CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN
Mg. Amancio R. Rojas Flores
Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una
ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por
un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un
solo elemento almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
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CIRCUITO RC
1.- INTRODUCCION
Fig.1 Circuito para estudiar la carga y descarga de un condensador.
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Capacitor cargando
Estado
transitorio
Estado
estable
Estado
transitorio
Estado
estable
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Condiciones de estado estable
cortocircuito
a) Circuito visto justo después
que el interruptor es movido a la
posición de carga; VC = 0
b) Entonces VC =0
iC = E/R
Fig. Un condensador inicialmente descargado se mira como un cortocircuito
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a) VC = E
y
iC = 0
b) Circuito equivalente
para el capacitor
Fig. Circuito cargando después del estado estable. Entonces el capacitor
tendrá voltaje mas no corriente, esto se ve como un circuito abierto
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Condensador descargando
a) El voltaje Vc igual a E justo
antes que el interruptor es cerrado
b) Inmediatamente después que el
interruptor es cerrado VC aun es igual a E
El condensador por consiguiente momentáneamente es visto como
una fuente de voltaje. iC = - E/R
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Fig. Voltaje y corriente durante la descarga. Tiempo t=0 s, es definido
como el instante que el interruptor es movido a la posición de descarga
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Ejemplo.
Para la figura, E=40v , R= 10 y el
condensador inicialmente esta descargado
Bosqueje los voltajes y corriente
Solución
Inicialmente i = 0 A , cuando el interruptor esta abierto. Inmediatamente
después que este es movido a la posición de carga, la corriente salta a
E/R = 40/10= 4 A. Luego esta decae a cero. En el mismo instante, VC
empieza en 0 V y salta a 40 V
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Fase de carga
Fase de descarga
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2. –ECUACIONES DE UN CONDENSADOR CARGANDO
…1
…2
Resolviendo la ecuación
…3
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Ahora consideremos el voltaje en el resistor, de la ecuación 1 ,
Sustituyendo VC de la ecuación 3 tenemos.
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La constante de tiempo
La razón a la cual un condensador carga, depende del producto R y C
Este producto es conocido como la constante de tiempo del circuito y
esta dado por el símbolo 
Segundos
Duración del transitorio
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3.- ECUACIONES DEL CONDENSADOR DESCARGANDO
Puesto que el capacitor esta inicialmente cargado, es posible suponer
que en el momento t= 0 la tensión inicial es:
v(0)  V
0
La energía almacenada: w(0)  1 CV 2
0
2
iC  iR  0
Aplicando LCK
Por definición
Luego
iC  C
dv
dt
dv v
C
 0
dt R
Reordenando
iR 
v
R
dv
v

0
dt RC
Ecuación diferencial
de primer orden
dv
1

dt
dt
RC
Integrando
ln v  
1
 ln A
RC
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v(t )  V0e
 t / RC
Donde V0 es el voltaje en el capacitor en el instante que el interruptor es
movido a descarga
Dado que. VR + VC =0 , VR = - VC
Dividiendo ambos lados por R
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La respuesta en tensión del circuito RC es una caída exponencial de
la tensión inicia. Llamada respuesta natural del circuito
La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la
respuesta disminuya un factor de 1/ , o 36.8% de su valor inicial
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E1.
El capacitor de la figura esta
inicialmente descargado. Se
cierra el interruptor en t = 0 s
a) Determinar la expresión para Vc
b) Determinar la expresión para Ic
c) Determinar la corriente y voltaje en el capacitor en t = 5 ms
Solución
Reducimos el circuito a su equivalente serie usando el teorema de Thevenin
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Hallando Rth
Hallando Vth
18
19
E2.- el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la
posición 1 por 10 ms, luego a la posición 2 donde se queda
a. Determinar VC durante la carga
b. Determinar iC durante la carga
c. Determinar VC durante la descarga
d. Determinar iC durante la descarga
e. Bosqueje la forma de onda de carga
y descarga
Circuito cargando
Circuito descargando
V0 = 100V en t = 0 s
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Solución
Del circuito equivalente de carga
Entonces 5c = 10ms, la carga es completada cuando el interruptor es
movido a descarga, entonces V0 = 100V
c. Con el circuito de descarga. Nótese que V0 = 100V
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e.
22
E3. el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la
posición 1 por 5 ms, y luego a la posición 2
a. Determine VC cuando el interruptor esta
en la posición 1
b. Determine iC cuando el interruptor esta
en la posición 1
c. Compute VC y iC en t = 5ms
d. Determine VC cuando el interruptor esta en la posición 2
e. Determine iC cuando el interruptor esta en la posición 2
f. Bosqueje la forma de onda de voltaje y corriente
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Solución
c. En t = 5ms
d. En la posición 2
Donde t= 0 ha sido redefinido por posición 2
24
f.
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CIRCUITO RL
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Fig. 7.11 circuito RL sin fuente
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Como se vio para un circuito con capacitancia las tensiones y corrientes no
cambian inmediatamente a sus nuevos valores, sino que se pasa por una
fase de transición Las tensiones y corrientes durante este intervalo de
transición son llamados transitorios.
De igual manera, transitorios ocurren cuando son perturbados circuitos que
contienen inductancias. En este caso, los transitorios se producen porque
la corriente en la inductancia no puede cambiar instantáneamente.
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a) No transitoria se produce en un
circuito puramente resistivo
b) Adicionando inductancia causa la
aparición de un transitorio.
Fig. Transitorio debido a la inductancia. Adición de inductancia de
un circuito resistivo ralentiza la subida y la caída de corriente,
creando así un transitorio.
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Como se ilustra en la figura, la corriente en una inductancia no pueden
cambiar instantáneamente, es decir, no puede saltar bruscamente de un valor
a otro, pero debe ser continua en todos los valores de tiempo.
Voltaje inductor
Ahora considere voltaje inductor. Cuando el interruptor está abierto como
en la figura (a), la corriente en el circuito y el voltaje a través de L son
ambos cero. Ahora cierra el interruptor. Inmediatamente después de que el
interruptor
está
cerrado,
la
corriente
sigue
siendo
cero,
(ya que no puede cambiar instantáneamente). Ya que VR= Ri, el voltaje a
través de R También es cero y por lo tanto la tensión de fuente completo
aparece a través de L como se muestra en (b)
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a)
Circuito con el
interruptor abierto
Corriente i=0
(b) Circuito justo después de que el interruptor se
ha cerrado. La corriente es todavía igual a cero.
Por lo tanto, VL = E
c) Voltaje a través de L.
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circuito-abierto equivalente de una inductancia
Fig. Inductor con corriente inicial cero
apariencia inicial como un circuito abierto
en el instante en que se cierra el
interruptor.
Condición inicial del circuito
Voltajes
y corrientes en circuitos debe a veces ser alculado
inmediatamente después de la conmutación. Estos se pueden determinar
con la ayuda del circuito-abierto equivalente. Mediante la sustitución de
inductancias con circuitos abiertos, se puede ver lo que es un circuito
parece que sólo después de la conexión. Tal circuito se denomina una
condición inicial circuito.
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Ejemplo
Una bobina y dos resistencias se conectan a una fuente de 20-V, como se
en la figura (a). Determinar fuente de corriente i y el voltaje del inductor
VL en el instante en que el interruptor es cerrado.
a) Circuito original
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Solución
Remplazando la inductancia con un circuito abierto. Esto produce la red que se
muestra en (b). Por lo tanto :
i
Y el voltaje a través de R2
Como vL =v2
E 20V

 2A
RT
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v2  (2 A)(4)  8V
vL = 8 v
(b) Red de condición inicial
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Acumulación transitoria
corriente
Ahora vamos a desarrollar ecuaciones
para describir las tensiones y corrientes
durante la energización
Sustituyendo
Resolviendo
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
Para el circuito de la figura, sea: E=50V, R=10 y L=2H
Determinar la expresión para i
Calcular y tabular valores de i para t= 0+ ,0.2,0.4,0.6,0.8 y 1.0s
Usando estos valores trazar la corriente
¿Cual es el estado de equilibrio?
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Solución
a) Sustituyendo la ecuación en
b)
c)
d)
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Voltajes del circuito
Multiplicando la ecuación anterior por R
Entonces
Ejemplo
Repetimos el ejemplo anterior para vL
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Solución
a) Sustituyendo la ecuación en
b)
c)
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Circuito RL sin fuente
Se busca determinar la respuesta del circuito, la cual
se supondrá como la corriente i(t) a través del inductor
i (0)  I 0
La energía almacenada en el inductor
vL  L
Luego
di
dt
vR  iR
di
L  Ri  0
dt
Reordenando e integrando
ln i (t )  ln I 0  
Rt
0
L
1 2
LI0
2
vL  vR  0
Al aplicar LTK en la fig.
Por definición
w(0) 
di R
 i0
dt L

i(t )
I0
t R
di
 
dt
0
di
L
ln
i (t )
Rt

I0
L
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Al tomar las potencias de e se tiene
L

R
Luego se puede escribir
i(t )  I 0e Rt / L
i (t )  I 0e
 t /
Para trabajar con un circuito RL
sin fuente se debe hallar:
a) La corriente inicial i(0)=I0 a lo
largo del inductor
b) La contante de tiempo 
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FUNCIONES
SINGULARES
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Las funciones singulares sirven como aproximaciones aceptables de las
señales de conmutación que aparecen en circuitos con operaciones de
conmutación
Las funciones singulares son discontinuas o tiene derivadas discontinuas
Las tres funciones singulares de uso común en análisis de circuitos son las
funciones de escalón unitario, de impulso unitario y de rampa unitaria
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La función de escalón unitario u(t) es de 0 para valores negativos de t y
de 1 para valores positivos de t
Fig. 7.23 Función escalón unitario
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La derivada de la función escalón unitario u(t) es la función impulso
unitario (t), que se expresa como :
Fig. 7.27 Función impulso unitario
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La integracion de la funcion escalon unitario u(t) da por resultado la
funcion de rampa unitaria r(t) : se escribe
Fig. 7.29 Función de rampa unitaria
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