preguntas - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Prueba Integral
Lapso 2015-2
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
754 – 1/3
Geometrı́a (Cód. 754)
Cód. Carrera: 126-504
Fecha: 12-03-2016
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 7.
PREGUNTAS
OBJ 1 PTA 1
Comprobar que si p,q y r son proposiciones, entonces
¬(p ∧ q) ⇒ r es equivalente a (p ∧ q) ∨ r
Nota:
1. El sı́mbolo “¬” indica no.
2. Dos proposiciones se dicen equivalentes si su bicondicional es una tautologı́a.
Solución:
Al construir la tabla de verdad de la bicondicional entre ¬(p ∧ q) ⇒ r
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
p ∧ q ¬(p ∧ q)
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Elaborado por: Alfredo Espejo
¬(p ∧ q)⇒ r
1
1
1
0
1
0
1
0
y
p ∧ q) ∨ r, tenemos:
(p ∧ q )∨ r ¬(p ∧ q)⇒ r ⇔ (p ∧ q )∨ r
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
Área de Matemática
Validador: José Gascón
Evaluadora: Florymar Robles
Prueba Integral
Lapso 2015-2
754 – 2/3
OBJ 2 PTA 2
Consideremos los puntos: A(-2),B(4), Q(7) sobre la recta real. Hallar el conjugado armónico de Q
con respecto de A y B.
Solución:
Se debe encontrar un punto P(x), que cumpla con la condición:
AQ
AP
=
PB
QB
Por una parte tenemos que:
AQ
9
= =3
QB
3
Por otra parte,
AP
x+2
=
PB
4−x
Entonces, la coordenada del punto P cumple:
x+2
= 3,
4−x
5
resolviendo la ecuación obtenemos: x = .
2
Por lo tanto, el punto buscado es P( 25 )
OBJ 3 PTA 3
En la figura abajo ∠ EDC = ∠ DEB y ∠ADE = ∠ DEA. Demostrar que AB = AC.
Solución:
Como ∠ADE = ∠ DEA el triángulo ADE es isósceles. Luego, AD=AE. Afirmamos que los
triángulos BDE y EDC son congruentes. El estudiante UNA debe indicar por qué. Luego, el
segmento DB=EC, pero AB=AD+DB y AC=AE+EC. Luego, AB=AC.
Elaborado por: Alfredo Espejo
Área de Matemática
Validador: José Gascón
Evaluadora: Florymar Robles
Prueba Integral
Lapso 2015-2
754 – 3/3
OBJ 4 PTA 4
Sea ABCD un trapecio isósceles con AD = BC. Si P y Q son las proyecciones ortogonales de D y
C sobre la recta AB, entonces AP = BQ.
Solución:
Basta ver que AQ=BP, ya que AP=PQ+QA y BQ=PQ+BP. Pero los triángulos ADQ y PBC
son congruentes por el criterio HC. Hemos concluido la demostración.
OBJ 5 PTA 5
Demostrar que por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia.
Solución:
Ver Libro Maestro, teorema 4.8, pág. 206.
OBJ 6 PTA 6
Trazar una tangente a una circunferencia dada que tenga una dirección dada.
Solución:
Sea L la perpendicular desde el centro 0 de nuestra circunferencia a la recta dada. Esa recta,
corta la circunferencia en dos puntos. Trace las rectas perpendiculares, por esos puntos, a los
radios de la circunferencia. Esas rectas son paralelas a la recta dada.
OBJ 7 PTA 7
Demostrar que el área de un polı́gono regular es igual al producto de su semiperı́metro y la
apotema.
Solución:
Ver Libro maestro, Teorema 6.18, pág. 298.
FIN DEL MODELO.
Elaborado por: Alfredo Espejo
Área de Matemática
Validador: José Gascón
Evaluadora: Florymar Robles