TEMA VI: ESPACIOS DE HILBERT

TEMA VI: ESPACIOS DE HILBERT
1.
Espacios con producto escalar
Definición: Sea L un espacio vectorial sobre el cuerpo K (R ó C). Por un producto escalar (o interno)
sobre L entedemos una aplicación < .|. >: L × L → K denotada por (u, v) → < u|v > que cumple:
∀ u1 , u2 , u, w ∈ L, ∀λ ∈ K
1. < u|u > ≥ 0, y (< u|u >= 0 ⇔ u = 0)
2. < u|u1 + u2 >=< u|u1 > + < u|u2 >
3. < u|λw >= λ < u|w >
4. < u|w >= < w|u >
De estas propiedades se deducen inmediatamente las siguientes:
• < λ1 u1 + λ2 u2 |w >= λ1 < u1 |w > +λ2 < u2 |w >
• < u|w >= 0, ∀w ∈ L ⇒ u = 0
• < u1 |w >=< u2 |w >, ∀w ∈ L ⇒ u1 = u2
Nota: Las conjugaciones tienen sentido cuando K = C, en caso de que K = R sobran.
Definición: Al par (L, < .|. >) se le llama espacio con producto escalar o pre-Hilbert.
Observación: Todo subespacio vectorial M de un espacio pre-Hilbert (L, < .|. >) es a su vez un
espacio pre-Hilbert.
Desde un punto de vista geométrico, la gran ventaja de la estructura de producto escalar radica
en la posibilidad que ofrece de introducir generalizaciones naturales del concepto de ortogonalidad o
perpendicularidad de la geometrı́a euclı́dea clásica.
Definición: Dos vectores v, w ∈ (L, < .|. >) se dicen ortogonales si < v|w >= 0. Y escribimos
simbólicamente v ⊥ w. Asimismo, un conjunto de vectores S = {vα }α∈A ⊂ (L, < .|. >) se dice
1
ortogonal si < vα |vβ >= 0, ∀ α 6= β. Si además < vα |vα >= 1, ∀α, se dice que el conjunto S es
ortonormal. Finalmente, dados dos conjuntos S1 y S2 de vectores en (L, < .|. >), diremos que S1 ⊥ S2
si < v1 |v2 >= 0, ∀v1 ∈ S1 , ∀v2 ∈ S2 .
Proposición: Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente.
Demostración: Sea S = {vα }α∈A conjunto ortogonal de vectores.
X
λα vα = 0
α∈A
al mutiplicar por algún vβ ∈ S obtenemos λβ < vβ |vβ >= 0 lo que implica que λβ = 0.
2.
Propiedades geométricas elementales
1
A lo largo de esta sección denotaremos ||v|| =< v|v > 2 a la norma de un vector v ∈ (L, < .|. >).
Teorema (de pitagoras generalizado): Si {vj }n1 es ortonormal en (L, < .|. >), se tiene ∀v ∈ L:
||v||2 =
n
X
| < vj |v > |2 + ||v −
1
n
X
< vj |v > vj ||2
1
Demostración: Se basa en el hecho de comprobar que el conjunto {v1 , v2 , ..., vn , d}, con
d=v−
n
X
< vj |v > vj , es ortogonal. Para luego calcular < v|v > escribiendo v = d + (v − d).
1
Corolario:
1. v1 ⊥ v2 ⇒ ||v1 + v2 ||2 = ||v1 ||2 + ||v2 ||2
2. Si {vj }n1 es ortonormal en (L, < .|. >), se tiene ∀v ∈ L:
||v||2 ≥
n
X
| < vj |v > |2
(desigualdad f inita de Bessel)
1
3. ∀v, w ∈ L:
| < v|w > | ≤ ||v||.||w||
(desigualdad de Schawarz − Cauchy − Buniakowskii)
Además | < v|w > | = ||v||.||w|| ⇔ {v, w}no linealmente independiente.
Demostración:
1. ||v1 + v2 ||2 =< v1 + v2 |v1 + v2 >=< v1 |v1 > + < v2 |v2 >= ||v1 ||2 + ||v2 ||2
2
2. Dado que ||v||2 =
n
X
| < vj |v > |2 + ||v −
n
X
1
< vj |v > vj ||2 y que ||v −
1
desigualdad es obvia.
n
X
< vj |v > vj ||2 ≥ 0, la
1
1
X
v
v
} es ortonormal, luego ||w||2 ≥
|<
|w > |2 por lo tanto
||v||
||v||
1
| < v|w > |2 ≤ ||w||2 .||v||2 . Para la igualdad se necesita que si v 6= 0, se verifique
3. Obvio para v = 0, si v 6= 0, {
||w− <
v
v
|w >
|| = 0 ⇒ w = λ.v,
||v||
||v||
siendo λ =
< v|w >
||v||2
Definición: Dado (L, < .|. >) pre-Hilbert, podemos definir una distancia entre sus elementos :
∀u, v ∈ L
1
d(u, v) = ||u − v|| =< u − v|u − v > 2
Propiedades:
1. Las siguientes funciones definidas sobre un pre-Hilbert son continuas
L −→ K
v ; ||v||
;
L −→ K
v ; < w|v > , w ∈ L f ijo
K × L −→ L
(λ, v) ; λv
;
L × L −→ L
(u, v) ; u + v
siendo K = R ó C, el cuerpo soporte.
2. La función L × L −→ K definida por (u, v) ; < u|v > es secuencialmente continua. Es decir,
dadas las sucesiones {vn } → v y {un } → u, entonces la sucesión {< un |vn >} converge a
< u|v >.
Ejemplo: El conjunto de C([a, b]) de las funciones continuas sobre el intervalo cerrado y acotado
[a, b] ⊂ R, con el producto escalar < f |g >≡
3.
Z b
a
f (x)g(x)dx es un espacio pre-Hilbert.
Espacios de Hilbert
Definición: Un espacio vectorial H con producto escalar se dice de Hilbert si es completo, es decir,
que toda sucesión de Cauchy es convergente.
∀{vn }n∈N ⊂ H tal que ||vn − vm || → 0 =⇒ ∃v ∈ H tal que ||vn − v|| → 0
3
Ejemplos: Rn , Cn , L2 [a, b].
|
Z b
a
El conjunto L2 [a, b] está constituido por las funciones sobre el intervalo [a, b] tales que
2
1
2
|f (x)| dx| < +∞. Se le dota del producto escalar definido por < f |g >=
Z b
a
f (x)g(x)dx.
Definición (Complementos ortogonales): Sea M ⊂ H, H espacio de Hilbert y M no vacio.
Denotaremos M ⊥ ≡ {v ∈ H / v ⊥ M } y dieremos que M ⊥ es el complemento ortogonal de M en H.
Propiedades:
1. ∀M ⊂ H, con M no vacio, M ⊥ es un subespacio vectorial cerrado de H ( y por lo tanto es
también Hilbert).
2. M ∩ M ⊥ ⊂ {0}
3. M ⊂ (M ⊥ )⊥ = M ⊥⊥
Teorema: Si M es un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert H, entonces
∀v ∈ H : v = v1 + v2 , v1 ∈ M y v2 ∈ M ⊥
de forma única. A v1 y v2 se les dice proyecciones ortogonales de v sobre M y M ⊥ respectivamente.
Teorema (Gram-Schmidt): Dado un espacio de Hilbert H, entonces todo subconjunto
{vj }j∈J ⊂ H, linealmente independiente con J finito o infinito numerable, genera un sistema ortonormal {uj }j∈J ⊂ H
Demostración:
w1 = v1
,
u1 =
w1
||w1 ||
w2 = v2 − < u1 |v2 > u1
,
u2 =
w2
||w2 ||
.
.
.
wm = vm −
.
.
.
.
.
m−1
X
< uk |vm > uk
,
k=1
um =
wm
||wm ||
.
.
Definición (Base ortonormal): Un conjunto ortonormal S = {vα }α∈A de vectores en un espacio
de Hilbert H, se dice que constituye una base ortonormal de H si es maximal, es decir, si no es
subconjunto propio de ningún otro conjunto ortonormal de H.
4
Proposición: Todo espacio de Hilbert 6= {0} posee alguna base ortonormal.
Teorema: Sea S = {vα }α∈A un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H 6= {0}. Las siguientes
proposiciones son equivalentes entre si:
1. S es base ortonormal de H.
2. lin(S) = H (completo lineal).
3. S ⊥ = {0}.
4. ∀v ∈ H : v =
X
< vα |v > vα , (Desarrollo en serie de Fourier).
α
5. ∀v, w ∈ H : < v|w >=
X
< v|vα >< vα |w >, (Identidad de Parseval).
α
X
6. ∀v ∈ H : ||v||2 =
| < vα |v > |2 , (Identidad de Parseval).
α
Un espacio de Hilbert H 6= 0 es separable si y sólo si admite una base ortonormal numerable
(finita o infinita numerable).
Proposición: Todas las bases ortonormalrs de un espacio de Hilbert H tienen el mismo cardinal.
Definición: A este cardinal común a todas las bases se le llama dimensión hilbertiana de H.
Criterio de convergencia
Sea {un }n∈N un conjunto ortonormal de vectores de H, espacio de Hilbert.
∞
X
λj uj converge en H ⇐⇒
1
4.
∞
X
|λj |2 converge en R
1
Algunas bases ortonormales importantes de funciones
Base de Legendre
H = L2 [a, b]. Consideremos la sucesión {xn }∞
0 ⊂ H. Es un conjunto linealmente independiente, pero no es ortonormal. El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt aplicado a este caso
proporciona un conjunto ortonormal de polinomios de grados n = 0, 1, 2, .... En el caso particular de
[a, b] = [−1, 1], los polinomios ası́ obtenidos son, salvo factores constantes, los llamados polinomios de
Legendre:
Pn (x) =
1 dn 2
(x − 1)n
n!2n dxn
5
integrando por partes se comprueba sin dificultad que el producto
escalar < Pm |Pn >= 0, para n 6= m,
r
2
1
2
y que ||Pn || =
. Todo esto nos lleva a afirmar que { n + Pn }
es base ortonormal de
2n + 1
2
n=0,1,2,..
L2 [a, b].
Base de Hermite
H = L2 (R). Ahora xn no pertenece a H, pero sin embargo puede considerarse un nuevo conjunto
de funciones {xn e−
x2
2
}n=0,1,2,... ⊂ H, que es linealmente independiente. La sucesión ortonormal a que
conduce el proceso de Gram-Schmidt, salvo un factor de módulo 1,
φn (x) =
2
1
− x2
e
Hn (x)
√ 1
(n!2n π) 2
siendo {Hn (x)}∞
0 los llamados polinomios de Hermite
2
Hn (x) = (−1)n ex
dn −x2
e
dxn
las φn (x) suelen llamarse funciones de Hermite y constituyen una base ortonormal de L2 (R).
Base trigonométrica de Fourier
1
constituye una base ortonormal.
H = L2 [0, 2π]. El conjunto de funciones { √ e±inx }
2π
n=0,1,2,...
Base de Laguerre
H = L2 (R+ ), R+ = [0, +∞). La sucesión {e−
x2
2
xn }n=0,1,2,... ⊂ H es linealmente independiente y
por Gram-Schimdt conduce a la familia ortonormal {ψn (x)}n=0,1,2,... , donde salvo constante de módulo
1:
ψn (x) = e−
x2
2
Ln (x)
siendo Ln los polinomios de Laguerre
Ln (x) =
1 x dn −x n
e
(e x )
n! dxn
6