Grafos

Departamento de Expresión Gráfica y Proyectos de Ingeniería
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial e Ingeniería
Técnica en Topografía
Vitoria - Gasteiz
GESTIÓN DE PROYECTOS
Grafos
Autores: Jenaro Fernández Martínez
Alfredo Martínez Argote
Karle Olalde Azkorreta
Fecha: Noviembre 1999
Ref.: GesPro-V10
Palabras claves: gestión, proyectos
Oficina Técnica y Proyectos
GESTION DE PROYECTOS: Grafos
Indice. Tabla de Contenidos
1
Gestión de Proyectos: Grafos .................................................................................1
1.1 Introducción .......................................................................................................1
1.2 Características de los métodos de programación y control de proyectos .........2
1.3 Tipos de diagramas ...........................................................................................4
1.4 Las Prelaciones .................................................................................................4
1.5 El diagrama GANTT ..........................................................................................6
1.6 Definición del calendario de ejecución mediante grafos ...................................7
1.7 Diagramas AOA (Activity On Arrow) ..................................................................8
1.8 Construcción del grafo ( PERT )........................................................................8
1.8.1 Ordenación en niveles de un grafo..............................................................9
1.8.1.1 Método Gráfico ................................................................................9
1.8.1.2 Método Matricial.............................................................................10
1.8.2 Calculo de tiempos. Tiempo Early, Tiempo Last, Duración del proyecto ..11
1.8.2.1 Calculo del tiempo mas pronto permisible "Tiempo EARLY".........11
1.8.2.2 Calculo del tiempo mas tarde permisible "Tiempo LAST" .............12
1.8.3 Holgura Total y Camino Critico..................................................................13
1.8.4 CPM. Holgura Libre y Holgura Independiente ...........................................14
1.8.5 Establecimiento del calendario de ejecución.............................................14
1.9 Diagramas AON (Activity On Node) ................................................................17
1.9.1 El diagrama ROY.......................................................................................17
1.9.1.1 Principios básicos del método ROY...............................................17
1.9.2 Ventajas y diferencias entre el método ROY y PERT/CPM ......................21
1.9.3 Diferencias básicas entre el método PERT y el CPM .............................23
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1 Gestión de Proyectos: Grafos
1.1 Introducción
La herramienta gráfica tradicionalmente utilizada en la programación de proyectos es el
diagrama de Gantt.
Una de las deficiencias básicas de dicho diagrama estriba en que en aquellos proyectos de larga
duración, sometidos a incidencias y modificaciones, el diagrama de Gantt construido en un cierto
momento deja rápidamente de ajustarse a la realidad hasta tal punto que pierde su utilidad. Se precisa
la confección de un nuevo diagrama actualizado, y su construcción exige casi tanto trabajo como costó
el diagrama inicial.
Un intento de aprovechar una parte importante de los esfuerzos, ya realizados en las sucesivas
actualizaciones, consiste en considerar una estructura del proyecto con mayor persistencia a lo largo
de su desarrollo que las duraciones o las fechas de realización. Esta estructura del proyecto puede
modelizarse mediante la utilización de diagramas orientados o grafos.
Si además se confía la manipulación de los datos a un sistema informático, es posible disponer
de la representación actualizada de proyecto con un mínimo de esfuerzo a lo largo de toda la vida del
mismo, y realizar las programaciones y reprogramaciones necesarias, obteniendo los documentos o
gráficos necesarios para la comunicación entre todos los estamentos afectados.
La utilización de grafos en la representación de proyectos, y su almacenamiento y manipulación
mediante soporte informático, fue iniciada en 1957 por J.E. Kelly con el metodo CPM. En 1958 la Naval
Special Project Office lanza el PERT (Program Evaluation Research Task o Program Evaluation and
review Technique).
En las mismas fechas, los técnicos de los Chantiers de l'Atlantique, la SEMA y la Compagnie des
Machines Bull estudió un problema de equilibrado de curvas de carga de los especialistas que
intervienen en las operaciones de armamento de un buque. Estos trabajos dieron origen
posteriormente al método de los potenciales o de ROY.
En España estos métodos llegaron hacia 1962, causando un gran impacto gracias a su sencillez
conceptual, impacto que gradualmente fue reduciéndosel comprobarse que su implementación exigía
esfuerzos, recursos y disciplina, cosas que no siempre se estaba dispuesto a aportar.
La primera variante del PERT que intento hacer frente a las criticas relativas a que este sólo
tenía en cuenta el tiempo, fue el PERT/COST. El PERT/COST pretendía asociar el coste a las
actividades, lo que conducía a tener una estructura del mismo adaptada a la estructura del proyecto
(definida por el organigrama tecnológico), con lo que podían determinarse las causas de las
desviaciones de coste más eficazmente.
Sin embargo, las empresas siguieron utilizando los procedimientos contables tradicionales, con
lo que la doble contabilidad creaba más problemas de los que resolvía y, en consecuencia, el
PERT/COST fue abandonado.
En algunas ocasiones se confunde el PERT/COST con otro procedimiento que considera los
costes, el CMX ("minimun cost expediting").. Este procedimiento, que pertenece a la linea de desarrollo
del CPM (Critical Path Method), supone la existencia de una relación estrecha y conocida entre el coste
directo de una actividad y su duración. Ello permite determinar diferentes duraciones posibles del
proyecto, cada una asociada a un coste total mínimo para lograrla, debiendo el responsable del
proyecto decidir cuál de las soluciones halladas satisface de la mejor manera posible sus objetivos.
Los intentos más ambiciosos de introducir el tratamiento de la incertidumbre en los esquemas
PERT son el GERT (graphical evaluation and review technique) y el VERT (venture evaluation and
review technique), que pretenden analizar proyectos en los que la incertidumbre se refiere no sólo a las
duraciones de las actividades sino también a la misma forma del grafo.
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A estos procedimientos debemos relacionar también DCPM (Decision CPM) con un cierto
parentesco con las redes y árboles de decisión.
En la línea del CPM, aunque a causa del contraste con el método ROY, encontramos el PDM
(precedence diagramming method) que sitúa las actividades en los vértices ("activity-on-node") y añade
a las tradicionales relaciones "fin-con-principio" otras tres "principio-con principio", fin-con-fin" y
"principio-con-fin", que pueden compararse con las ligaduras negativas ya establecidas en el método
ROY. El PDM es mucho más delicado de utilización que cualquiera de los métodos originales.
Desde 1960, inicio de la utilización extendida de los procedimientos, se intento introducir la
consideración de las limitaciones de recursos además de las precedencias entre actividades. Se
intentaron métodos analíticos y otros heurísticos, con predominio de estos últimos. Algunos de los
procedimientos más difundidos fueron ROC 8000, RDC 8001, PUFFS, ASTRA, ALTAI y RAMPS.
Uno de los desarrollos más recientes es el CPM/MRP (1980), que intenta combinar las
posibilidades del CPM con la estructura de componentes y sus necesidades propias del MRP ("material
requirements planning").
1.2 Características de los métodos de programación y control de proyectos
Los métodos que vamos a analizar a continuación tienen por objeto establecer los programas de
realización dde un proyecto y efectuar su seguimiento y actualización. En general consideramos que un
proyecto, como ya se ha indicado con anterioridad, es una actividad singular (lo cual no significa
forzosamente "anormal") en contraposición a las actividades regulares que gozan relativamente de
cierta continuidad. Atribuimos a la palabra proyecto un significado muy amplio, aunque para que sea
objeto de las preocupaciones que vamos a desarrollar debe poseer un cierto grado de complejidad.
Según las circunstancias se tratará de:
-- La construcción de un gran conjunto (avión, navío, nave espacial, autopista, central nuclear,
etc.)
-- Una intervención temporal (revisión y entretenimiento preventivo de un navío o maquinaria,
modificación de una instalación, etc.).
-- La realización de un trabajo concreto con condicionantes temporales (estudio de organización,
aplicación informática, diseño y lanzamiento productivo y comercialización de un nuevo producto, etc.)
Más excepcionalmente, bien por escaparse de la singularidad, bien por poseer una estructura
que exige procedimientos específicos de tratamiento, se considera proyecto.
-- Un empleo de tiempo (distribución de locales, profesores y alumnos de una facultad,
distribución de aviones y tripulaciones entre diversas rutas, organización de los trabajos administrativos
de un banco, etc.)
-- La ejecución de un bloque de actividades (realización simultánea de las actividades de
reparación y puesta a punto de maquinaria de una empresa dedicada a la importación y venta de
equipo pesado, ejecución de la cartera de pedidos en una empresa siderúrgica, etc.)
Nuestro enfoque se dirigirá hacia los aspectos de gestión del proyecto, y no hacia los aspectos
tecnológicos, que supondremos resueltos o bien tratados a parte.
El proyecto (o su realización) se descompone en la ejecución de un conjunto de actividades ,
también llamadas tareas. Las actividades juegan el papel de operaciones elementales, y son las
entidades que se programarán y controlarán. Por tanto, el grado de finura en la descomposición del
proyecto en actividades lo marcarán los objetivos de la planificación y control. dicha descomposición
exige, en general, el uso de conocimientos de la o las tecnologías propias del proyecto, así como de las
técnicas de modelización y planificación, lo que implica una interacción activa entre el programados y
los técnicos.
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El numero de actividades puede oscilar, según los casos, entre algunas decenas y varios
millares. Naturalmente, en cada caso los medios precisos para manipularlos deberán ser distintos. El
numero de tareas dependerá de la duración del proyecto, de su complejidad y del grado de control
deseado.
Las actividades están asociadas a un conjunto de características que podemos agrupar en tres
categorías:
1) Características de identificación:
- Código
- Designación
- Tipo
- Ejecutor, etc.
2) Características temporales
- Duración o plazo de realización.
- Fechas previstas de inicio y fin (una vez planificadas, si se actualiza la planificación estas
fechas deberán asociarse a la de la última actualización).
- Fechas reales de inicio y fin (una vez realizadas), etc.
3) Características de requerimientos de recursos para su ejecución. Los recursos son los
distintos medios materiales necesarios para la ejecución de la actividad, susceptibles de ser medidos
en unidades físicas y, por tanto, de estar sometidos a limitaciones y a un coste:
-- Las características de este tipo pueden poseer carácter cualitativo (modalidad o forma de
ejecutar la actividad) y cuantitativo (nivel o cantidad del recurso requerido). Normalmente existe una
relación entre estas características y las temporales ( la duración suele ser función del nivel de
recursos utilizados).
Existen relaciones entre unas actividades y otras, lo que podríamos considerar como una
característica o propiedad más de las actividades, pero que, dada su transcendencia para la
planificación y el control, las trataremos más adecuadamente en forma monográfica en lo que sigue.
La ejecución de las actividades no puede realizarse, en general, en un orden y de una forma
cualquiera, sino que debe satisfacer a un conjunto de restricciones o condicionantes, que
denominaremos "ligaduras", las cuales formalizan las exigencias impuestas por:
-- La tecnología (una actividad no puede comenzarse hasta que otras hayan terminado o llegado
a un cierto grado de realización).
-- La mano de obra (la plantilla de cierta especialidad esta limitada por lo que no puede realizarse
simultáneamente muchas actividades que precisen de dicha especialidad).
-- El equipo (una maquina no puede, en general, realizar dos actividades distintas
simultáneamente).
-- Los aprovisionamientos (hasta la recepción de los materiales no pueden realizarse actividades
que los precisen).
-- Las ventas o aspectos comerciales o contractuales (ciertas actividades deben haberse
realizado antes de una fecha determinada para cumplir los plazos, no incurrir en penalizaciones, o
poder atender cierto tipo de solicitud).
-- La climatología (ciertos trabajos exteriores no pueden realizarse en determinadas épocas de
calor o frío), etc.
Como hemos visto en el capitulo anterior todo proyecto esta compuesto por una serie de
actividades a desarrollar, que necesitan de una recursos para poderse llevar a cabo, que están
delimitadas por una situación de comienzo y otra de finalización denominadas sucesos algunas de las
cuales toman una mayor relevancia pasando al rango de hito.
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Todos estos elementos tienen una representación gráfica, y encadenandolos adecuadamente
(en función de las prelaciones) podemos modelar el proyecto mediante un grafo y acometer tareas de
programación y control con mayor facilidad.
1.3 Tipos de diagramas
TEORIA DE
LOS GRAFOS
TEORIA
PROBABILIDADES
DIAGRAMA
DE GANTT
PERT
FLUJO DE
REDES
C.P.M.
ROY
PERT/COST
PERTI,II,III
HPM
CA-SUPERPROJEC
T
MS-PROJECT
TIMELINE
PDM
MCX
MONPOWER
SHEAULING
VERT
HEURISTICA
ACPM
ALGEBRA
BOOLEAN
GERT
PERT/MRP
MRP
ARBOL DE
DECISION
1.4 Las Prelaciones
En el tema anterior vimos que eran las prelaciones, vamos a ver aquí como tabulamos dicha
información.
CUADRO DE PRELACIONES
Actividad (1)
A B C
D
Precedente (2) --- --- A,B A
E
A
F
D
G H
D G
I
F
J
E
K
C
L
M N P
H,I,J K M L
Q
R
N,P Q
(1) Actividades en que se descompone el proyecto
(2) Actividades precedentes a su correspondiente (1)
Las actividades (1) que no tienen ninguna actividad precedente (2) son las actividades de inicio
del proyecto
Las actividades fin del proyecto se reconocen por no aparecer en la columna (2)
NOTA: La utilización de programas informaticos para la planificación de proyectos ha permitido
incorporar otros tipos de relaciones entre las actividades lo que ha motivado que los cuadros de
prelaciones modifiquen su estructura.
Actividad " i "
A
A
B
C
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D
E
4
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B
FS
0
Actividad " j "
Relación
Demora
C
SS
0
C
FF
0
D
SF
0
E
FS
2+
F
FS
1-
F = Finish, S = Start
Relación FS para AB significa que la actividad B tiene su punto de inicio (start) al finalizar A
(finish)
Demora = diferencia con respecto al punto marcado por Relación puede ser positiva o negativa
(retraso o adelanto)
MATRIZ DE ENCADENAMIENTOS
Actividad precedente
A B C D E F G H I J K L M N P Q R
A
B
C x x
Actividad siguiente
D x
E x
F
x
G
x
H
x
I
x
J
K
x
x
L
x x x
M
x
N
x
P
x
Q
x x
R
x
Matriz cuadrada cuya dimensión es igual al número de actividades en que se ha descompuesto
el proyecto.
Una x indica que para realizar la actividad de la fila a que corresponde tiene que haber finalizado
la de la columna correspondiente.
Aquellas filas sin x corresponderán a actividades cuyo suceso inicio coincide con el suceso inicio
del proyecto.
Aquellas columnas sin x corresponderán a actividades cuyo suceso fin coincide con el suceso fin
del proyecto.
Este cuadro también puede readaptarse para otros tipos de relaciones.
A
B
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FS
---
B
-3
SS
--FF
C
1
0
1.5 El diagrama GANTT
Es la forma habitual de presentar el plan de ejecución de un proyecto, recogiendo en las filas la
relación de actividades a realizar y en las columnas la escala de tiempos que estamos manejando,
mientras la duración y situación de cada actividad se representa mediante una linea o rectángulo
dibujado en el lugar correspondiente.
Activ
A
B
C
D
E
F
G
H
Prelac
B
C,D;E
F
F
G
G
H
--
Duración
10
12
16
20
16
20
18
22
Actividades
10
A
B
C
D
E
F
Diagrama de GANTT
12
16
20
16
20
G
H
Ttotal = 102
18
22
Tiempo
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Ventajas
- Interpretación sencilla y muy intuitiva
Inconvenientes
- No permite ver las interrelaciones entre las tareas,
por lo que no es posible realizar modificaciones sin
tener que reconstruir todo el diagrama a partir de la
tabla de prelaciones.
- Muy útil para transmitir información sobre el - No permite reflejar un plan del proyecto realizable y
programa vigente en un momento dado. Calendario realista, porque falta un elemento esencial: la
de ejecución del proyecto
consideración de los recursos existentes y su grado
de disponibilidad en los momentos oportunos, en
combinación con el resto de las tareas o proyectos a
ejecutar.
- No considera costo
1.6 Definición del calendario de ejecución mediante grafos
PROYECTO
Descomposición
del Proyecto en
Actividades
Cálculo de
la Holgura
Independiente
DIAGRAMA DE FLUJO PARA LA PROGRAMACION DE UN PROYECTO
Prelaciones entre
diferentes
Actividades
Calculo de
la Hogura
Libre
Ordenación en
niveles del
grafo
Construcción
del grafo
Matriz de
encadenamientos
Método
gráfico
Cuadro de
prelaciones
Algoritmo
matricial
Camino
Critico
Holgura
CALENDARIO DE EJECUCION DEL PROYECTO
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Cálculo de los
tiempos más tarde
permisible
(LAST)
Asignación de
tiempos a
las actividades
Cálculo de los
tiempos más
pronto posible
(EARLY)
Matriz de cálculo
de los tiempos
EARLY y LAST
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1.7 Diagramas AOA (Activity On Arrow)
Los gráficos AOA son grafos en los que el arco representa una actividad y los vértices son los
sucesos. Toda actividad debe tener siempre un suceso inicio y un suceso final. Corresponden a este
tipo los diagramas PERT y CPM
La representación de las prelaciones es:
vértice
vértice
arco
B
Actividad A
Suceso 2
Suceso 1
A
LINEAL: A precede a B.
D
B
CONVERGENTE: A, B, C preceden a D.
C
B
A
DIVERGENTE: A precede a B, C, D.
C
D
A
CONVERGENTE-DIVERGENTE: A, B,
C preceden a D, E, F.
D
B
E
F
C
1.8 Construcción del grafo ( PERT )
Actividades ficticias: Son enlaces lógicos que nos permiten reflejar en el grafo algunas
prelaciones problemáticas. Estas actividades no consumen ni tiempo ni recursos.
PROBLEMA 1: Prelaciones lineales y de convergencia y divergencia simultáneamente. A y B
preceden a C y A precede a D.
1
A
3
C
4
1
A
3
2
5
MAL
4
C
5
F1
D
B
D
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B
6
BIEN
8
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PROBLEMA 2: Actividades en paralelo.
BIEN
MAL
B
1 A
C
2
3
B
E
3
4
1
A
D
F1
D
2
C
E
5
6
F2
4
A precedente a B, C y D; B, C y D preceden a E.
1.8.1 Ordenación en niveles de un grafo
A la hora de afrontar la construcción manual del grafo de un proyecto resulta de gran utilidad
ordenar las actividades por niveles. La ordenación por niveles permite construir el grafo disponiendo los
sucesos de forma que al trazar las actividades no aparezca un numero excesivo de cruces, lo que
dificultaría la interpretación del grafo.
1.8.1.1 Método Gráfico
1.- Se busca en el grafo el subconjunto de vértices de los que no nace ningún arco. Este
subconjunto constituye el último nivel del grafo.
2.- Seguidamente suprimimos estos vértices y los arcos relacionados con ellos.
3.- En el subgrafo obtenido se vuelve a buscar el subconjunto de vértices de los que no nace
ningún arco. Este subconjunto constituye el penúltimo nivel del grafo.
4.- A continuación eliminamos estos vértices y los arcos relacionados con ellos.
5.- Repitiendo iterativamente este proceso obtenemos el grafo ordenado en niveles.
G
9
H
F
10
F2
4
6
D
1
A
B
8
E
2
F1
C
5
3
12
M
7
P
16
Q
11
F4
F3
J
K
I
L
14
13
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17
N
15
R
18
9
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F
10
F2
H
G
4
9
A
1
I
6
D
E
2
5
L
14
3
17
F4
13
8
Q
16
7
C
P
F3
J
F1
B
11
K
N
15
M
12
I
II
III
V
IV
VI
VII
IX
VIII
Notese que en la numeración de los vértices de una actividad el número del suceso origen
siempre es menor que el número del suceso final
1.8.1.2 Método Matricial
1.- Concepto de matriz asociada a un grafo: Es una matriz cuadrada de dimensión n, igual al
número de vértices, en la que sus elementos aij son 1 ó 0 dependiendo de si existe o no arco
entre el vértice i y el vértice j.
2.- Ampliamos la matriz asociada al grafo por medio de un vector columna V1. Los elementos de
este vector son iguales a la suma de los elementos de cada fila de la matriz asociada.
3.- Los elementos de la columna que sean cero, nos indican los vértices que constituyen el
último nivel del grafo.
4.- Ampliamos la matriz asociada por un nuevo vector columna V2. Los elementos de este nuevo
vector se obtienen restando a los elementos de V1 los elementos homólogos de la(s)
columna(s) que corresponden a los vértices que en dicho vector V1 toman el valor cero.
5.- Los elementos de V2 que sean cero serán los vértices del penúltimo nivel.
6.- Repitiendo iterativamente este proceso obtenemos los vértices del resto de niveles.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
1
3
1
1
4
5
1
1
6
7
8
9
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12
13
14
15
16
17
18
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
V1
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
0
18
X
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V2
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
X
17
IX
V3
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
X
X
16
VIII
V4
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
X
X
X
14
15
VII
V5
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
0
X
X
X
X
X
11
13
VI
V6
2
3
1
2
1
0
0
1
1
0
X
0
X
X
X
X
X
X
6
7
10
12
V
V7
2
3
1
1
0
X
X
0
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
5
8
9
IV
V8
2
2
0
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3
4
V9
1
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
4
III
II
10
V10
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1
I
R
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GESTION DE PROYECTOS: Grafos
1.8.2 Calculo de tiempos. Tiempo Early, Tiempo Last, Duración del proyecto
Una vez construido el grafo y asignado el tiempo a las actividades procedemos a realizar los
cálculos.
1.8.2.1 Calculo del tiempo mas pronto permisible "Tiempo EARLY"
Tiempo EARLY de un suceso: Tiempo mínimo necesario para llegar a ese suceso. Es un
proceso que se desarrolla de izq. a dcha., comenzando por el suceso inicio del proyecto al que se le
asigna un tiempo early de 0 unidades.
Los tiempos early de los restantes sucesos se obtienen teniendo en cuenta que cada suceso se
dará por realizado cuando hayan finalizado todas las actividades que confluyen en el, y por tanto el
tiempo early de cada suceso será aquel que se deriba de considerarlo como suceso final de la
actividad que mayor tiempo necesita.
56
T
61
5
60
U
66
5
7
R
67
47
W
9
35
S
3
V
38
76
9
X
F18
67
Y
El tiempo early del suceso final del proyecto tiene una importancia especial, pues nos indica el
tiempo mínimo necesario para poder finalizar el proyecto. Este tiempo mínimo, que llamaremos
duración del proyecto será el objetivo a cubrir por los encargados del control del proyecto.
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1.8.2.2 Calculo del tiempo mas tarde permisible "Tiempo LAST"
Tiempo LAST de un suceso: Tiempo mas tarde en que podemos llegar a ese suceso de manera
que la duración del proyecto no se alargue. Es un proceso que se desarrolla de dcha. a izq.,
comenzando por el suceso final del proyecto al que se le asigna un tiempo last igual al tiempo early
previamente calculado.
Los tiempos last de los restantes sucesos se obtienen teniendo en cuenta que el objetivo de
alcanzar el final del proyecto con éxito esta condicionado por el camino de máxima duración,
considerando como origen este vértice.
58
56
60
5
T
U
61 63
66
5
61
7
R
3
S
V
38
9
F18
76
X
Y
t j*
tj
tij = 3
i
80
67 68
59
t i*
ti
68
W
9
35 56
71
67
47
j
Suceso 1
Suceso
Nomenclatura utilizada en las formulas
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1.8.3 Holgura Total y Camino Critico
11
9
18 18
9
0
0
9
4
4
26
1
8
6
17
4
2
5
F1
6
15
3
24
9
10
25
6
21
F2
26
2
40
26
11
14
40
14 12
F3
9
62
52
62
16
18
26
12
52
10
17
69
7
69
18
F4
7
8
26
20
9
4
4
10
13
10
5
15
43
47
12
48
52
33
37
El Camino Critico esta formado por las actividades 1-2, 2-4, 4-9, 9-10, 11-14, 14-16, 16-17, 17-18
Holgura total
Hi= ti*- ti (Holgura de un suceso= tiempoLast – tiempo Early )
T
Hij = tj*- ti- tij (Holgura Total de una actividad))
Camino 1-3, 3-8, 8-12, 12-13, 13-15
Camino 2-5, 5-7
Camino 4-6, 6-11
è H = 4 unidades
è 8 unidades
è 4 unidades
T
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1.8.4 CPM. Holgura Libre y Holgura Independiente
21
Camino
Critico
36
36
9
4
25
69
92
80
63
7
47
52
40
45
5
10
11
4
56
62
49
59
12
58
62
13
4
70
7
14
87
82
87
80
10
F1
59
55
4
6
10
72
5
15
19
Camino
Critico
F2
5
72
70
57
55
Holgura :
7
15
8
(9-10-11-12-13) = 3
(14-15) = 2
L
Holgura Libre: Hij = tj - ti - tij
HL(12-13) = 0
HI(12-13) = 7
HL(13-14) = 3
HI(13-14) = 6
HL(14-15) = 0
HI(14-15) = 2
HL(15-19) = 0
HI(15-19) = 2
I
Holgura Independiente : Hij = tj - ti* - tij
1.8.5 Establecimiento del calendario de ejecución
-- Fecha de comienzo más temprana:
-- Fecha de comienzo más tardia :
sij = ti
s*ij= ti + HTij = tj* - tij
-- Fecha de finalización más temprana:
tij = ti + tij
-- Fecha de finalización más tardía:
t*ij = tj*
A partir de estas formulas se puede establecer fácilmente un calendario de ejecución del
proyecto para lo que debera tenerse en cuenta en todo momento el calendario laboral.
Las fechas resultantes del calculo se pueden presentar en un diagrama calendario o en un
cuadro resumen.
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calendario de ejecucion del proyecto
s
t
s
s s
t
t t
s
t
t
s
s
t
s
t
s
s t
7
8
9
0
1
4
5
6
7
OCTUBRE
8
1
t
0
1
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
8
NOVIEMBRE
FECHAS
TABLA CALENDARIO EJECUCION DEL PROYECTO
ACTIVID
AD
A
B
FECHAS DE COMIENZO
C
D
E
F
G
H
I
J
19-20 Oct.
19 Oct.
28 Oct.-23 Nov.
31 Oct.
14-26 Nov.
3-28 Nov.
28 Nov.
14 Nov.
17 Oct.
17-26 Oct.
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FECHAS DE
FINALIZACIÓN
19 Oct.
20-31 Oct.
28-31 Oct.
31 Oct.
3-28 Nov.
14 Nov.
24-28 Nov.
7-30 Nov.
30 Nov.
28 Nov.
15
0
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Duración
10 días
Comienzo
lu 21/09/98
GESTION DE PROYECTOS: Grafos
go '98 21 sep '98 19 oct '98 16 nov '98 14 dic '98 11 ene '99 8 feb '99
Fin
Predeces M D J L V M S M D J L V M S M D J
vi 2/10/98
21/09
2/10
Id
1
TA REA
A
2
B
12 días
lu 5/10/98 ma 20/10/98 1
4
D
20 días
mi 21/10/98 ma 17/11/98 2
6
F
20 días
mi 18/11/98 ma 15/12/98 3;4
7
G
18 días
mi 16/12/98
vi 8/01/99 6
8
H
22 días
lu 11/01/99
ma 9/02/99 7
3
C
16 días
lu 19/10/98
5
E
16 días
mi 21/10/98
lu 9/11/98 2FC-2 día
mi 11/11/98 2
5/10
20/10
21/10
17/11
18/11
15/12
16/12
8/01
11/01
19/10
21/10
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9/02
9/11
11/11
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1.9 Diagramas AON (Activity On Node)
Los grafos AON se distingen de las AOA, basicamente en que las actividades vienen
representadas por los vértices del grafo y los arcos del mismo indican el orden en que deben de
ejecutarse las actividades. Vease figura adjunta:
A
C
B
1.9.1 El diagrama ROY
1.9.1.1 Principios básicos del método ROY
En el año 1960 el matemático francés Bernard ROY presentó un métod de programación y
control de proyectos, que difiere en algunos aspectos básicos de los métodos PERT y CPM. El método
ROY, conocido también por el método de los potenciales o método MPM, no ha tenido hasta la fecha
mucha difusión, salvo en su pais de origen, ni tampoco su utilización ha sido demasiado grande, sobre
todo en comparación con la popularidad alcanzada por los métodos PERT y CPM. No obstante, como
veremos más adelante, el ROY presenta una serie de ventajas de cierta importancia respecto a sus
predecesores.
La diferencia básica que existe entre el método ROY y los métodos PERT y CPM reside en los
principios en que se basa la construcción del grafo.
Tal como se ha visto en el apartado anterior , la diferencia principal esta en que en el ROY las
actividades estan en los nudos y en el PERT se encuentran en las uniones entre sucesos.
Esto acarrea cambios importantes a la hora de la representación del grafo. En la figura 14.1 se
Grafo AON (ROY)
B
A
1
Grafo AOA (PERT)
B
A
2
3
ha representado el caso de una prelación lineal según el sistema ROY. En efecto, el arco que
une los dos vértices del grafo indica que la actividad A es anterior a la actividad B; es decir, para poder
iniciar la ejecución de la actividad B es necesario que haya finalizado previamente la actividad A y eso
mismo vemos como sería en el método PERT.
En la figura 14.2 se ha representado el caso de una prelación que origina una convergencia, los
arcos del grafo indican que las actividades A, B y C son anteriores a la actividad D; Es decir para poder
iniciar la ejecución de la actividad D es necesario que se hayan finalizado previamente las actividades
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A, B y C, como es propio de las prelaciones que originan una convergencia tal como se vio en el
apartado del PERT.
A
B
D
C
Figura 14.2
En la figura 14.3 se ha representado el caso de una prelación que origina una divergencia. En
efecto, los arcos del grafo indican que la actividad A es anterior a las actividades B, C y D; es decir,
para poder iniciar la ejecución de las actividades B, C y D es necesario que se haya finalizado
previamente la actividad A, como es propio de las prelaciones que originan una divergencia. En la
figura 14.3 es la homologa de la representada en el capitulo del PERT.
B
A
C
D
Figura 14.3
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En la figura 14.4 se ha representado el caso de una prelación que origina una convergenciadivergencia. En efecto, los arcos del grafo indican que las actividades A, B y C son anteriores a las
actividades D, E y F, es decir, para poder iniciar la ejecución de las actividades D, E y F es necesario
que hayan finalizado previamente las actividades A, B y C, como es propio de las prelaciones que
originan una convergencia-divergencia. La figura 14.4 es la homologa de la del capitulo del PERT.
A
D
E
B
C
F
Figura 14.4
El caso mixto, que se presenta cuando entre ciertas actividades existe una prelación lineal y de
convergencia o divergencia simultáneamente, viene representado en el grafo ROY de la figura 14.5,
que es homologo al del grafo PERT. En efecto, los arcos que salen del vértice que representa la
actividad A indican la prelación de divergencia que existe entre esta actividad y las actividades D y C;
por el contrario, el arco que sale del vértice que representa la actividad B indica la prelación lineal que
existe entre esta actividad y la actividad C; es decir, para poder iniciar la ejecución de la actividad C es
necesario que hayan finalizado previamente las actividades A y B, y para poder iniciar la ejecución de la
actividad D que haya finalizado previamente la actividad A, como es propio de un caso mixto en el que
existe a la vez prelación lineal y de convergencia.
D
A
C
B
Figura
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Finalmente, en la figura 14.6 hemos representado un caso de actividades en paralelo, en la que
los arcos del vértice que representa la actividad A indican que para poder iniciar la ejecución de las
actividades B, C y D es necesario que haya finalizado previamente la actividad A. Asimismo, los arcos
que salen de los vértices que representan las actividades B, C y D indican que para poder iniciar la
ejecución de la actividad E es necesario que hayan finalizado previamente las actividades B, C y D ,
deforma homóloga a lo visto en capitulo del PERT.
Del análisis efectuado se desprende que con el método de representación sugerido por ROY no
es necesaria la inclusión en el grafo de actividades ficticias. Esta característica es de gran importancia,
pues, como nos permite efectuar todo el proceso de cálculo sin necesidad de haber construido
previamente el correspondiente grafo, que , como sabemos, resulta imprescindible para poder aplicar
los algoritmos del PERT y del CPM.
B
A
C
E
D
Figura 14.6
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1.9.2 Ventajas y diferencias entre el método ROY y PERT/CPM
Tal como hemos visto anteriormente, una de las ventajas que representa el ROY con respecto al
PERT y al CPM es la falta de necesidad de construir el grafo de prelaciones para poder aplicar el
correspondiente algoritmo de cálculo. Ahora bien, esta ventaja del ROY, aunque es de indudable
importancia, en ocasiones tiene un valor únicamente relativo, ya que en bastantes casos el grafo
proporciona una visión de conjunto muy útil del proyecto que estamos controlando, por lo que resulta
aconsejable la construcción del mismo, aunque no se vaya a utilizar en la fase de cálculos.
Por otra parte , puede demostrarse fácilmente que para un proyecto dado el número de vértices
y arcos del grafo ROY es siempre mayor o igual que el número de vértices y arcos del correspondiente
PERT, por lo que en ciertos proyectos, la estructura del grafo ROY puede resultar muy compleja con
respecto a la del correspondiente grafo PERT.
La principal que presenta el ROY es la de poder expresar las prelaciones existentes entre las
diferentes actividades de una manera mucho más realista que la que permite hacerlo el PERT y CPM.
Como sabemos, en estos sistemas de control de proyectos se supone que para poder comenzar una
determina actividad es necesario que haya finalizado completamente la ejecución de sus actividades
precedentes. No obstante, en bastantes ocasiones que se presentan en la realidad, el principio anterior
no se cumple con toda exactitud. Así puede ocurrir que alguna de las actividades pueda comenzar
antes que haya finalizado completamente la ejecución la ejecución de alguna de sus actividades
anteriores (solapamiento de actividades). O bien puede ocurrir que alguna actividad no pueda
comenzar hasta transcurrido un cierto plazo de tiempo una vez finalizada la ejecución de alguna de sus
actividades precedentes (desplazamiento de actividades). Estas características, que se presentan con
cierta frecuencia en la realidad, no pueden ser representadas con sencillez en los grafos PERT o CPM.
Sin embargo, como vamos a ver seguidamente, son muy fáciles de incorporar al grafo ROY.
Así, por ejemplo, supongamos que en el proyecto de nuestro ejemplo un análisis más detallado
de las prelaciones nos indica que la ejecución de la actividad E puede comenzar dos días antes de
haber finalizado la actividad C. Este solapamiento entre las actividades C y E se introduce en el grafo
ROY sin más que asociar una duración de 5 días (7 – 2 = 5) al arco que une el vértice que representa
la actividad. El subgrafo que refleja este solapamiento queda representado en la figura 14.7, donde
puede observarse la disminución que ha experimentado el tiempo mínimo de la actividad E.
E
[5]
7
3
C
2
Figura 14.7
7
F
8
10
9
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El solapamiento puede llegar a situaciones extremas, ya que puede ocurrir que una cierta actividad no
puede comenzar su ejecución antes que comience la de alguna precedente, pero sin importar cuanto
tiempo después de dicho comienzo. Así, supongamos que en nuestro ejemplo ocurriera que para poder
comenzar la ejecución de la actividad J fuera suficiente con haber comenzado la ejecución de la
actividad F. Este solapamiento entre las actividades F y J se introduce en el grafo ROY sin más que
asociar una duración nula al arco correspondiente. El subgrafo que representa este solapamiento
extremo queda representado en la figura 14.8, donde puede observarse la disminución que ha
experimentado el tiempo mínimo de la actividad J.
G
9
19
F
8
10
9
J
[0]
10
10
Figura 14.8
Los grafos ROY pueden recoger también con facilidad el caso de desplazamiento de actividades.
Así, supongamos que en nuestro ejemplo ocurre que la actividad H no puede comenzar hasta un día
después de haber finalizado la actividad E. Este desplazamiento entre las actividades E y H se
introduce en el grafo ROY sin más que asociar una duración de 4 días ( 3 + 1 = 4 ) al arco
correspondiente. El subgrafo que refleja este desplazamiento, tomando como tiempo mínimo de la
actividad E el que corresponde al solapamiento anteriormente estudiado, queda representado en la
figura 14.9, donde puede observarse el aumento que ha experimentado el tiempo mínimo de la
actividad H.
E
H
[4]
7
11
3
2
Figura 14.9
UPV/EHU - Vitoria/Gasteiz
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La mayor flexibilidad en el sistema de representación de prelaciones que representa el ROY con
respecto al PERT y al CPM se debe al diferente significado que tienen en estos métodos los números
asociados a los arcos. En efecto, en el PERT o en el CPM se asocia a los arcos un número igual a la
duración de la actividad que representan; por el contrario, en el ROY se asocia a los arcos un número
que indica el tiempo que tiene que transcurrir desde la iniciación de la actividad correspondiente al
vértice en el que nace el arco, hasta que pueda iniciarse la actividad correspondiente al vértice en el
que muere el arco.
1.9.3 Diferencias básicas entre el método PERT y el CPM
Una de las primeras diferencias es en cuanto a la notación, afectando únicamente a aspectos
formales, así tenemos :
Notación en el método PERT
Suceso
Actividad
Holguras
Tiempo Early
Tiempo Last
Notación en el método CPM
Nudo
Trabajo
Flotantes
Tiempo más bajo de iniciación
Tiempo más alto de iniciación
Otra diferencia es en la estimación del tiempo a las actividades .
En el método PERT se trabaja con tres estimaciones de tiempo (pesimista, optimista, medio),
sin embargo en el CPM se trabaja con una única estimación de tiempo.
En el método CPM además de la Holgura total (flotante) se estudian los flotantes libres e
independientes, que en el método PERT se denominan Holguras Libres e Independientes.
La diferencia más importante entre el PERT y CPM se debe a que uno de los descubridores
del CPM, James E. Kelley, introdujo la relación entre el coste y la duración de una actividad, originando
una de las técnicas más fructíferas: " La programación de un proyecto a coste mínimo ", que será
estudiada más adelante.
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