e At e −At = e −At e At = I
Solución para el caso homogéneo escalar por medio de la
transformada de Laplace
I
Problema
17. ẋ = ax
I
Solución
I
Se aplica la transformada de Laplace a (21)
18. sX (s) − x (0) = aX (s).
I
Se despeja X (s)
19. X (s) =
I
x (0)
s−a
Aplicando la transformada inversa de Laplace
20. x (t) = e at x (0).
Solución para el caso homogéneo matricial por medio de la
transformada de Laplace
I
Problema
21. ẋ = Ax
I
Solución
I
Se aplica la transformada de Laplace a (21)
22. sX(s) − x(0) = AX(s).
I
Se despeja X(s)
23. X(s) = (sI − A)−1 x(0)
I
Aplicando la transformada inversa de Laplace
24. x(t) = e At x(0).