22. Trigonometría, parte II - Instituto de Matemáticas | UNAM

22. Trigonometrı́a, parte II
Matemáticas II, 2012-II
22. Trigonometrı́a, parte II
Extensión del dominio
Sea P un punto sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1. Esta circunferencia tiene
radio 1 y centro el origen O(0, 0). Denotamos por α el ángulo que incluye el
segmento OP con el eje de coordenadas x.
y
P
1
α
x
O
Vamos a determinar las coordenadas del punto P . Para ello dibujamos una
perpendicular al eje de coordenadas x por el punto P . Ası́ obtenemos un
triángulo rectángulo con ángulo α e hipotenusa 1. El cateto adyacente mide
la coordenada x del punto P .
y
P
1
α
x
O
Esta coordenada Px = sin(α) y similar Py = cos(α). Concluimos que las
coordenadas del punto P son
P ( cos(α) , sin(α) ).
22-1
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22. Trigonometrı́a, parte II
Esta idea permite extender la definición de las funciones trigonométricas
aún para ángulos mayores que 90◦ . Por definicón, cos(α) es la coordenada
x de un punto que se obtiene al rotar (1, 0) por el ángulo α en sentido
matemáticamente positivo, es decir, en sentido contrario de las manecillas
del reloj. De manera similar sin(α) se define como la coordenada y de este
mismo punto.
Ejemplo 1. La siguiente ilustración muestra sin(150◦ ) = 0.5 y cos(150◦ ) =
−8.66....
y
P
sin(150◦) = 0.5
150◦
−1
(1, 0)
1
O
x
cos(150◦ ) = −0.866...
De esta manera extendemos el dominio de las funciones trigonométricas seno
y coseno. El dominio es el rango de números que podemos dar como argumento a la funcón. Con la definción de la función seno como
sen(α) =
cateto opuesto
hipotenusa
sólo tiene sentido tomar α en el rango de 0◦ a 90◦ . Con la nueva definción
extendimos este rango de 0◦ a 360◦ . Aún más, si pensamos que girar un punto
por un ángulo de 400◦ es lo mismo que girarlo por 40◦ = 400◦ −360◦ entonces
podemos evaluar las funciones trigonométricas sen y cos en cualquier ángulo
α.
Las gráficas de las funciones trigonométricas
Las siguientes figuras muestran las gráficas de las funciones trigonométricas.
22-2
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y
y = sin α
1
0◦
90◦
180◦
270◦
360◦
180◦
270◦
360◦
α
−1
y
y = cos α
1
0◦
90◦
α
−1
y
y = tan α
1
0◦
90◦
180◦
−1
22-3
270◦
360◦
α
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Una identidad trigonométrica importante
Dado que cada punto P (cos α, sin α) se encuentra sobre la circunferencia
con centro (0, 0) y radio 1 se tiene por el Teorema de Pitágoras la siguiente
identidad: (cos α)2 + (sin α)2 = 12 = 1. Pero en vez de (cos α)2 se escribe
cos2 α y en vez de (sin α)2 como sin2 α. Ası́ que se tiene
cos2 α + sin2 α = 1.
Simetrı́as
De las gráficas podemos observar las siguientes simetrı́as: Si reflejamos la
gráfica del seno en α = 90◦ entonces nada cambia. Como ff́ormula esto se
expresa como
sin(180◦ − α) = sin α
Si reflejamos la gráfica del coseno en α = 90◦ obtenemos la gráfica de − cos.
Por ello
cos(180◦ − α) = − cos α
Ambas simetrı́as las usaremos más adelante en este mismo texto.
Si comparamos las gráficas del seno y coseno obtenemos que la del coseno es
“corrida hacia la izquierda por 90◦ ”. Como fórmula tenemos
cos(α) = sin(α + 90◦ ).
La última identidad es
tan α =
sin α
.
cos α
El Teorema de senos
Consideramos ahora un triángulo cualquiera, es decir, uno que puede ser
isósceles, rectángulo o ninguno de ello. Dibujamos una de las alturas, por
ejemplo hc .
C
b
A
hc
a
β
α
B
22-4
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Podemos calcular la altura hc de dos maneras. Considerando el triángulo
izquierdo obtenemos sin α = hbc y del lado derecho sin β = hac . Si despejamos
en ambos lados hc obtenemos
b · sin α = hc = a · sin β.
Por ello, si dividimos entre los valores sin α y sin β tenemos
a
b
=
.
sin α
sin β
(22.1)
Es importante considerar también el caso si uno de los dos ángulos, α o β,
es mayor que 90◦ como lo ilustra la siguiente figura:
C
b
A
α
a
β
hc
β′
B
En este caso tenemos β ′ = 180◦ − β y por ello sin(β ′ ) = sin(β). Por ello
concluimos que la ecuación (22.1) es aún válido en este caso. Si repetimos el
argumento y calculamos la altura ha de dos maneras obtenemos sinb β = sinc γ .
Si lo juntamos con la ecuación (22.1) obtenemos
b
c
a
=
=
.
sin α
sin β
sin γ
(22.2)
A la ecuación (22.2) se le llama el Teorema de senos.
Ejemplo 2. Un triángulo ∆ABC tiene ángulos α = 25◦ y β = 96◦ y el lado
c = 15.2 cm. Calcula la longitud de los dos lados a y b.
Primero se calcula el tercer ángulo: γ = 180◦ − α − β = 59◦ . Por el Teorema
de senos se tiene
a = sin α ·
c
15.2 cm
= sin 25◦ ·
≈ 7.49 cm .
sin γ
sin 59◦
De manera similar
b = sin β ·
c
15.2 cm
= sin 96◦ ·
≈ 17.64 cm .
sin γ
sin 59◦
22-5
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22. Trigonometrı́a, parte II
Es interesante ver qué nos dice el Teorema de senos en el caso de un triángulo
rectángulo.
C
b
A
a
β
α
B
c
Si γ = 90◦ tenemos sin γ = sin 90◦ = 1. En este caso el Teorema de senos
dice:
a
b
=
= c.
sin α
sin β
Por ello obtenemos
b
a
y sin β = ,
c
c
lo que ya sabı́amos – lo tomamos como definición.
sin α =
El Teorema del coseno
El Teorema de cosenos es una generalización del Teorema de Pitágoras. Este
último dice cómo se relacionan los lados de un triángulo rectángulo. El Teorema del coseno también afirma cómo se relaciona un lado c con respecto a
los otros dos lados a y b pero tomando en cuenta el ángulo γ.
El Teorema del coseno dice que
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Para la demostración dibujamos la altura ha y denotamos su pie (es decir el
punto donde toca el lado a) por P . La siguiente figura muestra dos casos que
tendremos que considerar por separado.
C
P
u
γ
P
C
b
ha
a−u
ha
A
u
c
b
B
A
22-6
γ
c
a
B
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En el ejemplo izquierdo, el pie P está dentro del lado a. En este caso P divide
el lado a en dos partes |BP | = u y |P C| = a−u. Por el Teorema de Pitágoras
tenemos
c2 = h2a + (a − u)2 = h2a + a2 − 2au + u2 .
2
2
Por el mismo teorema podemos reescribir h+
a u = b y por la definición de
coseno en el triángulo ∆AP C tenemos cos γ = ub , es decir, b cos γ = u. Por
ello
c2 = h2a + a2 − 2au + u2
= a2 + b2 − 2au
= a2 + b2 − 2ab cos γ.
| h2a + u2 = b2
| u = b cos γ
El otro caso posible es que el pie P quede fuera del lado a. Una situación
ası́ se muestra en la figura anterior del lado derecho. En este caso tenemos
c2 = h2a + (a + u)2 = h2a + a2 + 2au + u2
y nuevamente tenemos h2a +u2 = b2 . Pero ahora tenemos u = b cos(180◦ −γ) =
−b cos γ. Nuevamente tenemos
c2 = h2a + a2 + 2au + u2
= a2 + b2 + 2au
= a2 + b2 − 2ab cos γ.
| h2a + u2 = b2
| u = −b cos γ
Ejemplo 3. Un triángulo tiene lados a = 7.8 cm, b = 6.3 cm y el ángulo
γ = 32◦ . Calcula la longitud del tercer lado c.
Por el Teorema del cosenos tenemos
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
= (7.8 cm)2 + (6.3 cm)2 − 2 · 7.8 cm ·6.3 cm · cos 32◦
= 60.84 cm2 +39.69 cm2 −83.35 cm2
= 17.18 cm2
Al sacar la raı́z cuadrada (solo con signo positivo, dado que se trata de una
longitud) obtenemos
√
c = 17.18 cm2
= 4.14 cm
22-7
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Funciones inversas
Si tenemos un triángulo dado por los tres lados a, b y c entonces podemos
usar el Teorema del coseno para calcular el valor de cos α:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
b2 + c2 − a2 = 2bc cos(α)
b2 + c2 − a2
= cos(α)
2bc
| −b2 − c2
| div(−2bc)
¿Cómo obtenemos de ahı́ el valor de α? Necesitamos “deshacer” el efecto de
la función cosenos en ambos lados. Esto se hace con la función inversa de
coseno. Esta función se simboliza con cos−1 :
2
b + c2 − a2
−1
.
α = cos
2bc
Ejemplo 4. Si a = 31 cm, b = 22 cm y c = 26 cm entonces
(22 cm)2 + (26 cm)2 − (31 cm)2
2 · 22 cm ·26 cm
199 cm2
=
1144 cm2
= 0.17395.
= 0.17395
α = cos−1 (0.17395) = 79.98◦ .
cos(α) =
Como las funciones trigonométricas son periódicas, la función inversa sólo
puede regresar el valor dentro de cierto rango. Por ejemplo sen(30◦ ) = 0.5 =
sen(150◦). La calculadora no sabe cuál fue de los dos ángulos es α si sin(α) =
0.5.
El rango de ángulos que regresan las funciones trigonométricas inversas es
como sigue:
sen−1
cos−1
tan−1
de −90◦ a 90◦
de 0◦ a 180◦
de −90◦ a 90◦
En los Ejercicios de 7 a 10 la ambigüedad de las funciones trigonométricas
inversas será un tema.
22-8
22. Trigonometrı́a, parte II
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Ejercicios
1nPara medir el ancho de un rı́o se visa un punto C del otro lado desde dos
puntos A y B. Se mide BAC = 36.4◦ y
|AB| = 34.8 m. ¿Cuál es el ancho del rı́o?
ABC = 82.2◦ y la distancia
2nUn heptángono regular tiene su centro en (0, 0) y una esquina en (10, 0).
Calcula las coordenadas de las otras esquinas.
3nUn triángulo está dado por α = 32.6◦ , γ = 59.1◦ y la longitud de la
bisectriz wc = 6.5 cm. Calcula los tres lados a, b y c.
4nUn paralelograma ABCD está dado por la longitud de los lados |AB| =
|CD| = 8 cm y |BC| = |DA| = 5 cm y el ángulo
la longitud de las diagonales AC y BD.
DAB = 60◦ . Calcula
5n¿Cuál es el área del triángulo con los lados a = 8.7 cm, b = 4.2 cm y
c = 6.1 cm?
6nCalcula los ángulos del triángulo dado por los lados a = 7.2 cm, b =
5.5 cm y c = 10.9 cm.
7nSi sen(α) = 0.5, ¿cuáles son todos los posibles valores para α? Usa la
gráfica del seno como ayuda para encontrar la solución.
8nUn triángulo tiene los lados a = 61 cm y c = 130 cm y el ángulo γ = 115◦ .
(a) Calcula el ángulo α con el Teorema de senos.
(b) Ahora olvida el valor de γ y vuelve a calcular γ con el Teorema de
senos a partir de los valores conocidos de a, c y α (que calculaste
en el inciso anterior).
(c) ¿Cuál es tu interpretación?
9nCalcula los ángulos del triángulo dado por los lados a = 6.1 cm, b =
7.2 cm y c = 12.7 cm
(a) Calcula primero elángulo α usando el Teorema del coseno.
(b) Ahora calcula los otros dos ángulos usando el Teorema de senos.
(c) Calcula los β y γ usando directamente el Teorema del coseno.
(d) ¿Cuál resultado es correcto?
22-9
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22. Trigonometrı́a, parte II
n
10
De una triángulo se conoce los lado a = 4 cm, c = 10 cm y además
elángulo α = 15◦ .
(a) Solución constructiva. En tu cuaderno traza un segmento recto
c = AB de 10 cm de longitud. Con el transportador mide en A un
ángulo de α = 15◦ . Ası́ obtienes un rayo b que incluye con c el
ángulo α. Finalmente traza una circunferencia con centro B y radio
a = 4 cm. Observa que hay dos intersecciones de la circunferencia
con el rayo b.
(b) Solución trigonométrica. Calcula γ con el Teorema de senos. Observa que hay dos soluciones aunque tu calculadora sólo te da un
valor para γ, el ángulo 180◦ − γ también es una solución. En cada
caso calcula β = 180◦ − α − γ y luego b.
(c) Compara las dos soluciones.
nEn un terreno plano se ponen dos palos a una distancia exacta de 100 m
11
en los puntos que llamaremos A y B. Se miden los ángulos hacia un
tercer punto C en el terreno. Se mide un ángulo de elevación de 3.6◦
de A hacia C y además los ángulos horizontales
BAC ′ = 81.20◦ y
ABC ′ = 92.05◦, donde C ′ es el pie de C (el punto abajo de C que
está a la misma altura que A y B). Calcula la distancia horizontal |AC ′ |
y la altura |CC ′ |.
nEl pico de una montaña M se visa desde dos puntos A y C en el terreno y
12
se ve bajo el ángulo de elevación de 12.8◦ desde A. El punto C se ve bajo
un ángulo de elevación de 3.6◦ desde A y además se miden los ángulos
horizontales M ′ AC ′ = 23.1◦ y M ′ C ′ A = 131.4◦ , donde M ′ y C ′ son
los pies de M y C. ¿A qué altura está la cima si |AC ′ | = 850 m y A tiene
una altura de 610 m sobre el nivel de mar?
nDemuestra el siguiente resultado: La bisectriz de un triángulo divide el
13
lado opuesto en la misma proporción que tienen los lados adyacentes.
Ayuda: Sea wc la bisectriz y S el punto donde wc corta el lado c. Además
se denota u = AS y v = BS. A demostrar uv = ab . Usa el Teorema de
senos para demostrar que ua = vb y concluye de ahı́ el resultado.
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