graficas verano

Minicurso de Teorı́a de Gráficas
Escuela de Verano 2014
por Marı́a Luisa Pérez Seguı́
Facultad de Ciencias Fı́sico-Matemáticas,
Universidad Michoacana
Índice
1. Conceptos básicos
1.1. Nomenclatura . . .
1.2. Caminos . . . . . .
1.3. Conexidad . . . . .
1.4. Gráficas completas
1.5. Subgráficas . . . .
1.6. Árboles . . . . . .
1.7. Gráficas bipartitas
1.8. Ejercicios . . . . .
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1
1
2
2
3
3
3
3
4
2. Caminos
2.1. Paseos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ciclos hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
5
6
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3. Planaridad
3.1. Gráficas aplanables . . .
3.2. Fórmula de Euler . . . .
3.3. K5 y K3,3 no aplanables
3.4. Gráfica dual . . . . . . .
3.5. Sólidos platónicos . . . .
3.6. Coloración de mapas . .
3.7. Ejercicios . . . . . . . .
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10
10
1.
Conceptos básicos
1.1.
Nomenclatura
Una gráfica (finita, simple) consta de un conjunto (finito) V de vértices, y de otro A
de aristas: parejas (no ordenadas) de vértices (distintos).
Si una a = {u, v} ∈ A, escribimos a = uv y decimos que u y v son los extremos de a.
El grado de u ∈ V es el número δ(u) de aristas que tienen a u como extremo.
Si a = uv ∈ A, decimos que u y v son adyacentes y que a es incidente a u y a v. Dos
aristas distintas con un vértice común son incidentes.
N (v) es el conjunto de vértices adyacentes a v.
Proposición. La suma de los grados de los vértices es el doble del número de aristas. ♣
1.2.
Caminos
Dados u, v ∈ V, un camino C de u a v es una sucesión de vértices alternados con aristas
C = (u = v0 , a1 , v1 , a2 , . . . , an , vn = v) tal que para cada i = 1, . . . , n, la arista ai es incidente
a (los vértices distintos) vi−1 y vi .
C es cerrado si v0 = vn .
C es trayectoria si no repite vértices.
C es paseo si no repite aristas.
C es ciclo si es camino cerrado que no repite vértices.
La longitud de C, l(C), es el número de aristas.
1.3.
Conexidad
G es conexa si dados cualesquiera dos vértices u y v existe un uv-camino. Si no, es
disconexa.
G1 = (V1 , A1 ) y G2 = (V2 , A2 ) son isomorfas (iguales) si existe biyección f : V1 → V2
tal que uv ∈ A1 si, y sólo si, f (u)f (v) ∈ A2 .
Tn es la trayectoria de longitud n, Cn es el ciclo de longitud n.
H es subgráfica de G si el conjunto de vértices y de aristas de H son subconjuntos del
conjunto de vértices y del de aristas de G, respectivamente.
2
Una componente conexa de G es una subgráfica conexa maximal.
k(G) es el número de componentes conexas de G.
Hay 6 gráficas conexas no isomorfas con 4 vértices:
1.4.
Gráficas completas
La gráfica completa con n vértices, Kn , es aquélla en la que por cada par de vértices
hay una arista que los une.
Una gráfica con n vértices G es subgráfica de Kn ; su complemento, G es la subgráfica
de Kn formada por los mismos vértices de G pero en el que las aristas son aquellas aristas
de Kn que no son aristas de G.
1.5.
Subgráficas
Si v ∈ V, la subgráfica de G que tiene por conjunto de vértices a V \ {v} y por conjunto
de aristas a A \ {a ∈ A : v ∈ a} es G − v.
Si a ∈ A, la subgráfica (V, A \ {a}) de G se denota por G − a.
1.6.
Árboles
Una gráfica conexa sin ciclos es árbol. Un vértice de grado 1 es una hoja.
Proposición. Una gráfica conexa con n vértices es un árbol si, y sólo si, tiene n − 1
aristas.
Demostración. (⇒) Inducción sobre n. Si n = 1, el número de aristas es 0 = n − 1. Sea
n ≥ 1.
Observemos que hay al menos dos vértices de grado 1. Al quitar un vértice v de grado 1
a la gráfica, nos queda un árbol con n − 1 vértices, por tanto, por HI, tiene n − 2 aristas.
(⇐) Supongamos que la gráfica tiene k ≥ 1 ciclos y quitemos una arista de un ciclo
(la gráfica permanece conexa); repitamos esto hasta eliminar todos los ciclos; obtenemos un
árbol con n vértices y n − 1 − k < n − 1 aristas. ♣
3
1.7.
Gráficas bipartitas
Una gráfica cuyo conjunto de vértices puede partirse en dos subconjuntos no vacı́os de
forma que no haya aristas dentro de un mismo conjunto es bipartita.
La gráfica bipartita completa con (m, n) vértices, Km,n , se obtiene poniendo todas
las aristas posibles entre un conjunto de m vértices y otro de n.
Proposición. G es bipartita si, y śolo si, no tiene ciclos impares.
Demostración. (⇒) Coloreemos los vértices de uno de los conjuntos de rojo y el del
otro de azul. En un ciclo los vértices alternan color.
(⇐) SPG G es conexa. Pintemos un u ∈ V de azul, los adyacentes a él de rojo; después
los adyacentes a éstos de azul, etc. Como no hay ciclos impares, un vértice pintado de un
color no se intentará pintar del otro. La coloración da la partición. ♣
1.8.
Ejercicios
1. Probar que el número de personas en el mundo que tienen un número impar de hermanos es par.
2. ¿Es posible encontrar dos árboles no isomorfos en que la sucesión de grados sea la
misma?
3. Sea G una gráfica en la que todos los vértices tienen el mismo grado. Si G tiene 28
aristas, ¿cuántos vértices puede tener?
4. Probar que si G es una gráfica entonces ella o su complemento es conexa.
2
5. Sea G una gráfica con n vértices y A aristas. Probar que si A > n2 entonces G tiene
un triángulo (es decir, un ciclo de longitud 3). (Sugerencia: Suponiendo que hay no hay
triángulos, toma un vértice de grado máximo y cuenta aristas.)
6.∗ Sea G una gráfica con 12 vértices y 40 aristas. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
G tiene un triángulo.
G tiene un cuadrado.
G tiene un K4 .
4
2.
Caminos
2.1.
Paseos eulerianos
G es euleriana si tiene paseo euleriano cerrado, es decir un paseo cerrado que usa
todas las aristas.
Teorema de Euler. G conexa es euleriana si, y sólo si todos los vértices tienen grado
par. El paseo puede iniciar en cualquier lugar.
Demostración. (⇒) Al pasar por cada vértice se usan dos aristas.
(⇐) Inducción sobre el número de aristas. Construimos un paseo lo más largo posible
iniciando en cualquier vértice.
Cada una de las partes conexas no usadas es una gráfica en la que todos los vértices son
de orden par.
Al paseo le intercalamos las partes faltantes usando la hipótesis de inducción. ♣
2.2.
Ciclos hamiltonianos
Una gráfica hamiltoniana es aquélla que tiene un ciclo hamiltoniano, es decir, un
ciclo que usa todos los vértices.
Criterio. Si G es hamiltoniana, entonces para todo S ⊂ V no vacı́o, k(G − S) ≤ |S|.
Ejemplo. La gráfica G cuyos vértices son los cuadros de un tablero de ajedrez de 4 × 4
con una arista entre dos vértices si, y sólo si, los cuadros correspondientes se pueden alcanzar
con un salto de caballo no es hamiltoniana.
5
Teorema de Ore. Si G tiene n ≥ 3 vértices y para cada u, w ∈ V no adyacentes,
δ(u) + δ(w) ≥ n, entonces G es hamiltoniana.
Demostración. SPG G es maximal respecto a no tener ciclo hamiltoniano. Sean u y w
dos vértices entre los cuales no hay arista (existen porque en Kn hay ciclo hamiltoniano).
Entonces hay trayectoria (u = v1 , . . . , vn = w) que pasa por todos los vértices.
Sea i tal que uvi+1 y vi w son ambas aristas (existe pues si no f : N (w) → V \ N (u)
dada por f (vi ) = vi+1 es inyectiva, N (u) ∩ Im(f ) = ∅ y u ∈
/ N (u) ∪ Im(f ), de donde
δ(u) + δ(w) = |N (u)| + |N (w)| = |N (u)| + |Im(f )| ≤ n − 1. Entonces (u = v1 , v2 , . . . , vi , w = vn , vn−1 , . . . , vi+1 , v1 = u), es ciclo hamiltoniano. ♣
2.3.
Ejercicios
1. Sea G una gráfica k-regular (todos los vértices tienen grado k). Probar que si k = 8
entonces es posible colorear las aristas de G con rojo y azul de manera que a cada vértice
lleguen 4 aristas azules y 4 rojas. Probar que lo anterior es falso para k = 10.
2. Hay un tesoro en cada cubo de 1 × 1 × 1 de los 343 que forman un cubo de 7 × 7 × 7.
Un duende se encuentra en el cubo central; en cada momento puede pasar de un cubo a
cualquier otro que comparta un cuadrado con el cubo donde está. Si regresa a un cubo por el
que ya pasó, un monstruo le quita todos los tesoros que tiene hasta el momento. Las salidas
están en las 8 esquinas del cubo. ¿Es posible que salga del cubo con los 343 tesoros?
3.∗ Sea G una gráfica en la que para cada vértice v, δ(v) es congruente con 0 o −1 módulo
4. Probar que es posible partir A en dos conjuntos C y D de manera que para todo v ∈ V
se tenga |δG−C (v) − δG−D (v)| ≤ 1.
6
3.
Planaridad
3.1.
Gráficas aplanables
G es aplanable si puede dibujarse en el plano de manera que las aristas no se intersecten
entre sı́ salvo en los vértices que comparten. Ya dibujada ası́ es plana.
Ejemplo. K4 es aplanable.
En una gráfica plana cualquier región delimitada por aristas es una cara, incluso la región
exterior (no acotada).
En dos gráficas planas isomorfas es posible que las caras no tengan el mismo número de
lados.
3.2.
Fórmula de Euler
Consideramos aquı́ gráficas aplanables no simples: Puede haber lazos (aristas cuyos
extremos coinciden) y aristas múltiples (varias aristas entre dos vértices).
Para G plana denotamos por V el número de vértices, A el número de aristas, C el número
de caras.
Fórmula de Euler. Si G es plana y conexa, entonces V − A + C = 2.
Demostración. Inducción sobre A. Por ser G conexa, A ≥ V − 1. Entonces la BI es
cuando G es árbol (sólo hay una cara).
Supongamos A ≥ V . Entonces G tiene ciclos. Sea G 0 la gráfica obtenida de G al quitar
una arista en un ciclo.
Por HI, V 0 − A0 + C 0 = 2. Pero entonces el resultado es claro pues
V 0 = V,
A0 = A − 1 y
C 0 = C − 1. ♣
7
3.3.
K5 y K3,3 no aplanables
Proposición. K5 no es aplanable.
Demostración. Supongamos que lo es. Como V = 5 y A = 10, entonces, por la fórmula
de Euler, C = 2 − 5 + 10 = 7.
Pero todos los vértices están unidos entre sı́ por aristas, ası́ que las caras son triángulos;
= 3×7
. ♣
además, cada arista pertenece exactamente a dos caras; entonces A = 3C
2
2
Proposición. K3,3 no es aplanable. ♣
El Teorema de Kuratowsky afirma que una gráfica G es aplanable si, y sólo si, ni K5
ni K3,3 están “contenidas” en G.
Ejemplo. La gráfica de Petersen dibujada aquı́ abajo no es aplanable.
3.4.
Gráfica dual
La gráfica dual de una gráfica plana conexa G es la gráfica G ∗ construida poniendo un
vértice por cada cara de G, y tal que dos vértices de G ∗ están unidos mediante una arista si,
y sólo si, las caras correspondientes en G comparten arista.
G ∗ también es plana y G ∗∗ = G.
La dualidad permite ahorrar esfuerzo en demostraciones pues todo lo que se diga respecto
a vértices es cierto para las caras de la gráfica dual y viceversa.
3.5.
Sólidos platónicos
Decimos que una gráfica plana es poliédrica si es conexa, cada cara tiene al menos tres
aristas y cada vértice tiene al menos grado 3.
Una gráfica es poliédrica si, y sólo si, es conexa, simple y cada vértice tiene grado mayor
o igual que 3.
La gráfica dual de una gráfica poliédrica también es poliédrica.
8
Probaremos que los únicos poliedros regulares (gráficas poliédricas en que todos los
vértices tienen el mismo grado g ≥ 3 y todas las caras tienen el mismo número de lados
l ≥ 3) son los sólidos platónicos:
Lema Sea G poliédrica con V vértices v1 , v2 , . . . , vV , A aristas: a1 , a2 , . . . , aA y C caras:
c1 , c2 , . . . , cC . Llamamos δ(vi ) al grado del vértice vi y λ(ci ) al número de lados (aristas) de
la cara P
ci . Entonces
P
(a) i δ(vi ) = 2A = i λ(ci ).
(b) 3V ≤ 2A y 3C ≤ 2A.
(c) A ≤ 3V − 6 y A ≤ 3C − 6.
(d) Existe vi tal que δ(vi ) ≤ 5 y existe ci tal que λ(ci ) ≤ 5.
Demostración. (c) 2 = V − A + C ≤ V − A + 23 A = V − 13 A.
V
P
(d) δ(vi ) = 2A ≤ 6V − 12.
i=1
Si todos los vértices tuvieran grado mayor o igual que 6 entonces la suma de los grados
serı́a mayor o igual que 6V . ♣
Teorema. Los únicos poliedros regulares son los platónicos.
Demostración. Sea G poliédrica regular con C caras de l lados, A aristas y V vértices
de grado g.
Por el lema, g, l ∈ {3, 4, 5} y A = V2g = Cl
.
2
3V
Cl
Si g = 3, entonces 2 = A = 2 , de donde V = Cl
y en la fórmula de Euler Cl
− Cl
+C = 2,
3
3
2
de donde C(6 − l) = 12.
Para l = 3 se tiene el tetraedro (C = 4, A = 6 y V = 4).
Para l = 4 se tiene el cubo (C = 6, A = 12 y V = 8).
Para l = 5 se tiene el dodecaedro (C = 12, A = 30 y V = 20).
Si g = 4, entonces 4V2 = A = Cl
, de donde V = Cl
, y en la fórmula de Euler Cl
− Cl
+C = 2,
2
4
4
2
de donde C(4 − l) = 8. Ası́ tenemos el octaedro (l = 3, C = 8, A = 12 y V = 6).
, de donde V = Cl
, y en la fórmula de Euler Cl
− Cl
+C = 2,
Si g = 5, entonces 5V2 = A = Cl
2
5
5
2
de donde C(10 − 3l) = 20. Tenemos el icosaedro (l = 3, C = 20, A = 30 y V = 12). ♣
9
3.6.
Coloración de mapas
¿Cuántos colores se necesitan para colorear cada paı́s de un mapa de manera que si dos
paı́ses comparten una frontera entonces su color sea distinto?
El problema traducido a gráficas: Dada una gráfica plana en la que no hay vértices de
grado 1, ¿cuántos colores bastan para pintar las caras de manera que caras adyacentes tengan
distinto color?
Se ha demostrado, mediante el uso de la computadora, que 4 colores bastan. Nosotros lo
probaremos aquı́ para 5 colores.
Consideraremos el caso dual (coloración de vértices), recordando que los lazos en la gráfica
dual de una gráfica se producen cuando un vértice de la gráfica original tiene grado 1.
Decimos que una coloración de vértices es buena si vértices adyacentes tienen distinto
color.
Proposición. Sea G plana sin lazos. Existe una buena coloración con 5 colores para los
vértices de G.
Demostración. SPG G es simple conexa. Inducción sobre V . Si V = 1 es claro. Supongamos V > 1. Sea v con δ(v) ≤ 5.
Por HI hay buena coloración con 5 colores en G \ {v}. Veamos que podemos lograr que
los vértices adyacentes a v no usen los 5 colores.
Supongamos que no y sean v1 , v2 , . . . , v5 los vértices adyacentes a v, escritos en orden
de las manecillas del reloj; sea i el color usado para vi . Como no puede repintarse v1 con el
color 3 (sin cambiar el color de v3 ) hay un camino de v1 a v3 en G \ {v} en que los vértices
alternan los colores 1 y 3. Lo mismo ocurre con v2 y v4 , lo cual produce dos caminos con un
vértice común. ♣
3.7.
Ejercicios
1. Encontrar una gráfica plana sin lazos cuyos vértices no tengan una buena coloración
con 3 colores.
2. Usar la fórmula de Euler para determinar el número de regiones en que n rectas en
posición general dividen al plano.
3. Sea G una gráfica plana con grado mı́nimo 5 y grado máximo 8 que tiene exactamente
tres vértices de grado 8 y siete de grado 7. Probar que G tiene al menos 25 vértices de grado
5.
4.∗ Probar que si una gráfica G con 11 vértices es aplanable, entonces su complemento
no lo es.
10