Líneas de Transmisión Caso Armónico

Líneas de Transmisión
Caso Armónico
A. Zozaya
12 de septiembre de 2007
1.
Introducción
Las soluciones de las ecuaciones de los telegrafistas en el domino complejo, de la línea de
transmisión sin pérdidas (γ = β), terminada en z = L en cierta impedancia de carga ZL,
son:
V (z) = V1 e−βz + V2 eβz
(V1 e
I(z) =
βz
− V2 e
ZC
−βz
(1)
)
(2)
Las Ecuaciones (1) y (2) representan las soluciones de régimen permanente de la línea.
Las ondas incidente y reflejada existen en todos los puntos de la línea contempóraneamente.
La onda reflejada eventualmente podría ser nula si ZL = Zc . En efecto, si se asume que
V2 = 0, al evaluar el cociente V (L)/I(L) se obtiene:
V1 e−βL
V (L)
=ZC
I(L)
V1 e−βL
ZL =ZC
Al contrario, si ZL 6= ZC
V (L)
V1 e−βL
=ZC
I(L)
V1 e−βL
ZL 6=ZC
por tanto, en esta circunstancia, ambas ondas han de existir de modo que:
V1 e−βL + V2 eβL
V (L)
=ZC
I(L)
V1 e−βL − V2 eβL
V1 e−βL + V2 eβL
ZL =ZC
V1 e−βL − V2 eβL
donde el factor
V1 e−βL +V2 eβL
V1 e−βL −V2 eβL
garantiza que se cumpla la ley de Ohm en z = L.
1
(3)
2.
Coeficiente de reflexión
2.1.
Coeficiente de reflexión ΓL en la carga
El coeficiente de reflexión en la carga se define como la razón de la onda reflejada a la
onda incidente en z = L:
V2 eβL
V1 e−βL
V2
= e2βL
V1
= |ΓL |eϕL
ΓL =
A su vez, como V (L)/I(L) = ZL sigue que:
ZL = Zc
V1 e−βL + V2 eβL
V1 e−βL − V2 eβL
de donde:
V2 eβL =
ZL
ZC
ZL
ZC
−1
+1
V1 e−βL
y
ZL
ZC
ZL
ZC
ΓL =
−1
(4)
+1
Haciendo uso de la Ec. (5) se han calculado los valores de ΓL para varias terminaciones.
En el Cuadro 1 se muestran estos resultados.
Cuadro 1: Coeficiente de reflexión para diversas terminaciones.
ZL
ΓL
|ΓL |
ϕL
Tipo de terminación
ZC
1 + 0
0 + 0
∞ + 0
2 + 0
1
+ 0
2
0 + 1
0 − 1
1
+ 0
n
n>1
n + 0
n>1
0
−1
1
0
1
1
1
3

−
1
3
1
3
indef.
π
0
0
π
1
1
π
2
− π2
resistiva (ZL = Zc )
corto circuito (ZL = 0)
circuito abierto (ZL = ∞)
resistiva (ZL = 2ZC )
resistiva ( ZL = ZC /2)
inductiva (ZL = ZC )
capacitiva (ZL = −ZC )
− n−1
n+1
n−1
n+1
π
resistiva (ZL = Zc /n)
n−1
n+1
n−1
n+1
0
resitiva (ZL = nZc )
− 13
2
2.2.
Coeficiente de reflexión Γ(z) en el punto z de la línea
En un punto z genérico de la línea se define el coeficiente de reflexión Γ(z):
Γ(z) =
V2 eβz
V1 e−βz
(5)
tomando en cuenta que z = L − d, donde d es la distancia del punto z considerado medida
desde la carga:
V2 eβ(L−d)
V1 e−β(L−d)
V2
= e2β(L−d)
V1
V2
= e2βL e−2βd
V
| 1 {z }
Γ(z) =
ΓL
Γ(d) = ΓL e−2βd
(6)
Como el coeficiente de reflexión ΓL en la carga se puede transformar en un coeficiente de
reflexión Γ(d) en d arbitrario, añadiendo una fase de 2βd a ΓL –Ec. (6)–, lo cual se logra,
a su vez, cortando la línea de transmisión a d metros de la carga, podemos concluir que
se pueden crear infinitos valores de impedancia (de entrada de la línea) cortando la línea
apropiadamente. Esta idea será desarrollada detalladamente en la siguiente sección.
3.
Impedancia de entrada de la línea de transmisión
En virtud de que en el caso más general (ZL 6= ZC ), la amplitud del voltaje V (z), y por
ende la de la corriente I(z), varía a lo largo de la línea, es posible definir una impedacia
Z(z) para el punto z de la línea como la relación de V (z) a I(z). Esta impedancia se puede
interpretar como la impedancia equivalente que se mediría en z «mirando» hacia la carga,
por tanto, al eliminar el resto de la línea a la izquierda del punto z considerado, quedándonos
con el tramo de línea (a partir de z hasta L) conectado a la carga ZL , tiene sentido llamar
Z(z) «impedancia de entrada» de la línea. Z(z) vale
V (z)
V1 e−βz + V2 eβz
= ZC
I(z)
V1 e−βz − V2 eβz
ya que el punto z considerado se encuentra a d = L − z metros de la carga, tiene sentido
hacer el siguiente cambio de variable z = L − d:
V1 e−β(L−d) + V2 eβ(L−d)
V (L − d)
= ZC
I(L − d)
V1 e−β(L−d) − V2 eβ(L−d)
V1 e−βL eβd + V2 eβL e−βd
Z(d) = ZC
V1 e−βL eβd − V2 eβL e−βd
3
al extraer como factor común el término V1 e−βL resulta
Z(d) = ZC
Z(d) = ZC
eβd +
eβd −
eβd +
eβd −
V2 eβL −βd
e
V1 e−βL
V2 eβL −βd
e
V1 e−βL
ΓL e−βd
ΓL e−βd
(7)
al sustituir ΓL = ZL − ZC /ZL + ZC en la Ec. (7) resulta
(ZL + ZC )eβd + (ZL − ZC )e−βd
Z(d) = ZC
(ZL + ZC )eβd − (ZL − ZC )e−βd
ZL (eβd + e−βd ) + ZC (eβd − e−βd )
= ZC
ZC (eβd + e−βd ) + ZL (eβd − e−βd )
ZL 2 cos(βd) + ZC 2 sin(βd)
= ZC
ZC 2 cos(βd) + ZL 2 sin(d)
ZL + Zc tan(βd)
= ZC
ZC + ZL  tan(βd)
(8)
De la Ecuación (8) se infiere que, cargando un tramo de d metros de línea, de propiedades
ZC y β, con una carga de valor ZL es posible sintetizar «cualquier» valor de impedancia Z(d).
4.
Líneas stub terminadas en corto circuito y en circuito
abierto
Particular interés revisten las líneas stub terminadas en corto circuito y en circuito abierto
en la síntesis de reactancias de cualquier valor.
4.1.
Línea stub terminada en corto circuito
Para un línea terminada en corto circuito (ZL = 0), la Ec. (8) se especializa y da lugar a
la expresión
Z(d) = ZC tan(βd)
(9)
La Ecuación (9) ha sido utilizada para dibujar la gráfica que se muestra en la Fig. 1(a).
En la Fig. 1(a) se observa como la impedancia de entrada de la línea varía en el intervalo 0 <
d < λ/4 entre 0 ≤ Z(d) ≤ ∞, generando todos los posibles valores de reactancia inductiva.
En el intervalo λ/4 < d < λ/2 la impedancia de entrada de la línea varía, en cambio,
entre −∞ ≥ Z(d) ≥ 0, generando todos los valores posibles de reactancia capacitiva. Para
d > λ/2 los valores de Z(d) se repiten periódicamente.
4
(a) Z(d) de una línea terminada en corto circuito
(b) Z(d) de una línea terminada en circuito abierto
Figura 1: Comportamiento de Z(d) para una línea terminada: (a): en corto circuito y (b): en
circuito abierto .
4.2.
Línea stub terminada en circuito abierto
Para un línea terminada en circuito abierto (ZL = ∞), la Ec. (8) se particulariza y da
lugar a la expresión
Z(d) = −ZC cot(βd)
(10)
La Ecuación (10) ha sido utilizada para dibujar la gráfica que se muestra en la Fig. 1(b).
En la Fig. 1(b) se observa como la impedancia de entrada de la línea varía en el intervalo
0 < d < λ/4 entre −∞ ≥ Z(d) ≥ 0, generando todos los valores posibles de reactancia
capacitiva. En el intervalo λ/4 < d < λ/2 la impedancia de entrada de la línea varía, en
cambio, entre 0 ≤ Z(d) ≤ ∞, generando todos los posibles valores de reactancia inductiva.
Para d > λ/2 los valores de Z(d) se repiten periódicamente.
Se infiere que usando líneas de transmisión terminadas en corto circuito o en circuito
abierto se puede sintetizar cualquier valor de reactancia inductiva o capacitiva. En ambos
casos se preferirán, en general, líneas de longitud inferior a λ/4. De esta forma, para la sintesis
de reactancias inductivas se utilizarán stub terminados en corto circuito, y para la síntesis de
reactancias capacitivas se utilizarán stub terminados en circuito abierto.
5.
Transformadores de λ/4 y λ/2
5.1.
Transformador de λ/4
Al cortar una línea en d = λ/4, cargada con una impedancia ZL , se obtiene –Ec. (8)–:
1
Z(λ/4)
= ZL
ZC
Z
(11)
C
Esta propiedad se suele utilizar para conectar dos impedancias de magnitudes muy distintas.
5
5.2.
Transformador de λ/2
Al cortar una línea en d = λ/2, cargada con una impedancia ZL , se obtiene –Ec. (8)–:
Z(λ/2)
ZL
=
(12)
ZC
ZC
Esta propiedad se suele utilizar para conectar dos impedancias complejas conjugadas con
un tramo de línea de longitud prefijada.
6.
Determinación de las características de una línea de
transmisión (ZC , α, y β) por medio de medidas de impedancia.
Para el caso más general de una línea de transmisión con pérdidas, la impedancia de
entrada del tramo de longitud d cargado con una impedancia de carga ZL , vale
Z(d) = ZC
ZL + ZC tanh[(α + β)d]
ZC + ZL tanh[(α + β)d]
(13)
Si ZL = 0 (línea terminada en corto)
Z(d)cc = ZC tanh[(α + β)d]
(14)
Y si ZL = ∞ (línea terminada en abierto)
Z(d)ca = ZC coth[(α + β)d]
(15)
Supóngase que las impedancias Z(d)cc y Z(d)ca hayan sido medidas.
6.1.
Determinación de ZC a partir de Z(d)cc y Z(d)ca
Multiplicando los valores de Z(d)cc y Z(d)ca medidos y haciendo uso de las Ecs. (14) y
(15) resulta que Z(d)cc Z(d)ca = ZC2 de donde
p
ZC = Z(d)cc Z(d)ca
(16)
6.2.
Determinación de γ a partir de Z(d)cc y Z(d)ca
Dividiendo Z(d)cc entre Z(d)ca y haciendo uso de las Ecs. (14) y (15) resulta que
tanh2 [(α + β)d] de donde
s
Z(d)cc
tanh[(α + β)d] =
Z(d)ca
s
1 − e−2γd
Z(d)cc
=
−2γd
1+e
Z(d)ca
6
Z(d)cc
Z(d)ca
=
y
2γd
e
1+
=
1−
q
q
Z(d)cc
Z(d)ca
Z(d)cc
Z(d)ca
al tomar el logaritmo Neperiano de ambos miembros
q


Z(d)cc


1
+
1
Z(d)ca
q
γ=
ln
2d  1 − Z(d)cc 
Z(d)ca
Determinación de α a partir de Z(d)cc y Z(d)ca
Tomando en cuenta que ln Aeφ = ln A + (φ + n2π)
6.2.1.
q


1 + Z(d)cc 

1
Z(d)ca q
ln α=
2d  1 − Z(d)cc 
[Nepers/m]
(17)
Z(d)ca
6.2.2.
Determinación de β a partir de Z(d)cc y Z(d)ca
Y β será:
q
 


Z(d)cc


1
+
1
Z(d)ca


q
β=
∠
+ n2π
Z(d)cc

2d 
1 − Z(d)
ca
7
[rads./m]
(18)