Maquetación 175

aletos
MECÁNICA
Física para Ciencias e Ingeniería
CINEMÁTICA
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Un barco apaga su motor cuando tiene una velocidad v0, y continúa avanzando con una desaceleración, debida a la resistencia del agua, proporcional a la velocidad del barco.
Calcúlese la velocidad y el espacio en función del tiempo.
SOLUCIÓN:
Vamos a tomar como origen para medir el tiempo el instante en que el barco apaga su motor, y como origen para
medir su desplazamiento, el punto en que el barco apaga su motor.
A partir de ese instante las fuerzas que actúan sobre el barco son:
E
a
v
R
Su peso: mg
El empuje hidrostático: E
La fuerza de resistencia al agua: R
En la dirección vertical el barco se encuentra en equilibrio , y por tanto,
ΣFy = 0
E = mg
[1]
En la dirección horizontal la fuerza R frena el avance del barco, comunicándole una deceleración a. Por consiguiente, aplicando la ecuación de la dinámica:
mg
ΣFx = ma
R = ma
[2]
Por otra parte, sabemos que la fuerza R es proporcional a la velocidad del barco. Por tanto:
R = −k v
[3]
El signo negativo es debido a que el sentido de R es contrario al de v.
Igualando los segundos miembros de [2] y [3], y despejando a:
ma = −k v
a =−
k
v
m
[4]
Recordando que el módulo de la aceleración es la derivada del módulo de la velocidad respecto del tiempo:
a=
dv
dt
[5]
e igualando los segundos miembros de [4] y [5]:
k
dv
v=
m
dt
[6]
k
dv
= − dt
m
v
[7]
−
Agrupando variables,
Integrando los dos miembros en forma indefinida,
∫
dv
=
v
k
∫ − m dt
k
t
m
donde C es una constante de integración que se calcula teniendo en cuenta que para t=0, es v=v0.
Sustituyendo estos valores en [8] y despejando C,
lnv 0 +C = 0
lnv +C = −
y sustituyendo a su vez, [9] en [8],
C = −lnv 0
lnv − lnv 0 = −
k
t
m
[8]
[9]
[10]
expresión que se puede escribir en la forma,
ln
v k
− t
v0 m
[11]
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De [11] se deduce que:
k
t
m
[12]
k
t
m
[13]
v = v0 e
−
v = v0 e
−
de donde finalmente se obtiene:
Para calcular el desplazamiento del barco en función del tiempo, basta recordar que el módulo de la velocidad
es, por definición, la derivada del desplazamiento respecto del tiempo:
v=
ds
dt
[14]
Igualando los segundos miembros de [13] y [14],
v0 e
−
k
t
m
=
ds
dt
[15]
de donde, agrupando variables se obtiene,
ds = v 0 e
−
k
t
m
[16]
dt
Integrando los dos miembros de la expresión [16] en forma indefinida:
∫ ds = ∫ e
−
k
t
m
dt
k
m −m t
[17]
e
k
La constante de integración C’ se calcula teniendo en cuenta que para t = 0, es s = 0, sin olvidar que el desplazamiento lo hemos medido a partir del instante en que se para el motor del barco. Por consiguiente:
m
C'=−
[18]
k
Sustituyendo [18] en [17]:
s +C ' = −
s−
k
m − t
m
=− e m
k
k
de donde, finalmente:
s=
− t
m
1 −e m 

k 
k
[19]