Curiosidades de la física. Parte XVIII - UAM-I

Curiosidades de la fı́sica. Parte XVIII.
José Marı́a Filardo Bassalo,
Fundación Minerva, Prof. retirado de la Universidad de Pará
www.bassalo.com.br
bert Hooke (1635-1703); la doble refracción, por el
médico danés Erasmus Bartholinus (1625-1698) y la
polarización de la luz, por el astrónomo, fı́sico y matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695)2
fueron explicados usando o bien la naturaleza corpuscular o bien la ondulatoria. Veamos cómo.
Recibido: 8 junio 2008
Aceptado: 27 mayo 2009
La naturaleza de la luz, Young y
la interferencia luminosa
Las especulaciones acerca de la naturaleza de la luz
(corpuscular u ondulatoria) se remontan a la Antigüedad. Si bien entre los filósofos griegos de la
Antigüedad, por ejemplo Pitágoras de Samos (ca.
560–ca.480), Platón de Atenas (ca.428–ca.347) y
Empédocles de Akragas (actual Agrigento) (ca.490–
ca.430) prevalecı́a la naturaleza corpuscular de la
luz, Aristóteles de Estagira (384–322) sostenı́a la
hipótesis de que la luz era debida a una actividad en
determinado medio, esto es, podrı́a considerarse como de naturaleza ondulatoria; esta hipótesis también era propuesta por los filósofos chinos de la dinastı́a Qin (221–207).
Los experimentos realizados por Grimaldi3 incluyeron hacer pasar luz blanca por dos orificios pequeños,
uno detrás de otro, para dar en una pantalla blanca, si la luz se propagaba en lı́nea recta habrı́a una
región blanca. Grimaldi supuso que las partı́culas
“se curvaban” pues los bordes de la región iluminada tenı́an una ligera coloración rojiza y azulada; posteriormente se mostró que resultaba de la interferencia de la luz. Grimaldi describió observaciones semejantes a la anterior con objetos opacos o al usar rendijas finas.
0.50
1.50
En01665 fue publicado
el libro de Hooke “Micrographia”, donde describe sus observaciones acerca de las
sombras y los colores producidos por una lámina fina
y transparente iluminada con luz blanca; también registró la formación de anillos de colores cuando una
de las caras de la lámina es esférica. Anotemos que
Boyle hizo observaciones semejantes. Por ese tiempo la hipótesis corpuscular era la más aceptada y
resultaba inadeacuada para explicar tales fenómenos, por lo que Hooke propuso, por primera ocasión, que la luz consistı́a de rápidas vibraciones que
se propagaban instantáneamente a cualquier distancia, sin embargo el frente de esa onda no era necesariamente perpendicular a la dirección de la propagación en un medio homogéneo.4
En la Edad Media y el Renacimiento, prevaleció la
naturaleza corpuscular de la luz sobre la ondulatoria, sin embargo esta cuestión no fue el principal objeto de estudio de los sabios de esa época, por ejemplo, el fı́sico y matemático iraquı́ Abu-’Al Al-Hasan
Ibn Al-Haytham (conocido como Al-Hazen, ca.9651038), el erudito inglés Robert Grosseteste (ca.11751253), el filósofo inglés y monje franciscano Roger
Bacon (ca.1219-ca.1292), el erudito silesiano Witelo (ca.1225-1275), el erudito italiano Blasing de Parma (ca.1345-1416) y el matemático italiano Paolo Toscanelli (1397-1482). Resaltemos que el debate sobre la naturaleza de la luz permaneció en el terreno filosófico hasta el siglo XVII, cuando se incorporó el método cientı́fico, conforme veremos a continuación.1
Los trabajos de Hookw y Boyle llevaron al fı́sico y
Los fenómenos luminosos estudiados en el s.XVII,
por ejemplo, difracción e intereferencia por los fı́sicos, el italiano Francesco Maria Grimaldo (16181663) y los ingleses Robert Boyle (1627-1691) y Ro-
2 Hay extractos de su obra en: William Francis Magie, A
Source Book in Physics, McGraw Hill, 1935.
3 Reunidos en su libro post mortem Physico-Mathesis de
Lumine, Coloribus et Iride, 1665.
4 Comunicación a la Royal Society del 15 de febrero de
1671, según Edmund Taylor Whittaker, A History of the
Theories of Aether and Electricity, Thomas Nelson and Sons,
1951.
1 Acerca de las ideas respecto a la naturaleza de la luz
véase: Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, 1970.
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matemático inglés Sir Isaac Newton (1642–1727) a
estudiar, en 1666, los colores exhibidos por las pelı́culas finas, fenómeno que llegó a ser conocido como
“anillos de Newton”. Resultado de esta investigación Newton hizo un estudio más sistemático del
fenómeno de dispersión de la luz, al observar que
la luz blanca solar, al atravesar un prisma de vidrio, era descompuesta en los colores del arco ı́ris.
Anotemos que el fı́sico, matemático y filósofo francés
René du Perron Descartes (1596–1650) en su libro
La Dioptrique, 1637, suplemento de su famoso Discours sur la Methode, presenta una teorı́a según la
cual la luz es esencialmente una presión que se transmite a través de un medio perfectamente elástico –el
éter luminı́fero– que llena todo el espacio. Descartes propuso el éter en 1644 para explicar la gravedad en términos de vórtices de diferentes tamaños situados en este medio.
También en ese texto presentó su famosa ley de refracción de la luz, descubierta por el matemático
holandés “illebrod van Roijen Snell (1591–1626) en
1621, hoy conocida como ley de Snell–Descartes:
sen i
=n
sen r
donde i y r representan, respectivamente, los ángum
los 3.50
de incidencia
y de refracción y n el ı́ndice de refracción del segundo medio (refringente) cuando el
primero es el vacı́o.
En 1669, en un pequeño trabajo intitulado “Experimentis Crystalli Islandici Disdiaclastici, quibus Mira et Insolita Refractio Detegitur”, Bartholinus describió sus experimentos con un cristal transparente
de carbonato de calcio (CaCO3 ) obtenido de unos comerciantes de Islandia y conocido como “espato de
Islandia”. En sus primeros exprimentos observó con
este cristal observó que duplicaba los objetos vistos a través de él, fenómeno que Bartholinus denominó “doble refracción”. Posteriormente notó que al
girar el cristal una de las imágenes permanece fija y la otra acompaña a la rotación del cristal. Concluyó que habı́a dos tipos de refracción, una responsable de la imagen fija, refracción ordinaria que sigue la ley de Snell–Descartes, y otra para la imagen móvil, refracción extraordinaria.
La hipótesis de la naturaleza ondulatoria de la luz
propuesta por Hooke fue retomada por Huygens en
su famoso Traité de la Lumière publicado en 1690
donde explicó los fenómenos luminosos conocidos
hasta entonces. Ası́, para explicar la reflexión, refracción y difracción de la luz formuló la hipótesis
Figura 1. Christiaan Huygens
de que la luz es una onda longitudinal (esto que ondula en la dirección de su desplazamiento) a semejanza de las ondas sonoras. Para llegar a los resultados conocidos, la ley de reflexión (ángulo de incidencia i igual a ángulo de reflexión r) conocida desde Aristóteles, y a la ley de refracción, Huygens idealizó un principio (más tarde conocido como principio de Huygens), según el cual cada punto del frente
de onda en el hipotético éter cartesiano es centro una
nueva perturbación propagada como ondas esféricas, éstas secundarias, que se combinan de forma
que su evolvenete determina posteriormente un nuevo frente de onda. Con este principio demostró las leyes de reflexión y de refracción y llegó a un polémico resultado: la velocidad de la luz en el agua era menor que en el aire, en contra de la afirmación de Newton. Éste, defensor de la teorı́a corpuscular de la luz,
afirmaba que la luz se propaga más rápidamente en
el agua pues las “partı́culas luminosas” son aceleradas por la atracción de las “partı́cuals” constituyentes del agua. Obsérvese que esta polémica fue resuelta en el siglo XIX cuando los fı́sicos franceses
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Jean Bernard Léon Foucault (1819–1868) y Armand
Hyppolyte Louis Fizeau (1819–1896), en 1850, midieron la velocidad de la luz en el agua y encontraron que era menor que en el aire.
tercer libro y las últimas proposiciones del segundo,
reunidos de notas dispersas, según escribió Newton
en su Nota Preliminar.
El Libro I expone, como teoremas, los experimentos sobre reflexión, refracción, dispersión y descomposición de la luz en un prisma; sigue la teorı́a del arco iris; hay unas secciones particulares dedicadas al
telescopio reflector o catóptrico (inventado por él en
1668), el color de los cuerpos, los fenómenos de láminas finas y los anillos de interferencia.
El Libro II está dedicado a los fenómenos de interferencia y periodicidad, la analogı́a entre la coloración
de los cuerpos y la iridiscencia de las láminas delgadas y las pompas de jabón.
Figura 2. Principio de Huygens
Huygens también interpretó en su libro los experimentos realizados con el cristal de espato de Islandia suponiendo que habı́a una onda esférica primaria
correspondiente al rayo ordinario, propagada con velocidad constante en todas direcciones “a través de
la sustancia etérea distribuida por el cristal, sustancia presente en mayor cantidad que las partı́culas que
componen al cristal y que es responsable de su transparencia”. Por otro lado habı́a una onda esferoidal
resultado del rayo extraordinario propagada a velocidad variable pues “se dispersa no solamente en
la materia etérea distribuida en el cristal sino también en las partı́culas que lo componen”. Al experimentar con esos cristales Huygens descubrió la polarización de la luz; en efecto, al girar un segundo
cristal puesto encima de otro observó que se formaban dos o cuatro rayos emergentes cuyas intensidades variaban durante la rotación. No pudiendo explicarlo sólo lo denóminó “un fenómeno maravilloso”.
En su libro solamente lo describe “para dar oportunidad a otros que lo investiguen”.
Los trabajos realizados por Newton en óptica fueron
comunicados a la Royal Society entre 1672 y 1676
y completados en su obra Opticks, or a Treatise of
the Reflexions, Refractions, Inflexions and Colours
of Light de 1704 y basado en el manuscrito Lectiones
Opticae de 1675; el resto de la obra se completó 12
años después para completar la teorı́a, excepto el
Figura 3. Primera edición de Opticks or a Treatise of the
Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light
El Libro III trata de las desviaciones sufridas por
los rayos luminosos al pasar frente a ángulos y de las
bandas de interferencia. Al final de este libro, como
apéndice, Newton presenta sus famosas Queries, 16
cuestiones problemáticas para investigaciones posteriores. Destaquemos que al hablar de la emisión de
Curiosidades de la fı́sica. Parte XVIII. José Marı́a Filardo Bassalo
luz por los cuerpos a alta temperatura (fenómeno denominado “radiación térmica” en el siglo XIX) aventuró la posibilidad de resultase de los movimientos vibratorios de las partı́culas constituyentes. Newton combinó concepciones corpusculares y ondulatorias para explicar sus investigaciones ópticas. Por
ejemplo, afirmó que la luz incidente en un medio refractivo producı́a ondas de la misma forma que una
piedra al caer en un lago, esto es, ponı́a en movimiento a las partı́culas del medio refringente. El rayo o bien se mueve en dirección de la onda producida atravesando el medio o bien en dirección contraria, dando lugar a una reflexión. Por tanto, concluyó Newton, cada rayo de luz incidente en un medio transparente tiene acceso a la refraccion y a la
reflexión.
Esta idea de acceso volvió a ser usada por Newton en la segunda edición inglesa de su Opticks,
1717, donde añadió ocho nuevas Queries y fue traducida por el teólogo y filósofo inglés Samuel Clarke (1675–1729). En las ocho nuevas cuestiones Newton sugiere explicar los fenómenos de difracción y
de doble refracción con la hipótesis de que cada rayo de luz presenta dos lados con propiedades diferentes, éstos permitirı́an o no tener acceso a una determinada región, ya fuese por refracción, reflexión o
transmisión.
Las regiones claras y oscuras de las figuras de difracción, resultantes del paso de luz por una hendidura estrecha, estarı́an ligadas a la lateralidad del rayo luminoso el cual, habiendo atravesado la rendija
podrı́a ir para un lado u otro de la misma. También
para Newton, esos mismos accesos explicarı́an la pequeña parte que reflejada cuando un haz de luz atraviesa la superficie que separa dos medios refringentes, por ejemplo, aire–agua, aire–vidrio.
Por otro lado, para explicar la doble refracción supuso que los dos “lados” del rayo luminoso presentaban propiedades opuestas de refracción: una responsable del rayo ordinario y la otra para el extraordinario. Destaquemos que, para el fı́sico inglés
Sir Joseph John Thomson (1856–1940, premio nobel de fı́sica en 1906), gracias a la idea de lateralidad, Newton puede ser considerado como precursor de la naturaleza onda–partı́cula de la luz,
formulada por Albert Einstein (1879–1955, premio
nobel de fı́sica en 1921) para explicar el efecto
fotoeléctrico.5
5 Jean Rosmordurc, De Tales a Einstein, Editorial Caminho, 1983.
55
La autoridad de Newton dejó en estado latente la
teorı́a ondulatoria de la luz durante casi un siglo, si
bien fue defendida en el siglo XVIII por eminentes
cientı́ficos como el fı́sico y matemático suizo Leonhard Euler (1701–1783) quien, en 1746, defendió en
Theoria Lucis et Colorum la semejanza entre la luz y
el sonido y, por tanto, los colores dependı́an de la longitud de la onda luminosa. En ese trabajo afirmó “la
luz es al éter como el sonido al aire”. Nótese que fue
en 1892 que el fı́sico holandés Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928, premio nobel de fı́sica en 1902) demostró que el color depende de la frecuencia de la onda luminosa.
Como dijimos, Newton no era radical en cuanto a
la naturaleza corpuscular de la luz. En una carta a
Hooke escribió: “Es verdad que, a partir de mi teorı́a,
argumento acerca de la corporeidad de la luz; con
todo, lo hago sin certezas, como lo deja implı́cito
el término tal vez; lo hago como una consecuencia
muy posible de la doctrina, no como una suposición
fundamental”.6
En lo que sigue corregiremos un error muy común en
diversos textos7 acerca del experimendo de la doble
rendija de Young; es usual afirmar que mediante ese
experimento el fı́sico, médico y lingüı́sta inglés Thomas Young (1773–1829) calculó la longitud de onda de la luz a partir de la figura de interferencia luminosa (figura compuesta de bandas claras y oscuras). Ciertamente, Young calculó la longitud de onda de la luz roja y violeta, pero no mediante ese experimento.
La genialidad de Young se manifestó muy pronto; comenzó a leer a los dos años, a los cuatro habı́a leı́do
toda la Biblia. A los seis estudió latı́n y a los trece sabı́a griego, latı́n, francés, italiano, hebreo y filosofı́a natural. Más tarde, su repertorio de lenguas incluı́a al caldeo, sirio, samaritano, persa, árabe, turco y arameo. Incluso en su lecho de enfermo compilaba un diccionario de egipcio y comentó a un amigo que su mayor satisfacción era jamás haber pasado un dı́a ocioso en toda su vida. Young llegó a descifrar algunos jeroglı́ficos de la Piedra de Rosetta (descubierta por las tropas napoleónicas en 1799 en el
Delta del Nilo) antes que el lingüı́sta francés Jean–
François Champollion (1790–1832) en 1821–1822.
6 Tony Rothma, Tudo é Relativo e Outras Fábulas da
Ciência e Tecnologia, Difel, 2005.
7 Incluso en los mı́os: Crônicas da Fı́sica, Tomo 2, EDUFPA, 1990 y Nascimentos da Fı́sica: 3500 a.C.–1900 a.D.,
EDUFPA, 1996.
56
Young fue nombrado miembro de la Royal Society
of London en 1794 y en 1799 leyó su primer texto sobre la naturaleza del sonido y de la luz. A partir de entonces comenzó a elaborar su principio de
interferencia luminosa, a partir de sus observaciones con la interferencia de ondas de agua y de pulsos de sonidos, interferencia que podı́a ser constructiva o destructiva.8
En una conferencia de 18019 mostró que el cristalino altera su radio de curvatura para dar nitidez
a las imágenes y que el astigmatismo es consecuencia de la irregularidad de curvatura de la córnea. En
180210 presentó su famoso principio de interferencia luminosa: “Siempre que dos porciones de la misma luz llegan al ojo por diferentes vı́as, casi en la misma dirección, la luz es más intensa cuando la diferencia de caminos es un múltiplo de cierta distancia, y menos intensa en el estado intermedio de las
porciones que se interfieren una con otra; esta distancia es diferente para luz de colores diferentes”.
En ese trabajo también presento una explicación de
los anillos de Newton; éstos resultaban de la intereferencia entre ondas incidentes, reflejadas y refractadas en la camara de aire existente entre la lente y la lámina de vidrio. Usó el mismo razonamiento para explicar la coloración presente en las pelı́culas delgadas, como las pompas de jabón.
Sin duda Young experimentó con el paso de luz por
orificios,11 sin embargo, el cálculo de la longitud de
onda no fue hecho a partir de ese experimento, según
narra el mismo Youn en su libro de 1807 A Course of
Lectures on Natural Philosohpy and the Mechanical
Arts. En la Conferencia 39 de ese libro escribió: “A
partir de diversos experimentos, parece que la amplitud de las oscilaciones que constituyen la luz roja debe ser 1/36 de milésimo de pulgada y la del violeta cerca de 1/60 de milésimo de pulgada, la media de todo el espectro es cercana a 1/45 de milésimo”.
A pesar de los trabajos de Young sobre la naturaleza
de la luz, sus contemporáneos no le dieron mayor importancia. Por ejemplo, en 180912 el fı́sico y astrónomo Pierre Simon, Marqués de Laplace (1749–1827)
8 Observaciones presentadas en la Society los dı́as: 12 de
noviembre 2801, 1 julio de 1802 y 24 de noviembre de 1803.
9 Philosophical Transactions of the Royal Society of London 92, p.32 (1802).
10 Philosophical Transactions of the Royal Society of London 92, p.387.
11 Comunicación de 1803.
12 Journal de Physique 68, p.107; Mémoires de Physique et
de Chimie de la Société d’Arcuiel 2.
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usó la naturaleza corpuscular de la luz para explicar el rayo extraordinario de la doble refracción. Para él, el medio cristalino actúa sobre los corpúsculos de luz modificando su velocidad en una razón
que depende de su inclinación respecto al eje del cristal; de esta manera Laplace mostró que la diferencia
de los cuadrados de las velocidades de los rayos ordinario y extraordinario es proporcional al cuadrado del seno del ángulo que el rayo extraordinario hace con el eje del cristal.
La naturaleza ondulatorio de la luz sufrió un serio golpe con el experimento de los fı́sicos franceses Dominique François Jean Arago (1786–1853) y
Augustin–Jean Fresnel (1788–1827), en 1816. En ese
experimento observaron que los rayos ordinario y extraordinario no interfieren y que estaban polarizados
en planos perpendiculares. Arago visitó a Young para discutir los resultados de ese experimento. El 12
de enero de 1817 Young escribió a Arago que debı́a
considerarse el carácter transversal de la onda luminosa, tal como ya habı́a sido considerado por Hooke.
Más tarde, el 29 de abril de 1818, Young volvió a escribir a Arago ratificando esa hipótesis. En vista de
lo anterior, Arago y Fresnel publicaron en 181913 el
resultado de su experimento, realizado en 1816, afirmando que la imposiblidad de intereferencia entre
los rayos ordinario y extraordinario de la doble refracción se debı́a a la transversabilidad del rayo luminoso. Anotemos que la polarización de la luz (observada por primera vez por Huygens) fue confirmada
por Etienne Louis Malus (1775–1812)14 en 1809.15
En conclusión, la naturaleza ondulatoria de la luz
fue formalizada por Fresnel entre 1814 y 1821 donde presentó una rigurosa intepretación matemática de la interferencia de la luz mediante el principio de Huygens–Fresnel, combinación de los principios propuestos por Huygens y Young. Según Fresnel la amplitud de una onda luminosa que pasa
por una rendija es la suma (interferencia) de todas las ondas secundarias producidas en la rendija u obstáculo. Es también oportuno subrayar que
el fı́sico y matemático escocés James Clerk Maxwell
(1831–1879) demostró en 1865 que la luz es una onda electromagnética; que el fı́sico alemán Heinrich
Rudolf Hertz (1857–1894) en 1887 produjo en su laboratorio la primera onda electromagnética (hoy conocida como “onda hertziana”) y que Einstein, en
13 Annales
de Chimie et de Physique 10, p.288.
que elaboró el término polarización.
15 Mémoires de Physique et de Chimie de
ciété d’Arcueil 2, p.143.
14 Mismo
la
So-
Curiosidades de la fı́sica. Parte XVIII. José Marı́a Filardo Bassalo
1905, propuso una nueva naturaleza de la luz: onda–
partı́cula.
57
(1769–1821) quien lo nombró conde y senador del
Reino de Lombardı́a.
Volta, la pila eléctrica y el primer
experimento electroquı́mico
El 20 de marzo de 1800, el fı́sico italiano Alessandro Giuseppe Volta (1745–1827) envió desde su ciudad natal Como, una carta al naturalista inglés Sir
Joseph Banks (1743–1820), presidente de la Royal
Society of London donde describı́a sus experimentos con una “pila voltaica” (según la nombró, posteriormente “pila eléctrica”). En una serie de recipientes con salmuera sumergió placas de zinc y de cobre
unidas por arcos metálicos con lo que logró una corriente eléctrica contı́nua.
Figura 5. Pila voltaica
Figura 4. Alessandro Giuseppe Volta
El primer experimento electroquı́mico con este dispositivo fue realizado por los ingleses, el quı́mico William Nicholson (1753–1815) y el fisiólogo Anthony
Carlisle (1768–1840). Cuando Sir Banks recibió la
carta de Volta, habló de esta con sus amigos Carlisle y Nicholson, quien editaba el Nicholson’s Journal
of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts fundado por él mismo.
El 30 de abril de 1800, Nicholson y Carlisle construyeron una pila eléctrica, probablemente a partir de las ideas de Volta, e hicieron pasar la corriente por un recipiente con agua; observaron el desprendimiento de los gases hidrógeno y oxı́geno.16
En 1801, Volta mostró en Parı́s el funcionamiento
de su pila eléctrica al general Napoleón Bonaparte
16 Nicholson’s Journal of Natural Philosophy, Chemistry
and the Arts 4, p.179; Philosophical Magazine 7, p.337.
El potencial vector de Maxwell
y su interpretación
� fueLas primeras ideas sobre el potencial vector A)
ron presentadas por el fı́sico alemán Franz Ernst
Neumann (1798–1895) en 184517 y 184718 cuando
analizó el proceso de inducción magnética19 en un
circuito debido al movimiento relativo de imanes o
circuitos próximos. Sin embargo, Neumann no definió el potencial vector directamente de la expresión
calculada para representar la fuerza entre dos circuitos (C, C � ); en términos actuales, el potencial vec� N se representa como:
tor de Neumann A
�
I�
n̂� �
�
ds
AN =
c C� r
donde I � corresponde a la corriente eléctrica que circula en el circuito C � , r a la distancia de un elemento de circuito ds� de C � a un elemento ds del circuito C, n̂� es el vector unitario que indica el sentido de circulación de I � y c es la velocidad de la luz
en el vacı́o.
Independientemente de Neumann y casi al mismo
tiempo, el fı́sico alemán Wilhelm Eduard Weber
17 Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, aus dem Jahre, p.1.
18 Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, aus dem Jahre, p.1.
19 Descubierta independientemente por Michael Faraday en
1831 y Joseph Henry en 1832.
58
(1804–1891) inició en 1846 sus famosos publicaciones Elektrodynamische Maassbestimmungen (Medidas electrodinámicas), concluidas en 1878 y compuestas de siete largos trabajos. En la primera de
esas publicaciones Weber formuló su famosa “ley de
la fuerza” entre cargas eléctricas en movimientos con
la expresión:
�
� �2 � � � 2 ��
1 dr
d
2r
e1 e2
+
F = 2 1− 2
r
c
dt
c2
dt2
donde dr/dt y d2 r/dt2 representan, respectivamente, la velocidad y la aceleración radiales relativas entre las cargas e1 y e2 y c es una constante que expresa la relación entre las unidades electrostáticas
y electrodinámicas de la carga eléctrica. Destaquemos que, más tarde,√Maxwell mostrarı́a que esa constante c representa 2 veces la velocidad de la luz en
el vacı́o. En la expresión anterior, el término dominante
e1 e2
r2
representa la fuerza de Coulomb20 y los demás terminos modifican esa fuerza a medida que las cargas eléctricas presentan un movimiento relativo.
De este modo, utilizando la expresión arriba indicada Weber procedió a estudiar la fuerza entre dos
circuitos (C, C � ); adoptó la hipótesis de que la corriente eléctric I en un circuito era debida a igual
número de cargas del mismo signo que se mueven
con una misma velocidad, pero en sentidos contrarios. Esta hipótesis, con todo, diferı́a de la hipótesis vigente que consideraba la corriente como debida al flujo de fluidos eléctricos. Como Neumann, Weber también definió el potencial vector directamente. En el análisis realizado en 184821 sobre dos circuitos sin movimiento relativo, se puede escribir el po� W , en notación actual
tencial vector de Weber A
�
� �� �
r̂r̂ × n̂�
I
�
ds�
AW =
c
r
C
donde las letras tienen el significado antes descrito.
Anotemos que la electrodinámica de Weber fue presentada en un estudio moderno por el fı́sico brasileño
André Koch Torres Assis (n.1962) en su libro Weber’s Electrodynamics (Kluwer, Holanda 1994) y traducido por la UNICAMP en 1995.
ContactoS 81, 52–61 (2011)
� no
Como hemos mencionado, el potencial vector A
fue presentado explı́citamente ni por Neumann ni
por Weber pero sı́ por el fı́sico alemán Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887) en 185822 al estudiar la
propagación de una perturbación eléctrica a lo largo de un conductor perfecto. De este modo fue el pri� en forma de commero en escribir explı́citamente A
ponentes. Además afirmó que los componentes de
� podrı́an obtela densidad de corriente inducida (J)
nerse como la conductividad (σ) multiplicada por
la suma negativa del gradiente de potencial escalar eléctrico (Φ) y la derivada temporal del poten� En términos modernos, lo anterior
cial vector (A).
está representado por
�
� � � � ��
∂A
� = σ −∇Φ − 1
J� = σ E
c
∂t
expresión que traduce la famosa ley de Ohm obtenida experimentalmente por el fı́sico alemán Georg
Simon Ohm (1787–1854) de enero a diciembre de
1825. Destaquemos de Kirchhoff atribuyó el segundo término de esa expresión a Weber.
En su trabajo, Kirchhoff generalizó la forma del
� W ) y enpotencial vector obtenida por Weber (A
� y Φ. Los
contró una relación entre los potenciales A
resultados obtenidos por Kirchhoff en lenguaje actual son:
� �� � �
1
�
�W K = 1
r̂r̂ × JdV,
A
c
r
V
�
� ��
∂Φ
1
�
∇ · AW K =
c
∂t
La idea de potencial vector volvió a ser objeto de estudio con Maxwell a investigar las lı́neas de fuerza de Faraday23 y los fenómenos electromagnéticos
en general. De esete modo, entre 1861 y 1862, Maxwell analizó la existencia de tensiones y vibraciones
en el éter asociadas a las lı́neas de fuerza y relativas al campo magnético. Al estudiar las leyes de la
dinámica de las mencionadas tensiones y vibraciones
intuyó que “La luz consiste de ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de de los
fenómenos eléctricos y magnéticos”.
Más tarde, en 186524 Maxwell publicó el resultado de sus investigaciones acerca del caracter elec22 Annalen
der Physik und Chemie 102. p.529.
presentado por este fı́sico y quı́mico inglés en
23 Concepto
20 Obtenida por el fı́sico francés Charles Augustin Coulomb
(1736–1806) en 1785.
21 Annalen der Physik und Chemie 73, p.193.
1845.
24 Philosophical Transactions of th Royal Society of London
155, p.459; Philosophical Magazine 29, p.152.
Curiosidades de la fı́sica. Parte XVIII. José Marı́a Filardo Bassalo
tromagnético de la luz; demostró que una perturbación electromagnética en un medio uniforme se propaga como si fuese una onda caracterizada por la siguiente ecuación (en lenguaje de cuaternios hamiltonianos):
�
�� �
�
dAM
d
� M + ∇J = 0
+ ∇Ψ + ∇2 A
µ 4πC + K
dt
dt
donde µ es la permeabilidad magnética, K es la capacidad inductiva especı́fica, C es la conductividad
especı́fica, Ψ es el potencial eléctrico y
J=
dG dH
dF
+
+
dx
dy
dz
con F, G, H representando los componentes del po� M introducido por el propio Maxtencial vector A
well y denotado por A en su libro A Treatise on Electricity & Magnetism.
Con la ecuación anterior Maxwell demostró que para
un medio no conductor (C = 0) la función J es, en el
máximo, una función lineal del tiempo (t) pudiendo
ser constante o nula. De este modo, considerando que
la función Ψ es independiente de t, Maxwell obtuvo:
� M + µK
∇2 A
�M
d2 A
=0
dt2
Al examinar esta ecuación percibió que coincidı́a con
la obtenida por el matemático francés Siméon Denis Poisson (1781–1840) en 1818 al estudiar el movimiento de sólidos elásticos incompresibles y, también, habı́a sido aplicada a la teorı́a de difracción por
el matemático y fı́sico inglés Sir George Gabriel Stokes (1819–1903) en 1849. Por tanto, como la ecuación correspondı́a a una de ondas, Maxwell percibió que
µK = v −2
donde v representa la velocidad de propagación de
las perturbaciones electromagnéticas en el medio
considerado. A continuación, utilizando los valores
de µ y K obtenidos experimentalmente por Weber y
por el fı́sico alemán Rudolph Hermann Arndt Kohlrausch (1809–1858) en 1857, Maxwell obtuvo el siguiente valor para aquella velocidad:
v = 310740
km
s
En vista de este resultado, y considerando que la velocidad de la luz en el vacı́o era del orden de 298360
km/s, valor obtenido por el fı́sico francés Jean Bernard Léon Foucault (1819–1868) en 1850, Maxwell
59
confirmó finalmente la conjetura que habı́a hecho en
1861–1862: la luz es una onda electromagnética.
Antes de continuar con el trabajo de Maxwell sobre los fenómenos electromagnético–ópticos (principalmente con el potencial vector, objeto de esta sección) veamos la contribución de otros cientı́ficos sobre ese mismo tema.
En 186325 y en 186726 el fı́sico danés Ludwig Valentin Lorenz (1829–1891) desarrolló la teorı́a electromagnética de la luz (TEL) usando los conocimientos
básicos de su época, como la teorı́a ondulatoria de la
luz, formulada en 181627 por el fı́sico francés Augustin Jean Fresnel (1788–1827). En su TEL, Lorenz generalizó los conceptos de potencial eléctrico (Φ(�r, t))
�
� L (�r, t) ≡ A
r, t) en notay potencial vector A
Lorenz (�
ción actual:
� � � �
r� 3 �
1
ρ �r, t −
d �r
Ψ(�r, t) =
r
c
� �� � � �
r� 3 �
1 �
1
�
J �r, t −
d �r
AL =
c
r
c
En el artı́culo de 1867, después de mostra que todos
los hechos conocidos sobre electricidad y magnetismo (en ese tiempo todos cuasi-estáticos) son consistentes con los potenciales retardados definidos arriba, Lorenz dedujo las ecuaciones de los campos respectivos (eléctrico y magnético) obtenidas más tarde por Maxwell, equivalentes a las que Lorenz obtuvo en su artı́culo de 1863.
Lorenz discutió la propagación de la luz en metales, dieléctricos, espacio libre y en ausencia de cargas
libre en conductores. En la deducción de sus ecuaciónes Lorenz estableció que los potenciales retardados son soluciones de una ecuación de onda que satisfacen la condición:
�
�
dγ
dα dβ
dΩ̄
= −2
+
+
dt
dx
dy
dz
donde Ω̄ representa el potencial escalar eléctrico (Φ)
y α, β, γ son las componentes del potencial vector
� L ). En notación actual, la expresión anterior que(A
da como:
�
� ��
∂Φ
1
�
∇ · AL = −
c
∂t
25 Annalen der Physik und Chemie 18, p.111; Philosophical
Magazine 26, p.81; 205.
26 Annalen der Physik und Chemie 131, p.243; Philosophical
Magazine 34, p.287.
27 Annales de Chimie et de Physique 1, p.239.
60
ContactoS 81, 52–61 (2011)
Es oportuno destacar que esta expresión fue presentada por el fı́sico holandés, Hendrik Antoon Lorentz28 en 190429 como consecuencia de su trabajo sobre la teorı́a electromagnética maxwelliana, por
lo que fue conocida erróneamente como la “gauge de
Lorentz”.30
La teorı́a electromagnética también fue investigada
por el fı́sico y fisiólogo alemán Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821–1894) en una serie de
artı́culos escritos entre 1870 y 187431 donde anali� N ) y de Weza los potenciales vector de Neumann (A
� W ) y propuso la siguiente expresión generaliber (A
zada, en notación actual:
� �
� �
� N + 1 (1 − α)A
�W
� α = 1 (1 + α)A
A
H
2
2
� �
1
�
(1 − α)∇Ψ
= AN +
2
�N y
con α = ±1 representando, respectivamente, A
�W y
A
� ��
1
� r� , t)d3�r�
Ψ=−
r̂ × J(�
c
En sus trabajos, Helmholtz también demostró que:
� α � � ∂Φ(�r� , t) �
α
�
∇ · AH = −
c
∂t
donde Φ(�r� , t) representa el potencial electrostático
instantáneo.
La expresión anterior muestra que cuando α = −1
se obtiene el mismo resultado de Kirchhoff (véase la
� W −K ) y, formalmente, el misexpresión para ∇ · A
mo resultado de Lorenz (véase la expresión para
� L ). Con todo, Kirchhoff trata con potencia∇·A
les cuasiestáticos, Lorenz con potenciales retarda� r� , t − r/c).
dos, por eso tenemos ρ(�r� , t − r/c) y J(�
Regresemos ahora al trabajo de Maxwell. En su
Treatise la segunda de sus ecuaciones representa el
hecho experimental de que las lı́neas de fuerza del
� son cerradas, en novector inducción magnética B
tación actual:
� =0
∇·B
28 (1853–1928,
premio nobel de fı́sica en 1902.
der Mathematischen Wissenschaften V14,
29 Encyklopädie
p.145.
30 Este error fue detectado por A. O’Rahilly en Electromagnetics, Longmans, Green and Cork University Press, 1938.
31 Journal für die reine und angewandte Mathematik 72,
p.57 (1870); 75, p.35 (1873); 78, 273 (1874).
Esta condición solenoidal llevó a Maxwell a introducir el potencial vector A como ya mencionamos. En
1871 habı́a demostrado que la “convergencia” (hoy
divergenia ∇·) de rotación (hoy rotacional ∇×) de
una función vectorial F� es nula, esto es:
∇ · (∇ × F� ) = 0
Ası́, aplicando este resultado a su segunda ecuación
concluyó (en notación actual):
� =∇×A
�
B
En 1871, Maxwell demostró que la “rotación” del
gradiente de una función escalar χ era nula, esto es:
∇ × (∇χ) = 0
con la siguiente obervación: “La cantidad χ desapa� = ∇×A
� y no
rece cuando se emplea la ecuación B
se relaciona con ningún fenómeno fı́sico”.
De este modo Maxwell introdujo el potencial vector como un artificio matemático sin presentar una
expresión analı́tica para éste. Hoy, en cualquier libro que trata el tema se muestra cómo se encuentra esta expresión analı́tica a partir de la definición
� en efecto:
de B;
� ��
�
1
� r� ) × (�r − �r ) d3�r�
�
J(�
B(�r) =
c
|�r − �r� |∼3
�
�� � �
� r� )
J(�
1
3 �
d �r
= ∇×
c
|�r − �r� |∼3
�
≡ ∇×A
Es oportuno precisar que, a diferencia del potencial
� el potencial eléctrico Φ tiene una interprevector A,
tación fı́sica:
� B
� r� ) · d�l�
E(�
Φ(�r) =
A
como muestran diversos textos.32
Conforme vimos, Lorentz también trabajó con la
teorı́a electromagnética de Helmholtz y Maxwell. En
efecto, en 1875, defendió su tesis doctoral “Acerca de
la teorı́a de reflexión y de refracción de la luz”, en la
32 José Maria Filardo Bassalo, Electrodinâmica Clássica, Livraria da Fı́sica, 2007, John David Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley, 1998.
Curiosidades de la fı́sica. Parte XVIII. José Marı́a Filardo Bassalo
universidad de Leiden, obteniendo summa cum laude. A partir de 1892, Lorentz comenzó a desarrollar su famosa “teorı́a de los electrones” con un trabajo donde muestra que la solución de la ecuación
de onda no homogénea (notación actual):
� � 2
1 ∂ F
− ∇2 F = s(�r, t)
c ∂t2
depende de la posición de la fuente s(�r, t) en un instante anterior t� = t − r/c, esto es:
� �� � �
1
1
s(�r� , t� = t − r/c)d3�r�
F (�r, t) =
4π
r
V
Resultado previamente obtenido por el matemático
alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–
1866) en 1858, y por Lorenz en 1861.
Con el resultado anterior, Lorentz encontró las soluciones retardadas de los potenciales escalar Φ(�r, t)
� r, t) obtenidos por Lorenz en 1867 toy el vector A(�
mando como fuente s(�r, t), respectivamente ρ(�r, t)
� r, t) según lo publicó en Versuch einer Theoy J(�
rie der Electrischen und Optischen Erscheinungen
in begwegten Körpen (E. J. Brill, Leiden, 1895).
En ese libro, Lorentz discutió la arbitrariedad de esos
potenciales afirmando que podı́an corresponder a los
� yB
� 0 ya
� yE
� 0 y magnéticos B
campor eléctricos E
que satisfacı́an las relaciones:
� = A
� 0 − ∇χ
y
A
� �� �
∂χ
1
Φ = Φ0 +
c
∂t
61
con χ obedeciendo la expresión
2
∇ χ−
�
1
c2
��
∂2χ
∂t2
�
=0
Nótese que la arbitrariedad ya referida ocurre en las
expresiones que definen los campos eléctrico
� = −∇Φ −
E
y el magnético
� � �
1 ∂A
c ∂t
� =∇×A
�
B
el “gauge de Lorenz–Lorentz” y la irrotacionalidad
del gradiente, esto es:
∇ × ∇χ = 0
A pesar de todo el uso formal del potencial vec� no existı́a una interpretación fı́sica de él. Fué el
tor A
fı́sico inglés Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984,
premio nobel de fı́sica en 1933) quien, e 1931, vis� en los monopolos
lumbró la importancia fı́sica de A
magnéticos usando la mecánica cuántica. En 195933
los fı́sicos Yaki Aharanov y David Joseph Bohm,
(1917–1992) encontraron una interpretación fı́sica de
� mediante un fenómeno cuántico de intereferencia
A
(hoy conocido como “efecto Aharanov–Bohm).
Concluimos esta nota apuntando que en 194934 W.
Ehrenberg y R. S. Siday ya habı́an discutido los
efectos de los potenciales electromagnéticos en la
mecánica cuántica.
cs
33 Physical
Review 115, p.485.
of the Physical Society of London 62, p.8.
34 Proceedings