Cap 1 de mis notas de Microeconomía

Notas de Teoría Económica
Irán Apolinar Peredo Cortes
12 de noviembre de 2012
Índice general
Índice general
3
1. Matemáticas Preliminares
1.1. Topología Conjuntista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Propiedades de los Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
8
2. Comportamiento del Consumidor
2.1. Relaciones de Preferencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias
2.3. La Función de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Comportamiento del Consumidor . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Mercancías y Conjunto de Consumo . . . . . . .
2.4.2. Conjunto Presupuestario Competitivo . . . . . .
2.4.3. Estática comparativa y función de demanda . . .
2.5. Axioma Débil de preferencia revelada . . . . . . . . . .
2.5.1. Implicaciones de AD . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Matriz de Sustitución de Slutsky . . . . . . . . . . . . .
3
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19
20
Capítulo 1
Matemáticas Preliminares
propósito de este capítulo preliminar es que el lector no especializado obtenga un conocimiento
no solo en la teoría de conjuntos necesaria para el firme avance en capítulos subsecuentes sino
además brindarle elementos de análisis necesarios a lo largo de su estadía en la ciencia económica. En
la sección 1 se ofrecen algunas notas de topología básica para el lector no especializado lo cual será
necesario para capítulos subsecuentes. No se aborda en las presentes notas los temas relacionados a
espacios vectoriales ya que el autor supone que dichas nociones son básicas para cualquier estudiante
de Economía de Pregrado.
E
L
D EFINICIÓN 1. Un conjunto de B es un subconjunto de A si todo elemento de B pertenece a A:
B ⊂ A = {∀x ∈ B : x ∈ A}
C OROLARIO 1. Un conjunto de B es un subconjunto de A si la intersección entre A y B es el conjunto
B.
B ⊂A→B∩A=B
D EFINICIÓN 2. Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto propio de A, si todo
elemento de B pertenece a A, siendo A y B conjuntos distintos.
B ⊆ A = {∀x ∈ B : x ∈ A ∧ ∃y ∈ A : y ∈
/ B}
A lo largo de las presentes notas utilizaremos varias operaciones aparte de las ya conocidas Unión
e intersección (∪ , ∩) entre ellas la Diferencia y el producto cartesiano. Diferencia: (símbolo \) La
diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento
que esté en B. Denotemos ahora a dos conjuntos X y Y . El conjunto de pares ordenados {(x, y) : x ∈
X ∧ y ∈ Y } es llamado Producto cartesiano de X y Y denotado por X × Y . El producto cartesiano de
∏n
∏n−1
n conjuntos X1 ...Xn esta definido inductivamente por i=1 Xi = i=1 Xi × Xn ≡ X1 × × × Xn .
1.1.
Topología Conjuntista
La Topología es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.La topología conjuntista
constituye la base de los estudios en Topología. En ella se desarrollan tópicos como lo que es un espacio
topológico o los entornos de un punto. A continuación enunciaremos los elementos necesarios en esta
rama a fin de tener una herramienta solida en el análisis de la teoría económica.
5
1.1. Topología Conjuntista
1.1.1.
Propiedades de los Conjuntos
Iniciamos desarrollando algunos conceptos básicos de topología en Rn . Recordamos algunas propiedades de los números reales. Los Números Reales son un campo ordenado con las operaciones de
suma y producto; además poseen la propiedad de ser completos , es decir, dado X y Y dos conjuntos
no vacíos de reales se tiene la siguiente propiedad:
∀x ∈ X ∧ ∀y ∈ Y ⇒ x ≤ y
Entonces existe un r ∈ R tal que
x≤r≤y
D EFINICIÓN 3. Dado X ⊂ R, X ̸= ∅, se dice que s tiene una Cota Superior de X si s ≥ x para todo
x ∈ X. De manera análoga se define la cota inferior. Si X tiene una cota superior (inferior) se dice
que X esta acotado superiormente (inferiormente) o acotado por arriba (por abajo).
D EFINICIÓN 4. Dado X ⊂ R, se define el supremo de X y se denota por sup X como la mínima cota
superior del conjunto:
sup X ≥ x
∀x ∈ X ∧ c ≥ x ∀x ∈ X ⇒ sup X ≥ c
(1.1)
de manera análoga se define el ínfimo de X denotado por ı́nf X.
En economía la noción de distancia es muy importante para poder discernir entre cestas de bienes
cuando esta la diferencia de estas no es tan clara. Supongamos que tenemos dos cestas de bienes,
llamemos a x1 y x2 tal que x2 ∼
= x1 , es decir, ¿ qué tan cerca o que tan lejos esta una cesta de otra? Es
precisamente la Métrica la que te da esa noción de distancia en un conjunto. Definamos a un conjunto X
y una función d a la que llamaremos Métrica o distancia, al par (X, d) le llamaremos Espacio Métrico.
D EFINICIÓN 5. Un Espacio Métrico es un par (X, d) donde X es un conjunto cualquiera no vacío y
d es una función real d : X × X → R que cumple las siguientes propiedades:
(1) d(x1 , x2 ) ≥ 0 ∀x1 , x2 ∈ X
(2) d(x1 , x2 ) = 0
⇔
x1 = x2
(3) d(x1 , x2 ) = d(x2 , x1 ) ∀x1 , x2 ∈ X
(4) d(x1 , x3 ) ≥ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 )
∀x1 , x2 , x3 ∈ X.
P ROPOSICIÓN 1. Sea X = Rn . Para x2 , x1 ∈ X se define
d(x1 , x2 ) = ||x1 − x2 ||
entonces d es una distancia en X.
D EFINICIÓN 6. La Bola abierta con centro en x0 y de radio δ es el conjunto
Bδ (x0 ) = {z ∈ Rn : d(z, x0 ) < δ}
es decir, el conjunto de puntos que distan de x0 en menos δ .
D EFINICIÓN 7. Decimos que h ∈ G ⊂ Rn es un punto interior si
int(h) ⇔ {∃δ > 0 : Bδ (h) ⊂ G}
6
1. Matemáticas Preliminares
D EFINICIÓN 8. Un conjunto G ⊂ Rn es abierto si
G ⊂ Rn
Es Abierto ⇔ {∀h ∈ G, ∃δ > 0 : Bδ (h) ⊂ G}
Es decir, todos los puntos de G son interiores y no existen puntos fronterizos.
D EFINICIÓN 9. Un conjunto G ⊂ Rn es Cerrado si su complemento Gc es abierto.
D EFINICIÓN 10. Un conjunto G ⊂ Rn es Acotado si se cumple la siguiente propiedad
G ⊂ Rn
Es acotado ⇔ {∀x ∈ G, ∃δ ∈ R : ||x|| < δ}
D EFINICIÓN 11. Un conjunto G es compacto si es cerrado y es acotado.
D EFINICIÓN 12. Sean G ⊂ Rn y h ∈ Rn decimos que h es un Punto Frontera de G si para todo
δ > 0 se cumplen
f rt(h) ⇔ {Bδ (h) ∩ G ̸= ∅ ∧ Bδ (h) ∩ Gc ̸= ∅}
P ROPOSICIÓN 2. El conjunto G ⊂ Rn es cerrado si y solo si contiene puntos frontera.
Demostración. La demostración puede realizarse expresando las condiciones necesarias y suficientes:
• Necesidad Supongamos primero que G es cerrado, es decir Gc es abierto y sea h un punto
frontera arbitrario de G,ahora si Gc es abierto implica que existe δ > 0 tal que Bδ (h) ⊂ Gc . Se
tiene entonces que Bδ (h) ∩ G = ∅ lo cual es imposible dada la definición del punto frontera. De
tal manera es necesario tener h ∈ G y como h es abierto G contiene a todos sus puntos frontera.
• Suficiencia Supongamos ahora que G contiene a todos sus puntos frontera. Sea h ∈ Gc . Como
G contiene a todos sus puntos frontera h no es punto frontera de G, es decir existe δ > 0 tal que
Bδ (h) ∩ G = ∅ o Bδ (h) ∩ Gc ̸= ∅. Como h ∈ Bδ (h) ∩ Gc ̸= ∅ debe cumplirse entonces
que Bδ (h) ∩ G = ∅ lo cual implica que Bδ (h) ⊂ Gc . Concluimos que Gc es cerrado y en
consecuencia G es abierto.
P ROPOSICIÓN 3. Las siguientes propiedades se cumplen:
(a) La unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta y la intersección de un número finito de
abiertos es abierta.
(b) La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada y la unión de un número finito de
cerrados es cerrada.
D EFINICIÓN 13. Las propiedades de Interior y cerradura puede definirse como:
∪
(a) El interior de G es el conjunto Go ≡ i∈I Gi en donde {G}i∈I es el conjunto de todos los
abiertos Gi tales que G ⊂ i . El interior de G de puede interpretar como el abierto más grande
contenido en G. Otra notación usada es Go = intG.
∩
(b) La cerradura de G es el conjunto Ḡ = i∈I Gi en donde {G}i∈I es el conjunto de todos los
cerrados Gi tales que G ⊂ i .La cerradura de G de puede interpretar como el abierto más grande
contenido en G.Otra notación usada es Ḡ = clG.
7
1.1. Topología Conjuntista
1.1.2.
Sucesiones
D EFINICIÓN 14. Una sucesión de puntos en Rm es una función f : N → Rm . Normalmente los
elementos del contradominio de f es escrito como f (n) = xn , de igual manera se puede expresar solo
como un conjunto de elementos {xn }n∈N o simplemente {xn }.
D EFINICIÓN 15. Sea {xn } ⊂ R una sucesión correspondiente a la función f : N → R decimos que
la sucesión {xn } ⊂ R es creciente (decreciente) si f es creciente (decreciente). Si una sucesión es
creciente (decreciente) decimos que es monótona.
D EFINICIÓN 16. Decimos que G ⊂ Rm y h ⊂ Rm . Decimos que plim(h) punto de acumulación de
G si
h es un punto límite ⇔ {∀δ > 0, ∃h ∈ G ∧ q ̸= h : q ∈ Bδ (h) ∩ G}
D EFINICIÓN 17. Decimos que la sucesión {xn } converge a x ∈ Rm si
{xn } → x ⇔ {∀ε > 0 ∧ ∃N ∈ N : n > N ⇒ d(xn , x) < ε}
(1.2)
En este caso decimos que x es el límite de la sucesión lo que se denota por lı́mn→∞ xn = x
P ROPOSICIÓN 4. Sea G ⊂ Rm . h es un punto límite de G si y solo si existe una sucesión {hn } ⊂ G
tal que el lı́mn→∞ hn = h.
Demostración.
• Necesidad. Supongamos primero que h es un punto límite de G. Ahora construyamos una sucesión que converja a h. Dadon ∈ N, existe hn ∈ G, hn ̸= h, tal que
hn ∈ B1/n (h). La sucesión {hn } es una sucesión de puntos de G que satisface lı́mn→∞ hn = h.
• Suficiencia. Ahora consideremos la sucesión {hn } ⊂ G tal que lı́mn→∞ hn = h. Sea δ > 0,
entonces lı́mn→∞ hn = h implica que N ∈ N tal que, si n > N entonces hn ∈ Bδ (h). Como
hn ∈ G se tiene que h es un punto límite de G.
P ROPOSICIÓN 5. El conjunto G es cerrado syss
∀{xn } ⊂ G ⇒ lı́m xn = x ⇒ x ∈ G
n→∞
P ROPOSICIÓN 6. Sea {xn } ⊂ R una sucesión creciente (decreciente)y acotada por arriba (por abajo)entonces lı́mn→∞ = sup{xn } (lı́mn→∞ = ı́nf{xn })
D EFINICIÓN 18. Sea la sucesión f : N → Rm y sea g : N → N una función estrictamente creciente,
es decir n1 < n2 ⇒ g(n1 ) < g(n2 ) la composición f ◦ g : N → Rm se conoce como una subsucesión
de f .Con la notación usual, la sucesión f está dada por {xn }
P ROPOSICIÓN 7. Toda sucesión {xn } ⊂ R posee una subsucesión monótona.
T EOREMA 1.1.1 (Bolzano-Weierstrass). Sea {xn } una sucesión acotada en Rm .Entonces ésta posee
una subsucesión convergente, {xnk }.
8
Capítulo 2
Comportamiento del Consumidor
El presente capitulo aborda la teoría clásica de la demanda, su contenido se basa al igual que la mayoría de las notas de microeconomía en el texto ya clásico de Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston
y Jerry R. Green (1995). Así como en el texto de Geoffrey A. Jehle , Philip J. Reny (2000). A diferencia
de la introducción se intentara que sea altamente amable este capitulo ya que el objetivo es que el lector
comprenda en la medida de lo posible la importancia y los alcances de la Teoría clásica de la demanda.
2.1.
Relaciones de Preferencia
2.1.1.
Relaciones Binarias
Con objeto de definir en un conjunto cualquiera una relación de orden, introduciremos el concepto
de relación binaria. En definitiva un conjunto ordenado no es más que un conjunto en el que hay definida
una relación binaria que cumple las propiedades que a continuación detallaremos.
D EFINICIÓN 19. Una Relación Binaria en el producto cartesiano X × Y es cualquier subconjunto de
X ×Y
D EFINICIÓN 20. Una relación binaria ≽ en X × X es un Preorden en X si ella es:
(1) Reflexiva, (a, a) ∈≽
∀a ∈ X.
(2) Transitiva, si (a, b) ∈≽ ∧(b, c) ∈≽→ (a, c) ∈≽
∀a, b, c, ∈ X.
Si además la relación es de Preorden Completo, esto es, si se verifica que los pares ordenados contenidos en la relación binaria pueden ser comparados, es decir ∀(a, b) ∈≽ ∨(b, a) ∈≽ ∀a, b, ∈ X.
D EFINICIÓN 21. Una relación binaria ≡ se define como una relación de equivalencia syss satisface
las siguientes propiedades:
(1) Reflexiva. (a, a) ∈≡
∀a ∈ X
(2) Transitiva. Si {(a, b) ∧ (b, c)} ∈≡→ (a, c) ∈≡.
(3) Simetría. Si ∀(a, b) ∈≡→ (b, a) ∈≡.
9
2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias
2.1.2.
Preferencias
Como es bien sabido, todo agente económico se enfrenta al problema de la elección, dicho problema
se da en un Espacio de Consumo X. En dicho espacio las preferencias del agente son representadas
por un Preorden completo ≽ es decir:
D EFINICIÓN 22. Las Relaciones de Preferencias son relaciones binarias sobre el producto cartesiano
X × X que son Reflexivas, Transitivas y Completas.
En donde el espacio de consumo1 es un subconjunto el ortante no negativo RL
+ , es decir X ⊂
Cesta de Bienes se denotara por el vector x = [x1 , x2 , ..., xn ]t , en donde cada xi es un
número real no negativo. Supondremos en general para cualquier Xi ⊂ RL
+ las siguientes propiedades.
RL
+ .Una
(1) Xi es un subconjunto no vacío y cerrado en RL . Esto es, dada una sucesión infinita {xi }∞ }
de cestas de bienes que convergen a la cesta x0i , entonces x0i es un plan de consumo para el
consumidor i.
(2) Xi es un conjunto convexo, es decir, dados dos planes de consumo x1i y x2i , si estos son posibles
para el consumidor i, también lo será el promedio ponderado formado por estos, es decir λx1i +
(1 − λ)x2i ∀λ ∈ [0, 1].
x1i
Una vez establecido lo anterior notaremos la afirmación x es al menos tan bueno cuanto x2i como
≽ x2i o de igual manera (x1i , x2i ) ∈≽ .
2.2.
Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias
Lo Anterior no es suficiente para entender y derivar la teoría del consumidor, necesitamos enunciar
una estructura analítica que permita asociar cada clase de indiferencia a un número Real, en otras palabras que una clase de indiferencia sea preferida a otra si su número real asociado es mayor que el otro.
Para comenzar enunciaremos la continuidad de las preferencias, la idea detrás de dicha enunciación es
clara. Para empezar imaginemos dos cestas de consumo x1 y x2 y una secuencia de consumo {xj }
la cual es tan buena o preferible como x2 y que además converge a x1 , luego la continuidad de las
preferencias nos dice que x2 es casi tan bueno o preferible como x1 , luego entonces todos los planes
de consumo cercanos (dada la Métrica utilizada) serán tan buenos como x1 .
Axioma 1 (Continuidad) ∀(xi , xj ) ∈ X, los conjuntos
M ≡ {xi ∈ X : xi ≻ xj }
P ≡ {xi ∈ X : xj ≻ xi }
Son abiertos.
Donde el conjunto M representa todas las opciones que son mejores que xj y el conjunto P representa
todas las cestas de consumo que son peores a xj . Alternativamente Podemos definir los siguientes
conjuntos
MI ≡ {xi ∈ X : xi % xj }
PI ≡ {xi ∈ X : xj % xi }
1 este espacio de consumo puede ser entendido dado que es un subconjunto de RL se dice que es el conjunto de mínima
+
subsistencia, es decir es el espacio más pequeño o donde se alojan las opciones de consumo, sin perdida de generalidad de igual
manera se puede establecer que X ⊆ RL
+
10
2. Comportamiento del Consumidor
I ≡ {xi ∈ X : xj ∼ xi }
Donde el conjunto MI muestra las cestas no peores que xj , el conjunto PI las cestas de consumo no
mejores que xj y el conjunto I las cestas de consumo equivalentes a xj . Los conjuntos son cerrados ya
que % es completa y continua. Es fácil ver que
MI ∩ PI = I
MI ∪ PI = X
La convexidad de las preferencias puede formularse con diferentes grados de generalidad. La convexidad débil es la definición más general de convexidad, mientras que la convexidad estricta es la
definición que contiene el menor grado de generalidad. En medio encontraremos la definición de convexidad. La noción general de convexidad es que un consumidor con preferencias convexas prefiere un
plan de consumo que contenga un poco de cada bien a un plan de consumo con una gran cantidad de un
bien y nada (o muy poco) de los demás bienes. Es decir, la convexidad captura la idea de la preferencia
por la variedad. Notemos que la convexidad conlleva implícito el supuesto de la perfecta divisibilidad
de los bienes. Veamos las definiciones alternativas de convexidad.
Axioma 2 (Convexidad Débil)∀(xi , xj ) ∈ X y ∀λ ∈ [0, 1] se cumple
xi % xi ⇒ [λxi + (1 − λ)xj ] % xj
Axioma 3 (Convexidad)∀(xi , xj ) ∈ X y ∀λ ∈ [0, 1] se cumple
xi ≻ xi ⇒ [λxi + (1 − λ)xj ] ≻ xj
Axioma 4 (Convexidad Estricta)∀(xi , xj ) ∈ X y ∀λ ∈ [0, 1] se cumple
xi % xi ⇒ [λxi + (1 − λ)xj ] ≻ xj
El axioma 2, dada la transitividad, reflexividad y completitud de las preferencias equivale a suponer que
los conjuntos M(xi ) y MI(xj ) son convexos. Además, junto con la continuidad de las preferencias,
implica que para todo xj ∈ X, el conjunto M(xj ) es abierto y convexo y tiene como frontera el
conjunto I(xj ) el cual es cerrado y convexo. Este axioma permite que el conjunto I(xi ) tenga puntos
interiores. El axioma 3 junto con el axioma 1 implica que si xj no es un punto máximo de la relación
% El conjunto I(xj ) no tiene puntos interiores. El axioma 4 garantiza que cualquier tangencia con un
hiperplano con una clase de indiferencia solo puede ocurrir en un punto. Sin embargo este axioma no
garantiza que I(xj ) sea diferenciable en todos sus puntos.
Para terminar con los supuestos que introducimos sobre las preferencias, formularemos diferentes
axiomas de insaciabilidad. Como en el caso de la convexidad, pueden definirse con diferentes grados de
generalidad. La no-saciabilidad es la definición más general, mientras que la monotonía es la definición
que contiene el menor grado de generalidad. En medio encontraremos la definición de no saciabilidad
local y la de semimonotonía. El axioma 5 recoge la idea de que un individuo, dado un plan de consumo,
siempre puede encontrar otro mejor; el axioma 6 matiza la afirmación anterior para planes de consumo
arbitrariamente cerca, es decir, dado un plan de consumo, siempre existe otro arbitrariamente cerca
que es mejor. Este axioma implica que las curvas de indiferencia no pueden ser anchas. El axioma
7 dice que dado un plan de consumo, siempre podemos construir uno mejor aumentando la cantidad
de alguno de los bienes. Estos axiomas evitan que el consumidor pueda saciarse de todos los bienes
simultáneamente. Sin embargo no impiden la posibilidad de que el consumidor sí pueda saciarse de
algún bien concreto en X. Finalmente, el axioma 8 dice que cuanto más mejor.
Axioma 5 (No-Saciabilidad) Para todo xi ∈ X existe un xj ∈ X tal que xj % xi .
11
2.3. La Función de Utilidad
Axioma 6 (No-Saciabilidad Local)Sea Hθ (xi ) un entorno de centro xi y de radio θ. Para todo xi ∈ X
y para todo escalar θ > 0 existe un xj en Hθ (xi ) ∩ X tal que xj ≻ xi .
Axioma 7 (Semimonotonía) Para todo xi ∈ X existe algún h, donde h = 1, 2...L (que puede depender
de xi ) tal que (xi +λeh ) ≻ xi , para todo λ > 0 y donde eh ∈ RL representa un vector de ceros excepto
en la posición h-ésima donde hay un uno.
Axioma 8 (Monotonía) Sean (xi , xj ) ∈ X tales que xi ≫ xj . Entonces xi ≻ xj .
Este es un axioma muy restrictivo. Exige que el individuo mejore consumiendo cantidades adicionales de mercancías.
Axioma 9 (Monotonía débil) Sean (xi , xj ) ∈ X tales que xi ≥ xj . Entonces xi % xj .
Este axioma nos dice que un plan de consumo xi que contenga al menos la misma cantidad de
mercancías que otro, xj es por lo menos igual de bueno que éste.
Axioma 10 (Monotonía Fuerte) Sean (xi , xj ) ∈ X tales que xi > xj . Entonces xi ≻ xj .
La monotonicidad fuerte nos dice que un plan de consumo xi que contenga por lo menos la misma
cantidad de todos los bienes que otro plan de consumo xj y más de alguno de ellos es estrictamente
mejor que éste. Notemos que este axioma implica, a su vez, que todos los bienes son deseables para el
consumidor.En particular, si el plan de consumo contiene algún bien no deseable (un mal) no satisfaría
la monotonicidad fuerte.
2.3.
La Función de Utilidad
En economía es muy común referirse al termino utilidad como una representación de la Felicidad
o Satisfactores de de uno o más individuos, esta representación le asignamos comúnmente una forma
funcional bien comportada. ¿De dónde surge esta concepción de utilidad? Debreu (1959) Se pregunta
si dado un pre-orden de preferencias similares a las vistas en la introducción es posible encontrar
una función creciente en dicho espacio. En otras palabras, si dada la posibilidad de poder ordenar y
decernir entre cestas de consumo sería posible encontrar una función que describa las preferencias de
un consumidor individual vista como un continuo dentro del espacio de preferencias. Cuando dicha
función existe se le denomina Función de Utilidad.
D EFINICIÓN 23 (Función de Utilidad). Una función u : X → R representa el pre-orden de preferencias % si y solamente si para todo (x1 , x2 ) ∈ X se cumple:
u(x1 ) ≥ u(x2 ) ⇔ x1 % x2
A la función u(·) se le denomina función de utilidad del consumidor.
2.3.1.
Existencia
No todos los tipos de preferencia puede representarse mediante funciones, al respecto de esto Debreu desarrolla el siguiente Teorema el cual es suficiente para su tiempo para demostrar la Existencia
de una función de utilidad.
12
2. Comportamiento del Consumidor
T EOREMA 2.3.1 (Debreu 1959). Sea % una relación de preferencia definida sobre un subconjunto conexo en RL . La relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad continua
si y solamente si succsim es reflexiva, completa, transitiva y continua.
Este Teorema expresado por Debreu permite entender el problema del consumidor como un problema de identificación de la función de utilidad u(·), de igual forma el teorema de Weierstrass permite
demostrar la existencia de un Máximo de la función de cualquier subconjunto compacto de X. Posteriormente a dicho teorema surgen refinamientos del mismo donde además satisfacían monotonía fuerte
y dado nuestro interés en demostrar la existencia de la función de utilidad enunciamos y demostramos
el siguiente teorema:
T EOREMA 2.3.2 (Existencia de una función de Utilidad). Supongamos que la relación de preferencia
% definida sobre X ⊂ RL es reflexiva, transitiva, completa, continua y satisface monotonía fuerte.
Entonces existe una función de utilidad continua u : RL → R que representa dichas preferencias.
Demostración. La demostración puede realizarse en tres pasos:
(1) Sea i un vector unitario (todos sus elementos son unos) tal que i ∈ RL
+ . Dado cualquier vector
x tenemos que demostrar que existe un único número u(x) tal que x v u(x)i.Para cualquier
x ∈ X y α ∈ R+ definimos los siguientes conjuntos
A ≡ {α : α ≥ 0, αi % x}
B ≡ {α : α ≥ 0, x % αi}
Dada la monotonía fuerte ambos conjuntos son no vacíos. El conjunto A para α suficientemente
grande αi % x en el caso del conjunto B porque contiene al menos el 0. El supuesto de continuidad asegura que ambos conjuntos son cerrados. Dado que las preferencias son completas cada
α ≥ 0 pertenece a uno de estos conjuntos. Por tanto, es necesario que exista un punto en común,
por ejemplo αx para que αx i v x, la monotonía fuerte asegura que este punto es único.Ahora,
identificando αx con u(x), lo cual implica que αx i v u(x)i y aplicando transitividad obtenemos
u(x)i v x. En otras palabras, para cada plan de consumo x ∈ X hemos demostrado que existe
un número real u(x) tal que u(x)i v x.
(2) Consideremos ahora dos cestas de consumo x1 , x2 ∈ X, por definición x1 v u(x1 )i y x2 v
u(x2 )i. Si u(x1 ) > u(x2 ) la monotonía fuerte implica que u(x1 )i ≻ u(x2 )i, de igual manera
por transitividad
x2 v u(x1 )i ≻ u(x2 )i v x2 ⇒ x1 ≻ x2
El mismo razonamiento nos lleva a demostrar que si u(x1 ) = u(x2 ) implica que x1 v x2 , y así
de manera sucesiva faltando solo por demostrar continuidad.
(3) Pensemos ahora que existe un {xj } el cual es una secuencia convergente a x, es decir {xj } → x.
Ahora pasaremos a demostrar que u(xj ) → u(x). Para empezar vamos a suponer que no es
convergente, es decir, que existe un γ > 0 y un número infinito de j ′ s tal que xj v u(xj ) ≻
u(x) + iγ v x + iγ La transitividad de las preferencias implica que xj ≻ x + iγ Ahora bien,
para un j suficientemente grande en nuestro conjunto infinito necesariamente tiene que ocurrir
que x+iγ > xj y por monotonía x+iγ ≻ xj , lo cual es una contradicción por tanto la secuencia
tiene que ser convergente y por tanto continua.
13
2.3. La Función de Utilidad
2.3.2.
Unicidad
Es importante señalar que la función de utilidad que acabamos de construir es ordinal. Es decir, el
valor numérico de u(·) no contiene ningún significado, solo el signo de la diferencia entre los valores
de u(·) en dos puntos distintos es significativo. Notemos también que el enunciado de la proposición
que acabamos de demostrar no dice nada sobre la unicidad de la función de utilidad que representa
las preferencias del consumidor. La proposición siguiente aborda precisamente esta cuestión. En particular, podemos demostrar que la función de utilidad que hemos identificado es única excepto para
transformaciones estrictamente crecientes.
P ROPOSICIÓN 8 (Unicidad de la Función de Utilidad). La unicidad de la función de Utilidad implica
que es invariable ante transformaciones monótonas.
(1) Supongamos que la relación de preferencia % de un consumidor es representada mediante la
función de utilidad u : RL → R Entonces cualquier función υ(x) = f [u(x)] donde f es una
función estrictamente creciente, también es una función de utilidad que representa la misma
relación de preferencias, además si uyf son continuas entonces υ también lo es.
(2) Todas las funciones de utilidad que representan las preferencias % de un consumidor pueden ser
representadas por υ(x) = f [u(x)]
Demostración. (1) Si x1 ≻ x2 , entonces u(x1 ) > u(x2 ) si f es estrictamente creciente podemos
afirmar que f [u(x1 )] > f [u(x2 )] por tanto υ(x1 ) > υ(x2 ) y de la misma manera dicha construcción se puede mostrar de forma inversa, es decir υ(x1 ) > υ(x2 ) si x1 ≻ x2 . Además de esto
dado que la composición de dos funciones continuas es una función continua, υ es continua si f
y u(·) lo son.
(2) Sea υ una función de utilidad arbitraria que representa la misma relación de preferencia que
u(·). Es claro que u(x1 ) = u(x2 ) si y solo si υ(x1 ) = υ(x2 ) ya que en ambos casos implica
que x1 ≻ x2 . También debe ser claro que u(x1 ) > u(x2 ) si y solamente si υ(x1 ) > υ(x2 ). Por
tanto podemos escribir υ(x) = f [u(x)].
La representación de las preferencias mediante una función de utilidad hace que las propiedades de
la relación de preferencias se reflejen en las propiedades de la función de utilidad que las representa.
Monotonía y continuidad de las preferencias se traducen en monotonía y continuidad de la función de
utilidad. La convexidad de las preferencias se traduce en la concavidad de la función de utilidad. En particular, la convexidad débil de las preferencias implica la cuasi-concavidad de la función de utilidad; la
convexidad de las preferencias implica que la función de utilidad es semi-estrictamente cuasi-cóncava;
finalmente, la convexidad fuerte de las preferencias se traduce en una función es estrictamente cuasicóncava.
D EFINICIÓN 24 (Cuasi-Concavidad). Sea u : RL → R, decimos que u es cuasi-cóncava si para todo
x1 , x2 ∈ RL y para toda λ ∈ [0, 1] se cumple
u(x1 ) ≥ u(x2 ) ⇒ u[λx1 + (1 − λ)x2 ] ≥ u(x2 )
D EFINICIÓN 25 (Cuasi-Concavidad Semi-Estricta). Sea u : RL → R, decimos que u es Semi estrictamente cuasi-cóncava si para todo x1 , x2 ∈ RL y para toda λ ∈ [0, 1] se cumple
u(x1 ) > u(x2 ) ⇒ u[λx1 + (1 − λ)x2 ] > u(x2 )
D EFINICIÓN 26 (Cuasi-Concavidad Estricta). Sea u : RL → R, decimos que u es cuasi-cóncava
Estricta si para todo x1 , x2 ∈ RL y para toda λ ∈ [0, 1] se cumple
u(x1 ) ≥ u(x2 ) ⇒ u[λx1 + (1 − λ)x2 ] > u(x2 )
14
2. Comportamiento del Consumidor
2.4.
Comportamiento del Consumidor
Una ves demostrada la existencia de una función de utilidad y de probar que es invariante ante
transformaciones monótonas pasamos a analizar el comportamiento del consumidor. Es menester establecer que las decisiones de consumo de nuestro agente representativo se desarrollan en mercado
competitivo por mercado competitivo podemos entenderlo de manera coloquial como un momento en
la evolución de una economía donde el número de Empresas y el número de consumidores es tan grande que un consumidor individual le es imposible influir en el fijamiento de los precios en el mercado, es
decir, son tomadores de precio o precio aceptantes como veremos más adelante. Iniciamos definiendo
las Mercancías y el Conjunto Presupuestario Walrasiano, posteriormente realizamos un desarrollo de
las propiedades de estática comparativa y finalizamos enunciando el Axioma Fuerte de Preferencia
Revelada.
2.4.1.
Mercancías y Conjunto de Consumo
Denominaremos Mercancías al conjunto de satisfactores de un consumidor individual, para fines
prácticos llamaremos de manera indistinta Mercancías al conjunto de bienes y servicios que elaboran
o desarrollan un conjunto de individuos con el fin de satisfacer las necesidades de un consumidor
individual. Asumiremos que el número de Mercancías es finito igual a L tal que ℓ = 1, 2, 3...L . Ahora,
denominaremos cesta de consumo, a un vector de mercancías
 
x1
 x2 
 
x= . 
 .. 
xL
Donde cada xi es una mercancía. El vector x es un punto en RL . Las elecciones de consumo son por
razones obvias no negativas, es decir, no existen cantidades negativas que queramos consumir de alguna
mercancía o producto. Formalmente denotamos al espacio de consumo como X ⊂ RL . En algunos
textos y sin perdida de generalidad enuncian al espacio de consumo como el cual se encuentra en el
ortante no negativo.
L
X = RL
+ = {x ∈ R : xℓ ≥ 0 ∀ℓ = 1, ..., L}
L
Como es sabido el ortante no negativo RL
+ es convexo ya que para todo x1 , x2 ∈ R+ se tiene que
L
x3 = αx1 + (1 − α)x2 tal que x3 ∈ R+ para todo α ∈ [0, 1].
2.4.2.
Conjunto Presupuestario Competitivo
También llamado restricción presupuestaria en la jerga del economista, definimos ahora al vector
de precios p tal que
 
p1
 p2 
 
p =  .  ∈ RL
+
 .. 
pL
Donde cada pℓ es el precio de algún bien xℓ , luego entonces el vector p describe los precios de mercado
de los distintos bienes que consta la cestas de consumo contenidas en X. En la teoría económica es
común definir precio como una medida de la escasez, es decir, a medida que aumenta la escasez de la
mercancía aumenta su precio, aunque no siempre tiene que ser así. Dado que no hay precios negativos
y sin perdida de generalidad asumimos que p ≫ 0, es decir pℓ > 0 para toda ℓ. Cada consumidor esta
15
2.4. Comportamiento del Consumidor
Figura 2.1: Izquierda:Restricción presupuestaria competitiva o walrasiana en R2+ . Derecha: Efecto precio ante una variación de p2 .
dotado de una riqueza o presupuesto w el cual será utilizado para comprar alguna cesta de consumo x
de precio p. La restricción presupuestaria debe satisfacer
p · x = p1 x1 + ... + pL xL ≤ w
Es decir, cada consumidor selecciona la combinación de precios y mercancías tales que no sobrepase
el presupuesto w. Es decir, decimos que las cestas de bienes son consumos factibles.
D EFINICIÓN 27. Una restricción presupuestaria competitiva es el conjunto Bp,w = {x ∈ RL
+ : px ≤
w} es el conjunto que muestra todas las opciones de consumo posibles dados un vector de precios p y
un presupuesto w.
El conjunto {x ∈ RL
+ : px = w} es llamado hiperplano presupuestario que no es otra cosa más
que la frontera de Bp,w . Para L = 2, la restricción Bp,w queda reducida a p1 x1 + p2 x2 = w lo cual
es una recta con pendiente −(p1 /p2 ) la cual es una tasa de cambio entre dos mercancías la cual como
veremos más adelante mide el costo de oportunidad. Una de las propiedades geométricas que serán
útiles es la ortogonalidad de los precios. Para observar esto supongamos que existen dos dos cestas
x, x̄ ∈ Rℓ+ . Para un vector de precios p se debe cumplir, dado que el consumidor no puede exceder su
presupuesto que px = px̄ = w de donde se deduce que p∆x = 0 tal que ∆x = (x − x̄) y por ende p
es ortogonal. Por ultimo hablaremos de la convexidad de Bp,w , dadas dos cestas x1 , x ∈ Bp,w , la cesta
x3 = αx1 + (1 − α)x2 también lo es tal que x3 ∈ RL
+ . Después dados px1 ≤ w y px2 ≤ w nosotros
tenemos que px3 = αpx + (1 − α)px2 ≤ w lo cual implica que x3 ∈ Bp,w = {x ∈ RL
+ : px ≤ w}
y por ende Bp,w es convexo. Además de esto dados los supuestos sobre X podemos afirmar que Bp,w
es cerrado y dado que pℓ > 0 (ignoraremos el caso de pℓ = 0) es compacto.
2.4.3.
Estática comparativa y función de demanda
Cada consumidor walrasiano (o ordinario o competitivo) puede a partir de sus preferencias y su
conjunto presupuestario calcular una cantidad demandada de bienes lo cual dependerá integramente
del vector p y del presupuesto w. La correspondencia de demanda del consumidor (ordinaria o
walrasiana) se denota por x(p, w) y asigna un conjunto de cestas de consumo a cada par precio-riqueza
(p, w). Cuando la correspondencia consta de solo un elemento se le denomina función de demanda
µ(p, w) . Asumiremos que la correspondencia de demanda es homogénea de grado cero y satisface la
Ley de Walras.
D EFINICIÓN 28. La correspondencia de demanda walrasiana x(p, w) es homogénea de grado cero si
x(αp, αw) = x(p, w) para todo p, w y α > 0
16
2. Comportamiento del Consumidor
La homogeneidad de grado cero quiere decir que sí los precios y la riqueza cambian en la misma
proporción, la elección de consumo del individuo no cambia,sólo importan los precios y renta relativos
y no los absolutos.Para entender la homogeneidad de grado cero, nótese que un cambio de renta y
precios de (p, w) a (αp, αw) , no produce ningún cambio en el conjunto de consumos factibles,es
decir Bp,w = Bαp,αw .
D EFINICIÓN 29. La correspondencia de demanda walrasiana x(p, w) satisface la ley de walras si
para todo p ≫ 0 y w > 0, se cumple px = w para todo x ∈ x(p, w).
La Ley de Walras significa que el individuo consume totalmente su riqueza. Este supuesto es razonable siempre que exista algún bien deseable.En contextos dinámicos intertemporales, la Ley de
Walras significa que el consumidor gasta enteramente su presupuesto a lo largo de su vida. El análisis
de un cambio en el resultado como respuesta a cambios en los parámetros económicos subyacentes se
le conoce como Análisis de Estática Comparativa. Este análisis es por demás interesante ya que nos
muestra como cambian la elección de un consumidor cuando se modifican el precio o la riqueza de un
consumidor
Efecto Riqueza Mantengamos fijo p̄, la correspondencia x(p̄, w) se le conoce como función de Engel del consumidor La cual tiene su imagen en RL
+ . Ep̄ = {x(p̄, w) : w > 0} se le conoce como
patrón de expansión de la riqueza. Para cualquier (p, w) la derivada ∂xℓ (p, w)/∂w se le conoce como
electo riqueza para el ℓ-ésimo bien. Un bien se denomina normal si para cualquier (p, w) se tiene que
∂xℓ (p, w)/∂w ≥ 0 es decir, la demanda no decrece ante aumentos en la riqueza. Si ∂xℓ (p, w)/∂w < 0
para cualquier (p, w) se le denomina bien inferior . El supuesto de normalidad en la demanda tiene
sentido cuando los bienes son agregaciones (alojamiento, comida, etc. ). Si se encuentran muy desagregados (por ejemplo, una clase particular de zapatos), entonces dada la sustitución de bienes de mejor
calidad cuando w se incrementa, los bienes pueden convertirse en inferiores a partir de un nivel de
renta. Dado el vector de precios p el efecto riqueza puede ser expresado mediante
 ∂x (p,w) 
1
 ∂x2∂w
(p,w) 
 ∂w

 ∈ RL
Dw x(p, w) = 
..




.
∂xL (p,w)
∂w
Efecto Precio Ahora manteniendo fijo w, la variación de la correspondencia de demanda ante variaciones en los precios se le denomina efecto precio, más generalmente para todo (p, w) el efecto precio
de pk tal que k = 1, 2, ..., L se expresa como ∂xℓ (p, w)/∂pk , luego entonces ∂xℓ (p, w)/∂pℓ muestra
la curva de precio-oferta del consumidor. Decimos que el bien ℓ es un Bien Giffen si ∂xℓ (p, w)/∂pℓ >
0, es interesante notar que los bienes de baja calidad pueden ser bienes Giffen para consumidores de
rentas bajas. El efecto precio se puede mostrar mediante la siguiente matriz
 ∂x (p,w)

(p,w)
1
· · · ∂x1∂p
∂p1
L


..

Dp x(p, w) = 
.


∂xL (p,w)
∂xL (p,w)
·
·
·
∂p1
∂pL
Implicaciones de la Homogeneidad y la ley de Walras en el efecto precio y riqueza La homogeneidad y la ley de Walras implican ciertas ciertas restricciones en los efectos de estática comparativa
sobre la demanda del consumidor con respecto a los precios y a la riqueza. Dada la homogeneidad
de grado cero implica que x(αp, αw) − x(p, w) = 0. Diferenciando la ecuación con respecto a α y
evaluando la derivada en α = 1 tenemos un caso particular de la ecuación de Euler.
17
2.4. Comportamiento del Consumidor
P ROPOSICIÓN 9. Si la función de demanda walrasiana x(p, w) es homogénea de cero se cumple, para
todo p y w
L
∑
∂xℓ (p, w)
∂xℓ (p, w)
pk +
w = 0 ∀ℓ = 1, ..., ℓ.
(2.1)
∂pk
∂w
k=1
En notación matricial
Dp x(p, w)p + Dw x(p, w)w = 0
(2.2)
La homogeneidad de grado cero implica que las derivadas con respecto a precios y renta, de la
demanda de cualquier bien ℓ, cuando se ponderan por estos precios y renta deben sumar cero. La ponderación se da, porque cuando se incrementan todos los precios y la riqueza en la misma proporción,
cada variable cambia en proporción a su nivel inicial.LA expresión (2.1) puede ser expresada en términos de sus elasticidades de la demanda con respecto al precio y la riqueza de la siguiente manera.
εℓk (p, w) =
∂xℓ (p, w)
pk
·
∂pk
xℓ (p, w)
(2.3)
εℓw (p, w) =
∂xℓ (p, w)
w
·
∂w
xℓ (p, w)
(2.4)
y de igual manera
La Elasticidad muestra las variaciones porcentuales de la demanda del bien ℓ ante variaciones de alguno
de sus parámetros como puede ser el precio o la riqueza.La expresión (2.1) puede ser reescrita como
L
∑
εℓk (p, w) + εℓw (p, w) = 0
∀ℓ = 1, ..., L
(2.5)
k=1
Esta formula expresa directamente, las implicaciones de estática comparativa de la homogeneidad de
grado cero: un mismo porcentaje de cambio en todos los precios y renta no produce cambios en la
demanda. La ley de Walras tiene dos implicaciones sobre el efecto riqueza y el efecto precio. Por la ley
de Walras sabemos que px(p, w) = w para todo p y w.
P ROPOSICIÓN 10. Si la función de demanda Walrasiana x(p, w) satisface la ley de Walras para todo
pyw
L
∑
∂xℓ (p, w)
pℓ
+ xk (p, w) = 0
(2.6)
∂pk
ℓ=1
y de manera matricial
pDp x(p, w) + x(p, w) = 0
(2.7)
Esta preposición es conocida como la Agregación de Cournot que dice que el gasto total no puede
cambiar ante variaciones en el precio del bien k.
P ROPOSICIÓN 11. Si la función de demanda Walrasiana x(p, w) satisface la ley de Walras para todo
pyw
L
∑
∂xℓ (p, w)
pℓ
=1
(2.8)
∂w
ℓ=1
y de manera matricial
pDw x(p, w) = i
(2.9)
Tal que i es un vector unitario. Esta proposición enuncia que el gasto total debe cambiar en una
cantidad igual a cualquier cambio de la riqueza, esto se conoce como la Agregación de Engel
18
2. Comportamiento del Consumidor
2.5.
Axioma Débil de preferencia revelada
Como el lector notará el instrumental mostrado parece suficiente para realizar una teoría consistente
del comportamiento de un consumidor representativo sin embargo aun queda una laguna la cual versa
en la necesidad de una teoría que establezca un mecanismo a través del cual el consumidor mantenga
un hábito de compra el cual permita a los oferentes ofrecer bienes y servicios al consumidor, esta teoría
se le conoce como la Teoría de la Preferencia Revelada (a partir de ahora abreviado AD). A grandes
rasgos esta teoría establece lo siguiente: cuando un consumidor se enfrenta a una colección de cestas
(xi , xj ) ∈ RL
+ si el consumidor selecciona xi cuando podía seleccionar xj decimos que xi se revela a
xj lo cual nos permite deducir que xi ≻ xj . Luego, una función de demanda walrasiana x(p, w) que
es homogénea de grado cero y satisface la ley de walras en el contexto de AD cumple lo siguiente:
D EFINICIÓN 30. Una función de demanda walrasiana x(p, w) satisface AD si la siguiente propiedad
se satisface para cualquier par (pi , wi ) y (pj , wj ) con la demanda x(pi , wi ) dependiendo de (pi , wi )
y x(pj , wj ) dependiendo de (pj , wj ):
{∃pi , ∃x(pj , wj ) : pi x(pj , wj ) ≤ wi }∧{∃x(pi , wi ) : x(pj , wj ) ̸= x(pi , wi )} ⇒ pj x(pi , wi ) ≥ wj
La explicación es muy clara, pi x(pj wj )wi ≤ 0 y x(pj wj ) ̸= x(pi , wi ) significa que cuando los
precios y el presupuesto son (pi wi ) el consumidor elige x(pi , wi ) aun cuando x(pj , wj ) era factible.
Se puede decir que el consumidor revela su preferencia a x(pi , wi ) sobre x(pj , wj ). Que la demanda
sea consistente significa que que el consumidor prefiere siempre x(pi , wi ) sobre x(pj , wj ) cuando
ambas son disponibles. De igual manera se cumple que x(pi , wi ) no debe ser disponible con los precios
y el presupuesto (pj , wj ).
2.5.1.
Implicaciones de AD
Sabemos que un cambio en los precios afecta al consumidor de dos maneras, por una parte altera los
costos relativos de diferentes bienes y de igual manera altera la riqueza (o presupuesto) real. Una manera
de llevar a cabo el análisis es imaginar una situación en la que un cambio en precios se acompaña de
un cambio en la riqueza del consumidor que haga que su consumo inicial sea factible a los nuevos
precios. Sean pi y wi los precios y la riqueza inicial y sea x(pi , wi ) la demanda del consumidor.
Supongamos que los precios cambian a pj y que la renta del consumidor se ajusta wj = pj x(pi , wi ).
Luego el ajuste del ingreso esta dado por ∆w = ∆px(pi , wi ), con ∆p = (pj − pi ). A este ajuste
se le conoce como la compensación de la riqueza de Slutsky. La Figura 2.2 muestra lo anterior para
R22 . En Bpi ,wi , pi = [p1 , p2 ], con pendiente −(p1 /p2 ) y demanda x(pi wi ). Supongamos ahora que p1
disminuye y el nuevo vector es pj = [p̄1 , p2 ] con p̄1 < p2 y por ende p̄1 /p2 disminuye. Luego la nueva
restricción será Bpj ,wi . La compensación de Slutsky será la siguiente: wi = p1 x1 + p2 x2 y sabemos
que wj = p̄1 x1 + p2 x2 , luego entonces la variación total de la riqueza es igual a ∆wi = (p̄1 − p1 )x1
y dado que p̄1 < p1 entonces ∆wi es negativa.A estos cambios de precios que se acompañan de tales
cambios compensatorios en la renta se les denomina cambios compensados de precios. La siguiente
Proposición establece que el AD puede enunciarse equivalentemente en términos de la respuesta de la
demanda a tales cambios compensados en precios.
P ROPOSICIÓN 12. Supongamos que función de demanda walrasiana x(p, w) es homogénea de grado
cero y satisface la ley de walras. Entonces la función de demanda x(p, w) cumple AD syss satisface la
siguiente propiedad: Para cualquier cambio compensado de precios desde el par inicial (pi , wi ) hasta
(pj , wj ) = [pj , pj x(pi , wi )] se tiene que
(pj − pi )[x(pj , wj ) − x(pi , wi )] ≤ 0
(2.10)
con desigualdad estricta siempre que x(pi , wi ) ̸= x(pj , wj )
19
2.6. Matriz de Sustitución de Slutsky
Figura 2.2: Efecto compensación de la Riqueza de Slutsky en R2+
Demostración. (i)El AD implica que (pj − pi )[x(pj , wj ) − x(pi , wi )] ≤ 0 se cumple con con la desigualdad estricta x(pi , wi ) ̸= x(pj , wj ). Si x(pi , wi ) = x(pj , wj ) implica que (pj −pi )[x(pj , wj )−
x(pi , wi )] = 0, por lo tanto supongamos que x(pi , wi ) ̸= x(pj , wj ). Podemos reescribir
(pj − pi )[x(pj , wj ) − x(pi , wi )] = pj [x(pj , wj ) − x(pi , wi )] − pi [x(pj , wj ) − x(pi , wi )]
Como el cambio es de pi a pj es compensado: pj x(pi wi ) = wj , por la ley de walras pj x(pj wj ) = wj ,
luego pj [x(pj , wj ) − x(pi , wi )] = 0. ahora dado que pj x(pi wi ) = wj , x(pi wi ) es factible bajo
(pj wj ). el AD implica que x(pj wj ) no debe ser factible bajo (pi wi ) y por ende pi x(pj wj ) > wi y
por la ley de walras pi x(pi wi ) = wi y por tanto pi [x(pj , wj ) − x(pi , wi )] > 0.
Ahora, (2.10) puede ser reescrita como ∆pi ∆x ≤ 0 Se puede interpretar como una expresión de
la Ley de la Demanda: La demanda y el precio se mueven en la dirección opuesta. La Proposición
anterior establece que la Ley de la Demanda se satisface para cambios compensados en los precios. Se
denomina la ley de la Demanda Compensada.
2.6.
Matriz de Sustitución de Slutsky
Ahora para el siguiente análisis supongamos que la demanda x(p, w) de consumo es una función
diferenciable de los precios y de la riqueza. Consideremos ahora que para un vector de precios dado y un
presupuesto (p, w) se da un cambio en los precios, es decir, el diferencial de precios puede expresarse
como ∂p, sin embargo dicho cambio en los precios esta compensado por un ajuste en la riqueza o
presupuesto tal que ∂w = x(p, w)∂p, después la Proposición 12 se resume en
∂p · ∂x ≤ 0
(2.11)
ahora por regla de l cadena la variación total de la demanda esta expresada como
∂x = Dp x(p, w)∂p + Dw x(p, w)∂w
(2.12)
∂x = Dp x(p, w)∂p + Dw x(p, w)[x(p, w)∂p]
(2.13)
∂x = [Dp x(p, w) + Dw x(p, w)x(p, w)]∂p
(2.14)
luego
o de manera equivalente
20
2. Comportamiento del Consumidor
ahora sustituyendo (2.14) en (2.11) tenemos
∂p · [Dp x(p, w) + Dw x(p, w)x(p, w)]∂p ≤ 0
(2.15)
La expresión (2.15) es una matriz de L × L denotada por S(p, w). Formalmente


s11 (p, w) · · · s1L (p, w)


..
..
..
S(p, w) = 

.
.
.
sL1 (p, w) · · ·
sLL (p, w)
Donde la (ℓ,k)ésima entrada esta dada por
sℓk (p, w) =
δxℓ (p, w) xℓ (p, w)
+
· xk (p, w)
∂pk
∂w
(2.16)
La matriz S(p, w es conocida como la matriz de sustitución de Slutsky y sus elementos se le conocen
como efecto sustitución.sℓk (p, w) mide el cambio diferencial en el consumo del bien ℓ (es decir, la
sustitución a otro bien) debido a un cambio diferencial en el precio del bien k, cuando la renta se ajusta
tal que el consumidor pueda todavía adquirir a los nuevos precios su cesta inicial (debido solamente a
un cambio en los precios). Nótese que el cambio en la demanda del bien ℓ, si la renta no cambiase, sería
δxℓ (p, w)
∂pk
∂pk
Ahora, para que el consumidor pudiera simplemente adquirir su cesta de consumo inicial, su riqueza
debería variar en la cantidad xk (p, w)∂pk . El efecto de cambio de renta en su demanda del bien ℓ, es
δxℓ (p, w)
[xk (p, w)∂pk ]
∂pk
La suma de estos dos efectos es exactamente sℓ,k (p, w)∂p.
P ROPOSICIÓN 13. Si una función de demanda Walrasiana diferenciable x(p, w), satisface la ley de
walras, es homogénea de grado cero y cumple el axioma débil de preferencia revelada, entonces para
cualquier par (p, w) la matriz de sustitución de Slutsky S(p, w) satisface VS(p, w)V ≤ 0 para
cualquier V ∈ RL .
Si una matriz de sustitución cumple esta propiedad se dice que es semidefinida-negativaUna implicación importante de sℓ ℓ ≤ 0 (el efecto sustitución del bien ℓ con respecto a su propio precio (efecto
sustitución propio))es que un bien puede ser Giffen en (p, w), solamente si es inferior. En particular
como:
δxℓ (p, w) xℓ (p, w)
sℓℓ (p, w) =
+
· xℓ (p, w)
(2.17)
∂pℓ
∂w
Si
δxℓ (p,w)
∂pℓ
> 0 se tiene que dar
xℓ (p,w)
∂w
< 0.
21