método “dabeja” para construir cualquier tipo de

MÉTODO
“DABEJA”
PARA CONSTRUIR CUALQUIER TIPO DE TRIÁNGULOS Y
POLIGONOS REGULARES
DANIEL BEJARANO SEGURA
Licenciado en Matemáticas y Física
[email protected]
MÉTODO “DABEJA” PARA CONSTRUIR CUALQUIER TIPO DE TRIÁNGULOS Y
POLIGONOS REGULARES
El método nace en la necesidad creada en el grado octavo, desarrollando el
pensamiento espacial, con la construcción de triángulos y polígonos regulares,
los cuales se construían con el método de regla y compás siendo este el único
empleado por los docentes en la institución educativa.
Además se
identificaban las siguientes falencias en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas:
•
El no encontrar un método diferente al de regla y compás para la
construcción de triángulos y polígonos regulares, que estuvieran en
diferentes posiciones en el plano cartesiano sin necesidad de efectuar
varias gráficas.
•
El poco empleo que se da a los números reales en las construcciones
geométricas que aparecen en los textos escolares que posee la
institución ya que sus ejemplos y ejercicios propuestos emplean los
números enteros positivos para las medidas de los lados, dejando a un
lado los racionales y los irracionales, permitiendo así que el concepto
de continuidad se olvide por la falta de práctica.
•
La no utilización de los recursos tecnológicos como las calculadoras
científicas y el papel milimetrado para facilitar las operaciones básicas y
la graficación de figuras en el plano con mayor exactitud.
•
Identificar conceptos trigonométricos a partir de la construcción de
triángulos en grados inferiores.
•
En los software existentes se construyen los triángulos y polígonos
regulares, mostrando sus características importantes pero esto no tiene
gran influencia en los educandos ya que no saben que procesos utiliza
el software para la construcción limitando ese potencial del niño a la
simple observación de la construcción con dos o tres movimientos
hechos con el Mouse.
Estos interrogantes hicieron que desde la práctica pedagógica se desarrollará un
método que pudiera construir triángulos y polígonos diferente al método de regla y
compás, que pudiera realizar cualquier construcción identificando en el software su
proceso y que permitiera a los docente de básica primaria (que no son licenciados en
matemáticas) realizar estas prácticas de construcción por aproximación empleando
una o dos cifras decimales, permitiendo que el proceso geométrico se abordará
desde los primeros grados de educación.
El método se basa; a través de un punto de coordenadas cartesianas, la medida del
lado, el ángulo de rotación respecto de la horizontal, el cual puede tomar valores de
0
360º y un ángulo interno dado igual a , permite construir cualquier tipo de
triángulo y polígono regular, dependiendo del número de lados del mismo,
presentando pequeñas variaciones en el proceso para la construcción de los
triángulos isósceles y escálenos. Los casos de construcción se presentan a
continuación:
Construcción de un triángulo equilátero.
Construir un triángulo equilátero si:
P1(x1 , y1) L= a cm. 0
360º Htal.
= (180/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2(x2 , y2) y
P3(x3 , y3) siguiendo el siguiente proceso:
n= 3, entonces
= (180/3),
x2 – x1 = LCos
x2 = LCos + x1
= 60º y
= 180 - (
+ ).
componentes vectoriales de un Vector
De igual manera para la componente en Y
y2 - y1 = LSen
y2 = LSen
+ y1
entonces, P2(x2 , y2)
Luego,
x3 – x1 = LCos ( + )
x3 = LCos ( + ) + x1
y
y3 - y1 = LSen ( + )
y3 = LSen ( + ) + y1
así, P3(x3
equilátero.
Encontrando los dos puntos para graficar el triángulo
, y3)
Ejercicios: Construir los siguientes triángulos equiláteros.
a) Sea: P1(-2, -2) L= 8 cm.
b) Si = 105º Htal. P1(0, -2)
= 60º Htal. =60º
=60º L= 2 3 cm.
Construcción de un cuadrado.
Construir un cuadrado si:
P1(x1 , y1) L= a cm. 0
360º Htal.
= (360/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2(x2, y2),
P3(x3, y3) y P4(x4 , y4) siguiendo el siguiente proceso:
n= 4, entonces
x2 = LCos
= (360/4),
+ x1 y
= 90º y
y2 = LSen
= 180 - (
+ ).
+ y1 entonces, P2(x2 , y2)
x3 = LCos ( + ) + x2 y y3 = LSen ( + ) + y2 entonces, P3(x3 , y3)
x4 = LCos ( + 2 ) + x3 y y4 = LSen ( + 2 ) + y3 entonces, P4(x4 , y4)
ya que los ángulos internos se van sumando.
Encontrando los demás puntos para graficar cualquier cuadrado.
Ejercicios: Construir los siguientes cuadrados.
a) Si, L= 6 cm. P1(-3, 1) = 45º Htal. =90º
b) Sea P1(3/5, 3) L= 11/4 cm. = 0º Htal. =90º
Construcción de un pentágono.
Construir un pentágono si:
P1(x1 , y1) L= a cm. 0
360º Htal.
= (360/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2(x2, y2),
P3(x3 , y3), P4(x4 , y4) y P5(x5 , y5). Siguiendo el siguiente proceso:
n= 5, entonces
x2 = LCos
x3 = LCos (
x4 = LCos (
x5 = LCos (
= (360/5),
+ x1
+ ) + x2
+ 2 ) + x3
+ 3 ) + x4
y
y
y
y
= 72º y
= 180 - (
+ ).
y2 = LSen
+ y1
y3 = LSen ( + ) + y2
y4 = LSen ( + 2 ) + y3
y5 = LSen ( + 2 ) + y4
entonces, P2(x2 , y2)
entonces, P3(x3 , y3)
entonces, P4(x4 , y4)
entonces, P5(x5 , y5)
Encontrando los demás puntos para graficar cualquier pentágono.
Ejercicios: Construir los siguientes pentágonos.
a) Si, L= 5 cm. P1(-2, 3) = 35º Htal. =72º
b) Sea L= 9/2 cm. P1(4,-3). = 155º Htal. =72º
Luego, con los demás polígonos regulares de más lados se pueden construir
siguiendo el mismo método. Generalizando así:
Para construir cualquier polígono regular de n-lados partiendo de P1(x1 , y1) L=
a cm. 0
360º Htal.
= (360/n), n= al número de lados y = (180/n) para
triángulo equilátero, entonces para la consecución de cada punto se tendrá:
) + xn-1 con K= {0, 1, 2, 3, 4…} a partir de n=2 con K= 0
Xn = LCos ( + k
x2 = LCos
x3 = LCos (
x4 = LCos (
x5 = LCos (
.
.
.
Xn = LCos (
+ x2-1
+ ) + x3-1
+ 2 ) + x4-1
+ 3 ) + x5-1
+k
=
=
=
=
x2 = LCos
x3 = LCos (
x4 = LCos (
x5 = LCos (
+ x1
+ ) + x2
+ 2 ) + x3
+ 3 ) + x4
En general.
) + xn-1
De igual forma para las componentes en y, luego;
yn = LSen ( + k
y2 = LSen
y3 = LSen (
y4 = LSen (
y5 = LSen (
.
.
.
yn = LSen (
Entonces,
) + yn-1 con K= {0, 1, 2, 3, 4…} a partir de n=2 con K= 0
+ x2-1
+ ) + x3-1
+ 2 ) + x4-1
+ 3 ) + x5-1
+k
) + yn-1
=
=
=
=
y2 = LSen
y3 = LSen (
y4 = LSen (
y5 = LSen (
+ x1
+ ) + x2
+ 2 ) + x3
+ 3 ) + x4
En general.
P2(x2 , y2), P3(x3 , y3), P4(x4 , y4), … Pn(xn , yn).
Para triángulos isósceles y escálenos se hace necesario incluir variantes en el
método, ya que por conocimiento general poseen características diferentes respecto
al triángulo equilátero, veamos a continuación las variantes en el método.
Construcción de un triángulo isósceles.
Construir un triángulo isósceles si:
360º Htal. = iº, i 60º
P1(x1 , y1) L1y2= a cm. 0
Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2(x2, y2) y
P3(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:
= ((180-
)/2). Propiedad de triángulos isósceles
x2 – x1 = LCos
x2 = LCos + x1
y
y
y2 - y1 = LSen
y2 = LSen
+ y1 entonces, P2(x2 , y2)
Luego,
x3 – x1 = LCos ( + )
y
y3 - y1 = LSen ( + )
x3 = LCos ( + ) + x1
y
y3 = LSen ( + ) + y1 así, P3(x3 , y3)
Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 diferente a L1y2 se emplea,
L3 = (x3 – x2)2 + (y3 – y2)2¬
valor distancia entre dos puntos.
Construyendo así el triangulo y sí se plantea como ejercicio se podrá resolver el
triangulo con el perímetro y demás partes del triángulo.
Ejercicios: Construir los siguientes triángulos isósceles.
a) Sea: = 50º Htal. P1(2, 5)
b) Si P1(-3, -4) L1y2= 8 cm.
L1y2= 5 cm.
= 25º Htal.
=65º
=45º
Construcción de un triángulo escaleno.
Para construir un triángulo escaleno también existen variantes pero se conserva el
principio del método:
360º Htal.
= iº
Sea P1(x1 , y1) L1= a cm., L2= b cm. a b. 0
Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2(x2, y2) y
P3(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:
x2 – x1 = L1Cos
x2 = LCos + x1
y
y
y2 - y1 = L1Sen
y2 = LSen
+ y1 entonces, P2(x2 , y2)
Luego,
x3 – x1 = L2Cos ( + )
x3 = L2Cos ( + ) + x1
y
y
y3 - y1 = L2Sen ( + )
y3 = L2Sen ( + ) + y1 así, P3(x3 , y3)
Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y los ángulos internos se emplea,
L3 = (x3 – x2)2 + (y3 – y2)2¬
Para el ángulo
distancia entre dos puntos.
se emplea la ley de senos, respecto a
(Sen / L2) = (Sen
/ L3)
y los lados L2 y L3
= sen-1 ((L2Sen
) / L3).
Y para el ángulo , la propiedad fundamental de ángulos internos de un triángulo
+ + = 180º
= 180º-( + )
Construyendo el triangulo con cada una de sus partes principales los puntos, lados y
ángulos.
Ejercicios: Construir los siguientes triángulos isósceles.
= 43º Htal.
=18º
a) Sea: P1(5, -7) L1= 8 cm. L2= 6 cm.
b) Si = 112º Htal. P1(-9, -3 L1= 7 cm. L2= 9 cm.
=35º
el método permite emplear los números reales, la calculadora científica como
herramienta tecnológica para cálculos rápidos, el papel milimetrado para el diseño de
planos cartesianos con unidades, décimas y centésimas, abordando en ellos la
construcción de triángulos y polígonos regulares por aproximación de una o más
cifras decimales en grados de básica primaria motivando al estudiante al diseño de
sus propios triángulos y polígonos vistos en diversas posiciones para desarrollar aún
más su pensamiento espacial ya que sus gráficos los encuentran fácil de crear,
comprendiendo como los software de geometría diseñan estos polígonos con igual
exactitud.
Al practicar el método el estudiante refuerza conceptos y procedimientos de: plano
cartesiano, manejo de herramientas matemáticas, números reales, componentes
vectoriales, rotación de figuras en el plano, relación del método de regla y compás y
demás. Para el docente el método sirve como herramienta pedagógica con la cual
se logrará además de los conceptos propios del método, hacer que la clase de
matemáticas sea divertida, afianzar sus propios conocimientos en el caso que no sea
licenciado en el área de las matemáticas en especial a los docentes de básica
primaria ya que lo invita a cambiar y conocer diversas formas fáciles de enseñar las
matemáticas.