Área de Matemática Colegio San Mateo de la Compañía de Jesús SERIE 1º - 2º MEDIO. PRUEBA NO1 “XIV JUEGOS MATEMÁTICOS INTER-REGIONALES” I. EJERCICIOS DE DESARROLLO: 1. ¿Cuál es el primer dígito después de la coma del número obtenido como resultado de la multiplicación entre 10 2008 y 3,141582403 ? Primero multiplicamos por 104 para dejar un decimal periódico. 3,141582403 10 4 31415, 82403 Ahora nos queda multiplicar por 102008 – 4, es decir, por 102004. 31415, 82403 10 2004 al realizar esta multiplicación la coma debería correrse 2004 lugares. Y como la parte periódica está compuesta por 5 dígitos que se repetirán infinitamente, cada 5 lugares se repetirán estos dígitos en orden 82403. Luego al dividir 2004 en 5 resulta como cociente 400 y resto 4. Por lo que al multiplicar 31415, 82403 por 102000 obtendríamos 4 3141582403 82403 , 82403 y ahora ese número por 10 resultaría 400 veces 3141582403 82403 8240, 382403 400 veces Por lo tanto el primer dígito después de la coma será 3. 2. Para un acto cívico en el patio de un colegio, el rector organizó a sus estudiantes por filas. Al querer formar un cuadrado, se dio cuenta que le faltaban 20 estudiantes por acomodar, por lo que decidió agregar una fila y una columna más de estudiantes. Pero notó que le faltaban 3 estudiantes para conservar la forma cuadrada. ¿Cuántos estudiantes habían en el acto cívico? Sea x el número de filas. (i) Número de alumnos = x x 20 (ii) Número de alumnos = x 1x 1 3 Luego x x 20 ( x 1)( x 1) 3 x 2 20 x 2 2 x 1 3 20 2 x 2 22 2 x / x2 / 2 / 12 11 x Ahora reemplazamos x x 20 1111 20 141 Por lo tanto el número de estudiantes en el acto cívico es 141. Área de Matemática Colegio San Mateo de la Compañía de Jesús SERIE 1º - 2º MEDIO. 3. El segmento AB conecta dos vértices opuestos de un hexágono regular. El segmento CD conecta los puntos medios de dos lados opuestos. Halla el producto de las longitudes de AB y CD si el área del hexágono es 60 cm2. El segmento OD: apotema Área del hexágono = apotema lado 6 2 Sean x : medida de los lados del hexágono e y : apotema Reemplazamos: yx 6 60 2 3x y 60 / 13 x y 20 Como nos piden calcular AB . CD = 2 x 2 y 4 x y Luego AB . CD = 4 . 20 = 80 Por lo tanto el producto entre las longitudes del segmento AB por CD es 80 cm2 II. Determina la alternativa correcta, debes dejar el desarrollo: 1. Sean a 1 1 ; b 1 2 1 1 2 3 1 ; c 1 2 1 . ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta: 1 4 3 1 3 10 a 1,5 b 1 1 1, 42 7 2 7 7 3 1 1 1 13 43 c 1 1 1 1 1,43 1 4 30 30 30 2 2 13 13 13 4 Por lo tanto b c a , alternativa correcta B). A) a b c B) b c a 3 C) c b a D) a c b E) b a c Área de Matemática Colegio San Mateo de la Compañía de Jesús SERIE 1º - 2º MEDIO. 2. El día de hoy Juan y su hijo están celebrando el cumpleaños de ambos. Juan multiplicó su edad por la de su hijo y obtuvo 2013. ¿En qué año nació Juan? (considera que el año actual es 2013) Sea x: edad de Juan e y: edad de su hijo x y 2013 , al descomponer 2013 en factores primos obtenemos 2013 3 11 61 Tendríamos que X Y 3 671 33 61 11 183 X .y 2013 2013 2013 Luego la única opción razonable es Juan 61 años y su hijo 33 años. Por lo tanto Juan nació el año (2013 – 61) = 1952. Alternativa correcta: D) A) 1980 3. B) 1982 Al sumar los números 415 C) y 1953 810 , 15 D) 1952 E) se necesita más información se obtiene: 10 4 8 (2 2 )15 (2 3 )10 2 30 2 30 2 2 30 2 31 Por lo tanto la alternativa correcta: E) A) 210 B) 215 C) 2 20 D) 2 30 E) 231 4. ¿De cuántas formas diferentes se puede ir de A a B siguiendo únicamente las flechas indicadas? A) B) C) D) E) 6 8 9 12 15 Área de Matemática Colegio San Mateo de la Compañía de Jesús 5. SERIE 1º - 2º MEDIO. Los enteros m y n verifican (6 – m)(6 + n) = 12. ¿Cuántos valores puede tomar m? Al descomponer 12: (6 - m) (6 + m) 2 6 3 4 1 12 6 2 4 3 12 1 -2 -6 -3 -4 -1 -12 -6 -2 -4 -3 -12 -1 Luego los valores que puede tomar m son 12. Alternativa correcta C) A) 6 B) 7 C) 12 D) 13 E) Ninguno de los anteriores 6. Se sabe que la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100 tiene como resultado 5050. ¿Cuál es el resultado de sumar 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … + 490 + 495 + 500? 5(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100) = 5 x 5050 = 25250. Alternativa correcta B) A) 25050 7. B) 25250 C) 27050 D) 50505 E) 55050 Si a y b son números reales no nulos que satisfacen ab a b , entonces la expresión a b ab es igual a: b a 2 a b a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a b a 2 b 2 a 2 2ab b 2 ab b a ab ab ab ab ab 2 2 2 2 a b a 2ab b 2ab 2(a b) 2 ab ab a b Alternativa correcta es A) A) 8. 2 B) 2a C) 2b D) 1 2 E) 1 2ab ABC es un triángulo equilátero y AB = BD = AB/3. La medida del ángulo DFC es A) B) C) D) E) 10° 15° 30° 45° 60° ANULADA Área de Matemática Colegio San Mateo de la Compañía de Jesús SERIE 1º - 2º MEDIO. 9. La figura muestra un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm. ¿Cuántos cm mide el radio del semicírculo inscrito? Aplicando Teorema Pitágoras: 2 8 2 r 2 12 r 64 r 2 144 24r r 2 / r 2 64 144 24r / 24r 64 24r 144 64 24r 80 r / 241 80 10 24 3 Alternativa correcta B) A) 7 3 B) 10 3 C) 12 3 10. El valor en grados de en la figura es: A) B) C) D) E) 70° 90° 110° 170° 180° 150 140 180 290 180 / 290 110 / 1 110 Alternativa correcta C) D) 13 3 E) 17 3