EL MÉTODO GRÁFICO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAR Elvis Magno da Silva, autor Vladas Urbanavicius Júnior, co-autor 1 FACESM/Gpde, Av. Presidente Tancredo de Almeida Neves, 45 - Itajubá – MG 2 FAPEMIG/IC, Rua Raul Pompéia 101, São Pedro, Belo Horizonte – MG 3 UNINOVE/PMDA, Rua Guaranésia, 425, Vila Maria, São Paulo-SP Resumen: En el estudio de investigación operativa encontramos la programación linear. Esta herramienta matemática puede utilizarse come ayuda en la toma de decisiones gestores. De esto grado, tenemos como objetivo mostrar la programación linear como una herramienta de gestión, así como la forma de calcular este tipo de problemas por el método gráfico. Para realización, utilizamos el método de investigación bibliográfico, así un estudio de caso hipotético. Al final llegaremos a solución que maximiza el beneficio del problema, así como las etapas para la resolución gráfica. Concluimos que realmente la programación lineal es una herramienta de gestión que puede asistir a directores a toma de decisiones de forma más empírica y más científica. Palabras clave: Investigación Operativa; Programación Lineal; Método Gráfico. 1. Introducción Girão y Ellenrieder (1971, p.xi) comenta que en los últimos años, una nueva rama del conocimiento altamente general viene siendo convertido, bajo el nombre de la investigación operativa. El objetivo de esta nueva rama del conocimiento es decidir a problemas de la decisión en las áreas de la economía, la administración, las finanzas y la organización en general e esto con un embarque científico de tales problemas. La investigación operacional (IO) es un recurso imprescindible, una época que si los presentes como herramienta para tomar racional de decisiones empresarias, substituyendo las decisiones empíricas usadas grandemente. Sin embargo, no se piensa decir con este trabajo que las experiencias de años de servicio deben ser dejadas. En cambio, el IO viene ayudar a encargados a tener más información de modo que puedan tomar las decisiones más correctas para las compañías. Este trabajo demostrará lo que viene a ser investigación operativa y su importancia. También trae el concepto de programación linear y dice como es la montaje y el forma matemática de la resolución de un problema del maximización de los recursos financieros. También un caso hipotético será visto para ilustrar la demostración matemática de un problema de la toma de decisión, así como el desarrollo por el método gráfico. 2. Metodología Para este trabajo investigación descriptiva será hecho utilizando una las metodologías: investigación bibliográfica y el estudio de caso. Oliveira (1999, P. 119) dice que la investigación bibliográfica no tiene que ser confundida con la investigación del documento. El examen bibliográfico es más amplio de lo que se ejecuta la investigación documental, y de ése normalmente el examen bibliográfico en las bibliotecas públicas, universidad y, catálogo colectivo y las bibliotecas virtuales. Ve el flujo de trabajo: Figura 1: Flujo de la Metodología Del trabajo En el figura 1, puede ser observado, en A, los parámetros que irán a definir la función objetiva del caso que será estudiado; e en B es los parámetros que irán a restringir la función objetiva. La adición de ambos, forma el modelo linear que será utilizado para la resolución del problema. 3. Investigación Operativa McCloskey y Trefethen (1966, p.13) dice que la investigación operativa si está puesta firme como una actividad para apoyar la gerencia. También comentan que los nuevos conceptos, las nuevas actitudes y las nuevas técnicas han aumentado la capacidad de la investigación XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba 1 operativa en la ayuda a la resolución de problemas complejos y tomas de decisiones importantes. Para Shamblin y Stevens Jr (1979, p.13), la investigación operativa (IO) es “un método científico de toma de decisión”. Él iniciase describiendo un sistema por intermediario de un modelo y de una tarea posterior con este modelo para levantar la manera óptima de gestionar el sistema. Duckworth (1972, p.16-17) también dice que la pieza más importante del concepto de investigación operacional es “soluciones excelentes para los problemas… esos él dice respecto al funcionamiento de un sistema”. Él apoya que en los trabajos del IO, importa el sistema, no los elementos que compone él. Shamblin y Stevens Jr (1979, p.266-267), la forma matemática de un problema modelo es: Optimizar: Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn Sujeito a: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2 . . . . . . am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm x1, x2, ..., xn ≥ 0 (1) O en la forma reducida: n Z = ∑c j xj j =1 (2) Sujeito a: n ∑a j =1 ij x j ≤ bi (i = 1,2,..., m) x1, x2, …, xn ≥ 0 (3) Garvin (1960, p.3) dije nos que el problema central de la programación linear es para reducir al mínimo o aumentar en el máximo una función linear, y que considere condiciones de que las variables no ceja la negativa y debe satisfacer la forma de una ecuación linear. Para mejor entendimiento de la formación algebraica del la forma del problema, observe un ejemplo hipotético de Montevechi (2006, p.20). 4. Formulación Del Problema Y El Caso Hipotético Montevechi (2006, p.20): una planta produce dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado es vendido por $27 y utiliza $10 del materia prima de la sustancia. Cada soldado que se fabrica a mano tiene un costo adicional del $14 de la ejecución. Un tren es vendido por $21 y costa $9 del materia prima de la sustancia. El coste adicional de la mano de la ejecución para cada tren está de $10. La fabricación de estos juguetes requiere dos tipos de mano de la ejecución: carpintería y acabamiento. Un soldado necesita 2 horas para el acabamiento y 1 hora de carpintería. Un tren necesita 1 hora para el acabamiento y 1 hora de carpintería. Cada semana, la planta puede conseguir a cualquier cantidad de materia prima de la sustancia, pero tiene la disposición solo 100 horas de acabamiento y 80 de carpintería. La demanda para los trenes es ilimitada, pero las ventas de soldados están en del máximo 40 por semana. La planta quiere maximizar su beneficio diario (gaño-costo). Con estos datos, el modelo matemático será formulado para asistir a la maximización del beneficio semanal. Montevechi (2006, p.20-25), ayuda nos aclarar este ejemplo. Primero debemos suscitar los problemas de la pregunta, que es “cuántos soldados y los trenes deben ser hechos en la semana”. Para todavía aclarar más, la variable de la decisión debe ser representada. En este caso, el número de soldados producidos y el número de trenes producidos. Mirra: X1 = el número de soldados producidos a cada semana X2 = el número de trenes producidos a cada semana Para el logro de la función objetiva, consideran tres puntos: la prescripción y los costes pueden ser expresos en términos de 0 X1 y X2 variables, será asumido que todos los juguetes producidos pueden ser vendidos, y que la prescripción de la semana es igual la prescripción de los soldados más la prescripción de los trenes, de esto tenemos que: Beneficio por semana = 27*X1 + 21*X2, e Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2 Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2 Así se dice que quiere la fábrica para aumentar al máximo: (27*X1 + 21*X2) – (10*X1 + 9*X2) – (14*X1 + 10*X2) Simplificar esta ecuación, obtenemos la maximización de la cuestión es: Max Z = 3X1 + 2X2 X1 y X2 están limitados por ciertas restricciones. Ver cuáles son: 1) Cada semana, no más de 100 horas de acabado; XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba 2 2) Cada semana, no más de 80 horas de carpintería; 3) Limitación de la demanda, no más de 40 soldados por semana. El siguiente paso es la transformación de estas restricciones en las expresiones matemáticas en términos de variables de decisión X1 y X2. Restricción 1: 2X1 + X2 ≤ 100 Restricción 2: X1 + X2 ≤ 80 Restricción 3: X1 ≤ 40 Pero Montevechi (2006, p. 25) nos recuerda que tenemos que tomar otras dos restricciones para la formulación matemática de este problema, que son los siguientes: Restricción adicional 1: X1 ≥ 0 Restricción adicional 2: X2 ≥ 0 En resumen, hemos matemáticamente: Max Z = 3X1 + 2X2 Sujeta a: 2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 El problema de este ejemplo hipotético es típico de muchas empresas, que necesitan para maximizar los beneficios y al mismo tiempo están sujetas a la limitación de recursos. En la continuación de este trabajo se muestra cómo resolver este problema matemático por método gráfico. 5. Resolución Del Problema Por El Método Gráfico Para Lachtermacer (2004, p.28-29), el método gráfico puede ser utilizado sólo cuando el problema sólo afecta a dos variables de decisión, donde la solución óptima de un problema de programación lineal se puede encontrar gráficamente. Para él el primer paso es establecer las dos líneas que representan las cantidades de X1 y X2. El siguiente paso es encontrar todas las soluciones del problema, y para ello puede utilizar la representación gráfica impuesta por cada una de las restricciones, es decir, "determinar qué subzona del espacio X1 x X2 sería aceptada por cada restricción. Según Agosti (2003, p.19-20) Método gráfico es un método limitado para resolver los problemas con sólo dos variables, y este método, que restringir la definición de cada uno en la zona de plano cartesiano, que contiene infinitos puntos. Para él, la cuestión es seleccionar un punto, al mismo tiempo, está contenida en este ámbito y cumplir la línea de meta. Incluso se afirma que "el método garantiza que los puntos de intersección de las líneas límites de la zona de interés son los posibles puntos que satisfagan a la tareaobjetivo". También según Agosti (2003, p.19-20), es posible describir un plan de trabajo de base para la resolución de problemas por métodos gráficos. Véase la secuencia de comandos: 1) Identificar las variables de decisión; 2) Montar la línea de meta; 3) Reunir las ecuaciones / desigualdades de restricción; 4) Determinar el mínimo de puntos para cada línea de restricción; 5) La trama de puntos y dibujar líneas en el plano cartesiano; 6) Seleccione (marque) la zona viable; 7) Verifique el área común a todas las restricciones; 8) Encontrar el punto óptimo del problema y 9) Para formular la respuesta. Observe que, para aplicar el método gráfico en algunas situaciones pueden llegar a soluciones ilimitado o no encontrar soluciones a nuestro problema. Por ejemplo, el gráfico que no tiene espacio común entre las líneas formadas por las restricciones del problema se considera no resueltos. Una vez más, como fue la formulación matemática de nuestro caso hipotético, tal como se describe en el capítulo anterior: Max Z = 3X1 + 2X2 Sujeta a: 2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Montevechi (2006, p.27) define la solución a un problema de programación lineal como un conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las limitaciones del problema. Y también la región donde la solución se busca es una gran solución. Para él, se entiende como el punto óptimo de la solución que lleva a mayor valor de la función objetivo. Silva et al (1998, p. 24) habla de la gráfica del conjunto de soluciones. Nos dicen que "la representación gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una línea recta. Una representación gráfica de una desigualdad lineal con dos variables es una de las seme-recta de la ecuación correspondiente. " XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba 3 Theophilo y Ejecutar (2007, p.338) también dijo que completar el primer paso consiste en representar gráficamente cada restricción del problema. Por lo tanto, debemos hacer una simple conversión de las desigualdades en ecuaciones, solo se convierta en igualdad de las desigualdades. Por lo tanto, pedimos que la resolución por el método gráfico, la función objetivo de la ecuación (1), y la restricción de (2), (3), (4), (5) y (6), respectivamente. Este puesto, que es el eje de ordenadas X1, X2 y el eje de abscisas. Véase: El gráfico a continuación, también lo es: Figura 4: Gráfico de la 1 ª y 2 ª restricciones La tercera restricción (4) tenemos: X1 ≤ 40 Considerando que X2 = 0, tenemos X1 ≤ 40. Por lo tanto, nuestra tercera línea está formada por: (0, 0), (40, 0). El gráfico a continuación, es como sigue: Figura 2: Gráfico plano cartesiano X1 por X2 La primera restricción (2) tenemos: 2X1 + X2 ≤ 100; Considerando que X1 = 0, tenemos X2 ≤ 100. Y si X2 = 0, X1 ≤ 50. Así que tenemos nuestra primera línea formada por dos pares de orden, que es (50, 0) y (0, 100). Por lo tanto, la tabla es la siguiente: Figura 5: Representación gráfica de la 1 ª, 2 ª y 3 ª restricciones Las dos últimas restricciones (5) y (6), tenemos que su área es el primer cuadrante de la gráfica. Por lo tanto tenemos la siguiente región de la solución en el gráfico realizado por las restricciones del problema: Figura 3: Gráfico de la 1 ª restricción Nosotros haremos lo mismo para las otras restricciones del problema. Recordando que la región pertenece a todas las restricciones será nuestra solución. La segunda restricción (3) tenemos: X1 + X2 ≤ 80 Considerando que X1 = 0, tenemos X2 ≤ 80. Y si X2 = 0, X1 ≤ 80. Así tenemos nuestra segunda línea formada por (80, 0) y (0, 80). Figura 6: Representación gráfica de la solución XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba 4 Montevechi (2006, p.30), dice que después de la identificación de la región de la solución, debe encontrar una solución "genial" a ser el punto de la región de la solución que tenga el mismo valor de Z = 3X1 + 2X2. Lachtermacer (2004, p.30-31) comenta que un procedimiento simple, pero no muy eficiente, es asignar valores a la Z, haciendo una línea de meta la ecuación de una línea. Antes de elegir un punto de partida para la solución del problema es necesario hacer un apuntamiento para continuar. En el gráfico, tenemos la región de la solución, esta región quiere un par de ordenadas para que nuestra función objetivo sea el más alta posible. A ser el mayor, este punto debe ser entre la extrema derecha y el extremo superior de nuestro polígono que comprende la región de solución. Cuanto más a la derecha, más en el valor de X1 y cunto más arriba él, mayor hasta el valor de X2, y por lo tanto, el mayor de los valores de X1 y X2, sus productos son mayores en la función objetivo (Z = 3X1 + 2X2). Así, podemos ver gráficamente en este caso, uno de los vértices del polígono del primer cuadrante de la gráfica será nuestra solución óptima. En este punto, Hillier y Lieberman (2005, p.28-29) a la observación de que encontrar de manera eficiente el cumplimiento de este paso, se inicia el método de ensayo y error. Podemos resolverlo por los intentos de ordenar el lanzamiento de estos pares de vértices. Sin embargo, para fines educativos, elegimos otro punto que es la línea X1 para demostrar la solución. Por lo tanto, decide en cualquier lugar de la región de la solución, por ejemplo (20,0), porque se cae en la línea. Desde (20,0), Z = 3X1 + 2X2 = 60 (ya que X1 = 20 y X2 = 0). Ya que tenemos Z = 60, hacer el procedimiento de la función objetivo: Z = 3X1 + 2X2 Debemos aislar X2: 3/2X1 60 = 3X1 + 2X2 X2 = 30 – Esta ecuación puede definir la pendiente de todas las líneas es 3X1 + 2X2 "-3 / 2". Sabemos también que esta línea pase por el punto (20, 60), que se calculó anteriormente, podemos trazar la línea de solución óptima en el gráfico y, por tanto, adoptar todas las otras soluciones (no óptimos) posible. Consulte el gráfico: Figura 7: Representación gráfica de la línea recta que limita con la función objetivo Importante señalar que una vez extraídas directamente de la ecuación que representa la función objetivo, podemos encontrar todos los demás por el movimiento paralelo a la línea de diseño y, por tanto, tener una visión de las posibles soluciones. Figura 8: Gráfico de la restricción de líneas paralelas con la función objetivo Visualmente en la imagen de arriba nos encontramos con que la última línea paralela que toca un punto en la región de solución. Por lo tanto, visualmente el punto G (20,60) como punto de gran problema. Luego, calcular el valor por debajo del máximo beneficio. Z = 3X1 + 2X2 , para X1 = 20 e X2 = 60, tenemos: Z = 3*20 + 2 * 60 Z = 180 Así tenemos el máximo de beneficios como la importancia de $ 180,00 unidades monetarias, por X1 y X2 = 20 = 60. 6. Conclusión Hemos visto que con este trabajo de McCloskey y Trefethen (1966, p.13) la investigación se ha establecido como una XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba 5 actividad operacional en apoyo de la gestión. Y también el comentario de que los nuevos conceptos, nuevas actitudes y nuevas técnicas han aumentado la capacidad de investigación operativa para ayudar a resolver problemas complejos y en la toma de decisiones importantes. Para Shamblin y Stevens Jr. (1979, p.263), la programación lineal es "un medio matemático para designar una cantidad fija de recursos para satisfacer la demanda de manera que algunos se optimiza la función objetivo, y aún así cumplir con el resto de condiciones. Lachtermacer (2004, p.28-29) completa el método gráfico de solución de problemas de programación lineal pueden ser usadas sólo cuando el problema sólo afecta a dos variables de decisión, donde la solución óptima se puede encontrar gráficamente. Para él el primer paso es establecer las dos líneas que representan las cantidades de X1 y X2. El siguiente paso es encontrar todas las soluciones del problema, y para ello puede utilizar la representación gráfica impuesta por cada una de las restricciones, es decir, "determinar qué subzona del espacio X1 x X2 sería aceptada por cada restricción. Y finalmente, tenemos la solución para el caso hipotético, la mejor solución es X1 = 20 y X2 = 60, con un beneficio de 180,00 unidades monetarias, lo que corresponde a la maximización problema. Llegamos a la conclusión de este trabajo con la operación de búsqueda es una herramienta de gestión que no puede dejarse a cabo por los directivos y empresarios con el fin de ayudarles en la toma de decisiones. También nos encontramos con que usted puede usar el método gráfico para resolver un problema de programación lineal en dos variables. 7. Referência ACKOFF, Russell L. & SASIENI, Maurice W. . Pesquisa Operacional – Vol.4; editora Livros Técnicos e Científicos S/A, Rio de Janeiro/RJ; 1974. AGOSTI, Cristiano. Apostila de Pesquisa Operacional; Universidade do Oeste de Santa Catarina; 2003. CERVO, Amado Luiz; BERVIAN, Pedro Alcino. Metodologia Científica; 3ª edição; Ed. McGraw Hill do Brasil; São Paulo; 1983. CORRAR, Luiz J.; THEÓPHILO, Carlos Renato. 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