Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Ingeniería de Tecnologías Industriales
Física I
Fı́sica I. Boletı́n 6. Diciembre de 2011
6.1. Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “0”), que avanzan por raı́les sobre el suelo horizontal
(sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con
velocidades
A
B
v21
= v01
= v0ı
−
−→
El vector de posición relativo entre las dos vagonetas en ese instante es igual a AB = aj
Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases
son coincidentes en ese instante.
A y
B en los siguientes casos:
v02
Halle las velocidades relativas v20
(a) Las vagonetas se mueven por vı́as rectilı́neas paralelas.
(b) La vagoneta A se mueve por una vı́a circular de radio R, mientras que B se mueve por una
vı́a rectilı́nea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vı́as.
(c) Las dos se mueven por vı́as circulares concéntricas, de radios R y R + a, respectivamente.
(d) Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros en lados opuestos.
(e) Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros hacia el mismo lado
B
B
v
B 0 01
B 0
(a)
v
A
21
v 01
B 0
A 2
v
B
B
B 0
v
B 0 01
v 01
1
1
A 2
B
v 01
1
1
A 2
A
21
(b)
v
A
21
A 2
1
(c)
(d)
A
v 21
A 2
A
v 21
(e)
Problema 6.1
6.2. Se tiene un sistema biela-manivela formado por dos barras de longitud L = 50 cm. La manivela
(sólido “0”) gira alrededor de un punto O, extremo de una barra (sólido “1”) que podemos considerar fija. La biela (sólido “2”) está articulada a la manivela en un punto A, mientras que su otro
extremo B está obligado a deslizar sobre la barra “1”.
En un instante dado la manivela forma con la barra un ángulo tal que tg(θ) = 4/3 . En el mismo
instante las derivadas de este ángulo valen θ̇ = 3 rad/s, θ̈ = 12 rad/s2 . Para este instante:
B,
B y
B . Indique su dirección y sentido gráficamente.
v20
v01
(a) Calcule las velocidades v21
aB
aB
(b) Halle las aceleraciones aB
21 , 20 y 01 .
A
Y0
O
X0
θ
X1
L
0
L
2
Y1
1
B
Problema 6.2
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Fı́sica I (G.I.T.I.)
6.2
6.3. El sólido rı́gido “0” del mecanismo de la figura se corresponde con un vástago OC de longitud 3R
que, mediante un par cilı́ndrico situado en su extremo O, permanece en todo instante perpendicular
al eje vertical fijo O1 Z1 (sólido “1”). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de
O1 Z1 con velocidad angular constante de módulo |ω01 | = 2 ω y en el sentido mostrado en la figura;
a su vez, el extremo O se desplaza sobre el eje vertical O1 Z1 en sentido positivo y con velocidad
O | = v. El extremo C del sólido “0” está articulado al
constante, siendo el módulo de ésta |v01
centro de un disco de radio R (sólido “2”), siempre contenido en el plano vertical OX0 Z0 ; el
movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor
de un eje paralelo a OY0 que pasa por C, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular
constante cuyo módulo es |
ω20 | = ω. Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido “0”
–OX0 Y0 Z0 – para expresar las magnitudes vectoriales, determine:
21 , correspondientes al movimiento del
(a) El vector rotación ω21 y el vector aceleración angular α
disco respecto al triedro fijo.
(b) Las velocidades del punto A del perı́metro del disco en el instante en que aquél ocupa el
extremo más alto del diámetro vertical (ver figura), para cada uno de los tres movimientos
A,
A y
A.
v20
v21
relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: v01
aA
aA
(c) Las aceleraciones aA
01 , 20 y 21 para el mismo punto y en el mismo instante especificado en
el apartado anterior.
6.4. Una bola (sólido “2”), de radio R = 15 cm, se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos
fijos (sólido “1”), de radios a = 7 cm y b = 25 cm, situados en un plano horizontal (ver figura). El
movimiento de esta esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles,
y ii) su centro C realiza un movimiento circular uniforme con celeridad v0 = 48 cm/s y en sentido
antihorario respecto al eje O1 Z1 . Consideramos como sólido móvil intermedio (sólido “0”) al plano
O1 X0 Z0 que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).
(a) Halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
(b) Halle la reducción cinemática canónica de cada movimiento.
B
(c) Para el punto de la pelota en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine v20
B
y a21 .
Z1ºZ0
Z1=Z0
Y0
v01O
R
O
R=15cm
A
||OY0
w01
O1
2
C
X0
1
3R
w20
1
A
X1
||OX0
Problema 6.3
0 X0
O1
C
Y1
X1
B
b=25cm
a =7cm
Problema 6.4
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6.3
6.5. Un individuo se encuentra sentado en el eje de una plataforma giratoria horizontal (sólido “0”) que
rota con velocidad angular constante Ω respecto al suelo (sólido “1”). Esta persona arroja horizontalmente un hueso de aceituna desde una altura h con velocidad v0 . Despreciando el rozamiento
del aire, de forma que el hueso se mueve exclusivamente por la acción de su peso, determine la
velocidad y la aceleración que mide el observador rotatorio para cada instante. ¿Cuál es la rapidez
relativa a la plataforma con la que golpea el suelo de ésta?
6.6. El armazón de barras paralelas a los ejes OX0 y OZ0 (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo
OZ1 , de tal modo que el eje OX0 permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX1 Y1
(sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud L, se mueve de forma que su
extremo A desliza a lo largo del eje OX0 , mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0 .
Utilizando los ángulos θ y ϕ (definidos en la figura), ası́ como sus derivadas temporales de primer y
segundo orden, determine:
A,
A y
A.
v20
v21
(a) v01
B,
B y
B.
v20
v21
(b) v01
aB
(c) α
21 , aA
21 y 21 .
Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.
6.7. Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”)
de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes
(distancia L) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo
constante igual a ω, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la
figura. Definido el triedro fijo OXY Z (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimientoproblema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine (a) ω20 y
O
O
α
20 ; (b) v20 y a20 ; y (c) el eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema,
ası́ como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.
Z 0 , Z1
Z
L
B
O
X1
q
0
j
A
Problema 6.6
1
0
L
2
1
2
L
Y1
X0
OY
A
X
B
O
OX
w
Problema 6.7
w
Y
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6.4
6.8. El movimiento del gancho de una grúa se puede describir empleando tres coordenadas: su altura
z respecto al suelo, la distancia ρ del carro al mástil de la grúa, y el ángulo ϕ que gira la pluma
alrededor del mástil. En un momento dado se conocen los valores de estas tres coordenadas (ρ, ϕ,
z), ası́ como los de sus derivadas primeras (ρ̇, ϕ̇, ż) y segundas (ρ̈, ϕ̈, z̈) respecto al tiempo. Con
esta información, determine la velocidad y aceleración del gancho respecto al suelo.
6.9. El sistema de la figura está constituido por un aro rı́gido (sólido “0”), de centro C y radio R,
que rota libremente alrededor de su diámetro vertical fijo AB contenido en el eje AZ1 del triedro
AX1 Y1 Z1 (sólido “1”); y por una varilla rı́gida P Q (sólido “2”), de centro G, cuyos extremos se
hallan articulados a sendos deslizadores que los obligan a moverse sobre el aro. Describiendo la
cinemática del sistema mediante las derivadas temporales de los ángulos ϕ y θ definidos en la
figura, determine:
21 y eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
(a) ω21 , α
P y
aP21 en el instante en que el extremo P de la varilla pasa por el punto más alto del aro
(b) v21
(punto B).
Nota: Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” de
la figura, cuyo plano vertical AX0 Z0 contiene al aro en todo instante.
6.10. El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ1 de modo que el centro C de
su hélice describe una circunferencia de radio L en el sistema de referencia fijo OX1 Y1 Z1 (sólido
“1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es |ω01 | = Ω y su sentido
el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es R, rota en torno a un eje
perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante
|ω20 | = ω y con el sentido indicado en la figura. Se pide:
(a) La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
P y la ace(b) Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad v21
leración aP21 del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
(c) La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de
movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
P y aP21 para los valores R = 1 m, L = 100 m, ω = 100 rad/s y
(d) Calcule numéricamente v21
Ω = 1 rad/s.
Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.
Z 0 , Z1
Z2
0
B
P
2
X2
G
q
C
O
||AX0
A
X1
1
Y1
0
j
Problema 6.9
X0
Problema 6.10