Transformada discreta de Fourier Transformada discreta de Fourier

Transformada discreta de Fourier
Convolución en el espacio = multiplicación de la TDF de la
imagen por la TDF de la respuesta impulsional del filtro.
ƒ Mayor rapidez de aplicación (algoritmo FFT)
ƒ Permite aplicar filtros diseñados mediante técnicas de
ƒ
ƒ
tratamiento de señal (versiones discretas de filtros
analógicos conocidos: Butterworth, Chebychev, Elipticos)
Principal aplicación: eliminación de ruído, filtrado de
ciertas frecuencias
Otras aplicaciones: detección de movimiento, detección
de patrones repetidos.
T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia
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Transformada discreta de Fourier
Transformada continua de Fourier (1D) (TF)
Todo el desarrollo matemático del tema se verá en clase.
En estas notas solo se dan las principales ideas.
Una señal continua variable, escalar (1D), variable con el
tiempo o el espacio, puede también expresarse en función
de la frecuencia. h(t) <-> H(f)
Frecuencia: Nueva variable, inversa del periodo espacial o
temporal.
Esta transformación es reversible: transformada de Fourier y
transformada inversa de Fourier
T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia
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Transformada discreta de Fourier
La Convolución entre dos señales, la Correlación entre dos
señales, la Autocorrelación, la densidad espectral de
potencia de una señal, y la potencia total de una señal,
pueden expresarse en el dominio de la frecuencia a partir
de las transformadas de Fourier de las señales.
Especialmente, la convolución en el dominio del tiempo o del
espacio se convierte en una multiplicación en el dominio
de la frecuencia. Esto hace más sencilla la aplicación de
filtros en el dominio de la frecuencia.
Dichos filtros pueden ser muy complicados en cuanto a su
diseño, tener una respuesta impulsional grande, pero su
aplicación en el dominio de la frecuencia es siempre
sencilla: una multiplicación.
T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia
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Transformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier (1D) (TDF)
La TDF se deduce a partir de TF para señales discretas.
Se aplican los conceptos de muestreo y reconstrucción.
Aparece el fenómeno de “aliasing”, solo existe un zona
limitada de frecuencias únicas, la mayor frecuencia
alcanzable en una señal discreta es 1/2∆ (frecuéncia
crítica de Nyquist).
Las imágenes son señales de 2 dimensiones ya
discretizadas, aunque normalmente no se conoce (ni
importa) el periodo de muestreo (distancia entre píxeles).
Por ello se suele tomar periodo de muestreo ∆=1. Es
decir, ∆=1 pixel, las frecuencias se medirán en píxeles-1.
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Transformada discreta de Fourier
Transformada rápida de Fourier (1D) (FFT)
La FFT (Fast Fourier Transform) es simplemente un
algoritmo rápido para calcular la TDF.
La aplicación de la fórmula de la TDF, en 1D, tiene un coste
cuadrático O(N2). La FFT tiene un coste O(N logN)
En 2D la TDF tiene un coste O(N4). La FFT tiene un coste
O( (N logN)2 )
El algoritmo es debido a Danielson-Lanczos, 1942.
Requiere que la señales tengan una dimensión potencia de
2. En imágenes tanto filas como columnas han de ser
potencia de 2.
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Transformada discreta de Fourier
Frecuencias en la TDF de una imagen
La TDF de una imagen (real) es compleja. Normalmente la
guardaremos en dos imágenes, donde los índices de fila y
columna representan índices de frecuencias verticales y
horizontales.
Al ser la imagen una señal real la parte real de la TDF es
simétrica, y la parte imaginaria antisimétrica. Por tanto el
módulo de la TDF es simétrico y la fase antisimétrica.
Debido a la simetría existe una zona de frecuencias únicas,
que va de 0 a N/2 y de 0 a M/2 en una imagen de N x M.
Las zonas restantes son reflexiones de la zona única.
T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia
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Transformada discreta de Fourier
Filtro de Buterworth
Para realizar un filtrado en el dominio de la frecuencia hay
que multiplicar la TDF de la imagen por la TDF de la
respuesta impulsional de filtro.
Normalmente se conoce ya la TDF del filtro. Existen filtros
muy usados en tratamiento de señal analógica, el más
sencillo es el filtro de Butterworth.
La expresión de un filtro de Butterworth paso bajo con
frecuencia de corte 1, es:
En 1D:
A( f ) =
1
1 + f 2n
En 2D:
A( f1, f2) =
1
1
1+ f12n 1+ f22n
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Transformada discreta de Fourier
n: orden del filtro. Indica la caída de ganancia en la zona de
transición entre la banda de paso y la banda eliminada.
Dicha caída es de 20n dB/década.
El filtro de Butterworth tiene respuesta maximalmente plana
en la zona de paso (f=0) y en la zona eliminada (f=infinito).
Las frecuencias de las expresiones anteriores son frecuencias
continuas. Se deben calcular a partir de la frecuencia
discreta, y esta a partir de los índices de frecuencia, para
poder multiplicar la TDF de una imagen por la TDF de un
filtro de Butterworth:
Índice de frecuencia -> frec. discreta -> frec. Continua ->
-> formula del filtro de Butterworth
T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia
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Transformada discreta de Fourier
Para aplicar técnicas de análisis de señal continua a señales
discretas es necesario realizar una aproximación de la
frecuencia continua a discreta, pues la frecuencia
continua tiene un rango infinito y la frecuencia discreta va
de 0 a ½.
Una de las aproximaciones más usadas es la tranformación
bilineal, cuyo fundamento transciende este curso, pero
puede hallarse en cualquier libro de teoría de control.
En dicha transformación la relación entre frecuencias es:
f continua =
1
π
tg (π f discreta )
T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia
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Transformada discreta de Fourier
A partir de la expresión del filtro paso bajo de orden n y
frecuencia de corte 1, se pueden obtener, mediante
cambios de variable, filtros con otra frecuencia de corte y
otros comportamientos:
f
f0
ƒ Filtro paso bajo:
f '=
ƒ Filtro paso alto:
f '= −
ƒ Filtro paso banda:
f '=
ƒ Filtro elimina banda:
f '=
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f0
f
f 2 + fc2
, fb = fsup − finf , fc = fsup finf
f fb
f fb
f 2 + fc2
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Manipulación del nivel de gris
Bibliografía
Numerical Recipes in C, the art of scientific computing.
Cambridge University Press. Capítulos 12 y 13.
(www.nr.com)
T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia
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