Energía. Fuerza sobre conductores y dieléctricos

TEORIA ELECTROMAGNETICA
FIZ 0321
(4)
Ricardo Ramı́rez
Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
2do. Semestre 2006
Energı́a electrostática
La energı́a de dos cargas puntuales q1 y q2 es igual al trabajo que hay que realizar
para traer una de ellas desde el infinito hasta su ubicación final a la distancia r12 de la
otra.
1 q1 q2
1
q2
U12 =
=
q1
= q1 φ1 = q2 φ2
4πo r12
4πo r12
donde φ1 es el potencial debido a q2 en la posición donde se encuentra q1 y φ2 es el
potencial debido a q1 .
Si traemos una tercera carga desde infinito, la energı́a electrostática de las tres cargas
es:
„
«
q2 q3
q3 q1
1
q1 q2
+
+
U =
4πo
r12
r23
r31
» „
«
„
«
„
«–
q3
q1
1 1
q2
q3
q1
q2
q1
+
+ q2
+
+ q3
+
=
2 4πo
r12
r31
r23
r12
r31
r23
1
=
[q1 φ1 + q2 φ2 + q3 φ3 ]
2
Relación que se puede generalizar como:
U=
N
1 1 X qi qj
1X
=
qi φi
2 4πo
rij
2
i6=j
i=1
Usando la relación : φi =
X
pij qj
→
U=
j
1X
pij qj qj
2
i,j
De esta relación deducimos que una variación de carga dqk produce
un cambio de la energı́a de :
dU =
∂U
1X
dqk =
(pik + pki )qi dqk
∂qk
2
i
Este cambio de energı́a también se puede pensar como el cambio de
energı́a producido al traer una carga dqk desde infinito:
X
dU = φk dqk =
pki qi dqk
i
Comparando obtenemos:
1
(pik + pki ) = pki
2
→
pik = pki
Coeficientes de capacidad
La relación entre cargas y potenciales de un sistema de conductores
en términos de los coeficientes de potencial se puede invertir y
obtener:
X
qi =
cij φj
j
Los coeficientes cij se llaman coeficientes de capacidad. y es posible
escribir:
U=
1X
cij φi φj
2
i,j
Teorema de reciprocidad de Green
En un sistema de conductores, si las cargas q1 , q2 , q3 , · · · , qN en
estos conductores resulta en potenciales φ1 , φ2 , φ3 , · · · , φN ,
respectivamente y si por otra parte las cargas q10 , q20 , q30 , · · · , qN0
producen potenciales φ01 , φ02 , φ03 , · · · , φ0N , entonces:
X
X
qi φ0i =
qi0 φi
i
i
La demostración se deja como ejercicio.
Fuerza sobre un conductor
CONDUCTORES CON CARGAS CONSTANTES
~ a uno de los
Supongamos que un agente externo aplica una fuerza F
conductores (que se mantienen con cargas constantes) y le produce
un pequeño desplazamiento d~r . El trabajo realizado por el agente
externo es:
~ · d~r = −dU
dW = F
donde dU es la pérdida de energı́a electrostática del sistema.
Entonces la fuerza se puede expresar como:
~ = −∇U = − ∂U ξˆ
F
∂ξ
donde ξˆ está en la dirección de d~r , i.e. d~r = dr ξˆ
CONDUCTORES CON POTENCIALES CONSTANTES
Primero consideremos la expresión:
W =
1X
Qi φi
2
(1)
i
y el trabajo es realizado para traer pequeñas cantidades de carga
{dQi } desde el potencial 0 hasta los potenciales {φi }:
X
dW =
φi dQi
i
lo cual, a partir de (1), también se puede expresar como
dW =
1X
(φi dQi + Qi dφi )
2
i
Por lo tanto concluı́mos que:
X
X
φi dQi =
Qi dφi
i
i
(2)
El proceso de mover uno de los conductores a potencial constante puede
descomponerse en dos pasos:
~ para mover un
1.- Desconectamos las baterı́as y aplicamos una fuerza F
conductor en d~r . Los potenciales cambiaran en dφi . Entonces, de (2), el
trabajo es realizado a carga constante.
dW1 =
1X
Qi dφi
2
i
2.- Las baterı́as vuelven a conectarse. Entonces habrá un flujo de carga dQi
desde las baterı́as acompañado de un cambio de potenciales dφ0i = −dφi :
El el trabajo es realizado en el paso 2 es:
dW2 =
X
X
1X 0
(φi dQi + Qi dφ0i ) =
Qi dφ0i = −
Qi dφi
2
i
i
i
Por lo tanto el trabajo total realizado es:
dW = dW1 + dW2 = −
1X
Qi dφi = −dU = −Fdξ
2
i
es decir el cambio de energı́a a potencial constante tiene el signo opuesto
del cambio de energı́a a carga constante y la fuerza debe calcularse como:
F = +∇U = +
∂U ˆ
ξ
∂ξ
Ejemplo 1
BLOQUE DE DIELECTRICO ENTRE LAS PLACAS DE UN
CONDENSADOR
Area de las placas `w. Dieléctrico de permitividad .
x
d
l
Fuerza a potencial constante:
U=
1
2
2
2
φ
1
φ
xwd + o
x(` − x)d
d
2
d
1
φ2
∂U
= ( − o )w
∂x
2
d
La fuerza está dirigida en la dirección en que se incrementa x. m
F =
Fuerza a carga constante:
1
Q2
2 o w(` − x)/d + wx/d
2
∂U
Q d
w(o − )
F =−
=−
∂x
2 (o w(` − x) + wx)2
U=
Como > o , F > 0 y en este caso también está dirigida en la
dirección en que se incrementa x.
Ejemplo 2
Partiendo de la definición:
~p =
Z
~r 0 ρ(~r 0 )d 3 r 0
demuestre que que la expresión para un dipolo formado por dos
cargas puntuales q y −q ubicadas en ~r = ~r1 y ~r2 , respectivamente,
está dado por ~p = q(~r1 − ~r2 )
Ejemplo 3
Un dieléctrico hetereogéneo está formado por n cáscaras esféricas
concéntricas de constantes dieléctricas κ1 , κ2 , · · · , κn . Los radios de
las superficies lı́mites de las cáscaras son a1 , a2 , · · · , an . Se coloca
una carga Q en el centro de las esferas. Encuentre el potencial en un
dentro del dieléctrico κs .
an
r
a1
as
κs
Ejemplo 4
Una esfera conductora descargada de masa m se encuentra flotando
con un cuarto de su volumen sumergido en un lı́quido de
permitividad . ¿ A qué potencial debe cargarse la esfera para que
quede sumergida la mitad de su volumen?
Ejemplo 5
En un sistema de conductores originalmente descargados, al colocar
en el conductor A una carga Q, el conductor B adquiere un potencial
V . Demuestre que si se realiza la operación inversa es decir al
conductor B se le coloca una carga Q, entonces el conductor A
adquirirá el mismo potencial V .
A
B
Ejemplo 6
En un sistema de conductores inicialmente descargados a potencial
cero, agregamos una carga q en el punto P ¿ cuál es la carga
inducida en el conductor A? si sabemos que antes colocar la carga q
al subir el potencial de A a V 0 el potencial en P era Vp0 .
Q, 0
Q’,V’
A
q,Vp
0,V’p
P