Límites, Continuidad y Asíntotas

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Tema 9.- Límites, Continuidad y Asíntotas
Límite de una Función
En un Punto
Nos dice hacia qué valor tiende la función cuando me aproximo a un valor de x determinado:
lim f x =+∞
lim f x =-∞
x→c
lim f x = l
x→c
x→c
c
l–
c
c
Límites laterales de una función en un punto
Por la derecha
lim f x = +∞
x → c+
lim f x = - ∞
x → c+
Por la izquierda
lim f x = l
lim f x = +∞
x → c-
x → c+
lim f x = - ∞
lim f x = l
x → c-
x → c-
c
c
l–
–l
c
c
c
c
Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que existan los dos límites laterales y sean
iguales.
Operaciones con 
Sumas y Restas
División
∞ ± k = ±∞
0
∞+∞=∞
0
∞ =0
∞ - ∞ = Indeterminación
∞
0 =∞
Producto
∞
∞ · ±k = ±∞
=0
k
0 si k>0
∞ si k<0
k
0
∞ si k>1
0 si 0<k<1
∞
k
-∞
=0
0
=∞
k =1
k
∞ =0
0 =0
k
0 =∞
∞∞ =∞
∞
∞ = Indeterminación
0 = Indeterminación
0
0 = Indeterminación
∞0 = Indeterminación
k≠0
∞·∞=∞
∞ · 0 = Indeterminación
k
Potencia
k
∞
0
∞
1 = Indeterminación
Propiedades de los Límites
lim f x = p
lim g x = q
x→a
Suma
lim f x + g(x) = p + q
Multiplicación
lim f x -g(x) =p - q
División
x→a
Resta
Multiplicación por un nº
x→a
x→a
lim k · f(x) = k· p
x→a
∀kϵR
Potencia
lim f x ∙ g(x) = p ∙ q
x→a
lim
x→a
f(x)
p
=
g(x)
q
lim f x
x→a
g(x) =
si q ≠0
pq si pq ϵ R
á
á
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Matemáticas _ B_ 1º Bach.
Cálculo de Límites
Se sustituye la x por el valor al que tiende:
2
lim x2 = 3 = 9
x→3
Indeterminaciones
Infinito menos Infinito.- Se multiplica por el conjugado:
n2 -1-n =
lim
x→∞
∞-∞ → lim
x→∞
n2 -1-n ·
n2 -1+n
n2 -1+n
n2 -1
= lim
x→∞
2
-n2
= lim
x→∞
n2 -1+n
1
n2 -1+n
=
0
=0
2
Infinito entre Infinito
Método I.- dividir todos los términos entre la x con mayor grado

x2
∞
3+
lim
=
→ lim x 3
x→∞ x3 - 5
x→∞
∞
x
x3
x2 + 3
3
1
3
+ 3
x3 = lim x
x = 0 + 0= 0 = 0
x→∞
5
1- 0
1
5
1- 3
3
x
x
Método II.-


Grado numerador < grado denominador: lim f x = 0

Grado numerador = grado denominador: lim f x =

Grado numerador > grado denominador: lim f x = ± ∞, el signo nos lo da el signo del coeficiente
principal del denominador.
Número entre Cero
Cero entre Cero
a
Coeficiente Principal Numerador
=
b
Coeficiente Principal Denominador
lim
Se factoriza y se
Se hallan los límites laterales
simplifica
 0 ó 00
Infinito por Cero
f
1
Lim f · g =
lim
=
g
∞
∞
Se toman logaritmos
g
0
=
1
0
f

1: tipo número e
Método I: limx→

lim
x2 - x
x→∞
→
1
x
x2 + 1
1+
x2 - x
x2 + 1
=1
k
∞
1 f(x)
=
f(x)
1+
e
∞
–1
1
x
= 1+
-x–1
x2 + 1
1
x
= 1+
1
x
1
= 1+
x2 + 1
-x–1
lim
→ ex → ∞

g(x)
Método II: limx → a f(x)
=elimx → a g x
lim
x→∞
x2 - x
x2 + 1
-x–1
x3 + x
x2 + 1 1 - x – 1
· ·
- x – 1 x x2 + 1
1
=
x2 + 1
-x–1
1+
= e0 = 1
· f x -1
1
x
=1
∞
→e
lim
x→∞
1
x2 - x
·
–1
x x2 + 1
lim
= ex → ∞
-x–1
x3 + x
= e0 = 1
1
x2 + 1
-x–1
x2 + 1 1 - x – 1
· ·
- x – 1 x x2 + 1
→
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Tema 9.- Límites, Continuidad y Asíntotas
Asíntotas y Ramas Infinitas
Asíntotas verticales:
x=k
Asíntotas horizontales:
y=k
lim f (x) = ±∞
Asíntotas oblicuas:
y= mx + n
m= lim
x→∞
lim f (x) = k
x→∞
x→k
f x
≠k
x
n= lim f x - mx
x→∞
Siendo k los puntos que anulan al
denominador o los que hacen
argumento < 0.
º num. < º denom.
Cuando existen horizontales no
existen oblicuas:
º num. - º denom. = 1
k
Ramas Parabólicas
Si existen asíntotas horizontales u oblicuas, no existirán ramas parabólicas:
º num. - º denom.  2
lim f (x) =±∞
x → ±∞
y
lim
x → ±∞
f (x)
=±∞
x
lim f (x) =±∞
y
x → ±∞
lim
x → ±∞
f (x)
=0
x
Continuidad
La idea de función continua es la de que “puede ser construida con un solo trazo”.
Continuidad en un Punto
Una función f(x) es continua en el punto x = a si:
lim f x = lim - f x = f(a)
x → a+
x→a
Es decir, deben existir los dos límites laterales, ser iguales y coincidir con f(a).
Discontinuidad en un Punto
Inevitable de Salto Infinito
Si alguno de los límites laterales es
infinito o no existe.
a
Inevitable de Salto Finito
Si los dos límites laterales son
finitos pero distintos. El salto es la
diferencia, en valor absoluto, de los
límites laterales.
a
Evitable
Si los dos límites laterales son
finitos e iguales, pero su valor no
coincide con f(a) o no existe f(a).
a