ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

NOTAS DE CLASES DEL PROFESOR JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES
Si una ecuación diferencial tiene la forma
dy
 f (ax  y  c) con b  0
dx
Entonces puede reducirse a una Ed en variables separable mediante la sustitución
z  ax  by  c
Demostración:
Al hacer el cambio
z  ax  by  c
dz
dy
 ab
dx
dx
dy 1  dz

   a
dx b  dx

Sustituyendo en la ED
1  dz

  a   f ( z)
b  dx

dz
 bf ( z )  a
dx
Separando variables se tiene la forma:
dz
 dx
bf ( z )  a
Ejemplo. Hallar la solución general de la ED
dy
 sin( x  y  1)
dx
La ED tiene la forma () , entonces hacemos la sustitución:
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z  x  y 1
dz
dy
 1
dx
dx
dy
dz
 1
dx
dx
Sustituyendo en la ED
1
dz
 sin( z )
dx
Separando variables
dx 
dz
1  sin( z )
Integrando
1
1  sin( z )
 dx   1  sin( z) 1  sin( z) dz
 dx  
1  sin( z )
dz
cos 2 ( z )
 dx    sec ( z )  sec( z ) tan( z )  dz
2
x  tan( z )  sec( z )  C
Regresando a la variable x
x  tan( x  y  1)  sec( x  y  1)  C
Ejemplo: Resolver la ED
dy
 4  y  4x  8 .
dx
Haciendo
z  y  4x  8
dz dy

4
dx dx
dy
dz
 4
dx
dx
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Sustituyendo en la Ed y separando variables
4
dz
 4 z
dx
dz
 dx
z
Integrando se tiene la solución general
2 z  xC
2 y  4x  8  x  C
DESARROLLANDO TUS COMPETENCIAS
Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante una sustitución
apropiada y representa gráficamente a la familia de soluciones o a la curva integral según
corresponda.
1.
2.
3.
4.
5.
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
 tan 2 ( y  x)
 ( x  y  4)4
y(1)  1
 1 x  y
y(0)  4
2x  y
2x  y  3
dy
1

dx ( x  2 y )2
