Propuesta Tecnica

High Technology
in Geophysics
DataSeismic
Soporte Teórico - Cooke & Schneider
The smart way to better decisions_
REPORTE
“Generalized linear inversion of reflection seismic
data”
by Dennis A. Cooke y William A. Schneider.
María Virginia Mason
Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas
UNLP
Noviembre de 2007
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Inversión lineal generalizada de datos de reflexión sísmica.
Dennis A. Cooke y William A. Schneider.
RESUMEN
La inversión lineal generalizada, a veces conocida como perturbación del
modelo, regresión no lineal, o modelado inverso, es aplicada a conjuntos de datos
sísmicos sintéticos y reales con el fin de obtener un perfil de impedancia como función
del tiempo. Las impedancias son parametrizadas de tal manera que describan a la tierra
desconocida usando menos variables que las técnicas previas de inversión lineal. En
esta aplicación solo serán invertidas trazas simples de datos procesados con punto
medio común (CMP). El método de inversión lineal generalizada (GLI) aquí presentado
es diseñado para mejorar los defectos de la inversión iterativa con respecto a los
resultados de impedancia en una escala tanto absoluta como relativa, resolución de las
fronteras de impedancia, y distorsión de los efectos residuales de la ondícula. Al ir
cumpliendo con estos objetivos otros aspectos ventajosos de GLI fueron descubiertos.
Por ejemplo, en varios casos es sensible al ruido, y esto le permitirá a un intérprete
ajustar la impedancia de cualquier cantidad de litologías conocidas en un intervalo que
está siendo invertido.
El método GLI es ilustrado sobre una serie de ejemplos sintéticos y sobre un
conjunto de datos de campo obtenidos de la cuenca de Powder River en Wyoming.
INTRODUCCION
La inversión sísmica es el cálculo de la estructura de la tierra y parámetros
físicos a partir de algunos conjuntos de valores sísmicos observados. Aquí los valores a
ser invertidos son varias trazas simples de punto medio común (CMP). Los resultados
de la inversión son trazas simples de impedancia versus profundidad.
La técnica usada para obtener nuestros resultados es la inversión lineal
generalizada (GLI). Parker (1977)* y Aki y Richards (1980) formalizaron esta técnica, y
Backus y Gilbert (1968, 1970) discutieron su poder de resolución y unicidad. Esta
técnica fue utilizada en un marco similar por Gjoystal y Ursin (1981) simultáneamente
para invertir y emigrar datos sísmicos en tres dimensiones (3-D). Wiggins (1972, 1976)
usó GLI para invertir datos de terremotos y para resolver problemas de estática sísmica.
La técnica GLI debería ser conceptualmente familiar para la mayoría de los
intérpretes sísmicos. Es una automatización de la técnica de interpretación para
encontrar un perfil de una tierra hipotética cuya respuesta sea idéntica a los valores
siendo analizados. En tal caso se asume que los valores fueron extraídos de una tierra
cuya estructura coincide con el perfil hipotético. Esta “automatización” es una técnica
iterativa que permite mejorar un perfil de impedancia inicial hasta que la respuesta del
perfil coincida con los datos siendo invertidos. Las ventajas de GLI surgen del hecho de
que estos refinamientos son las soluciones del problema de mínimos cuadrados para un
conjunto de ecuaciones lineales. Este conjunto de ecuaciones lineales puede ser
modificado para ajustar cada parámetro que es conocido, como fue discutido por
Sabatier (1977). El marco de los errores de mínimos cuadrados no permite que ningún
error resultante se propague en el tiempo como sucede con las técnicas iterativas de
inversión convencionales.
Una explicación mas detallada de lo que se ha realizado en este trabajo fue dada
por Cooke (1981) junto con el programa de computadora utilizado para generar estos
resultados de inversión.
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INVERSION ITERATIVA.
Quizás la técnica de inversión sísmica más popular utilizada hoy en día es la
inversión iterativa. Esta está basada en la siguiente formula que da el coeficiente de
reflexión en término de las impedancias acústicas adyacentes:
RCn = {(ȡV)n+1 - (ȡV)n}
{(ȡV)n+1 – (ȡV)n}
(1)
donde RCn = coeficiente de reflexión de la interfase n y (ȡV)n = producto de la densidad
y velocidad, o la impedancia acústica, del intervalo n. La ecuación (1) se puede
reescribir para expresar (ȡV)n+1 en función de (ȡV)n y RCn:
(ȡV)n+1 = (ȡV)n (1 + RCn)/(1 – RCn).
(2)
Si uno aprecia a una traza sísmica como una serie de coeficientes de reflexión,
luego una aplicación iterativa de la ecuación (2) dará todas las impedancias si se conoce
(ȡV)0. Para que la traza sísmica sea exactamente igual a la serie de coeficientes de
reflexión, se deben satisfacer las siguientes condiciones: la ondícula de la fuente debe
ser removida; no puede haber ruido; todas las reflexiones múltiples deben ser
removidas; dispersión esférica y perdidas de transmisión también deben ser removidas;
y todos los fenómenos multidimensionales y otros fuera del modelo deben ser
ignorados.
Obviamente ninguna traza sísmica puede ser registrada y procesada de manera
que cumpla exactamente con los requisitos anteriores. Los siguientes ejemplos
sintéticos muestran que sucede si no se cumplen estas condiciones. Estos son generados
con grandes coeficientes de reflexión (hasta 0.35) y sin supresión múltiple. Estas
condiciones, que causan que se corte la inversión iterativa, suelen encontrarse en las
cuencas sedimentarias maduras. Un ejemplo de esto es la cuenca de Michigan donde
una secuencia cíclica de evaporitas genera coeficientes de reflexión altos y los tendidos
de cortas longitudes usados no suprimen a las reflexiones múltiples en forma adecuada.
Un perfil de impedancia hipotético de tal cuenca se muestra en la Figura 1a. La Figura 2
muestra una traza sísmica sintética generada a partir del perfil de la Figura 1a. Esta traza
es sin ruido, y la ondícula de la fuente ha sido reducida a un pulso unitario. Todas la
reflexiones múltiples son incluidas excepto aquellas interactuando con la superficie. La
traza es invertida con una aplicación iterativa de la ecuación (2) y los resultados son
ploteados en la Figura 1b. El error en este resultado –o sea, la diferencia entre las
Figuras 1a y 1b- es debido al hecho de que la traza a ser invertida no coincide con la
serie de coeficientes de reflexión. Esta traza son los coeficientes de reflexión además de
todas las reflexiones múltiples y pérdidas de transmisión.
Es extremadamente difícil, sino es imposible, remover la ondícula de la fuente
de una traza sísmica real. Con esto en mente, invertimos la traza sísmica en la Figura 2
nuevamente, excepto que esta vez existe convolución entre la ondícula de la fuente y los
datos. La ondícula de la fuente es un filtro pasa banda 5-10-90-110 de fase cero. El
resultado de invertir esta traza aplicando en forma iterativa la ecuación (2) se muestra en
la Figura 3a. Este resultado es esencialmente una versión filtrada de nuestro resultado
previo.
La idea de las aplicaciones de la inversión iterativa mencionadas anteriormente
es mostrar sus limitaciones. La inversión iterativa es un método excelente para la
determinación rápida y barata de los cambios de impedancia relativa, pero la
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información de la impedancia absoluta es muy difícil de obtener con este método y la
resolución es limitada por la calidad del retiro de la ondícula. Deberíamos notar que los
algoritmos de inversión recursiva más comerciales son capaces de mejorar los
resultados iterativos presentados aquí mediante la incorporación de información de
velocidad en la solución.
Una alternativa para la inversión iterativa es la inversión lineal generalizada
(GLI). El método de GLI presentado aquí fue diseñado específicamente para evitar los
problemas de inversión iterativa mencionados anteriormente. Para ilustrar lo bien que
GLI resuelve estos problemas, se repitió la inversión a partir de la Figura 3a usando
GLI. Como muestra la figura 3b, los resultados obtenidos con GLI son ampliamente
superiores; de hecho, en este ejemplo libre de ruido son exactos. El resto de este trabajo
está dedicado a ilustrar como esta versión de GLI funciona y mostrar otras posibles
aplicaciones.
IMPEDANCIA
TRAZA SISMICA
Figura 1: El perfil de impedancia A es utilizado para generar la traza
sísmica que se observa en la Figura 2. El perfil de impedancia B resulta
de aplicar inversión iterativa a la traza de la Figura 2.
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Figura 2: Traza sísmica sintética generada a
partir del perfil de impedancia en la Figura 1a.
Esta traza contiene todas las reflexiones
múltiples, no contiene ruido, y la ondícula de
la fuente es un pulso
Figura 3: El perfil de impedancia A es la inversión de la traza sintética 2 antes de que la ondícula de la
fuente haya sido removida. El perfil de impedancia B es la inversión de la misma traza usando GLI.
EL MODELO DIRECTO.
Para aplicar GLI, uno primero debe encontrar una función que modele la
generación de los datos a ser invertidos. A esta función se la llama “modelo directo”. El
modelo directo utilizado aquí es un algoritmo de generación de trazas sísmicas sintéticas
expresado por
s(t) = w(t) * R(t),
(3)
donde s(t) = traza sintética, w(t) = ondícula de la fuente, y R(t) = función de
reflectividad. R(t) es generada en el dominio Z por una aplicación iterativa de la
siguiente fórmula (Cooke, 1981, p.21):
Rj(Z) = Cj + Rj+1 Z , j = n-1, n-2, ........, 2, 1, 0.
1 + Cj Rj+1 Z
(4)
Para una tierra con (n + 2) capas, 0 es el índice de la capa superior, y Cj es el coeficiente
de reflexión de la interfase número j, dado por la ecuación (1). La aplicación iterativa de
esta fórmula comienza en una capa por encima del intervalo que se encuentra más
abajo, esto es, j = n – 1. Para esta primera aplicación, Rj+1 = Rn = Cn.
Usando el algoritmo recién mencionado, uno puede generar una traza sísmica
sintética que incluya todas las reflexiones múltiples y pérdidas de transmisión para un
perfil digitalizado de impedancia y una ondícula de fuente dados. Este tipo de traza
sintética representa la respuesta de una tierra lateralmente homogénea ante una fuente
de ondas planas (i.e., no hay pérdidas por difusión). Es muy importante que cualquier
modelo directo utilizado con GLI modele exactamente cómo los datos fueron
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generados. Por esta razón el modelo directo anterior sólo puede ser usado para invertir
datos sísmicos CMP, que representa la respuesta de la tierra ante una fuente de ondas
planas una vez removidas las pérdidas por difusión de los datos.
Existen otros aspectos de los datos sísmicos CMP que fueron ignorados en
nuestro modelo directo por el costo que implica su cálculo. Estos son efectos de
deconvolución de tiempo-variante en reflexiones múltiples de poco retraso y de
apilamiento en las amplitudes de las reflexiones múltiples de mayor período. Futuros
programas de inversión de este tipo pueden ser mejorados teniendo en cuenta estos
efectos, pero sentimos que su impacto es marginal y su costo computacional es alto.
TEORIA DE LA INVERSION LINEAL GENERALIZADA.
La técnica de GLI está basada en la expansión del modelo directo en series de
Taylor. Esta expansión es de la forma
F(I) = F(IG) + ȱΈF(IG) (I – IG) + Έ2 F(IG) (I – IG)2 + ....
ΈIG
ΈIG2 2!
(5)
En esta expansión
I = el perfil de impedancia a ser resuelto
IG = una aproximación inicial del perfil de impedancia.
(I-IG) = error de aproximación
F = función de modelado directo
F(I) = traza sísmica observada
F(IG) = traza sísmica sintética calculada usando IG en el algoritmo de modelado
directo.
ΈF(IG) = matriz de derivadas parciales.
ΈIG
Es importante notar que la expansión (5) puede ser calculada para cualquier modelo
directo. Si el modelo es complicado, puede ser ventajoso calcular los términos de la
derivada con una técnica de diferencias finitas como fue realizado aquí. En la ecuación
(5) queremos calcular (I – IG) que nos dice cómo corregir IG de tal manera que sea
igual a I. Lamentablemente, la serie infinita no puede ser resuelta para (I – IG), pero sí
se puede resolver una versión truncada (lineal) de ella. Esta versión linearizada de la
ecuación
(6)
F(I) = F(IG) + ΈF(IG) (I – IG)
ΈIG
o
F(I) – F (IG) = ΈF(IG) (I – IG).
(7)
ΈIG
En la ecuación (7), el término [ F(I) – F(IG) ] es un vector generado por la resta entre la
traza sísmica observada y la traza sísmica sintética. Se lo llamará vector diferencia. El
término [ΈF(IG) /Έ IG] es una derivada parcial o matriz de sensibilidad. Cada columna
de esta matriz es la derivada parcial de la traza sísmica sintética con respecto a uno de
los valores de impedancia desconocidos. El término a resolver (I – IG) será denominado
vector de corrección.
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La ecuación (7) es un sistema de ecuaciones lineales simultáneas que es resuelto
para el vector de corrección usando una técnica de mínimos cuadrados modificada (esto
será discutido más adelante). Una vez que el vector de corrección es conocido, se
despeja I haciendo
I = IG + (I – IG).
(8)
La ecuación (8) es una aproximación; cuando procedimos de la ecuación (5) a la (6), los
términos no lineales en la expansión en series de Taylor fueron truncados. Esto hace que
la solución para el vector de corrección (I – IG) a partir de la ecuación (7) sea una
aproximación, por lo que la solución para I en la ecuación (8) también lo debe ser. Este
error puede ser reducido si se usa la aproximación inicial de la ecuación (8) corregida
como una nueva aproximación inicial en la ecuación (7) y se itera nuevamente. Un
esquema de este procedimiento iterativo se muestra en la Figura 4.
El loop iterativo de la Figura 4 tendrá un error que va decreciendo de manera
exponencial con cada iteración si la aproximación inicial cae dentro de la región de
convergencia. El error calculado con cada iteración está definido por
̕ [F(IG) – F(I)]2.
Se continúa el loop hasta que el error cae por debajo de un nivel predeterminado o hasta
que un (I- IG) nuevo no mejore con respecto al error de la iteración anterior.
Como fue mencionado anteriormente, (I – IG) es obtenido resolviendo la
ecuación (7) con un procedimiento de mínimos cuadrados modificado. La modificación
consiste en el agregado de un factor de amortiguamiento a la clásica solución del error
de mínimos cuadrados, lo que da
(I –IG) = (STS + K2I) ST [F(I) – F(IG)],
(9)
donde
S = Έ F(IG)j (la matriz de sensibilidad),
Έ(IG)j
K2 = factor de amortiguamiento,
I= matriz identidad.
K2 refleja la linealidad local del error de superficie y puede ser calculada analíticamente
como fue discutido por Marquardt (1953) o puede ser elegida de una manera empírica
como fue realizado aquí. El método empírico busca el K2 que minimice el error medio
cuadrático (rms) entre los datos a ser invertidos y la traza sísmica sintética generada a
partir de la aproximación inicial corregida. La aproximación inicial corregida –y por eso
la traza sintética asociada- es una función de K2 a través de las ecuaciones (8) y (9).
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Figura 4: Diagrama de flujo para la inversión lineal generalizada.
PARAMETRIZACION DEL PERFIL DE IMPEDANCIA
La impedancia terrestre es una función continua en la profundidad o en el tiempo
(como es medida aquí). Generalmente es muy ventajoso para los geofísicos hacer una
aproximación discreta de esta función continua. La aproximación discreta más común es
hacer un muestreo de la impedancia en intervalos iguales de 1, 2, o 4 mseg. Este es el
tipo de perfil de impedancia que ingresa en el método de modelado directo discutido
anteriormente. Aquí nos referiremos a este tipo de perfil de impedancia como
“parametrización de muestreo equivalente”. El problema con esta parametrización surge
cuando se realiza la inversión GLI con ella, ya que el número de incógnitas iguala
exactamente el número de observaciones. Esto sucede porque el algoritmo de modelado
directo requiere un ingreso de N valores de impedancia (las correcciones a estas
impedancias son las incógnitas) en intervalos de delta t para crear una traza sísmica
sintética de las mismas dimensiones. Como la traza sísmica sintética debe ser de las
mismas dimensiones que la traza sísmica observada a ser invertida, el número de puntos
(observaciones) en la traza a ser invertida iguala el número de incógnitas.
La ecuación (9) puede ser resuelta teóricamente cuando el número de incógnitas
iguala a la cantidad de ecuaciones, pero hay tres problemas asociados con esta situación.
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(1) Estabilidad.-La inversión de una matriz de ecuaciones N x N no es un problema
cuando todas las ecuaciones son independientes y no hay ruido. Cuando no se
cumplen estas condiciones la inversión puede convertirse en singular y/o inestable.
(2) Costo.-Si uno invierte una traza sísmica de 2 seg. registrada con un intervalo de
muestreo de 2 mseg, la matriz a ser invertida será de 1000 x 1000. Esto será caro en
cuanto a tiempo de computadora y almacenamiento.
(3) Otras incógnitas.-Es importante resolver para otros parámetros que no sea
impedancia. Si el número de incógnitas iguala al número de ecuaciones, estos
parámetros extra no pueden ser agregados sin el problema de convertirse en
sobredeterminado (mayor cantidad de incógnitas que de observaciones).
Los problemas enunciados anteriormente pueden ser evitados si la tierra es
parametrizada usando menos variables (incógnitas). Por supuesto que esta
parametrización debe incluir tanta información como el método previo. La
parametrización utilizada aquí describe a la tierra en términos de bloques separados
o litologías y se la denomina “parametrización de intervalo discreto.” A cada unidad
litológica se le ha asignado (1) un valor de impedancia variable al comienzo del
“bloque” (el primer valor de impedancia); (2) una velocidad lineal de cambio de la
impedancia dentro del bloque (el gradiente de impedancia); y (3) un espesor de
tiempo variable. El tiempo de inicio de un intervalo dado es determinado por el
espesor del tiempo total de todos los intervalos por encima de él. La Figura 5
compara este método de “parametrización de intervalo discreto” con el perfil
continuo de impedancia terrestre.
Las ventajas de la parametrización de intervalo discreto surgen del hecho de que
describe el perfil de impedancia usando menos parámetros. Si se usa esta
parametrización cuando se calcula la matriz de sensibilidad [ecuación (9)], ésta será
mucho menor que si fuese calculada usando la parametrización de muestreo
equivalente. Esto significa que tendrá un menor costo para calcular e invertir, y la
inversión será más estable. Este método de parametrización también discriminará a
la inversión del ruido aleatorio dentro de la frontera y hará que el conocimiento
exacto de la ondícula de la fuente usada en el modelo directo sea menos crítico.
Fue descubierto que cuando se usa una parametrización de intervalo discreto,
las fronteras deben ser resueltas independientemente de las impedancias. La razón es
aparente cuando uno ve el proceso de GLI como un procedimiento que minimiza el
error entre la traza sísmica observada y la respuesta sísmica sintética de una
aproximación inicial corregida. Si una dada frontera tiene el contraste de impedancia
correcto pero la ubicación incorrecta para ese contraste, hay dos formas de disminuir
el error: (1) mover la ubicación de la frontera, o sea, lo que se desea, y (2) remover
el contraste de impedancia igualando las impedancias a ambos lados de la frontera.
Esto disminuirá el error sólo si la ubicación de la frontera es incorrecta, aunque las
impedancias sean correctas. Para evitar esto, las impedancias son resueltas luego de
que todas las ubicaciones de las fronteras son conocidas.
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Figura 5: Parametrización de intervalo discreto vs. perfil continuo de impedancia terrestre.
OTROS PARAMETROS ADEMAS DE IMPEDANCIAS.
En la sección anterior vimos que en el modelo directo se asume que uno conoce
la ondícula exacta de la fuente con la que se hará la convolución con la función de
reflectividad. En general este no es el caso con datos sísmicos reales, por lo que la
ondícula de la fuente debe ser tratada como incógnita y debe ser resuelta de la misma
forma que las impedancias. La ondícula desconocida es parametrizada en el dominio de
la frecuencia, en donde es descripta por las cuatro frecuencias que constituyen un filtro
pasa banda y mediante un desplazamiento linear de la fase. Este pasa banda y cambio de
fase no pueden describir exactamente a todas las ondículas sísmicas, pero darán una
excelente aproximación a ondículas de fase cero y blanqueadas en forma adecuada.
Otro parámetro que debe ser resuelto es el factor de escala del dato sísmico.
Actualmente hay dos factores de escala para datos sísmicos. El primero surge de la
dispersión del frente de onda y es una pérdida relativa. Asumimos que esta pérdida ha
sido corregida en el procesamiento usando velocidades. Frecuentemente esta corrección
no es exacta debido a un perfil de velocidades inexacto, pero los errores son pequeños
sobre las ventanas temporales aquí usadas. El segundo factor de escala es un error
absoluto (independiente del tiempo) que surge del registro y procesamiento de los datos
sísmicos. Este factor de escala puede ser calculado y resuelto con las impedancias.
LA APROXIMACIÓN INICIAL.
Para iniciar el proceso GLI, uno debe dar una aproximación inicial del resultado
deseado. Las restricciones principales de la aproximación inicial son un resultado de la
parametrización del intervalo, lo que requiere que la aproximación tenga una frontera de
la impedancia correspondiente a cada arribo que uno desea invertir. La ubicación de
cada una de estas fronteras debe caer dentro de una distancia X de la solución. La
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distancia X está definida como la mitad del ancho del lóbulo central de la ondícula de la
fuente. La polaridad en cada contraste de densidad debería tener la misma polaridad que
el arribo correspondiente en la traza sísmica a ser invertida.
Hay una “región de convergencia” dentro de la cual debe caer la aproximación
inicial si se desea que converja a una solución aceptable. Las fronteras de esta región no
pueden ser determinadas sin conocer la forma exacta de la superficie multidimensional
del error, una tarea demasiado cara como para ser considerada. Sin embargo, la
experiencia ha mostrado que cualquier aproximación que cumpla con las condiciones
anteriores cae dentro de esta región de convergencia. Por ejemplo, en algunos casos
sintéticos hemos generado la aproximación inicial con la suposición incorrecta de que el
ruido en la traza a ser invertida es señal. Este “ruido” puede ser un arribo múltiple o
ruido aleatorio. La aproximación inicial contiene un constaste de impedancia que
corresponde a este falso arribo. La solución para este falso arribo tendrá un contraste de
densidad igual a cero en ausencia de ruido aleatorio, y habrá un pequeño error en
presencia de ruido aleatorio. Este efecto para un arribo múltiple se muestra en las
Figuras 11a, 12a, y 13a.
UNICIDAD Y RESOLUCIÓN.
Las soluciones de inversión obtenidas de GLI no son únicas, como fue discutido
por Backus y Gilbert (1970). En GLI la calidad de una solución es determinada
comparando la traza observada con una traza sintética generada a partir de la solución.
Si estas dos son iguales, la solución es exacta, pero no necesariamente única.
A modo de ejemplo, se sugiere considerar el modelo de impedancia de tres capas
del caso I en la Tabla 1 (Lines, 1981).
Para el caso I, sea w(t) la ondícula de la fuente. La respuesta (sismograma
sintético) calculada a partir de este modelo de impedancia y de la ondícula es
s(t) = w(t) * R(t),
donde R(t) es la función de reflectividad calculada usando la ecuación (4) en el modelo
de impedancia anterior. La transformada Z de s(t) es S(Z) dada por
S(Z) = W(Z) ̕k=0ȱ(0.5)kȱ(Ȭ1)kȱZktȱ
ȱ
ȱ
(10)ȱ
Esta expresión puede ser escrita como
S(Z) = W(Z) (-1.0 + 0.5 ZT) ̕(-1) (0.5)2K Z2KT = W’(Z) ̕(-0.5)2K Z2KT. (11)
La ecuación (11) da otra solución de impedancia y ondícula que tiene la misma
respuesta que nuestra solución original.
En el mismo marco geológico que el modelo original, esta nueva solución
corresponde al caso II, Tabla 2. La ondícula nueva es la convolución entre la ondícula
vieja y el operador (-1.0 + 0.5ZT). Esta solución es aceptada matemáticamente pero no
es real geofísicamente, ya que requiere que el tercer medio tenga una impedancia de
3000 pies/seg g/cm3.
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Tabla 1: Modelo de impedancia de tres capas
Tabla 2: Dos modelos de impedancia con la
misma respuesta.
No es usual encontrar soluciones no reales como estas usando GLI ya que la
aproximación inicial suele estar dentro de una región de convergencia alrededor de la
solución real. Otros problemas con la unicidad pueden ocurrir si uno parametriza la
solución incorrectamente. Por ejemplo, uno no puede distinguir datos sísmicos de CMP
apilados entre el efecto del aumento de velocidad y de densidad. Por esta razón nuestra
solución está parametrizada en términos de la impedancia. Restricciones en los
parámetros desconocidos también disminuyen los problemas de unicidad. Hemos
restringido la solución para que la ondícula de la fuente sea de fase cero, lo que hace
que la solución alternativa en el ejemplo anterior sea inaceptable.
Un tipo de problema de unicidad ligeramente diferente ha sido encontrado con
respecto al contexto de la frecuencia en la solución de la impedancia. Los ejemplos
usados aquí muestran soluciones de impedancia que tienen al parecer resolución infinita
para las ubicaciones de las fronteras. Esto y la componente de baja frecuencia en las
soluciones son aparentemente imposibles porque los valores a ser invertidos son de
banda limitada. ¿Cómo puede ser que la solución tenga una frecuencia más ancha que
los valores observados? La respuesta a este dilema yace en la no-unicidad de la solución
y en las restricciones aplicadas sobre ella.
La solución de impedancia no es única en los rangos de frecuencia afuera del
pasa-banda de la ondícula de la señal. Esto surge porque al evaluar una solución se debe
generar a partir de ella una traza sísmica sintética. Esta traza sintética es filtrada para
rechazar a todas las frecuencias excepto a aquellas que se encuentran en los datos
observados (este filtrado es la convolución con la ondícula de la fuente). Debido a esto
vemos que la amplitud y fase de la función de reflectividad son irrelevantes en aquellas
regiones que son rechazadas. Esto implica que la solución en las regiones rechazadas no
es única; de hecho, cualquier solución finita en estas regiones es equivalentemente
aceptable. Este problema no es tan grave como parece debido al sistema de
restricciones, a la parametrización utilizada, y a la generación de la aproximación
inicial.
Cuando se usa GLI, la primera solución evaluada según el método anterior es la
aproximación inicial. El programa cambiará la aproximación en las regiones no
rechazadas con problemas usuales de unicidad. Para las regiones rechazadas cualquier
solución es aceptable por lo que la aproximación inicial sería suficiente, excepto que
algunas restricciones han sido ubicadas sobre la solución. La primera restricción
consiste en fijar la impedancia de algún estrato guía conocido. (Cómo realizar esto es
discutido en la sección de restricciones.) Cuando se utiliza más de una restricción
implica que el usuario tiene alguna información de offset o de baja frecuencia acerca de
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la solución. Esta información es incorporada en la solución. Otra restricción está
implícita en la parametrización utilizada. La parametrización dependiente de la litología
requiere fronteras angulosas y eso le agrega más componentes de baja –y altafrecuencia a la solución.
Si una parte dada de las regiones rechazadas no es restringida como antes (y esto
es frecuente cuando uno no puede fijar la impedancia), luego la solución encontrada en
la aproximación inicial es suficiente, y ésta será incorporada en la solución final. De
esta manera, la solución es la aproximación para aquellas frecuencias no restringidas.
En la discusión anterior la solución fue analizada en el dominio de la frecuencia.
Es importante recordar que la aproximación es generada y la solución es encontrada en
el dominio del tiempo.
UN EJEMPLO SINTÉTICO.
En las Figuras 6 y 7 se observa un ejemplo simple de GLI. En este ejemplo
queremos conocer la ubicación y el contraste de impedancia de sólo una frontera. La
Figura 6a muestra el perfil de impedancia que es utilizado para generar una traza
sintética para ser invertida. En la Figura 7a se muestra esta traza “observada” con ruido
simulado, un primer arribo simple, y ninguna reflexión múltiple. El ruido es blanco y
aleatorio, y el rms de la relación señal-ruido (S/R) es 0.5, calculado sobre la traza
entera. Esta traza tiene una ondícula de la fuente que es un filtro pasa banda 5-10-115120 con un desplazamiento de fase de 22.5 grados. El perfil de impedancia de la Figura
6b es usado como una aproximación inicial de la solución. La figura 7b muestra una
traza sintética generada a partir de esta aproximación. Al generar esta traza se supone
que la ondícula es una 5-10-115-120 de fase cero. La Figura 6c muestra el resultado de
inversión luego de cinco iteraciones. La Figura 7c muestra la sintética calculada a partir
de esta solución. La solución para la ondícula de la fuente tiene un desplazamiento de
fase de 19.7 grados y el mismo pasa banda que la ondícula de la fuente observada.
IMPEDANCIA
Figura 6: El perfil de impedancia A es de una tierra hipotética usada para generar el dato “observado” a
ser invertido. El perfil B es la aproximación inicial de la solución. El perfil C es la solución de la
impedancia.
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TRAZAS SÍSMICAS
Figura 7: La traza sintética A es la traza a ser invertida. Es generada a partir de la parte A de la Figura 6.
La traza B es la sintética generada a partir de la aproximación inicial. La traza C es la sintética generada a
partir de la solución.
EJEMPLO SINTETICO CON RESTRICCIONES.
La ecuación (7) es un sistema de ecuaciones lineales que es resuelto para una
serie de correcciones de los parámetros. Suele suceder que un intérprete conozca con
exactitud algunos de estos parámetros y no quiera modificarlos. Estas restricciones
podrían surgir de un perfil sónico cercano. La ecuación (7) puede ser modificada para
dejar a estos parámetros sin ser modificados y basar en ellos a la solución para el resto
de los parámetros. Para hacer esto, uno sólo necesita remover todas las derivadas con
respecto al parámetro exacto. El vector de corrección resultante no tendrá ningún
elemento correspondiente al parámetro exacto.
El uso de restricciones en GLI es especialmente útil en cuanto al control de los
efectos de ruido y/o cuando se trabaja en un área conocida geofísicamente. Un ejemplo
de esto se encuentra en el siguiente caso hipotético. En este ejemplo uno desea invertir
una línea sísmica entera, una traza a la vez. Se sabe de antemano que sólo algunas trazas
están registradas sobre una arena con gas, la Figura 8 muestra esta sección hipotética y
el perfil de impedancia correspondiente. Para los propósitos de este ejemplo sólo
trabajaremos con dos trazas de esta línea sísmica –una que muestre la arena con gas y
otra que no la muestre. Estas trazas sintéticas se muestran en la Figura 9. Es difícil la
detección de la arena con gas en estas trazas porque hay (1) un arribo múltiple
coincidente con el arribo de la arena con gas y (2) ruido aleatorio simulado que ha sido
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agregado a ambas trazas. Este ruido resulta ser más fuerte en el área de interés. Ambas
trazas son invertidas usando la aproximación inicial hallada en la Figura 10. Si no
hubiera ruido en los datos, los resultados de la inversión hubiesen sido exactos. La
existencia de ruido es la responsable de los gradientes de impedancia erróneos en los
resultados (ver Figura 11). Se debe notar que la escala en esta figura es diferente a la
escala en otros resultados de impedancia en esta sección. La respuesta sísmica para un
gradiente tal es muy sutil y puede estar parcialmente simulada por ruido. Por eso cuando
hay ruido en los datos a ser invertidos, los resultados pueden tener grandes gradientes de
impedancia dentro de un dado intervalo.
Una restricción simple que remueve este tipo de error puede ser aplicada a la
ecuación (7) como fue discutido anteriormente. Ésta fijará a todos los gradientes de
impedancia en cero; los resultados se muestran en la Figura 12. Se debe notar que el
ligero gradiente de impedancia que existe realmente en el modelo no está presente en
este resultado de inversión. Esto puede no parecer un problema en este ejemplo, pero los
perfiles de impedancia actuales muestran gradientes frecuentes y a veces bastante
grandes dentro de una misma litología. En tal caso puede ser bastante indeseable
restringir los gradientes a cero.
Una restricción diferente (y en este caso más realista) es fijar la impedancia del
último intervalo como su valor del perfil. No se fijan ubicaciones de las fronteras ni
gradientes de impedancia. Los resultados (Figura 13) muestran un pequeño error
comparado con la respuesta correcta, pero no hay problema en cuanto a la identificación
de la arena con gas.
Figura 8: Perfil geológico hipotético. Perforaciones en el área han confirmado la existencia de arenas con
gas que son difíciles de detectar con datos sísmicos.
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TRAZAS
Figura 9: Dos trazas tomadas de una traza sísmica sobre la
Figura 8. La traza A no muestra a la arena con gas, mientras
que la traza B sí lo hace. Ambas trazas contienen ruido
simulado.
Figura 10: Aproximación inicial utilizada para
invertir ambas trazas mostradas en la Figura 9.
IMPEDANCIA
Figura 11: Inversión de trazas en la Figura 9 usando la
aproximación de la Figura 10. El perfil A no debería indicar
la presencia de una arena con gas, y el perfil B sí.
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Figura 12: Inversión de trazas en la Figura 9 usando la
restricción de que todos los gradientes dentro de la frontera son
fijados en cero.
IMPEDANCIA
Figura 13: Inversión de las trazas en la Figura 9 con la impedancia de la última frontera fija.
EJEMPLO DE CAMPO.
Desde la Figura 14 hasta la 18 se muestra un ejemplo donde una traza sísmica
real es invertida. La Figura 14 muestra la traza sísmica a ser invertida. La Figura 15
contiene un perfil de impedancia registrado cerca de la traza. (Se asumió que todas las
densidades sean de 2.0 g/cm3 para generar este perfil de impedancia.) Los valores
mostrados son de una ventana, cuyo límite superior está en 1 seg. El pozo no fue
perfilado por debajo del punto de la ventana correspondiente los 290 mseg. Aquí se
muestra el perfil de impedancia para una comparación con los resultados de inversión
de la Figura 16. Los datos sísmicos son una traza CMP que ha sido procesada para
preservar la amplitud verdadera y la fase cero. Los datos fueron registrados con un
intervalo de muestreo de 1 msg, vueltos a muestrear cada 2 mseg, y filtrados con un
filtro pasa banda trapezoidal 5-15-80-15. Este fue el mismo filtro que fue utilizado para
una aproximación inicial de la ondícula de la fuente en el proceso de inversión.
Con GLI es importante incluir la región de la fuente de reflexiones múltiples en
la ventana de inversión si se desea invertir a estas últimas correctamente. Este hecho
implica que todas las ventanas deberían empezar en un tiempo cero, pero esto sería
extremadamente caro ya que el tiempo computacional de inversión aumenta en forma
geométrica con la longitud de la ventana. En este caso hemos alcanzado un compromiso
mediante la inversión de la región de interés (200-400 mseg) además de la región que
genera la mayor cantidad de reflexiones múltiples (0-200 mseg) cayendo dentro de la
región de interés. Cualquier reflexión múltiple generada por encima de la ventana será
invertida como si fuera primaria.
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La traza observada en la Figura 14 fue invertida usando la aproximación inicial
encontrada en la Figura 16, y el resultado es mostrado a la derecha de la Figura 16. Esta
inversión duró aproximadamente 10 minutos y tomó 10 iteraciones en una computadora
Cyber 720. La aproximación inicial fue generada a partir de asignarle una frontera con
un aumento de impedancia para cada máximo y una disminución para cada mínimo
encontrados en los valores observados. Esto dio un total de 49 intervalos de impedancia,
dos de los cuales mantuvieron sus valores de impedancia fijos. Estos intervalos fijos son
el primero y aquel con el mayor valor de impedancia. Ambos valores fijos fueron
tomados del perfil de impedancia asociado. Se fija al primer intervalo para que el
resultado de la inversión tenga la escala absoluta correcta. Se fija a la impedancia más
alta con el fin de incorporar una tendencia de baja frecuencia en la aproximación inicial
y en el resultado de la inversión. La aproximación inicial para todos los gradientes de
impedancia fue cero. Para evaluar los resultados, uno puede comparar la solución de
impedancia en la Figura 16 con los valores perfilados en la Figura 15. Otra forma de
evaluar los resultados se muestra en la Figura 17, la cual muestra una traza sísmica
sintética generada a partir de la solución de impedancia y del error entre esta traza y la
observada.
En la Figura 18 se muestran la aproximación inicial y la solución para la
ondícula de la fuente usada en la inversión anterior. La aproximación inicial es una
ondícula con un pasa banda 10-20-90-105 y fase cero. Este es el último filtro utilizado
en el procesamiento de la traza a ser invertida.
La solución para la ondícula de la fuente es un filtro pasa banda 18.1-29.5-95.6104 con amplitud en 95.6 Hz y 20 por ciento de ella en 29.5 Hz. La fase de esta
ondícula es 6.70 grados.
En la Figura 19 se compara el resultado GLI con la inversión iterativa de la
misma traza. Esta figura también muestra los valores de impedancia perfilados. El
algoritmo de inversión iterativa usado es el mismo que fue presentado antes con un
agregado importante. Se agregó información de velocidad, lo que aumenta el contenido
de baja frecuencia de los resultados.
18
IMPEDANCIA
Figura 14: Traza sísmica actual a ser
invertida
Figura 15: Perfil de impedancia de la
traza en la Figura 14.
Figura 16: El perfil A es la aproximación inicial
utilizada para invertir la traza de la Figura 14. El
perfil B es la solución de impedancia hallada
luego de 10 iteraciones.
Figura 17: La traza A es una sintética calculada a partir de la solución de impedancia en la Figura 16 y la
solución de la ondícula en la Figura 18. La traza B es la diferencia entre la traza observada en la Figura 14
y la traza A de esta figura.
19
Figura 18: Aproximación inicial y solución para la ondícula de la fuente.
Figura 19: La traza de impedancia a la izquierda es el resultado de GLI. La traza del medio contiene los
valores de impedancia del perfil. La traza a la derecha es una inversión iterativa de la misma traza
utilizada para dar el resultado de GLI.
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CONCLUSIONES.
Hemos aplicado la técnica de inversión lineal generalizada al problema de
inversión sísmica 1D. Este acercamiento nos ha permitido incluir en los resultados
algunas suposiciones a cerca de su forma. Estas suposiciones surgen del método de
parametrización, que exige que todas las fronteras de impedancia sean discretas. Esto,
por el contrario, ha ensanchado el contenido de frecuencia de los resultados más allá del
ancho de banda de los datos ingresados.
El problema de inversión se plantea en términos de un conjunto de ecuaciones
simultáneas, que le permite a uno fijar cualquiera de las variables de impedancia si
siente que es conocida. Esto es favorable para la inversión recursiva donde los errores
tienden a propagarse y la información conocida de la impedancia no puede ser utilizada
fácilmente.
Hemos mostrado que esta técnica puede discriminar al ruido de inversión
(Figuras 6 y 7), pero para lograrlo, es importante que el usuario tenga alguna idea de
qué es ruido y qué es señal. En otros casos (Figura 11) las soluciones para los gradientes
de impedancia dentro de una frontera estarán dominadas por la presencia de ruido. Este
efecto puede ser disminuido mediante el uso de restricciones, pero nos preguntamos si
es posible extraer información confiable del gradiente de impedancia entre las fronteras
en la presencia de ruido.
Hemos mostrado aquí cómo es posible resolver la ondícula de la fuente. En otros
casos donde no hemos resuelto la ondícula de la fuente, hemos encontrado que los
efectos residuales de la ondícula son despreciables. Si tomamos una aproximación
inicial para la ondícula ligeramente incorrecta y no la resolvemos con las impedancias,
el resultado de impedancia será muy similar al caso donde la ondícula es resuelta.
Hemos probado la técnica GLI extensivamente con datos sintéticos y hemos
encontrado que tiene muchas ventajas sobre la inversión convencional. En este punto,
sin embargo, GLI ha sido aplicada a sólo un conjunto de datos de campo.
Recomendamos que se realicen más pruebas con datos de campo en áreas donde se
tenga un buen control de pozos.
RECONOCIMIENTOS.
Este trabajo ha sido llevado a cabo en la Colorado School of Mines con el apoyo
financiero de Integrated Geophysics Project. Los datos de campo y el perfil de
impedancia utilizados fueron provistos por Amoco Production Company.
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