Electromagnetismo Optica - Universidad de El Salvador

Universidad de El Salvador
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Escuela de Física
Lic. Francisco Américo Mejía
Ing. Ricardo Benavides Vila
Universidad de El Salvador
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Escuela de Física
GUIA TEORICA
ELECTROMAGNETISMO Y OPTICA
NUEVO INGRESO 2,007
TEORIA DEL ELECTROMAGNETISMO.
Conductores y aisladores. Algunos materiales permiten el movimiento de cargas
eléctricas mientras que otros no lo permiten. A los primeros se les denomina
conductores y a los segundos aisladores. En general los metales son buenos
conductores de la electricidad, mientras que la mayoría de los no metales son
aisladores. En un metal (conductor) se desprenden electrones de cada uno de los
átomos que pueden moverse libremente por el metal (llamados frecuentemente gas
electrónico). Los núcleos positivos y el resto de los electrones permanecen en
posiciones fijas (estructura cristalina)1.
Por lo dicho en el caso electrostático, es decir, con cargas es reposo, tendremos que
el caso electrostático de los conductores se obtiene solamente si el campo eléctrico al
interior del conductor es nulo, ya que el campo al interior produciría movimiento de
cargas y esto disipa energía (calor de Joule) y conduce a una situación no estática.
ELECTRICIDAD. Forma de energía causada por la presencia o el movimiento de
cargas eléctricas.
EL ATOMO Y SU ESTRUCTURA ELECTRONICA
EL ELECTRON: Es una partícula sub-atómica que tiene carga negativa de 1.6x10-19 C (C = coulomb) usualmente representada por el
símbolo e, tiene una masa de 9.11x10-31kg.
UNIDAD DE CARGA ELECTRICA: La unidad de carga eléctrica es el Coulomb
(culombio) de símbolo C se define, en principio, como la carga eléctrica que situada
frente a otra igual, a 1m de distancia y en el vacío, se repelen con una fuerza de
9x109N.
Carga fundamental (del electrón y del protón)
=-1.602x10-19C
e+ =+1.602x10-19C.
e
1
−
Los átomos ocupan posiciones fijas si no consideramos el movimiento térmico.
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EL PROTON: Es una partícula subatómica cargada positivamente. La carga de un
protón es igual a la del electrón, pero de signo opuesto. La masa del protón es de
1.673x10-27kg.
EL NEUTRON: Se define como una partícula sub.-atómica neutra, es decir, sin carga
eléctrica, con una masa de 1.675x10-27kg.
EL NÚCLEO: Es la parte central del átomo cargada positivamente. Está compuesto
de las partículas estables llamadas protones y neutrones. Los electrones se mueven
alrededor del núcleo. El núcleo contiene la mayor parte de la masa.
En la actualidad se conoce que la mayoría de las partículas subatómicas son sistemas
compuestos por varias entidades fundamentales llamadas QUARS.
NÚMERO ATOMICO Y NÚMERO DE MASA.
(Z).El número atómico es igual al número de protones que hay en el núcleo; (igual a
la carga positiva).
(A). El número de masa es igual al número de protones y de neutrones en el núcleo.
A=Z+N
(N) neutrones
La nomenclatura
A
Z
X
Por ejemplo:
± n
12
6
C
Indica Z= 6 protones y A = 12 número de masa, por lo que concluimos que se tienen
12-6 = 6 neutrones
Se utilizó la relación A=Z+N, de donde se despeja N=A-Z, tomando en cuenta que en
el primer caso A = 40 y Z = 20, por lo que N = 40-20 = 20; en el segundo caso
tenemos A = 40 y Z=20, N = 40 – 20 = 20.
Otros ejemplos
40
20
40
20
C a +2
20 protones
18 electrones
20 neutrones
Ca
20 protones
20 electrones
20 neutrones.
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La notación +2 nos dice que al átomo le faltan dos electrones, por lo que es un ion
cargado positivamente
ISOTOPO: Son átomos que tienen el mismo número de protones (mismo número
atómico) pero diferente número de neutrones o sea diferente número de masa.
Su causa se debe a la existencia de distinto número de neutrones en el núcleo de los
átomos del mismo elemento. Casi todos los elementos presentan isótopos. Las masas
de la tabla periódica corresponden a valores promedios de las masas.
ION: Es un átomo cargado positivamente o negativamente, si es positivo
significa que ha perdido electrones. Por el contrario si el negativo, significa que
ha ganado electrones.
ESTRUCTURA ELECTRONICA DE LOS ATOMOS:
El átomo es la unidad fundamental de la materia y está conformado por un gran
número de partículas subatómicas de las cuales tres son esenciales y de vida larga.
EL PROTON
EL ELECTRON.
EL NEUTRON
La masa del átomo está constituida principalmente por la masa del neutrón y la del
protón; por la naturaleza de su carga eléctrica, el electrón y el protón generan campos,
saliendo de la carga positiva y entrando en la carga negativa.
Algunos de los modelos más utilizados para la representación del átomo.
El diagrama de Lewis
12
6
C
A (masa)=12
Z (protones)=6
De acuerdo a la mecánica quántica. Representación por los diagramas de densidad
de probabilidad generados por los electrones en movimiento.
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Fig. 1 Modelo mecánico cuántico de los primeros átomos de la Tabla Periódica.
Los conceptos de la teoría electromagnética son utilizados en el campo de la
Química.
ELECTRONEGATIVIDAD: Es una medida de la capacidad de un átomo para atraer
sus electrones expertos o de valencia. La electronegatividad es útil para predecir y
explicar la reactividad.
AFINIDAD ELECTRONICA: Es la energía que debe liberar un átomo cuando recibe un
electrón. La partícula residual es un ión.
POTENCIAL DE IONIZACION: Es la energía necesaria para que un átomo neutro
pierda uno de los electrones más externos o de valencia. La partícula que resulta es
un ión (+).
El enlace se podría pensar simplemente como unión de partículas; en particular se
debe considerar el enlace como consecuencia de fuerzas ELECTRICAS de atracción
entre los núcleos y los electrones, que ligan a los átomos entre si y de fuerzas
residuales que dan origen a las moléculas. Los electrones de los átomos de los
elementos que interactúan son los principales involucrados en la formación de
compuestos químicos. Los elementos se combinan de dos maneras generales:
a) Transfiriendo electrones de un átomo a otro, conocidos como compuestos
iónicos.
b) Compartiendo electrones entre diferentes átomos para formar compuestos
covalentes.
En el caso del agua se tienen “enlaces” no covalentes como: i-el enlace de hidrogeno,
ii- la interacción electrostática, iii- las fuerzas de van der Waal y iv- la interacción
hidrofóbica.
ELECTROSTATICA
En Electrostática es importante comprender tres conceptos físicos que están
muy relacionados, estos son: Las fuerzas de atracción y repulsión que existe
entre cargas o cuerpos cargados, esto se explica utilizando la Ley de Coulomb.
Lo segundo es que a partir de la ley de Coulomb se puede deducir el concepto
de Campo Eléctrico y lo tercero es que dentro de este campo Eléctrico se
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puede realizar trabajo y comprender como con el trabajo se establece el
concepto de Potencial Eléctrico.
A partir de aquí, podemos comenzar a estudiar la ELECTRODINAMICA, parte
de la Física que estudia el movimiento de cargas eléctricas.
LEY DE COULOMB. Si se tienen dos cargas eléctricas, éstas se pueden atraer
o repeler de acuerdo a sus signos. Las fuerzas de atracción o repulsión son
directamente proporcionales al producto de las cargas e inversamente
proporcionales al cuadrado de la distancia que las separa.
JK kq1 q 2 K
F =
u.
r2
K
En donde u es el vector unitario que va de q1 a q2 (la fuerza siempre está en la
dirección de la línea que une a las partículas), y k es el coeficiente de
proporcionalidad que depende de las unidades en que se midan las
magnitudes correspondientes: carga, distancia y fuerza. En el Sistema
Internacional en el cual F se mide en Newton (N), q1 y q2 en culombios (C), r
en metros (m), k vale k=9x109 N.m2/C2. La fuerza de Coulomb ha sido escrita
en forma vectorial, sin embargo es importante que se pueda utilizar esta
fórmula en forma escalar comprendiendo el carácter vectorial de su aplicación.
Esta nota es valida para otras fórmulas que siendo vectoriales se escriben en
forma escalar, como por ejemplo la del campo eléctrico en el vacío.
1
En los sistemas racionalizados se escribe: k=
F=
1
4πε 0
q1 q 2
r2
4π ε
ε0 =
En donde
1
4π k
.
0
= 8,85x10-12C2/N. m2
ε0 es la constante física llamada permitividad del vacío.
Si el medio donde es encuentran las cargas no es el vacío, las fuerzas debido
a las cargas que se inducen en el medio reducen el valor de la fuerza entre las
cargas libres. La fuerza resultante, en estas condiciones, viene dada por.
F =
1
4 πε
q1q 2
r2
.
En el caso en que el medio sea el aire, ε es ligeramente superior a ε0 y
normalmente, se toma igual a él. Para otros medios, ε se expresa en la forma.
ε=κε 0
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En donde κ es una constante adimensional que se denomina constante
dieléctrica relativa o capacidad inductiva especifica del medio; ε=kε0 es la
permitividad del citado medio, o constante dieléctrica absoluta, y ε 0 la
permitividad del vacío o del espacio libre. En el vacío k = 1 y entonces ε = ε 0
La unidad de carga eléctrica, el Culombio con símbolo C se define en principio
como la carga eléctrica que situada frente otra igual, a 1m de distancia y en el
vacío, se repelen con una fuerza de 9x109N.
CAMPO ELECTRICO. Cuando una carga de prueba positiva se
dentro de la zona de influencia de otra carga, ésta experimenta una
repulsión o atracción) que dependerá de la distancia a la carga.
Eléctrico es la zona en la cual existe una fuerza electrostática por
carga y se determina a partir de la ley de Coulomb.
encuentra
fuerza (de
El campo
unidad de
G
JK F
q
E = = k 2 uˆ
q0
r
Donde û es el vector unitario en la dirección del lugar en que está la carga que
genera el campo, al punto donde está la carga de prueba.
Principio de superposición. Si varias cargas q1, q2, q3, … están situadas a
distancias r1, r2, r3, … de un punto dado P, cada una de ellas ejerce una fuerza
sobre una carga de prueba q´ situada en dicho punto, y la fuerza resultante
sobre la carga de prueba es la suma vectorial de los campos individuales
G G G
G
E = E1 + E2 + E3 + ... =
⎞
1 ⎛ q1rˆ1 q2 rˆ2 q3 rˆ3
⎜ 2 + 2 + 2 + ... ⎟
4πε 0 ⎝ r1
r2
r3
⎠
rˆi es el vector unitario en la dirección de i-ésima partícula.
Líneas de campo. El concepto de líneas de campo fue introducido por Michael
Faraday (1791-1867) para ayudar a visualizar los campos eléctricos. Una línea
de campo es una línea imaginaria trazada de forma que su dirección en
cualquier punto (es decir la dirección de su tangente) es igual a la del campo en
ese punto.
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Fig. 2 Líneas de Campo
Como el campo sólo puede tener una dirección, por consiguiente en cada
punto solamente puede pasar una línea de campo, es decir, las líneas de
campo nunca se cruzan.
La densidad de líneas es proporcional a la magnitud del campo.
Ejemplos de campo eléctrico
Fig. 3
a) carga puntual positiva, b) carga positiva y carga negativa, c)
placas cargadas.
Ley de Gauss.
Esta ley fue desarrollada por Kart Friedrich Gauss (1777-1855).
Consideremos una carga puntual positiva aislada. Imaginemos esta carga
rodeada por una superficie esférica de radio R, con la carga en su centro. El
área de esta superficie imaginaria es 4πR2, de forma que si el número total de
líneas de campo que salen de q es N, el número de líneas por unidad de
superficie en la superficie esférica es N/4πR2. Imaginemos una segunda esfera
concéntrica con la primera pero de radio 2R. Su área es 4π(2R)2= 16πR2, y el
número de líneas por unidad de superficie en esta esfera es N/16πR2, la cuarta
parte de la densidad de líneas en la primera esfera. Esto se debe a que, a la
distancia 2R el campo es solamente la cuarta parte de lo que es a R.
El hecho de que el número de líneas a la distancia 2R sea la misma que a R se
puede expresar así: el producto E A nos
da
EA =
q
ε0
El teorema de Gauss nos dice que para
toda superficie cerrada A, el flujo
eléctrico a través del área dA se puede
expresar así
flujo eléctrico = E ⊥ dA
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Fig. 4 Superficie cerrada
Se tiene que
Q
v∫ E dA = ε
⊥
0
Q = ∑ qi
i
Que se interpreta diciendo que la integral del producto escalar del campo con el
vector área unitaria dА (componente perpendicular del campo a la superficie
dA), flujo de E a través de la superficie, es igual a la carga neta contenida
dentro de la superficie dividida por ε0.
Aplicación de la Ley de Gauss
Localización del exceso de carga en un conductor (situación electrostática).
Como E = 0 al interior del conductor, tomando una superficie que quede
totalmente al interior del conductor, el teorema de Gauss nos dice que la carga
al interior del conductor es cero y la carga se localiza por lo tanto, en la parte
externa del conductor.
Fig. 5 Cargas en un conductor a) conductor sólido, b) conductor con hueco al
interior, c) Conductor cargado al interior del hueco.
Campo creado por una esfera conductora cargada. Aplicando el teorema de
Gauss para una esfera de radio r al exterior de la esfera metálica tendremos
4π r 2 E =
q
ε0
E=
1
q
4πε 0 r 2
Para radios menores que R (radio de la esfera metálica) tendremos E = 0. Es
decir que el campo fuera de la esfera es igual al producido como si la carga q
estuviese concentrada el centro de la esfera. En la superficie tenemos r = R
E=
1
q
4πε 0 R 2
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ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA, POTENCIAL ELECTRICO o
VOLTAJE.
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga q cuando se mueve
desde la posición a hasta la posición b es independiente del camino
seleccionado para ir del punto a al punto b.
Fig. 6. Trabajo en un campo eléctrico
b G G
W = ∫ F .dl = U a − U b
a
U=
1 qq´
es la energía potencial eléctrica.
4πε 0 r
Para varias cargas:
⎞
q´ ⎛ q1 q2 q3
q´
U=
⎜ + + + ... ⎟ =
4πε 0 ⎝ r1 r2 r3
⎠ 4πε 0
qi
∑r
i
i
Definimos la energía potencial por unidad de carga y lo denominaremos
potencial eléctrico: V=U/q´. Por lo dicho, el potencial eléctrico en un punto del
espacio influenciado por un campo eléctrico, es el trabajo para trasladar la
unidad de carga desde el infinito hasta el punto. La DIFERENCIA DE
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POTENCIAL O DIFERENCIA DE VOLTAJE es el trabajo necesario para
trasladar la unidad de carga entre esos dos puntos.
El Potencial eléctrico puede ser positivo, cero o negativo y la unidad de medida
es el VOLTIO que equivale a 1 Joule/Coulombio.
V =k
q
r
CAPACITANCIA. PROPIEDADES DE LOS DIELECTRICOS
La capacitancia C de un capacitor (dos conductores separados por un aislador)
se define como el cociente de la carga de uno cualquiera de los conductores a
la diferencia de potencial Vab entre ellos:
C=
Q
Vab
Capacitor de placas planas
Q
A
= ε0
donde A es el área de las placas y d es la separación entre
Vab
d
ambas.
C=
Capacitores en serie y en paralelo
Si se tiene un circuito con capacitancias C1 y C2, la capacitancia equivalente C
del circuito se define así:
Conexión en serie
1 1
1
= +
C C1 C2
Conexión en paralelo
C = C1 + C2
Energía de un capacitor cargado
1
W = QV
2
1
u = ε 0 E 2 densidad de energía por unidad de volumen
2
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Efecto de un dieléctrico
La mayor parte de los capacitores tienen entre sus placas un material sólido no
conductor o dieléctrico. Definiendo el cociente
C
C0
K=
Donde denominamos a K como constante dieléctrica del material, C0
capacidad con vacío entre las placas y C capacitancia con dieléctrico
Valores de la constante dieléctrica K a 20° C
Material
K
Material
Vacío
1
Titanato de estroncio
Vidrio
5-10
Dióxido de titanio (rutilio) ┴
Mica
3-6
Dióxido de titanio (rutilio) ‫װ‬
Mylar
3.1
Agua
Neopreno
6.70
Glicerina
Plexiglas
3.40
Amoniaco líquido (-78°C)
Polietileno
2.25
Benceno
Cloruro de polivinilo
3.18
Aire (1 atm)
Teflón
2.1
Aire (100 atm)
Germanio
16
K
310
173
86
80.4
42.5
25
2.284
1.00059
1.0548
Capacitor de placas planas
El campo eléctrico del capacitor sin medio dieléctrico o en el vacío es:
E0 =
V0 σ
=
d ε0
σ es la carga por unidad de superficie en las placas.
Con dieléctrico tenemos:
E=
σ σ
=
ε κε 0
Por lo que
C =ε
A
d
Electrodinámica
CORRIENTE ELECTRICA. Cuando las cargas eléctricas ya sean negativas o
positivas, se desplazan, se dice que existe una corriente eléctrica. La Corriente
eléctrica mide la cantidad de carga eléctrica que circula por la sección de un
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material con respecto a la unidad de tiempo. La unidad de corriente eléctrica es
el Amperio.
Ι=
Δq
Δt
En donde I es la corriente eléctrica, ∆q es la carga que atraviesa una sección
de conductor y ∆t el tiempo que emplea la carga en pasar. En el sistema SI la
unidad de carga se llama amperio, en honor al físico francés André Marie
Ampére (1775-1836)
1 Amperio = 1 Coulombio/1 segundo
1 A = 1 C/s
Por facilidad en la compresión del estudio de la electrodinámica se hace mayor
énfasis en el transporte de cargas eléctricas negativas como lo son los
electrones, sin embargo en los organismos vivos y en ciertas soluciones
químicas existen fenómenos que involucran transporte de cargas positivas,
como lo podrían ser iones positivos.
Fig. 7
Modelo microscópico
La corriente que pasa por un conductor de sección A en el que existe un campo
eléctrico E dirigido de izquierda a derecha, supondremos que el conductor tiene
partículas cargadas positivamente, éstas se mueven en la misma dirección que
el campo. Supongamos que hay n de tales partículas por unidad de volumen
moviéndose con una velocidad de arrastre v. En un tiempo ∆t cada una recorre
una distancia v∆t. Por lo tanto todas las partículas contenidas en el cilindro
sombreado de longitud v∆t y solamente ellas fluirán a través de la base del
cilindro en el tiempo ∆t. El volumen del cilindro es Av∆t, el número de partículas
en el mismo es nAv∆t y si la carga de cada una es q, la carga que fluye a
través de la base del cilindro en el tiempo ∆t
es
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ΔQ = nqvAΔt
Y la corriente es
I=
Fig. 8 Conductor
ΔQ
= nqvA
Δt
La densidad de corriente J es la corriente por unidad de área transversal
J=
I
= ∑ nqv
A
G
G
J = ∑ ni qi vi
i
Resistividad
La densidad de corriente J en un conductor depende del campo eléctrico E
aplicado y de la naturaleza del conductor. La resistividad ρ de un material
determinado se define así:
E
es decir, que la resistividad es el campo eléctrico por unidad
J
densidad de corriente.
ρ=
Resistividades a temperatura ambiente
clase Sustancia
ρ (Ω.m)
metal Plata
1.47x10-8
Cobre
1.72x10-8
Oro
2.44x10-8
Aluminio
2.63x10-8
Volframio
5.51x10-8
Acero
20x10-8
Plomo
22x10-8
Mercurio
95x10-8
AleManganina
44x10-8
ación Constantán
49x10-8
Nicróm
100x10-8
de
clase
Semi
conduc
puro
Sustancia
Carbón
Germanio
Silicio
ρ (Ω.m)
3.5x10-5
0.60
2300
aislad
Ámbar
Azufre
Cuarzo
Lucita
Madera
Mica
Teflón
Vidrio
5x1014
1015
75x1016
> 1013
108-1011
1011-1015
> 1013
1010-1014
Un conductor perfecto debería tener resistividad nula, mientras que un aislador
perfecto debería tener resistividad infinita. Los semiconductores constituyen
una clase intermedia entre los conductores y los aisladores. Su importancia
reside no en el valor de sus resistividades sino en la forma en que son
afectados por la temperatura y por pequeñas cantidades de impurezas.
El descubrimiento de que ρ es constante para un conductor metálico a las
temperaturas constantes se debe a G. S. Ohm (1789-1854) y se denomina Ley
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de Ohm. Un material conductor que verifica esta ley es llamado conductor
óhmico o conductor lineal.
RESISTENCIA ELECTRICA: R. La resistencia eléctrica mide la oposición que
presenta todo material a la circulación de cargas eléctricas. Las unidades en
que se mide la resistencia eléctrica se llaman Ohmios. Representados por la
letra griega omega
Ω.
Fig. 9
Para un conductor metálico de sección transversal uniforme A expresada en
metros cuadrados (m2) y una longitud L (en metros), la resistencia está en
función de sus dimensiones y se puede calcular con la siguiente expresión.
R=ρ
L
.
A
Resistencia del conductor
Por lo que se puede escribir V = IR
FUERZA ELECTROMOTRIZ: Para que exista una corriente estacionaria en un
circuito conductor, éste debe formar una malla cerrada o circuito completo y
debe estar formado además de resistencias eléctricas, por un dispositivo donde
la carga pasa de un potencial menor a otro mayor, este aparato genera fuerza
electromotriz. Ejemplo de tales dispositivos son las baterías, los generadores,
células fotovoltaicas y termopares.
El concepto de fuerza electromotriz es un término antiguo que identifica a un
generador eléctrico como lo puede ser una pila, una batería, un acumulador, un
generador o cualquier otra fuente de energía eléctrica sea de corriente directa o
de corriente alterna. Esta fuerza electromotriz representa la energía que se
puede suministrar por unidad de carga eléctrica para hacer que la carga circule
entre dos puntos de un conductor, de un aislante o de un semiconductor. La
fuerza electromotriz que abreviadamente se escribe como
fem (y
representaremos en las ecuaciones por ξ), se mide por la diferencia de voltaje
que hay entre los bornes o terminales del generador, expresando esa medición
en unidades de voltios (1V=1J/C).
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Toda fuente real tiene alguna resistencia interna r por lo que se escribe:
ξ − Ir = IR
LEY DE OHM: La ley de ohm establece la relación para un material entre las
magnitudes físicas corriente, voltaje y resistencia. Para una sección de material
ómnico la corriente eléctrica que circula por él es directamente proporcional al
voltaje entre sus terminales e inversamente proporcional a su resistencia, esto
expresado matemáticamente es:
V
R
Ι =
En donde V puede ser un valor constante (corriente directa), o un valor que
varia con el tiempo (corriente alterna). Cuando el voltaje varía con respecto al
tiempo es usual utilizar v por ejemplo:
ν (t) =120sen(120π t )
Para este caso la Ley de Ohm se escribiría así:
i =
v
R
i=
120 sen (120π t )
R
Existen materiales que cumplen la Ley de Ohm y materiales que no la cumplen.
A estos últimos se les denomina materiales no Óhmicos.
ENERGIA ELECTRICA Y POTENCIA: Potencia eléctrica es la cantidad de
energía entregada o energía disipada por unidad de tiempo en cualquier
material. La potencia eléctrica se mide en unidades de watts (W).
1 W=1J/s
La energía eléctrica que puede ser energía entregada o energía disipada se
mide en joules o en wats-hora. En el caso de energía disipada es la energía
que se transforma en calor en un conductor de resistencia R cuando es
recorrido por una corriente eléctrica.
La potencia eléctrica se puede expresar como:
P=
ΔW Vab I Δt
=
= Vab I
Δt
Δt
P = VI = I 2 R =
V2
R
P = ξ I − I 2 r es la potencia suministrada por una fuente electromotriz, r es la resistencia
interna de la fuente. El segundo término del segundo miembro es la energía disipada por
la resistencia interna del generador, su calentamiento.
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Resistores en serie y en paralelo
Fig. 10 Cuatro modos distintos de conectar 3 resistores
Resistencia equivalente de un Circuito Serie
R = R1 + R2 + ...
Resistencia equivalente de un Circuito Paralelo
1 1 1
= + + ...
R R1 R2
Reglas de Kirchhoff
1) Regla de los nodos (nudos). La suma algebraica de las corrientes que se
dirigen a cualquier nudo es cero
∑I = 0
2) Regla de las mallas. La suma algebraica de las diferencias de potencial en
cualquier malla, incluidas las asociadas a las fuerzas electromotrices y los
elementos resistivos, ha de ser igual a cero.
∑ ξ − ∑ IR = 0
La regla de los nudos es una aplicación del principio de conservación de la
carga. La regla de las mallas es una expresión de la conservación de la
energía.
Para la aplicación de estas reglas se debe suponer una dirección de la
corriente y para las fuerzas electromotrices desconocidas.
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Los siguientes circuitos no se pueden reducir a simples combinaciones de serie
y paralelo
Fig. 11 Ejemplos de circuitos
Aplicación de las reglas de Kirchhoff
Fig. 12
Una ejemplo concreto, Hallar la corriente I, la resistencia R y la fem
desconocida del siguiente circuito:
Solución: I =5 A, R = 4 Ω,
ξ = -14 V
CAMPO MAGNÉTICO
Los fenómenos magnéticos observados originalmente estaban relacionados
con los imanes naturales, mineral de hierro encontrado cerca de la antigua
ciudad de Magnesia. Estos imanes naturales tienen polos magnéticos. Hasta
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1819 no se había demostrado la existencia de ninguna relación entre los
fenómenos eléctricos y magnéticos. En ese año el físico danés Hans Christian
Oersted (1777-1851) observó que un imán giratorio sobre un eje (una aguja de
brújula) se desviaba en las proximidades de un cable que transportaba una
corriente. Doce años más tarde, el físico inglés Michael Faraday (1791-1867)
observó que en un circuito se producía una corriente momentánea cuando en
otro circuito se establecía o interrumpía una corriente. Poco tiempo después se
descubrió que el movimiento de un imán acercándose o alejándose del circuito
producía el mismo efecto. Joseph Henry (1797-1878), un científico americano
descubrió independientemente el mismo fenómeno.
Para explicar la interacción entre dos cargas en reposo, es conveniente
introducir el concepto de campo eléctrico y describir la interacción en dos
etapas:
1. Una carga establece o crea un campo eléctrico E en el espacio que la
rodea.
2. El campo eléctrico E ejerce una fuerza F = qE sobre una carga q
situada en el campo.
Seguiremos el mismo modelo para describir las interacciones de cargas
móviles:
1. Una carga móvil o una corriente eléctrica, establece o crea un campo
magnético en el espacio que la rodea.
2. El campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga móvil o sobre
una corriente eléctrica que está en el campo.
Igual que el campo eléctrico, el magnético es un
campo vectorial, es decir, una cantidad vectorial
asociada con cada punto del espacio.
Utilizaremos el símbolo B para expresar el campo
magnético.
G
G G
La fuerza magnética se define asï F = qv × B , es
decir el producto vectorial de los vectores v y B,
CAMPO MAGNETICO: Es la región del espacio
que rodea a una carga eléctrica en movimiento.
En un determinado punto del espacio existe un campo magnético siempre que
al pasar por él una carga eléctrica con una velocidad dada sufra la acción de
una fuerza que no sea ni electroestática ni gravitatoria.
CAMPO MAGNETICO: El campo magnético tiene dos formas de ser producido:
por imanes y por corriente eléctrica.
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DIRECCION Y SENTIDO DEL CAMPO MAGNETICO DE UNA CORRIENTE:
Se determina por la regla
del sacacorchos. En el
caso de un conductor
rectilíneo, recorrido por
una corriente, las líneas
de fuerza del campo
magnético
generan
circunferencias
concéntricas
en
cada
plano perpendicular al
conductor.
Pero de
ninguna forma significa
que estos vectores son
circunferencias. En cada
punto de esta circunferencia tangencialmente se genera el vector campo
magnético. El sentido de circulación, en estas líneas, es el correspondiente al
giro de un sacacorchos que avance en el sentido de la corriente.
JK
B
Las unidades en que se mide B en el Sistema Internacional (SI) es el Tesla =1
N.s.C-1.m-1, ó como 1 N.A-1 m-1. En el sistema CGS las unidades de B son el
gauss (1 G = 10-4 Tesla).
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LÍNEAS DE CAMPO Y FLUJO MAGNETICO
Un campo magnético se puede representar por líneas, de forma que la
dirección de la línea a través de un punto dado es igual a la del campo B en
dicho punto.
El flujo magnético es una medida del número total de líneas
magnéticas que atraviesan una superficie.
de fuerza
JJK JJK
dΦ = B. dA
En donde
dΦ es el flujo magnético a través de la pequeña superficie dA,
JK
JK
B
es el campo magnético y d A es el vector diferencial de área. El flujo
magnético es el producto escalar entre B y dA.
FUERZA DE UNA CARGA O DE UNA CORRIENTE EN UN CAMPO
MAGNETICO
Cuando una carga eléctrica o una corriente eléctrica se encuentran en la
presencia de un campo magnético se produce una fuerza llamada Fuerza de
Lorentz que se manifiesta de acuerdo a la siguiente ecuación.
JK
K JK
F = q vxB
En donde
JK
F
(
K
v
es el vector fuerza,
ingresa la carga en el campo magnético y
significa producto vectorial.
)
es el vector velocidad con el que
JK
B
es el campo magnético, la x
La anterior fórmula se puede modificar para el caso de corriente eléctrica sobre
un conductor, siendo la siguiente:
JK
JK JK
F = Ι LxB
I es la corriente, L vector longitud del conductor, B el campo magnético. Esta
expresión es la base física para el funcionamiento de los motores eléctricos.
En el caso de que la carga eléctrica esté en un campo eléctrico y en un campo
magnético la fuerza de Lorentz es la siguiente:
JK
JK
K JK
F = qE + q vxB
(
20
)
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Fuerza y torque sobre un circuito completo
F=IaB
τ = I B A sen α = m B sen α, donde m = I A, momento magnético
G G
G
Γ = I A× B
Campo magnético de una corriente
G
G μ0 I dl × rˆ
dB =
4π r 2
G
G μ0 I dl × rˆ
B=
4π ∫ r 2
Campo magnético alrededor de un conductor rectilíneo largo.
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Ley de Ampère
G G
B
v∫ .dl = μ0 I . La circulación del campo magnético en una trayectoria cerrada es
proporcional a la corriente que lo circula.
Fuerza electromotriz inducida
Circuito (en forma de cuadro) girando con velocidad angular constante
ξ = ξ0 sen (ω t ) fem oscilatoria simple.
ξ=
dΦ
Ley de Faraday, Φ es el flujo magnético
dt
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Modelo de planta termoeléctrica. El vapor es producido quemando
hidrocarburos y sirve para realizar el trabajo mecánico sobre la turbina.
LEY DE LENZ:
La corriente inducida en un conductor tiende a oponerse a la causa que la
produce.
Si una bovina es atravesada por un flujo magnético y este flujo magnético se
incrementa, se origina en la bovina una corriente inducida que circula en una
dirección tal que el campo magnético asociado se opone al incremento del
campo en el cual se encuentra la bovina.
LEY DE FARADAY:
El voltaje inducido en una bovina es directamente proporcional al cambio de
flujo por unidad de tiempo y al número de espiras de la bovina. Cuando se
produce una variación de flujo con respecto al tiempo se origina un voltaje
inducido en algunos casos llamado fuerza electromotriz (fem) en cada una de
las espiras, y como éstas están en serie, el voltaje inducido en la bovina o fem
inducida en la bovina, será la suma de las inducidas en cada una de ellas. El
voltaje inducido en la bovina es:
ε = −N
ΔΦ
Δt
En donde el signo menos indica que el voltaje inducido se opone a la causa
que lo origina (ley de lenz), el voltaje inducido viene medido en el sistema
internacional en voltios, siempre que
(Weber).
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ΔΦ / Δ t
se exprese en
Wb/s.
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También El voltaje inducido se puede originar cuando un conductor corta
líneas de campo magnético.
VOLTAJE INDUCIDO EN UN CONDUCTOR QUE SE MUEVE EN UN CAMPO
MAGNETICO:
El voltaje inducido en un conductor rectilíneo de longitud l que se mueve
dentro de un campo magnético B a una velocidad v viene dada por la
formula:
ε = Blv
Siendo B, l y v perpendiculares entre si. El voltaje inducido se mide en voltios
cuando B se expresa en teslas (T) o Wb/m2, l en m y v en m/s.
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TEORIA OPTICA.
La necesidad de explicar una diversidad de fenómenos relacionados con la
luz, ha conducido a la formulación de varias teorías que mencionaremos a
continuación:
a) Teoría corpuscular: formulada por Isaac Newton, sostenía que la luz
consistía de una corriente de pequeñas partículas (corpúsculos)
viajando en línea recta que producían la sensación de visión al chocar
con la retina del ojo.
b) Teoría Ondulatoria: Formulada por Christian Huygens, explicaba muchas
de las propiedades de la luz, considerándola como de naturaleza
ondulatoria.
Suponía que la luz resulta de la propagación de ondas semejantes a las
del sonido, las cuales se transmiten a través de un medio que fue
llamado Éter.
c) Teoría Electromagnética: Formulada por James Clark Maxwell. De
acuerdo con esta teoría, la luz está constituida por la propagación de
una oscilación armónica de un campo eléctrico y uno magnético
perpendiculares entre si y a la dirección del rayo. Lo que se considera
luz de acuerdo a esta teoría es una onda electromagnética que tiene un
rango de longitud de onda de 400 nanómetros a 700 nanómetros (nm)
nano= 10-9. La menor longitud de onda corresponde al violeta y la mayor
longitud de onda corresponde al rojo.
Observar que:
c=
λ
T
T =
c=λf
1
f
f =
c
λ
En donde c= velocidad de la luz y su valor experimental medido es
c=299792458m/s y su valor teórico es c=3x108m/s.
Además λ es la longitud de onda metros y f es frecuencia en 1/s ó Hertz.
Observar que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud
de onda. La longitud de onda de 400nm corresponde a una frecuencia
de 750THz, en donde T=1012 y se lee Tera Hertz, arriba de esa
frecuencia se dice que se está en el ultravioleta. A La longitud de onda
de 700nm le corresponde una frecuencia de 429 THz y debajo de esa
frecuencia se le llama el infrarrojo.
d) Teoría Quántica: Formulada por Max. Planck y Einstein. En esta teoría,
la luz es emitida y viaja en forma de pequeños trenes de ondas o
paquetes de energía que reciben el nombre de cuantos de luz o fotones.
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Espectro de ondas electromagnéticas
Observe que el espectro visible de la radiación electromagnética es una
pequeña porción.
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FENOMENOS RELACIONADOS CON LA LUZ.
DISPERSION.
REFLEXION.
REFRACCION.
SUPERPOSICION.
POLARIZACION.
DISPERSION: Es la absorción e inmediata reemisión de la energía
electromagnética por átomos y moléculas. Los procesos de reflexión y
refracción son manifestaciones microscópicas de la dispersión que se lleva a
cabo a nivel sub-microscópico.
REFLEXION: La reflexión se refiere al rebote de la onda de luz en una
superficie, este fenómeno cumple la siguiente ley: “cuándo un rayo de luz
monocromática choca contra una superficie horizontal, el ángulo que forma el
rayo de luz con respecto a la normal a la superficie es igual al ángulo que forma
el rayo reflejado con la normal, esto es el ángulo de incidencia es igual a
ángulo de reflexión”.
θincidencia =θreflexion
Además el rayo incidente el reflejado y la normal están en el mismo plano.
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Ondas, frentes de ondas y rayos
Se define un frente de onda como el lugar geométrico de todos los puntos en
los que la fase de la vibración de una cantidad física es la misma. Así por
ejemplo para una onda sonora que se propaga en todas las direcciones desde
una fuente puntual, cualquier superficie esférica es un posible frente de onda.
Fig. Frentes de onda y rayos luminosos
Rayo luminoso. Desde el punto de vista de la teoría corpuscular, los rayos son
las trayectorias de los corpúsculos. Desde el punto de vista de la teoría
ondulatoria son líneas imaginarias trazadas en la dirección de la propagación
de la luz
Refracción de la luz
Leyes de los rayos
™ Los rayos incidentes, reflejado y refractado, lo mismo que la normal a la
superficie, se encuentran en un mismo plano
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™ El ángulo de reflexión φr es igual al ángulo de incidencia φi, para todos
los colores y para cualquier par de medios.
™ Para la luz monocromática y un par de medios dados, a y b, situados en
los lados opuestos de la superficie de separación, la razón del seno del
ángulo φa (entre el rayo en el medio a y la normal) y el seno del ángulo
φb (entre el rayo en el medio b y la normal) es una constante.
a
senϕa
= cons tan te
senϕb
b
En caso de que el primer medio es el vacío este
cociente define el índice de refracción del medio
a.
senϕ0
= na
senϕa
0
a
Índice de refracción de la luz para la luz
amarilla de sodio (λ= 589 mm)
SUSTANCIA
ÍNDICE
DE
REFRACCIÓN
Sólidos
Hielo
1.309
Fluorita (CaF2)
1.434
Sal gema (NaCl)
1.544
Cuarzo (SiO2)
1.544
Circonita
1.923
Diamante
2.417
Vidrios
Crown
1.52
Flint ligero
1.58
Flint Medio
1.62
Flint denso
1.66
Líquidos
Alcohol metílico
1.329
Agua
1.333
Alcohol etílico
1.36
Benceno
1.501
REFRACCION: Es el fenómeno que describe el paso de la luz de un medio a
otro medio en esa acción existe un cambio en la longitud de onda y esto
produce a su vez un cambio de velocidad de la luz.
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Se define como índice de refracción n, a la relación entre la velocidad de la
luz en el vacío, que es c=3x108m/s y la velocidad de la luz en cualquier otro
medio.
n =
c
v
La ley de la refracción de Snell: Establece que si un rayo monocromático o
poli cromático pasa de un medio con un índice de refracción menor a otro
medio con un índice de refracción mayor el rayo se acercará a la normal. Si
sucede lo contrario, o sea, el rayo pasa de un índice de refracción mayor a un
medio con índice de refracción menor el rayo se alejara de la normal. Este
fenómeno se expresa mediante la siguiente ecuación:
n1senθ1 = n2 senθ2
Esta ecuación también se puede expresar en términos de la longitud de onda y
de la velocidad:
λ2 senθ1 = λ1senθ 2
Una aplicación importante de la fracción son las lentes que pueden ser lentes
gruesas y lentes delgadas. En este compendio sólo nos interesa la teoría de
lentes delgadas.
senϕa nb
=
senϕb na
Ley de Snell de la refracción para dos medios ópticos a y b.
Transmisión de la luz entre láminas
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Reflexión total interna
sen φcrítico =
nb
na
Utilización en prismas
Principio de Huygens
Cada punto en un frente de onda puede considerarse como fuente de pequeñas ondas
secundarias, que se propagan en todas direcciones con una velocidad igual a la
velocidad de propagación de las ondas.
va nb
=
vb na
λa na = λb nb
Si uno de los medios es el vacío, n=1 y v = c
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na =
c
va
nb =
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c
vb
λa =
λ0
na
λb =
λ0
nb
Variación del índice de refracción con la longitud de onda
Dispersión por un prisma
Iluminación
Definimos intensidad de la luz como la potencia por unidad de área (watts/m2)
Potencia radiante ó flujo radiante a al energía radiante total emitida por una fuente.
Flujo luminoso F, es la energía total del visible.
El lumen (lm) es la unidad de flujo luminoso. Cantidad de luz emitida por una
superficie de 1/60 cm2 de área de platino puro a su temperatura de fusión (1770°C)
en un ángulo sólido de 1 estereorradián. Por ejemplo, una lámpara de 40 watts es
aproximadamente 500 lm. Un tubo fluorescente de 40 watts es de unos 2300 lm.
La iluminancia (intensidad de la iluminación) es el flujo luminoso por unidad de
área se designa con E y se mide en lux (= 1 lm. m-2)
E=
F
A
iluminancia, A es el área.
Intensidad luminosa I =
F
;
Ω
Ω=
A
R2
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Imágenes formadas por una sola superficie
Cuando un rayo incide sobre una superficie, una parte se refleja y otra se refracta.
Imagen: los rayos que salen del punto P luego de refractarse o reflejarse emergen
con las direcciones características de haber pasado por un punto P´ común que
llamaremos punto imagen.
Reflexión en una superficie plana.
Convenios
Cuando un objeto y la luz incidente están al mismo lado de la superficie reflectante,
la distancia objeto s es positiva; si no, es negativa.
Cuando la imagen y la luz emergente están al mismo lado de la superficie
reflectante, la distancia imagen s´ es positiva; si no, es negativa.
Aumento lateral m =
s = - s´
m= +1 (espejo plano)
Imagen derecha, imagen invertida
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y´
y
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Fig. Imagen en el espejo
Reflexión en un espejo esférico
Cuando el centro de curvatura C está en el mismo lado que la luz
emergente (reflejada) el radio de curvatura es positivo; en caso contrario, es
negativo. Para ángulos pequeños se tiene
1 1 2
+ =
s s´ R
Lentes delgadas
ECUACION DEL FABRICANTE DE LAS LENTES.
⎛1 1⎞
1
= ( n − 1) ⎜ + ⎟
f
⎝ r1 r2 ⎠
En donde n= a índice de refracción del material de la lente; r1 y r2= radios de
curvatura de las dos superficies esféricas. Esta ecuación es valida para todas
las lentes. Los radios de curvatura se consideran positivos en las superficies
convexas y negativos en las cóncavas.
ECUACION DE LAS LENTES DELGADAS:
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Esta ecuación parte de la geometría óptica y relaciona la distancia focal f, la
distancia objeto do, que es la distancia del objeto hasta el centro óptico de la
lente y la distancia imagen di que es la imagen desde el centro óptico hasta el
punto donde se forma la imagen,
⎛1 1 ⎞
1 1
+ ´ = (n − 1) ⎜ − ⎟ ecuación del constructor de lentes
s s
⎝ R1 R2 ⎠
1 1 1
+ = ecuación de las lentes delgadas.
s s´ f
La amplificación o la magnificación de una lente se determinan con la siguiente
ecuación.
A=−
di
do
Donde di distancia imagen, do distancia objeto.
POTENCIA DE UNA LENTE.
Se expresa en unidades de dioptrías y es igual al inverso de la distancia focal
de la lente expresada en metros.
Dioptría = 1/f
FRENTE DE ONDA:
Son las superficies que encabezan el desplazamiento de una onda.
Si el medio es homogéneo e isotrópico la dirección de propagación es siempre
perpendicular al frente de onda.
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INTERFERENCIA Y SUPERPOSICION:
Es cuando dos o más ondas de luz se desplazan en el mismo medio en la
misma dirección o en direcciones opuestas sumando sus desplazamientos
individuales punto por punto.
Experimento de Young
r1 − r2 = d senθ
sen θ =
mλ
d
DIFRACCION:
Fenómeno producido cuando se coloca un objeto entre una fuente de luz y una
pantalla, produciendo un patrón de zonas claras y obscuras.
Difracción de Fresnel
Si se coloca un objeto opaco entre una fuente puntual y una pantalla, los
bordes del objeto proyectarán una sombra nítida en la pantalla. En el caso
siguiente: una fuente puntual (orificio de pequeñas dimensiones iluminado con
luz monocromática) produce sobre un objeto zonas donde cierta cantidad de
luz
ha penetrado en la sombra geométrica, produciendo patrones de
interferencia (figura de difracción)
Difracción de Fraunhofer por una sola rendija
Supongamos que un haz de rayos paralelos monocromáticos incide desde la
izquierda sobre una lámina opaca en la que hay una estrecha rendija vertical.
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No se obtiene una única zona como imagen de la rendija, sino que aparece un
patrón de interferencias.
sen θ =
nλ
;
a
condición de zona oscura
⎧ sen [π a ( sen θ ) / λ ] ⎫
I = I0 ⎨
⎬ Intensidad de las líneas
⎩ π a ( sen θ ) / λ ⎭
2
POLARIZACION:
Vibración de una onda de luz en una dirección específica o en un plano.
Puede haber polarización por reflexión y polarización en un medio
Polarizadores
Utilizando un cristal birrefringente, para obtener luz polarizada
™ Puede hacerse que uno de los rayos experimente reflexión interna y sea
desviado lateralmente, permitiendo al otro rayo avanzar sin desviarse.
™ Ambos rayos pueden separarse ligeramente de modo que, a distancia
suficiente del prisma de separación, sólo uno de ellos sea interceptado.
™ Uno de los rayos puede ser absorbido mientras el otro permanece
inalterado.
RESUMEN DE FÓRMULAS
ΙΔlsenθ
r2
1.
ΔΒ = k
2.
Β = K∑
3.
Β=K
ΙΔlsenθ
r2
4πΝΙ 4π ΝΙ
= 7
i
10 i
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4. μ 0 =
5.
4π W b
10 7 A.m
Β
H =
6. H =
7. Μ =
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μ
Β
μ
=
μΝΙ / l ΝΙ
=
l
μ
L ΒΙΝΑ
=
= ΙΝΑ
B
Β
M
l
8.
P =
9.
F=K
pp´
r2
p
r2
10.
Β= K
11.
Φ=ΒΑ= μHA = μ
Ν
A
Ι
μ0 = 4π x107 Τ.m/ A.
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