Problema

MECÁNICA
aletos
CINEMÁTICA
Física para Ciencias e Ingeniería
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En un instante determinado un barco B se encuentra a 65 Km al este de otro barco A. El barco B empieza a
navegar hacia el oeste con una velocidad de 10 Km/h, mientras que A lo hace hacia el sur a 15 Km/h.
Sabiendo que las rutas iniciadas no se modifican, calcúlese:
a) El instante t en que la distancia que los separe sea mínima.
b) Las posiciones de los barcos en dicho instante.
c) La distancia mínima.
SOLUCIÓN:
a) Si tomamos como sistema de referencia un sistema de coordenadas con origen en el barco A y cuyos ejes X eY
sean las direcciones este–oeste y norte–sur, respectivamente, las posiciones de los barcos en un instante t son:
Barco A
Teniendo en cuenta que para t = 0, es yA = 0, y que hemos tomado el sentido positivo hacia el sur,
y A = 15t
[1]
Barco B
Teniendo en cuenta que en el instante t = 0, es xB = 65 km, y que hemos tomado el sentido positivo hacia el
oeste,
x B = 65 - 10t
[2]
s = x 2 + y 2 = (65 - 10t) 2 + (15t) 2 = 325 t 2 - 1300t + 4225
[3]
La distancia s es en cualquier instante:
La distancia s será mínima para un valor del tiempo que anule la primera derivada de s respeto de t:
ds
650 t - 1300
=
=0
dt
2 325 t 2 - 1300t + 4225
[4]
650 t - 1300 = 0
[5]
t = 2 h.
[6]
lo que implica que sea
de donde se deduce que:
b) Las posiciones de los barcos se obtienen sustituyendo [6] en [1] y [2]:
y A = 15 # 2 = 30 km.
[7]
x B = 65 - 10 # 2 = 45 km.
[8]
c) La distancia mínima se obtienen sustituyendo [7] y [8] en el segundo miembro de [3]:
s = x 2 + y 2 = 45 2 + 30 2 = 54, 083 km. . 54 km.
[9]