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El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5.
Ejercicios de repaso para el capítulo 2. Ejercicio 45, página 193.
Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta horizontal de acuerdo a la ecuación
s (t) = 2t3 + 3t2
12t
5
donde s metros es la distancia dirigida de la partícula desde un punto O a los t segundos. El sentido positivo se
considera hacia la derecha. Determina los intervalos de tiempo en los que el movimiento es hacia la derecha y en los que es
a la izquierda. También determina cuándo la partícula cambia de sentido. Apoya tus resultados construyendo una grá…ca.
Solución:
La posición s de la partícula está dada, como función del tiempo, por la ecuación,
s (t) = 2t3 + 3t2
12t
5.
La velocidad de la partícula está dada por la derivada de la ecuación de movimiento. Tenemos
v (t) = s0 (t) = 6t2 + 6t
12
La partícula cambia de dirección en los momentos en los que la velocidad se hace cero. Esos momentos los obtenemos
entonces de la ecuación
6t2 + 6t
12 = 0
que tiene dos soluciones t1 =
2 y t2 = 1.
Dado que el término 6t2 domina al término 6t, es claro que para t < 2, la derivada es positiva, s0 (t) > 0. Es decir,
para t < 2 la partícula se mueve hacia la derecha. Desde el in…nito pasado hasta t = 2, la partícula ha estado viajando
hacia la derecha.
En t = 2, la partícula se detiene e invierte su movimiento, empieza a viajar hacia la izquierda. Efectivamente, para t
en el intervalo ( 2; 1), se tiene que la derivada es negativa y la partícula viaja durante todo ese tiempo hacia la izquierda.
Para t = 1, la partícula se detiene nuevamente y vuelve a invertir su movimiento, ahora viaja hacia la derecha. En
efecto, es claro que si t > 1, s0 (t) > 0.
En resumen,
Para t <
Para
2, s0 (t) > 0 y la partícula viaja hacia la derecha.
2 < t < 1, s0 (t) < 0 y la partícula viaja hacia la izquierda.
Para t > 1, s0 (t) > 0 y la partícula viaja hacia la derecha.
Todo lo anterior se muestra claramente en la siguiente grá…ca, donde en rojo se expone la posición de la partícula como
función del tiempo y en azul su velocidad, también como función del tiempo.
1
y
200
100
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-100
2
4
5
x